七年級數學二元一次方程組(教師講義帶答案)

七年級數學二元一次方程組(教師講義帶答案)七年級數學二元一次方程組(教師講義帶答案)七年級數學二元一次方程組(教師講義帶答案)資料僅供參考文件編號：2022年4月七年級數學二元一次方程組(教師講義帶答案)版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準:發(fā)布日期：二元一次方程組【知識要點】1．二元一次方程:含有兩個未知數，且未知項的次數為1，這樣的方程叫二元一次方程。①二元一次方程左右兩邊的代數式必須是整式；(不是整式的化成整式)②二元一次方程必須含有兩個未知數；③二元一次方程中的“一次”是指含有未知數的項的次數，而不是某個未知數的次數。2．二元一次方程的解：能使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對未知數的值叫做二元一次方程的解任何一個二元一次方程都有無數解。3．二元一次方程組：①由兩個或兩個以上的整式方程組成，常用“”把這些方程聯合在一起；②整個方程組中含有兩個不同的未知數，且方程組中同一未知數代表同一數量；③方程組中每個方程經過整理后都是一次方程，4．二元一次方程組的解：注意：方程組的解滿足方程組中的每個方程，而每個方程的解不一定是方程組的解。5．會檢驗一對數值是不是一個二元一次方程組的解6．二元一次方程組的解法：（1）代入消元法（2）加減消元法三、理解解二元一次方程組的思想四、解二元一次方程組的一般步驟（一）、代入法一般步驟：變形——代入——求解——回代——寫解（二）、加減法一般步驟：變形——加減——求解——代入——寫解1.1二元一次方程組的解法（1）用代入法解二元一次方程組例：解方程組 ※解題方法： ①編號：將方程組進行編號；②變形：從方程組中選定一個系數比較簡單的方程進行變形，用含有x（或y）的代數式表示y（或x），即變成y=ax+b（或x=ay+b）的形式；③代入：將y=ax+b（或x=ay+b）代入另一個方程（不能代入原變形方程）中，消去y（或x），得到一個關于x（或y）的一元一次方程；④求x（或y）：解這個一元一次方程，求出x（或y）的值；⑤求y（或x）：把x（或y）的值代入y=ax+b（或x=ay+b）中，求出y（或x）的值；⑥聯立：用“{”聯立兩個未知數的值，就是方程組的解。（2）用加減消元法解二元一次方程組例：解方程組 ※解題方法： ①編號：將方程組進行編號；②系數相等：根據“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個不等于0的數，等式仍然成立”的性質，將原方程組化成有一個未知數的系數絕對值相等的形式；③相加（或相減）：根據“等式兩邊加上（或減去）同一個整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質，將變形后的兩個方程相加（或相減），消去一個未知數，得到一個一元一次方程；④求值：解這個一元一次方程，求出一個未知數的值；⑤求另值：把求得的未知數的值代入原方程組中比較簡單的一個方程中，求出另一個未知數的值；⑥聯立：用“{”聯立兩個未知數的值，就是方程組的解。分析

我們已經掌握一元一次方程的解法，那么要解二元一次方程組，就應設法將其轉化為一元一次方程，為此，就要考慮將一個方程中的某個未知數用含另一個未知數的代數式表示．方程(2)中x的系數是1，因此，可以先將方程(2)變形為用含y的代數式表示x，再代入方程(1)求解．這種方法叫“代入消元法”．解：

由(2)，得

x=83y．

(3)把(3)代入(1)，得：2(83y)+5y=21，166y+5y=21，y=37，所以y=37．點評

如果方程組中沒有系數是1的未知數，那么就選擇系數最簡單的未知數來變形．分析

此方程組里沒有一個未知數的系數是1，但方程(1)中x的系數是2，比較簡單，可選擇它來變形．解：由(1)，得2x=8+7y，

(3)把(3)代入(2)，得分析

本題不僅沒有系數是1的未知數，而且也沒有一個未知數的系數較簡單．經過觀察發(fā)現，若將兩個方程相加，得出一個x，y的系數都是100、常數項是200的方程，而此方程與方程組中的(1)和(2)都同解．這樣，就使問題變得比較簡單了．解：(1)+(2)，得100x+100y=200，所以x+y=2

(3)解這個方程組．由(3)，得x=2y

(4)把(4)代入(1)，得53(2y)+47y=112，10653y+47y=112，6y=6，所以y=1．分析

經觀察發(fā)現，(1)和(2)中x的系數都是6，若將兩方程相減，便可消去x，只剩關于y的方程，問題便很容易解決、這種方法叫“加減消元法”．解：(1)(2)，得12y=36，所以y=3．把y=3代入(2)，得：6x5×(3)=17，6x=2，所以：點評

若方程組中兩個方程同一未知數的系數相等，則用減法消元；若同一未知數的系數互為相反數，則用加法消元；若同一未知數的系數有倍數關系，或完全不相等，則可設法將系數的絕對值轉化為原系數絕對值的最小公倍數，然后再用加減法消元．在進行加減特別是進行減法運算時，一定要正確處理好符號．分析

方程組中，相同未知數的系數沒有一樣的，也沒有互為相反數的．但不難將未知數y的系數絕對值轉化為12(4與6的最小公倍數)，然后將兩個方程相加便消去了y．解：(1)×3，得9x+12y=48

(3)(2)×2，得10x-12y=66

(4)(3)+(4)，得19x=114，所以x=6．把x=6代入(1)，得3×6+4y=16，4y=-2，點評

將x的系數都轉化為15(3和5的最小公倍數)，比較起來，變y的系數要簡便些．一是因為變y的系數乘的數較小，二是因為變y的系數后是做加法，而變x的系數后要做減法．例6

已知xmn+1y與2xn1y3m2n5是同類項，求m和n的值．分析

根據同類項的概念，可列出含字母m和n的方程組，從而求出m和n．解：因為xmn+1y與2xn1y3m2n5是同類項，所以解這個方程組．整理，得(4)(3)，得2m=8，所以m=4．把m=4代入(3)，得2n=6，所以n=3．所分析

因為x+y=2，所以x=2y，把它代入方程組，便得出含y，m的新方程組，從而求出m．也可用減法將方程組中的m消去，從而得出含x，y的一個二元一次方程，根據x+y=2這一條件，求出x和y，再去求m．解：將方程組中的兩個方程相減，得x+2y=2，即(x+y)+y=2．因為x+y=2，所以2+y=2，所以y=0，于是得x=2．把x=2，y=0代入2x+3y=m，得m=4．把m=4代入m22m+1，得m22m+1=422×4+1=9．例8

已知x+2y=2x+y+1=7xy，求2xy的值．分析

已知條件是三個都含有x，y的連等代數式，這種連等式可看作是二元一次方程組，這樣的方程組可列出三個，我們只要解出其中的一個便可求出x和y，從而使問題得到解決．解：已知條件可轉化為整理這個方程組，得解這個方程組．由(3)，得x=y1

(5)把(5)代入(4)，得5(y1)-2y-1=0，5y-2y=5+1，所以y=2．把y=2代入(3)，得x-2+1=0，所以x=1．2x-y=0．例9

解方程組分析先從方程組中選出一個方程，如方程（1），用含有一個未知數的代數式表示另一個未知數，把它代入另一個方程中，得到一個一元一次方程，解這個方程求出一個未知數的值，再代入求另一個未知數的值．解由（1），得，

（3）把（3）代入（2）中，得，解得把代入（3）中，得，∴∴是原方程組的解．例10

解方程組分析方程組的兩個方程中，同一個未知數的系數既不相等，也不互為相反數時，可以用適當的數去乘方程的兩邊，使某一個未知數的系數相等，或互為相反數，再把所得的兩個方程相加減就可以消去一個未知數．解（1）×3，得

（3）（2）×2，得

（4）（3）+（4），得，∴.把代入（1）中，得，∴是原方程組的解．例11

若方程組的解x、y，滿足，求正數m的取值范圍．解由可解得又∵，∴，∴∴滿足條件的m的范圍是.例12

解方程組分析：由于方程（1）和（2）中同一字母（未知數）表示同一個數，因此將（1）中的值代入（2）中就可消去，從而轉化為關于的一元一次方程．解：將（1）代入（2），得，解得，．把代入（1）得，∴方程組的解為例13解方程組解：由（1）得

（3）把（3）代入（2），得，解得．把代入（3），得，解得．∴方程組的解為說明：將作為一個整體代入消元，這種方法稱為整體代入法，本題把看作一個整體代入消元比把（1）變形為再代入（2）簡單得多．1.2二元一次方程組的應用學習目標：

1．能夠借助二元一次方程組解決簡單的實際問題，再次體會二元一次方程組與現實生活的聯系和作用

2．進一步使用代數中的方程去反映現實世界中等量關系，體會代數方法的優(yōu)越性

3．體會列方程組比列一元一次方程容易

4．進一步培養(yǎng)化實際問題為數學問題的能力和分析問題，解決問題的能力

5．掌握列方程組解應用題的一般步驟；

重點：

1．經歷和體驗用二元一次方程組解決實際問題的過程。

2．進一步體會方程（組）是刻畫現實世界的有效數學模型。

難點：正確找出問題中的兩個等量關系

知識要點梳理

知識點一：列方程組解應用題的基本思想

列方程組解應用題是把“未知”轉化為“已知”的重要方法，它的關鍵是把已知量和未知量聯系起來，找出題目中的相等關系.一般來說，有幾個未知數就列出幾個方程，所列方程必須滿足：(1)方程兩邊表示的是同類量；(2)同類量的單位要統(tǒng)一；(3)方程兩邊的數值要相等.

知識點二：列方程組解應用題中常用的基本等量關系

1.行程問題：

(1)追擊問題：追擊問題是行程問題中很重要的一種，它的特點是同向而行。這類問題比較直觀，畫線段,用圖便于理解與分析。其等量關系式是:兩者的行程差＝開始時兩者相距的路程；；；

(2)相遇問題:相遇問題也是行程問題中很重要的一種，它的特點是相向而行。這類問題也比較直觀，因而也畫線段圖幫助理解與分析。這類問題的等量關系是：雙方所走的路程之和＝總路程。

(3)航行問題：①船在靜水中的速度＋水速＝船的順水速度；

②船在靜水中的速度－水速＝船的逆水速度；

③順水速度－逆水速度＝2×水速。

注意：飛機航行問題同樣會出現順風航行和逆風航行，解題方法與船順水航行、逆水航行問題類似。

2．工程問題：工作效率×工作時間=工作量.

3．商品銷售利潤問題：

(1)利潤＝售價－成本(進價)；(2)；(3)利潤＝成本（進價）×利潤率；(4)標價＝成本(進價)×(1＋利潤率)；(5)實際售價＝標價×打折率；

注意：“商品利潤＝售價－成本”中的右邊為正時，是盈利；為負時，就是虧損。打幾折就是按標價的十分之幾或百分之幾十銷售。（例如八折就是按標價的十分之八即五分之四或者百分之八十）

4．儲蓄問題：

(1)基本概念

①本金：顧客存入銀行的錢叫做本金。②利息：銀行付給顧客的酬金叫做利息。

③本息和：本金與利息的和叫做本息和。④期數：存入銀行的時間叫做期數。

⑤利率：每個期數內的利息與本金的比叫做利率。⑥利息稅：利息的稅款叫做利息稅。

(2)基本關系式

①利息＝本金×利率×期數

②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期數＝本金×(1＋利率×期數)

③利息稅＝利息×利息稅率＝本金×利率×期數×利息稅率。

④稅后利息＝利息×(1－利息稅率)⑤年利率＝月利率×12⑥。

注意：免稅利息=利息

5．配套問題：

解這類問題的基本等量關系是：總量各部分之間的比例=每一套各部分之間的比例。

6．增長率問題：

解這類問題的基本等量關系式是：原量×(1＋增長率)＝增長后的量；

原量×(1－減少率)＝減少后的量.

7．和差倍分問題：

解這類問題的基本等量關系是：較大量＝較小量＋多余量，總量＝倍數×倍量.

8．數字問題：

解決這類問題，首先要正確掌握自然數、奇數、偶數等有關概念、特征及其表示。如當n為整數時，奇數可表示為2n+1(或2n-1)，偶數可表示為2n等，有關兩位數的基本等量關系式為：兩位數=十位數字10+個位數字

9．濃度問題：溶液質量×濃度=溶質質量.

10．幾何問題：解決這類問題的基本關系式有關幾何圖形的性質、周長、面積等計算公式

11．年齡問題：解決這類問題的關鍵是抓住兩人年齡的增長數是相等，兩人的年齡差是永遠不會變的

12．優(yōu)化方案問題：

在解決問題時，常常需合理安排。需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網絡的使用、到不同旅行社購票等，一般都要運用方程解答，得出最佳方案。

注意：方案選擇題的題目較長，有時方案不止一種，閱讀時應抓住重點,比較幾種方案得出最佳方案。

知識點三：列二元一次方程組解應用題的一般步驟

利用二元一次方程組探究實際問題時，一般可分為以下六個步驟：

1．審題:弄清題意及題目中的數量關系；2．設未知數:可直接設元，也可間接設元；

3．找出題目中的等量關系；4．列出方程組:根據題目中能表示全部含義的等量關系列出方程，并組成方程組；5．解所列的方程組，并檢驗解的正確性；6．寫出答案.

要點詮釋：

(1)解實際應用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據應用題的實際意義，檢查求得的結果是否合理，不符合題意的解應該舍去；

(2)“設”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；

(3)一般來說，設幾個未知數就應該列出幾個方程并組成方程組.

解答步驟簡記為：問題方程組解答

(4)列方程組解應用題應注意的問題

①弄清各種題型中基本量之間的關系；②審題時，注意從文字，圖表中獲得有關信息；③注意用方程組解應用題的過程中單位的書寫，設未知數和寫答案都要帶單位，列方程組與解方程組時，不要帶單位；④正確書寫速度單位，避免與路程單位混淆；⑤在尋找等量關系時，應注意挖掘隱含的條件；⑥列方程組解應用題一定要注意檢驗。

經典例題透析

類型一：列二元一次方程組解決——行程問題

1．甲、乙兩地相距160千米，一輛汽車和一輛拖拉機同時由甲、乙兩地相向而行，1小時20分相遇.相遇后，拖拉機繼續(xù)前進，汽車在相遇處停留1小時后調轉車頭原速返回，在汽車再次出發(fā)半小時后追上了拖拉機.這時，汽車、拖拉機各自行駛了多少千米

思路點撥：畫直線型示意圖理解題意：

(1)這里有兩個未知數：①汽車的行程；②拖拉機的行程.

(2)有兩個等量關系：

①相向而行：汽車行駛小時的路程＋拖拉機行駛小時的路程＝160千米;

②同向而行：汽車行駛小時的路程＝拖拉機行駛小時的路程.

解：設汽車的速度為每小時行千米，拖拉機的速度為每小時千米.

根據題意，列方程組

解這個方程組，得:

.

答：汽車行駛了165千米，拖拉機行駛了85千米.

總結升華：根據題意畫出示意圖，再根據路程、時間和速度的關系找出等量關系，是行程問題的常用的解決策略。

舉一反三：

【變式1】甲、乙兩人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小時，那么他們在乙出發(fā)2.5小時后相遇；如果乙比甲先走2小時，那么他們在甲出發(fā)3小時后相遇，甲、乙兩人每小時各走多少千米？

解：設甲、乙兩人每小時分別行走千米、千米。根據題意可得：

解得：

答：甲每小時走6千米，乙每小時走3.6千米。

【變式2】兩地相距280千米，一艘船在其間航行，順流用14小時，逆流用20小時，求船在靜水中的速度和水流速度。

分析：船順流速度＝靜水中的速度＋水速

船逆流速度＝靜水中的速度－水速

解：設船在靜水中的速度為x千米/時，水速為y千米/時，

則，解得：

答：船在靜水中的速度為17千米/時，水速3千米/時。

類型二：列二元一次方程組解決——工程問題

2．一家商店要進行裝修，若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付兩組費用共3520元；若先請甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可完成，需付兩組費用共3480元，問：(1)甲、乙兩組工作一天，商店應各付多少元(2)已知甲組單獨做需12天完成，乙組單獨做需24天完成，單獨請哪組，商店所付費用最少

思路點撥：本題有兩層含義，各自隱含兩個等式，第一層含義：若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付兩組費用共3520元；第二層含義：若先請甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可完成，需付兩組費用共3480元。設甲組單獨做一天商店應付x元，乙組單獨做一天商店應付y元，由第一層含義可得方程8（x+y）=3520,由第二層含義可得方程6x+12y=3480.

解：(1)設甲組單獨做一天商店應付x元，乙組單獨做一天商店應付y元，依題意得：

解得

答：甲組單獨做一天商店應付300元，乙組單獨做一天商店應付140元。

(2)單獨請甲組做，需付款300×12＝3600元，單獨請乙組做，需付款24×140＝3360元，

故請乙組單獨做費用最少。

答：請乙組單獨做費用最少。

總結升華：工作效率是單位時間里完成的工作量，同一題目中時間單位必須統(tǒng)一，一般地，將工作總量設為1，也可設為a，需根據題目的特點合理選用；工程問題也經常利用線段圖或列表法進行分析。

舉一反三：

【變式】小明家準備裝修一套新住房，若甲、乙兩個裝飾公司合作6周完成需工錢5.2萬元；若甲公司單獨做4周后，剩下的由乙公司來做，還需9周完成，需工錢4.8萬元.若只選一個公司單獨完成，從節(jié)約開支的角度考慮，小明家應選甲公司還是乙公司？請你說明理由.

解：設甲、乙兩公司每周完成總工程的和，由題意得：

，解得：

所以甲、乙單獨完成這項工程分別需要10周、15周。

設需要付甲、乙每周的工錢分別是萬元，萬元，根據題意得：

，解得：

故甲公司單獨完成需工錢：（萬元）；乙公司單獨完成需工錢：（萬元）。

答：甲公司單獨完成需6萬元，乙公司單獨完成需4萬元，故從節(jié)約的角度考慮，應選乙公司單獨完成.

類型三：列二元一次方程組解決——商品銷售利潤問題

3．有甲、乙兩件商品，甲商品的利潤率為5%,乙商品的利潤率為4%,共可獲利46元。價格調整后，甲商品的利潤率為4%，乙商品的利潤率為5%，共可獲利44元，則兩件商品的進價分別是多少元

思路點撥：做此題的關鍵要知道：利潤＝進價×利潤率

解：甲商品的進價為x元，乙商品的進價為y元，由題意得：

，解得：

答：兩件商品的進價分別為600元和400元。

舉一反三：

【變式1】（2011湖南衡陽）李大叔去年承包了10畝地種植甲、乙兩種蔬菜，共獲利18000元，其中甲種蔬菜每畝獲利2000元，乙種蔬菜每畝獲利1500元，李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了多少畝？

解：設李大叔去年甲種蔬菜種植了畝，乙種蔬菜種植了畝，則：

，解得

答：李大叔去年甲種蔬菜種植了6畝，乙種蔬菜種植了4畝．

【變式2】某商場用36萬元購進A、B兩種商品，銷售完后共獲利6萬元，其進價和售價如下表：AB進價（元/件）12001000售價（元/件）13801200（注：獲利=售價—進價）

求該商場購進A、B兩種商品各多少件；

解：設購進A種商品件，B種商品件，根據題意得：

化簡得：解得：

答：該商場購進A、B兩種商品分別為200件和120件。類型四：列二元一次方程組解決——銀行儲蓄問題

4．小明的媽媽為了準備小明一年后上高中的費用，現在以兩種方式在銀行共存了2000元錢，一種是年利率為2.25％的教育儲蓄，另一種是年利率為2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，問這兩種儲蓄各存了多少錢（

利息所得稅＝利息金額×20%，教育儲蓄沒有利息所得稅）

思路點撥：設教育儲蓄存了x元，一年定期存了y元，我們可以根據題意可列出表格：

解：設存一年教育儲蓄的錢為x元，存一年定期存款的錢為y元，則列方程：

，解得：

答：存教育儲蓄的錢為1500元，存一年定期的錢為500元.

總結升華:我們在解一些涉及到行程、收入、支出、增長率等的實際問題時，有時候不容易找出其等量關系，這時候我們可以借助圖表法分析具體問題中蘊涵的數量關系，題目中的相等關系隨之浮現出來.

舉一反三：

【變式1】李明以兩種形式分別儲蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得稅可得利息43.92元.已知兩種儲蓄年利率的和為3.24%，問這兩種儲蓄的年利率各是百分之幾（

注：公民應繳利息所得稅=利息金額×20%）

思路點撥：扣稅的情況：本金×年利率×(1-20%)×年數=利息（其中，利息所得稅=利息

金額×20%）.不扣稅時：利息=本金×年利率×年數.

解：設第一種儲蓄的年利率為x，第二種儲蓄的年利率為y，根據題意得:

，解得:

答：第一種儲蓄的年利率為2.25%，第二種儲蓄的年利率為0.99%.

【變式2】小敏的爸爸為了給她籌備上高中的費用，在銀行同時用兩種方式共存了4000元錢.第一種，一年期整存整取，共反復存了3次，每次存款數都相同，這種存款銀行利率為年息2.25%；第二種，三年期整存整取，這種存款銀行年利率為2.70%.三年后同時取出共得利息303.75元(不計利息稅)，問小敏的爸爸兩種存款各存入了多少元？

解：設第一種存款數為X元，則第二種存款數為y元，根據題意得：

，解得：

答：第一種存款數為1500元，第二種存款數為2500元。

類型五：列二元一次方程組解決——生產中的配套問題

5．某服裝廠生產一批某種款式的秋裝，已知每2米的某種布料可做上衣的衣身3個或衣袖5只.現計劃用132米這種布料生產這批秋裝(不考慮布料的損耗)，應分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？

思路點撥：本題的第一個相等關系比較容易得出：衣身、衣袖所用布料的和為132米；第二個相等關系的得出要弄清一整件衣服是怎么樣配套的，即衣袖的數量等于衣身的數量的2倍(注意：別把2倍的關系寫反了).

解：設用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根據題意，得：

答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.

總結升華：生產中的配套問題很多，如螺釘和螺母的配套、盒身與盒底的配套、桌面與桌腿的配套、衣身與衣袖的配套等.各種配套都有數量比例，依次設未知數，用未知數可把它們之間的數量關系表示出來，從而得到方程組，使問題得以解決，確定等量關系是解題的關鍵.

舉一反三：

【變式1】現有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個盒身或22個盒底，一個盒身與兩個盒底配成一個完整盒子，問用多少張鐵皮制盒身，多少張鐵皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子

思路點撥：兩個未知數是制盒身、盒底的鐵皮張數，兩個相等關系是：①制盒身鐵皮張數+制盒底鐵皮張數=190；②制盒身個數的2倍=制盒底個數.

解：設x張鐵皮制盒身，y張鐵皮制盒底，由題意得：

答：用110張制盒身，80張制盒底，正好制成一批完整的盒子.

【變式2】某工廠有工人60人，生產某種由一個螺栓套兩個螺母的配套產品，每人每天生產螺栓14個或螺母20個，應分配多少人生產螺栓，多少人生產螺母，才能使生產出的螺栓和螺母剛好配套。

解：由一個螺栓套兩個螺母的配套產品，可設生產螺栓的有x人，生產螺母的有y人，

則：，解得：

答：生產螺栓的有25人，生產螺母的有35人。

【變式3】一張方桌由1個桌面、4條桌腿組成，如果1立方米木料可以做桌面50個，或做桌腿300條?，F有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌能配多少張方桌

解：設用x立方米的木料做桌面，用y立方米的木料做桌腿，根據題意，得：

，解得：

∴可做50×3＝150張方桌。

答：用3立方米的木料做桌面，用2立方米的木料做桌腿，可做成150張方桌。

類型六：列二元一次方程組解決——增長率問題

6.某工廠去年的利潤（總產值—總支出）為200萬元，今年總產值比去年增加了20%，總支出比去年減少了10%，今年的利潤為780萬元，去年的總產值、總支出各是多少萬元？

思路點撥：設去年的總產值為x萬元，總支出為y萬元，則有總產值（萬元）總支出（萬元）利潤（萬元）去年xy200今年120%x90%y780根據題意知道去年的利潤和今年的利潤，由利潤=總產值—總支出和表格里的已知量和未知量，可以列出兩個等式。

解：設去年的總產值為x萬元，總支出為y萬元，根據題意得：

，解之得：

答：去年的總產值為2000萬元，總支出為1800萬元

總結升華：當題的條件較多時，可以借助圖表或圖形進行分析。

舉一反三：

【變式1】若條件不變，求今年的總產值、總支出各是多少萬元？

解：設今年的總產值為x萬元，總支出為y萬元，由題意得：

，解得：

答：今年的總產值為2000萬元，總支出為1800萬元

思考：本問題還有沒有其它的設法？

【變式2】某城市現有人口42萬，估計一年后城鎮(zhèn)人口增加0.8%，農村人口增加1.1%，這樣全市人口增加1%，求這個城市的城鎮(zhèn)人口與農村人口。

思路點撥：由題意得兩個等式關系，兩個相等關系為：

（1）城鎮(zhèn)人口+農村人口=42萬；

（2）城鎮(zhèn)人口×(1+0.8%)+農村人口×（1+1.1%）=42×（1+1%）

解：設現在城鎮(zhèn)人口為x萬，農村人口為y萬，由題意得：

解得

答：現在城鎮(zhèn)人口14萬人，農村人口為28萬人

類型七：列二元一次方程組解決——和差倍分問題

7.（2011年北京豐臺區(qū)中考一摸試題）“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠原計劃每周生產帳篷共9千頂，現某地震災區(qū)急需帳篷14千頂，兩廠決定在一周內趕制出這批帳篷．為此，全體職工加班加點，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠一周內制作的帳篷數分別達到了原來的1.6倍、1.5倍，恰好按時完成了這項任務．求在趕制帳篷的一周內，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠各生產帳篷多少千頂？

思路點撥：找出已知量和未知量，根據題意知未知量有兩個，所以列兩個方程，根據計劃前后，倍數關系由已知量和未知量列出兩個等式，即是兩個方程組成的方程組。

解：設原計劃“愛心”帳篷廠生產帳篷x千頂,“溫暖”帳篷廠生產帳篷y千頂，由題意得：

，解得：

所以：1.6x=1.65=8,1.5y=1.54=6

答：“愛心”帳篷廠生產帳篷8千頂,“溫暖”帳篷廠生產帳篷6千頂.

舉一反三：

【變式1】(2011年北京門頭溝區(qū)中考一模試題)“地球一小時”是世界自然基金會在2007年提出的一項倡議．號召個人、社區(qū)、企業(yè)和政府在每年3月最后一個星期六20時30分—21時30分熄燈一小時，旨在通過一個人人可為的活動，讓全球民眾共同攜手關注氣候變化，倡導低碳生活．中國內地去年和今年共有119個城市參加了此項活動，且今年參加活動的城市個數比去年的3倍少13個，問中國內地去年、今年分別有多少個城市參加了此項活動．

解：設中國內地去年有x個城市參加了此項活動，今年有y個城市參加了此項活動．

依題意得，解得：

答：去年有33個城市參加了此項活動，今年有86個城市參加了此項活動

【變式2】游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽。如果每位男孩看到藍色與紅色的游泳帽一樣多，而每位女孩看到藍色的游泳帽比紅色的多1倍，你知道男孩與女孩各有多少人嗎？

思路點撥：本題關鍵之一是：小孩子看游泳帽時只看到別人的，沒看到自己的帽子。關鍵之二是：兩個等式，列等式要看到重點語句，第一句：每位男孩看到藍色與紅色的游泳帽一樣多；第二句：每位女孩看到藍色的游泳帽比紅色的多1倍。找到已知量和未知量根據這兩句話列兩個方程。

解：設男孩x人，女孩y人，根據題意得：

，解得：

答：男孩4人和女孩有3人。

類型八：列二元一次方程組解決——數字問題

8.兩個兩位數的和是68，在較大的兩位數的右邊接著寫較小的兩位數，得到一個四位數；在較大的兩位數的左邊寫上較小的兩位數，也得到一個四位數，已知前一個四位數比后一個四位數大2178，求這兩個兩位數。

思路點撥：設較大的兩位數為x，較小的兩位數為y。

問題1：在較大的兩位數的右邊寫上較小的兩位數，所寫的數可表示為：100x＋y

問題2：在較大數的左邊寫上較小的數，所寫的數可表示為：100y＋x

解：設較大的兩位數為x，較小的兩位數為y。依題意可得：

，解得：

答：這兩個兩位數分別為45，23.

舉一反三：

【變式1】一個兩位數，減去它的各位數字之和的3倍，結果是23；這個兩位數除以它的各位數字之和，商是5，余數是1，這個兩位數是多少？

解：設十位數為x，個位數為y，則：

，解得：

答：這兩位數為56

【變式2】一個兩位數，十位上的數字比個位上的數字大5，如果把十位上的數字與個位上的數字交換位置，那么得到的新兩位數比原來的兩位數的一半還少9，求這個兩位數？

解：設個位數字為x，十位數字為y，根據題意得：

，解得：

答：這個兩位數為72.

【變式3】某三位數，中間數字為0，其余兩個數位上數字之和是9，如果百位數字減1，個位數字加1，則所得新三位數正好是原三位數各位數字的倒序排列，求原三位數。

解：設原三位數的百位數字為x，個位數字為y，由題意得：

，

答：所求三位數是504。

類型九：列二元一次方程組解決——濃度問題

9．現有兩種酒精溶液，甲種酒精溶液的酒精與水的比是3∶7，乙種酒精溶液的酒精與水的比是4∶1，今要得到酒精與水的比為3∶2的酒精溶液50kg，問甲、乙兩種酒精溶液應各取多少？

思路點撥：本題欲求兩個未知量，可直接設出兩個未知數，然后列出二元一次方程組解決，題中有以下幾個相等關系：（1）甲種酒精溶液與乙種酒精溶液的質量之和＝50；（2）混合前兩種溶液所含純酒精質量之和＝混合后的溶液所含純酒精的質量；（3）混合前兩種溶液所含水的質量之和＝混合后溶液所含水的質量；（4）混合前兩種溶液所含純酒精之和與水之和的比＝混合后溶液所含純酒精與水的比。

解：法一：設甲、乙兩種酒精溶液分別取xkg,ykg.依題意得：

，

答：甲取20kg，乙取30kg

法二：設甲、乙兩種酒精溶液分別取10xkg和5ykg，

則甲種酒精溶液含水7xkg，乙種酒精溶液含水ykg，根據題意得：

，

所以10x=20,5y=30.

答：甲取20kg，乙取30kg

總結升華：此題的第（1）個相等關系比較明顯，關鍵是正確找到另外一個相等關系，解這類問題常用的相等關系是：混合前后所含溶質相等或混合前后所含溶劑相等。用它們來聯系各量之間的關系，列方程組時就顯得容易多了。列方程組解應用題，首先要設未知數，多數題目可以直接設未知數，但并不是千篇一律的，問什么就設什么。有時候需要設間接未知數，有時候需要設輔助未知數。

舉一反三：

【變式1】要配濃度是45%的鹽水12千克，現有10%的鹽水與85%的鹽水，這兩種鹽水各需多少？

思路點撥：做此題的關鍵是找到配制溶液前后保持不變的量，即相等的量。本題主要有兩個等量關系，等量關系一：配制鹽水前后鹽的含量相等；等量關系二：配制鹽水前后鹽水的總重量相等。

解：設含鹽10%的鹽水有x千克，含鹽85%的鹽水有y千克，依題中的兩個相等關系得：

，解之得：

答：需要10%的鹽水6.4千克與85%的鹽水5.6千克【變式2】一種35%的新農藥，如稀釋到1.75%時，治蟲最有效。用多少千克濃度為35%的農藥加水多少千克，才能配成1.75%的農藥800千克？

解：設需要用x千克濃度為35%的農藥加水y千克，根據題意得：

，解之得：

答：需要用40千克濃度為35%的農藥加水760千克。

類型十：列二元一次方程組解決——幾何問題

10．如圖，用8塊相同的長方形地磚拼成一個長方形，每塊長方形地磚的長和寬分別是多少？

思路點撥：初看這道題目中沒有提供任何相等關系，但是題目提供的圖形隱含著矩形兩條寬相等，兩條長相等，我們設每個小長方形的長為x，寬為y，就可以列出關于x、y的二元一次方程組。

解：設長方形地磚的長xcm,寬ycm，由題意得：

，

答：每塊長方形地磚的長為45cm、寬為15cm。

總結升華：幾何應用題的相等關系一般隱藏在某些圖形的性質中，解答這類問題時應注意認真分析圖形特點，找出圖形的位置關系和數量關系，再列出方程求解。

舉一反三：

【變式1】用長48厘米的鐵絲彎成一個矩形，若將此矩形的長邊剪掉3厘米，補到較短邊上去，則得到一個正方形，求正方形的面積比矩形面積大多少？

思路點撥：此題隱含兩個可用的等量關系，其一長方形的周長為鐵絲的長48厘米，第二個等量關系是長方形的長剪掉3厘米補到短邊去，得到正方形，即長邊截掉3厘米等于短邊加上3厘米。

解：設長方形的長為x厘米，寬為y厘米，根據題意得：

，

所以正方形的邊長為：9+3=12厘米

正方形的面積為：=144厘米

長方形的面積為：159=135厘米

答：正方形的面積比矩形面積大144-135=9厘米

總結升華：解題的關鍵找兩個等量關系，最關鍵的是本題設的未知數不是該題要求的，本題要是設正方形的面積比矩形面積大多少，問題就復雜了。設長方形的長和寬，本題就簡單多了，所以列方程解應用題設未知數是關鍵。

【變式2】一塊矩形草坪的長比寬的2倍多10m，它的周長是132m，則長和寬分別為多少？

解：設草坪的長為ym寬為xm，依題意得：

，解得：

答：草坪的長為m,寬為m

類型十一：列二元一次方程組解決——年齡問題

11．今年父親的年齡是兒子的5倍，6年后父親的年齡是兒子的3倍，求現在父親和兒子的年齡各是多少？

思路點撥：解本題的關鍵是理解“6年后”這幾個字的含義，即6年后父子倆都長了6歲。今年父親的年齡是兒子的5倍，6年后父親的年齡是兒子的3倍，根據這兩個相等關系列方程。

解：設現在父親x歲，兒子y歲，根據題意得：

，

答：父親現在30歲，兒子6歲。

總結升華：解決年齡問題，要注意一點：一個人的年齡變化（增大、減?。┝?，其他人也一樣增大或減小，并且增大（或減?。┑臍q數是相同的（相同的時間內）。

舉一反三：

【變式1】今年，小李的年齡是他爺爺的五分之一.小李發(fā)現，12年之后，他的年齡變成爺爺的三分之一.試求出今年小李的年齡.

思路點撥：本題的關鍵是兩句話，第一句：小李的年齡是他爺爺的五分之一；第二句：他的年齡變成爺爺的三分之一。把未知數設出來，已知量和未知量根據這兩句話列兩個方程。

解：設今年小李的年齡為x歲，則爺爺的年齡為y歲。根據題意得：

，