平穩(wěn)時(shí)間序列培訓(xùn)課程

第二章平穩(wěn)時(shí)間序列分析本章結(jié)構(gòu)方法性工具

ARMA模型

平穩(wěn)序列建模序列預(yù)測(cè)

2.1方法性工具

差分運(yùn)算延遲算子線性差分方程差分運(yùn)算一階差分階差分

步差分延遲算子延遲算子類(lèi)似于一個(gè)時(shí)間指針，當(dāng)前序列值乘以一個(gè)延遲算子，就相當(dāng)于把當(dāng)前序列值的時(shí)間向過(guò)去撥了一個(gè)時(shí)刻

記B為延遲算子，有

延遲算子的性質(zhì)

，其中

2.2ARMA模型的性質(zhì)

AR模型（AutoRegressionModel）MA模型（MovingAverageModel）

ARMA模型（AutoRegressionMovingAveragemodel）AR模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱(chēng)為階自回歸模型，簡(jiǎn)記為特別當(dāng)

時(shí)，稱(chēng)為中心化模型自回歸系數(shù)多項(xiàng)式引進(jìn)延遲算子，中心化模型又可以簡(jiǎn)記為

自回歸系數(shù)多項(xiàng)式平穩(wěn)AR模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)均值方差協(xié)方差自相關(guān)系數(shù)偏自相關(guān)系數(shù)均值如果AR(p)模型滿足足平穩(wěn)性性條件，，則有根據(jù)平穩(wěn)穩(wěn)序列均均值為常常數(shù)，且且為為白白噪聲序序列，有有推導(dǎo)出AR模型型自相關(guān)關(guān)系數(shù)的的性質(zhì)拖尾性呈負(fù)指數(shù)數(shù)衰減例2.1:考察如下下AR模型的自自相關(guān)圖圖例2.1—自相關(guān)系系數(shù)按負(fù)負(fù)指數(shù)單單調(diào)收斂斂到零例2.1:—自相關(guān)系系數(shù)正負(fù)負(fù)相間的的衰減例2.1:—自相關(guān)系系數(shù)呈現(xiàn)現(xiàn)出周期期性余弦弦衰減偽周期性性例2.1:—自相關(guān)系系數(shù)不規(guī)規(guī)則衰減減偏自相關(guān)關(guān)系數(shù)定義對(duì)平穩(wěn)AR(p)序列，滯滯后k偏自相關(guān)關(guān)系數(shù)就就是指在給定中中間k-1個(gè)隨機(jī)變變量的的條件下下，或者者說(shuō)，在在剔除了了中間k-1個(gè)隨機(jī)變變量的干干擾之后后，對(duì)對(duì)影影響的的相關(guān)度度量。用用數(shù)學(xué)語(yǔ)語(yǔ)言描述述就是偏自相關(guān)關(guān)系數(shù)的的計(jì)算滯后k偏自相關(guān)關(guān)系數(shù)實(shí)實(shí)際上就就等于k階自回歸歸模型第第個(gè)k回歸系數(shù)數(shù)的值。。偏自相關(guān)關(guān)系數(shù)的的截尾性性AR(p)模型型偏自相相關(guān)系數(shù)數(shù)P階截截尾例2.5續(xù):考察察如下AR模型的偏偏自相關(guān)關(guān)圖例2.1—理論偏自自相關(guān)系系數(shù)樣本偏自自相關(guān)圖圖例2.1:—理論偏自自相關(guān)系系數(shù)樣本偏自自相關(guān)圖圖例2.1:—理論偏自自相關(guān)系系數(shù)樣本偏自自相關(guān)圖圖例2.1:—理論偏自自相關(guān)系系數(shù)樣本偏自自相關(guān)系系數(shù)圖MA模型的定義具有如下下結(jié)構(gòu)的的模型稱(chēng)稱(chēng)為階階自回回歸模型型，簡(jiǎn)記記為特別當(dāng)時(shí)時(shí)，，稱(chēng)為中中心化模模型型移動(dòng)平均均系數(shù)多多項(xiàng)式引進(jìn)延遲遲算子，，中心化化模模型又又可以簡(jiǎn)簡(jiǎn)記為階移動(dòng)平平均系數(shù)數(shù)多項(xiàng)式式MA模型型的統(tǒng)計(jì)計(jì)性質(zhì)常數(shù)均值值常數(shù)方差差MA模型型的統(tǒng)計(jì)計(jì)性質(zhì)偏自相關(guān)關(guān)系數(shù)拖拖尾例2.2:考察如下下MA模型的相相關(guān)性質(zhì)質(zhì)MA模型型的自相相關(guān)系數(shù)數(shù)截尾MA模型型的自相相關(guān)系數(shù)數(shù)截尾MA模型型的偏自自相關(guān)系系數(shù)拖尾尾MA模型型的偏自自相關(guān)系系數(shù)拖尾尾ARMA模型型的定定義義具有有如如下下結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)的的模模型型稱(chēng)稱(chēng)為為自自回回歸歸移移動(dòng)動(dòng)平平均均模模型型，，簡(jiǎn)簡(jiǎn)記記為為特別別當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，，稱(chēng)稱(chēng)為為中中心心化化模模型型系數(shù)數(shù)多多項(xiàng)項(xiàng)式式引進(jìn)進(jìn)延延遲遲算算子子，，中中心心化化模模型型又又可可以以簡(jiǎn)簡(jiǎn)記記為為階自自回回歸歸系系數(shù)數(shù)多多項(xiàng)項(xiàng)式式階移移動(dòng)動(dòng)平平均均系系數(shù)數(shù)多多項(xiàng)項(xiàng)式式ARMA(p,q)模模型型的的統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)性性質(zhì)質(zhì)均值值協(xié)方方差差自相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)ARMA模模型型的的相相關(guān)關(guān)性性自相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)拖拖尾尾偏自自相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)拖拖尾尾例2.3:考考察察ARMA模模型型的的相相關(guān)關(guān)性性擬合合模模型型ARMA(1,1):并直直觀觀地地考考察察該該模模型型自自相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)和和偏偏自自相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)的的性性質(zhì)質(zhì)。。自相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)和和偏偏自自相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)拖拖尾尾性性樣本本自自相相關(guān)關(guān)圖圖樣本本偏偏自自相相關(guān)關(guān)圖圖ARMA模模型型相相關(guān)關(guān)性性特特征征模型自相關(guān)系數(shù)偏自相關(guān)系數(shù)AR(P)拖尾P階截尾MA(q)q階截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾2.3平穩(wěn)穩(wěn)序序列列建建模模建模模步步驟驟模型型識(shí)識(shí)別別參數(shù)數(shù)估估計(jì)計(jì)模型型檢檢驗(yàn)驗(yàn)?zāi)Ｐ托蛢?yōu)優(yōu)化化序列列預(yù)預(yù)測(cè)測(cè)建模模步步驟驟平穩(wěn)非白噪聲序列計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)模型型識(shí)別別參數(shù)數(shù)估計(jì)計(jì)模型型檢驗(yàn)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛢?yōu)化序列預(yù)測(cè)YN模型型識(shí)識(shí)別別基本本原原則則選擇模型拖尾P階截尾AR(P)q階截尾拖尾MA(q)拖尾拖尾ARMA(p,q)模型型定定階階的的困困難難因?yàn)闉橛捎捎谟跇訕颖颈镜牡碾S隨機(jī)機(jī)性性，，樣樣本本的的相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)不不會(huì)會(huì)呈呈現(xiàn)現(xiàn)出出理理論論截截尾尾的的完完美美情情況況，，本本應(yīng)應(yīng)截截尾尾的的或或仍仍會(huì)會(huì)呈呈現(xiàn)現(xiàn)出出小小值值振振蕩蕩的的情情況況由于于平平穩(wěn)穩(wěn)時(shí)時(shí)間間序序列列通通常常都都具具有有短短期期相相關(guān)關(guān)性性，，隨隨著著延延遲遲階階數(shù)數(shù)，，與與都都會(huì)會(huì)衰衰減減至至零零值值附附近近作作小小值值波波動(dòng)動(dòng)？當(dāng)或或在在延延遲遲若若干干階階之之后后衰衰減減為為小小值值波波動(dòng)動(dòng)時(shí)時(shí)，，什什么么情情況況下下該該看看作作為為相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)截截尾尾，，什什么么情情況況下下該該看看作作為為相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)在在延延遲遲若若干干階階之之后后正正常常衰衰減減到到零零值值附附近近作作拖拖尾尾波波動(dòng)動(dòng)呢呢？？模型型定定階階經(jīng)經(jīng)驗(yàn)驗(yàn)方方法法如果果樣樣本本(偏偏)自自相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)在在最最初初的的d階明明顯顯大大于于兩兩倍倍標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差范范圍圍，，而而后后幾幾乎乎95％的的自自相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)都都落落在在2倍標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差的的范范圍圍以以內(nèi)內(nèi)，，而且且通通常常由由非非零零自自相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)衰衰減減為為小小值值波波動(dòng)動(dòng)的的過(guò)過(guò)程程非非常常突突然然。。這時(shí)時(shí)，，通通常常視視為為(偏偏)自自相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)截截尾尾。。截截尾尾階階數(shù)數(shù)為為d。。例2.4選擇擇合合適適的的模模型型ARMA擬合合1950年————1998年北北京京市市城城鄉(xiāng)鄉(xiāng)居居民民定定期期儲(chǔ)儲(chǔ)蓄蓄比比例例序序列列。。序列列自自相相關(guān)關(guān)圖圖序列列偏偏自自相相關(guān)關(guān)圖圖擬合合模模型型識(shí)識(shí)別別自相相關(guān)關(guān)圖圖顯顯示示延延遲遲3階之之后后，，自自相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)全全部部衰衰減減到到2倍標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差范范圍圍內(nèi)內(nèi)波波動(dòng)動(dòng)，，這這表表明明序序列列明明顯顯地地短短期期相相關(guān)關(guān)。。但但序序列列由由顯顯著著非非零零的的相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)衰衰減減為為小小值值波波動(dòng)動(dòng)的的過(guò)過(guò)程程相相當(dāng)當(dāng)連連續(xù)續(xù)，，相相當(dāng)當(dāng)緩緩慢慢，，該該自自相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)可可視視為為不不截截尾尾偏自相相關(guān)圖圖顯示示除了了延遲遲1階的偏偏自相相關(guān)系系數(shù)顯顯著大大于2倍標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差之之外，，其它它的偏偏自相相關(guān)系系數(shù)都都在2倍標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差范范圍內(nèi)內(nèi)作小小值隨隨機(jī)波波動(dòng)，，而且且由非非零相相關(guān)系系數(shù)衰衰減為為小值值波動(dòng)動(dòng)的過(guò)過(guò)程非非常突突然，，所以以該偏偏自相相關(guān)系系數(shù)可可視為為一階階截尾尾所以可可以考考慮擬擬合模模型為為AR(1)例2.5美國(guó)科科羅拉拉多州州某一一加油油站連連續(xù)57天的OVERSHORT序列序列自自相關(guān)關(guān)圖序列偏偏自相相關(guān)圖圖擬合模模型識(shí)識(shí)別自相關(guān)關(guān)圖顯顯示除除了延延遲1階的自自相關(guān)關(guān)系數(shù)數(shù)在2倍標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差范范圍之之外，，其它它階數(shù)數(shù)的自自相關(guān)關(guān)系數(shù)數(shù)都在在2倍標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差范范圍內(nèi)內(nèi)波動(dòng)動(dòng)。根根據(jù)這這個(gè)特特點(diǎn)可可以判判斷該該序列列具有有短期期相關(guān)關(guān)性，，進(jìn)一一步確確定序序列平平穩(wěn)。。同時(shí)時(shí)，可可以認(rèn)認(rèn)為該該序列列自相相關(guān)系系數(shù)1階截尾尾偏自相相關(guān)系系數(shù)顯顯示出出典型型非截截尾的的性質(zhì)質(zhì)。綜合該該序列列自相相關(guān)系系數(shù)和和偏自自相關(guān)關(guān)系數(shù)數(shù)的性性質(zhì)，，為擬擬合模模型定定階為為MA(1)例2.61880-1985全球球氣表表平均均溫度度改變變值差差分序序列序列自自相關(guān)關(guān)圖序列偏偏自相相關(guān)圖圖擬合模模型識(shí)識(shí)別自相關(guān)關(guān)系數(shù)數(shù)顯示示出不不截尾尾的性性質(zhì)偏自相相關(guān)系系數(shù)也也顯示示出不不截尾尾的性性質(zhì)綜合該序列列自相關(guān)系系數(shù)和偏自自相關(guān)系數(shù)數(shù)的性質(zhì)，，可以嘗試試使用ARMA(1,1)模型擬合該該序列例2.4續(xù)續(xù)確定1950年——1998年北京市城城鄉(xiāng)居民定定期儲(chǔ)蓄比比例序列擬擬合模型的的口徑擬合模型：：AR(1)估計(jì)方法：：極大似然然估計(jì)模型口徑例2.5續(xù)續(xù)確定美國(guó)科科羅拉多州州某一加油油站連續(xù)57天的OVERSHORTS序列擬合模模型的口徑徑擬合模型：：MA(1)估計(jì)方法：：條件最小小二乘估計(jì)計(jì)模型口徑例2.6續(xù)續(xù)確定1880-1985全球球氣表平均均溫度改變變值差分序序列擬合模模型的口徑徑擬合模型：：ARMA(1,1)估計(jì)方法：：條件最小小二乘估計(jì)計(jì)模型口徑模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷娘@著著性檢驗(yàn)整個(gè)模型對(duì)對(duì)信息的提提取是否充充分參數(shù)的顯著著性檢驗(yàn)?zāi)Ｐ徒Y(jié)構(gòu)是是否最簡(jiǎn)模型的顯著著性檢驗(yàn)?zāi)康臋z驗(yàn)?zāi)Ｐ偷牡挠行裕▽?duì)信息的的提取是否否充分）檢驗(yàn)對(duì)象殘差序列判定原則一個(gè)好的擬擬合模型應(yīng)應(yīng)該能夠提提取觀察值值序列中幾幾乎所有的的樣本相關(guān)關(guān)信息，即即殘差序列列應(yīng)該為白白噪聲序列列反之，如果果殘差序列列為非白噪噪聲序列，，那就意味味著殘差序序列中還殘殘留著相關(guān)關(guān)信息未被被提取，這這就說(shuō)明擬擬合模型不不夠有效假設(shè)條件原假設(shè)：殘殘差序列為為白噪聲序序列備擇假設(shè)：：殘差序列列為非白噪噪聲序列檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量量LB統(tǒng)計(jì)量量例2.4續(xù)續(xù)檢驗(yàn)1950年——1998年北京市城城鄉(xiāng)居民定定期儲(chǔ)蓄比比例序列擬擬合模型的的顯著性殘差白噪聲聲序列檢驗(yàn)驗(yàn)結(jié)果延遲階數(shù)LB統(tǒng)計(jì)量P值檢驗(yàn)結(jié)論65.830.3229擬合模型顯著有效1210.280.50501811.380.8361參數(shù)顯著性性檢驗(yàn)?zāi)康臋z驗(yàn)每一個(gè)個(gè)未知參數(shù)數(shù)是否顯著著非零。刪刪除不顯著著參數(shù)使模模型結(jié)構(gòu)最最精簡(jiǎn)假設(shè)條件檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量量例2.4續(xù)續(xù)檢驗(yàn)1950年——1998年北京市城城鄉(xiāng)居民定定期儲(chǔ)蓄比比例序列極極大似然估估計(jì)模型的的參數(shù)是否否顯著參數(shù)檢驗(yàn)結(jié)結(jié)果檢驗(yàn)參數(shù)t統(tǒng)計(jì)量P值結(jié)論均值81.55159<0.0001顯著0.69141<0.0001顯著例2.5續(xù):對(duì)OVERSHORTS序列的擬合合模型進(jìn)行行檢驗(yàn)殘差白噪聲聲檢驗(yàn)參數(shù)顯著性性檢驗(yàn)檢驗(yàn)參數(shù)t統(tǒng)計(jì)量P值結(jié)論均值－4.409150.0005顯著0.82083<0.0001顯著延遲階數(shù)LB統(tǒng)計(jì)量P值結(jié)論63.140.6780模型顯著有效129.100.6130例2.6續(xù):對(duì)1880-1985全球氣氣表平均溫溫度改變值值差分序列列擬合模型型進(jìn)行檢驗(yàn)驗(yàn)殘差白噪聲聲檢驗(yàn)參數(shù)顯著性性檢驗(yàn)檢驗(yàn)參數(shù)t統(tǒng)計(jì)量P值結(jié)論0.406970.0007顯著0.90009<0.0001顯著延遲階數(shù)LB統(tǒng)計(jì)量P值結(jié)論65.280.2595模型顯著有效1210.300.4147模型優(yōu)化問(wèn)題提出當(dāng)一個(gè)擬合合模型通過(guò)過(guò)了檢驗(yàn)，，說(shuō)明在一一定的置信信水平下，，該模型能能有效地?cái)M擬合觀察值值序列的波波動(dòng)，但這這種有效模模型并不是是唯一的。。優(yōu)化的目的的選擇相對(duì)最最優(yōu)模型例2.7:擬合某一一化學(xué)序列列序列自相關(guān)關(guān)圖序列偏自相相關(guān)圖擬合模型一一根據(jù)自相關(guān)關(guān)系數(shù)2階階截尾，擬擬合MA(2)模型參數(shù)估計(jì)模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ惋@著有有效三參數(shù)均顯顯著擬合合模模型型二二根據(jù)據(jù)偏偏自自相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)1階階截截尾尾，，擬擬合合AR(1)模型型參數(shù)數(shù)估估計(jì)計(jì)模型型檢檢驗(yàn)驗(yàn)?zāi)Ｐ托惋@顯著著有有效效兩參參數(shù)數(shù)均均顯顯著著問(wèn)題題同一一個(gè)個(gè)序序列列可可以以構(gòu)構(gòu)造造兩兩個(gè)個(gè)擬擬合合模模型型，，兩兩個(gè)個(gè)模模型型都都顯顯著著有有效效，，那那么么到到底底該該選選擇擇哪哪個(gè)個(gè)模模型型用用于于統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)推推斷斷呢呢？？解決決辦辦法法確定定適適當(dāng)當(dāng)?shù)牡谋?/p>