七年級(jí)數(shù)學(xué)筆記

七年級(jí)數(shù)學(xué)筆記七年級(jí)數(shù)學(xué)筆記七年級(jí)數(shù)學(xué)筆記資料僅供參考文件編號(hào)：2022年4月七年級(jí)數(shù)學(xué)筆記版本號(hào)：A修改號(hào)：1頁(yè)次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：新思維培訓(xùn)學(xué)?！獢?shù)學(xué)學(xué)科初中核心筆記——七年級(jí)下冊(cè)第七章第一講有序數(shù)對(duì)知識(shí)點(diǎn)1、有序數(shù)對(duì)有順序的兩個(gè)數(shù)a與b組成的數(shù)對(duì)，叫做有序數(shù)對(duì)，記作（a,b）。利用有序數(shù)對(duì)表示平面上的點(diǎn)的位置時(shí)，應(yīng)有下列程序：（1）取定一點(diǎn)為原點(diǎn)將平面分成若干個(gè)小正方形。xyxy12123-2-1O-3-2-1知識(shí)點(diǎn)2.平面直角坐標(biāo)系圖7-1-1在平面內(nèi)畫兩條互相垂直、原點(diǎn)重合的數(shù)軸，組成平面直角坐標(biāo)系。兩條數(shù)軸分別叫做橫軸（x軸，水平，一般取向右為正方向）和縱軸（y軸，豎直，取向上為正方向），兩數(shù)軸交點(diǎn)叫做原點(diǎn)O，如圖7-1-1.知識(shí)點(diǎn)3.點(diǎn)的坐標(biāo)的概念過(guò)平面內(nèi)點(diǎn)A分別向x軸作垂線，垂足分別為M、N，若垂足M在x軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為a，垂足N在軸y軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為b，則該點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為a，縱坐標(biāo)即為b，有序數(shù)對(duì)（a，b）叫做點(diǎn)A的坐標(biāo)，記作A（a，b）。例：見(jiàn)課時(shí)訓(xùn)練41頁(yè)的4題知識(shí)點(diǎn)4.坐標(biāo)平面結(jié)構(gòu)坐標(biāo)平面是由兩條坐標(biāo)軸和四個(gè)象限構(gòu)成的。也就是說(shuō)坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)可以劃分為六個(gè)區(qū)域：x軸、y軸、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。在六個(gè)區(qū)域中，除了x軸與y軸有一個(gè)公共點(diǎn)（原點(diǎn)）外，其他區(qū)域之間均沒(méi)有公共點(diǎn)，第二象限第二象限第三象限第一象限xy第四象限[注意]（1）x軸、y軸和原點(diǎn)不屬于任何一個(gè)象限。（2）對(duì)于x軸和y軸上的點(diǎn)，有時(shí)需要表達(dá)得更具體一些，因此也把x軸、y軸分為正半軸和負(fù)半軸。知識(shí)點(diǎn)（-，-）（+，+）（-，-）（+，+）xy（+，-）（-，+）（1）各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)如圖7-1-4點(diǎn)P（x，y）在第一象限x>0，y>0；點(diǎn)P（x，y）在第二象限x<0，y>0;點(diǎn)P（x，y）在第三象限x<0，y<0；點(diǎn)P（x，y）在第四象限x>0，y<0。圖7-1-4（2）坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)點(diǎn)M在x軸上點(diǎn)M在x軸正半軸上：x>0,y=0點(diǎn)M在x軸負(fù)半軸上：x<0,y=0點(diǎn)M在y軸上點(diǎn)M在y軸正半軸上：x=0,y>0點(diǎn)M在x軸負(fù)半軸上：x=0,y<0[注意]原點(diǎn)既在x軸上，也在y軸上，坐標(biāo)為（0,0）漁船B南北漁船B南北東西漁船C漁船A航標(biāo)燈小島30°30km60°15km35km25°25km40°二．方法、技巧平臺(tái)知識(shí)點(diǎn)6.在平面內(nèi)確定物體位置的方法用有序數(shù)對(duì)表示物體的位置用方向和距離確定物體的位置如圖7-1-5中漁船A相對(duì)小島的位置可用北偏東40°方向的25km處表示。用經(jīng)度與緯度確定物體的位置如：臺(tái)北大約在北緯25°，東經(jīng)°。兩個(gè)數(shù)據(jù)，缺一不可知識(shí)點(diǎn)7.由坐標(biāo)確定點(diǎn)方法OxyP（a,b)aOxyP（a,b)ab知識(shí)點(diǎn)8.由點(diǎn)求坐標(biāo)的方法先由已知點(diǎn)P分別向x軸和y軸作垂線，設(shè)垂足分別是A和B，再求出A在x軸上的坐標(biāo)a和B在y軸上的坐標(biāo)b，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b）三．創(chuàng)新，思維拓展知識(shí)點(diǎn)9.平行于x軸、y軸的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)[說(shuō)明]（1）兩點(diǎn)在平行于x軸的直線上兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)為不相等的兩個(gè)數(shù)。（2）兩點(diǎn)在平行于y軸的直線上兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)為不相等的兩個(gè)數(shù)。例：見(jiàn)課時(shí)訓(xùn)練51頁(yè)的1題知識(shí)點(diǎn)xyxyMNx（1）第一、第三象限角平分線上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)相等。（2）第二、第四象限角平分想上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。知識(shí)點(diǎn)11.點(diǎn)的坐標(biāo)于線段長(zhǎng)度（1）點(diǎn)P（x，y）到x軸的距離為|y|，到y(tǒng)軸的距離為|x|；在y軸上點(diǎn)（0，y）到原點(diǎn)的距離為|y|；（2）x軸上兩點(diǎn)A（，0），B（，0）間的距離為AB=|-|；y軸上兩點(diǎn)C（0，），D（0，）間的距離為CD=||。例：見(jiàn)課時(shí)訓(xùn)練54頁(yè)的21題新思維培訓(xùn)學(xué)?！獢?shù)學(xué)學(xué)科初中核心筆記——七年級(jí)下冊(cè)第七章第二講坐標(biāo)方法的簡(jiǎn)單應(yīng)用知識(shí)、能力聚焦知識(shí)點(diǎn)1、用坐標(biāo)表示地理位置建立坐標(biāo)系，選定一個(gè)適當(dāng)?shù)膮⒄拯c(diǎn)為原點(diǎn)，確立x軸、y軸的正方向；根據(jù)具體問(wèn)題確定適當(dāng)?shù)谋壤撸谧鴺?biāo)軸上標(biāo)出單位長(zhǎng)度；在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出這些點(diǎn)，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)和各個(gè)地點(diǎn)的名稱。知識(shí)點(diǎn)2、用坐標(biāo)表示平移點(diǎn)的平移在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)（x，y）向右（或左）平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)(x+a，y)[或（x-a，y）]；將點(diǎn)（x，y）向上（或下）平移b個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)（x，y+b）[或（x，y-b）](a>0，b>0)。例：見(jiàn)課時(shí)訓(xùn)練49頁(yè)的1，2題圖形的平移在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如果把一個(gè)圖形各個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都加上（或減去）一個(gè)正數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移a個(gè)單位長(zhǎng)度；如果把它各個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)都加上（或減去）一個(gè)正數(shù)b，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移b個(gè)單位長(zhǎng)度。（x,y）（x,y+b）（x+a,y）（x-a,y）（x,y-b）（x,y）（x,y+b）（x+a,y）（x-a,y）（x,y-b）右移a個(gè)單位上移b個(gè)單位左移a個(gè)單位下移b個(gè)單位知識(shí)點(diǎn)3、對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征點(diǎn)A（a,b）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)軸為A(a,-b)；點(diǎn)A(a,b)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為A(-a,b);點(diǎn)A(a,b)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為A(-a,-b);點(diǎn)A(a,b)關(guān)于第一、第三象限的角平分線（y=x）的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為A(b,a)；點(diǎn)A(a,b)關(guān)于第二、第四象限的角平分線（y=-x）的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)A(-b,-a)。知識(shí)點(diǎn)4、圖形的對(duì)稱問(wèn)題橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)乘上-1，所得圖形與原圖形關(guān)于x軸對(duì)稱；縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)乘上-1，所得圖形與原圖形關(guān)于y軸對(duì)稱；橫坐標(biāo)乘上-1，縱坐標(biāo)乘上-1，所得圖形與原圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；橫、縱坐標(biāo)交替位置，所得圖形與原圖形關(guān)于y=x對(duì)稱；橫、縱坐標(biāo)交替位置，并且同時(shí)乘上-1，所得圖形與原圖形關(guān)于y=-x對(duì)稱。方法、技巧平臺(tái)知識(shí)點(diǎn)5、平移作圖的方法步驟圖形上的某一個(gè)點(diǎn)橫向（或縱向）平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，則圖形上的所有點(diǎn)都向這個(gè)方向平移a個(gè)單位長(zhǎng)度。作圖步驟：（1）找出圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)；（2）作出這些關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；（3）連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)即得變換后的圖形。創(chuàng)新、思維拓展知識(shí)點(diǎn)6、平移的方向與坐標(biāo)變化的規(guī)律平行移動(dòng)最關(guān)鍵的是應(yīng)掌握平移的方向與坐標(biāo)變化之間的聯(lián)系，若用口訣形式表示，即橫坐標(biāo)，右移加，左移減縱坐標(biāo)，上移加，下移減。知識(shí)點(diǎn)7、圖形的放大與壓縮橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別變成原來(lái)的a(a>1)倍，所得圖形與原圖形相比，形狀不變，大小放大為原來(lái)的a倍。橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別變成原來(lái)的a(0<a<1)倍，所得圖形與原圖形相比，形狀不變，大小壓縮為原來(lái)的a倍。新思維培訓(xùn)學(xué)?！獢?shù)學(xué)學(xué)科初中核心筆記——七年級(jí)上冊(cè)第八章第一講二元一次方程組一、知識(shí)、能力聚焦知識(shí)點(diǎn)1.二元一次方程定義含有兩個(gè)未知數(shù)（x和y），并且未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程。在方程中“元”是指未知數(shù)，“二元”就是指方程中有且只有兩個(gè)未知數(shù)。（2）“未知數(shù)的次數(shù)都是1”是指含有未知數(shù)的項(xiàng)（單項(xiàng)式）的次數(shù)是1（3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式。知識(shí)點(diǎn)2.二元一次方程的解使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。注意：二元一次方程的每一個(gè)解，都是一對(duì)數(shù)值，而不是一個(gè)數(shù)值。一個(gè)二元一次方程有無(wú)數(shù)個(gè)解。知識(shí)點(diǎn)3.二元一次方程組的概念把兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組。此外，組成二元一次方程組的各個(gè)方程也不必都同時(shí)含有兩個(gè)未知數(shù)。知識(shí)點(diǎn)4.二元一次方程組的解一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解。（1）方程組的解必須滿足方程組里的各個(gè)方程，而方程組中某一個(gè)方程的某一組解不一定是方程組的解。（2）在同一方程組中，各個(gè)相同未知數(shù)應(yīng)取相同的值。（3）方程組的解要用大括號(hào)聯(lián)立，如x=3,y=4,而不能表示成x=3,y=4.一般地二元一次方程組的解只有一個(gè)，但也有特殊情況，如方程組二.方法、技巧平臺(tái)知識(shí)點(diǎn)5.判斷二元一次方程合在一起，就組成一個(gè)二元一次方程組，判斷一個(gè)方程組是不是二元一次方程組，就看它是否滿足一下兩個(gè)條件：（1）看整個(gè)方程組里含有的未知數(shù)是不是兩個(gè)；（2）看含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是不是1.如方程組知識(shí)點(diǎn)6．怎樣檢驗(yàn)一對(duì)數(shù)是不是某個(gè)二元一次方程組的解。常用的方法是：將這個(gè)對(duì)數(shù)值分別帶入方程組中的每個(gè)方程，只有當(dāng)這個(gè)對(duì)數(shù)值滿足其中的所有方程時(shí)，才能說(shuō)這對(duì)數(shù)值是次方程組的解；否則，如果這對(duì)數(shù)值不滿足其中的任何一個(gè)方程，那么它就不是次方程組的解。知識(shí)點(diǎn)7.二元一次方程的整數(shù)解的求法[例]求二元一次方程3x+4y=18的正整數(shù)解。第二講消元—解二元一次方程組一.知識(shí)、能力聚焦知識(shí)點(diǎn)1.代入消元法解二元一次方程組①消元的基本思路：未知數(shù)由多變少。②消元的基本方法：把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程。代入消元法：把二元一次方程組中一個(gè)方程的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來(lái)，再代入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解。這種方法叫做代入消元法，簡(jiǎn)稱代入法。例1：用代入法解方程組y=2x3y+2x=8知識(shí)點(diǎn)2.加減消元法解二元一次方程組兩個(gè)二元一次方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，將兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程。這種方法叫做加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法。例2：用加減削元法解下列方程組3x+7y=94x-7y=5知識(shí)點(diǎn)3.運(yùn)用代入法、加減法解二元一次方程組要注意問(wèn)題（1）當(dāng)方程組中含有一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)的代入式時(shí)，用代入法比較簡(jiǎn)便；（2）若方程組中未知數(shù)的系數(shù)為1（或-1），選擇系數(shù)為1（或-1）的方程進(jìn)行變形，用代入法也比較簡(jiǎn)便；（3）當(dāng)方程組中的兩個(gè)方程有某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相同或互為相反數(shù)時(shí)，進(jìn)行加減消元比較方便；（4）若兩個(gè)方程中，同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，利用等式性質(zhì)，可以轉(zhuǎn)化成（3）的類型，選擇加減消元法比較簡(jiǎn)便；（5）若兩個(gè)方程中，同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值都不相等，那么，應(yīng)選出一組系數(shù)（選最小公倍數(shù)較小的一組系數(shù)），求出它們的最小公倍數(shù)，然后將原方程組變形，使新方程組的這組系數(shù)的絕對(duì)值相等（都等于原系數(shù)的最小公倍數(shù)），再加減消元；（6）對(duì)于比較復(fù)雜的二元一次方程組，應(yīng)先化簡(jiǎn)（去分母、去括號(hào)、合并同類項(xiàng)等）。通常要把每個(gè)方程整理成含未知數(shù)的項(xiàng)在方程的左邊，常數(shù)項(xiàng)在方程的右邊的形式，再作加減消元的考慮。二.方法、技巧平臺(tái)知識(shí)點(diǎn)4.用代入法解二元一次方程組的步驟（1）從方程組中選定一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程進(jìn)行變形，用含有x（或y）的代數(shù)式表示y（或x）,即變形y=ax+b(或x=ay+b)的形式；（2）將y=ax+b（或x=ay+b）代入另一個(gè)方程（不能代入原變形方程）中，消去y(或x)得到一個(gè)關(guān)于x（或y）的一元一次方程；（3）解這個(gè)一元一次方程，求出x(或y)的值；（4）把x（或y）的值代入y=ax+b（或x=ay+b）中，求y（或x）的值；（5）用“|”聯(lián)立兩個(gè)未知數(shù)的值，就是方程組的解。知識(shí)點(diǎn)5.用加減法解二元一次方程組的步驟（1）根據(jù)“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)不等于0的數(shù)，等式仍然成立”的性質(zhì)，將原方程組化成有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)絕對(duì)值相等的形式；（2）根據(jù)“等式兩邊加上（或減去）同一個(gè)整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質(zhì)，將變形后的兩個(gè)方程想加（或相減），消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；（3）解這個(gè)一元一次方程去，求出這個(gè)未知數(shù)的值；（4）把求得的未知數(shù)的值代入原方程組中比較簡(jiǎn)單的一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值；（5）用“|”聯(lián)立兩個(gè)未知數(shù)的值，就是方程組的解。二元一次方程組二元一次方程組4x+10y=①15x+10y=8②一元一次方程11x=x=解得xy=第三講實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組一.知識(shí)能力聚焦知識(shí)點(diǎn)1.列方程組解應(yīng)用題的意義列方程必須滿足：（1）方程兩邊表示的是同類量；（2）同類量的單位要統(tǒng)一；（3）方程兩邊的數(shù)值要相等。知識(shí)點(diǎn)2.列方程解應(yīng)用題中常用的基本等量關(guān)系（1）行程問(wèn)題：速度×?xí)r間=路程順?biāo)俣?靜水速度+水流速度逆水速度=靜水速度-水流速度（2）工程問(wèn)題：工作效率×工作時(shí)間=工作量（3）濃度問(wèn)題：溶液×濃度=溶質(zhì)（4）銀行利率問(wèn)題：免稅利息=本金×利率×期數(shù)二.方法技巧平臺(tái)求解檢驗(yàn)分析抽象求解檢驗(yàn)分析抽象可以簡(jiǎn)單地表示為：?jiǎn)栴}方程組解答其具體表示的意義為：審、設(shè)、找、列、解、答例1：為了保護(hù)生態(tài)環(huán)境，一個(gè)邊長(zhǎng)為300米的正方形狀的某飼養(yǎng)場(chǎng)的一部分要?jiǎng)潪楸Ｗo(hù)區(qū)，但允許飼養(yǎng)廠向其他地方擴(kuò)展，這樣飼養(yǎng)廠變成了一個(gè)周長(zhǎng)和原來(lái)周長(zhǎng)相等的等腰三角形，且它的一條邊長(zhǎng)是另一條邊長(zhǎng)的2倍，你能計(jì)算出建后飼養(yǎng)場(chǎng)的三邊的長(zhǎng)嗎？

例2：有一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)比十位上的數(shù)大5，如果把這個(gè)兩數(shù)的位置對(duì)換，那么所得的新數(shù)與原數(shù)的和是143，求這個(gè)兩位數(shù)第四講三元一次方程組的解法知識(shí)能力聚焦知識(shí)點(diǎn)1.三元一次方程的概念三元一次方程就是含有三個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程。[注意]滿足三元一次方程的條件：（1）是整式方程；（2）含有三個(gè)未知數(shù)；（