華北電力大學測量儀表-第二章測量誤差分析與處理

第2章測量誤差分析與處理

研究誤差的意義在于：1.正確認識誤差的性質(zhì)，分析誤差產(chǎn)生的原因，以便減小和消除誤差；2.正確認識誤差和實驗數(shù)據(jù)，合理計算所得結(jié)果，以便在一定條件下得到最接近于真值的數(shù)據(jù)；3.正確組成測量系統(tǒng)，合理選擇儀器和測量方法，以便在最經(jīng)濟條件下得到最理想的結(jié)果。華北電力大學測量儀表-第二章測量誤差分析與處理共38頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!節(jié)測量誤差的概念

一、測量誤差的來源（1）測量裝置的誤差（2）環(huán)境誤差（3）方法誤差（4）人員誤差二、測量誤差的分類

按照測量結(jié)果中存在的誤差的特點與性質(zhì)不同，測量誤差可分為系統(tǒng)誤差、隨機誤差和粗大誤差

華北電力大學測量儀表-第二章測量誤差分析與處理共38頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!三、測量誤差的表示

誤差+真值=測得值測量誤差通常采用絕對誤差和相對誤差兩種方式來表示。常見的絕對誤差可以用真誤差、剩余誤差、最大絕對誤差、算術(shù)平均誤差、標準誤差、或然誤差、極限誤差等方法表示。絕對誤差與根據(jù)需要和方便的取值之比值稱為相對誤差。對應(yīng)不同相比的取值，相對誤差可用實際相對誤差、示值相對誤差、引用相對誤差、最大相對誤差、分貝誤差等方法表示。

華北電力大學測量儀表-第二章測量誤差分析與處理共38頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!（2）分布的特點①有界性②單峰性③對稱性④抵償性2.隨機誤差的正態(tài)分布特征

理論和實踐都證明了大多數(shù)的隨機誤差都服從正態(tài)分布的規(guī)律，其分布密度函數(shù)為：華北電力大學測量儀表-第二章測量誤差分析與處理共38頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!（1）真值μ

設(shè)x1、x2、……xn為n次測量所得的值，則算術(shù)平均值為由隨機誤差的抵償性可知，有故時

華北電力大學測量儀表-第二章測量誤差分析與處理共38頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!算術(shù)平均值的均方根誤差

如果在相同的條件下將同一被測量分成m組，對每組重復(fù)測量n次，則每組測量值都有一個平均值。由于隨機誤差的存在，這些算術(shù)平均值也各不相同，而是圍繞真值有一定的分散性，即算術(shù)平均值與真值間也存在著隨機誤差。用表示算術(shù)平均值的均方根誤差，由概率論中方差運算法則可以求出在有限次測量中，以表示算術(shù)平均值均方根誤差的估計值，有

華北電力大學測量儀表-第二章測量誤差分析與處理共38頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!令，則，函數(shù)稱為概率積分，不同的z對應(yīng)不同的。若某隨機誤差在范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率為2，則隨機誤差超出此區(qū)間的概率為

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在一般測量中，測量次數(shù)很少超過幾十次，因此可以認為大于的誤差是不可能出現(xiàn)的，通常把這個誤差稱為單次測量的極限誤差，即當z=3時，對應(yīng)的概率P=99.73%。幾個概念：把區(qū)間（）稱為置信區(qū)間，對應(yīng)的概率稱為置信概率，稱為置信限，z稱為置信因子，稱為顯著性水平或置信水平。華北電力大學測量儀表-第二章測量誤差分析與處理共38頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!在實際測量中的子樣容量通常很?。ɡ鏽<10），應(yīng)以t分布的置信系數(shù)代替正態(tài)分布的置信系數(shù)z來增大同樣置信概率下的置信區(qū)間。t分布的置信系數(shù)與置信水平和自由度都有關(guān)，即考慮了子樣容量的大小，其數(shù)值可查表得到。當n趨于無窮大時，t分布趨向于正態(tài)分布。對于小子樣，其測量結(jié)果最終應(yīng)表示為

X=±=±(P=置信概率)華北電力大學測量儀表-第二章測量誤差分析與處理共38頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!（3）根據(jù)給定的置信概率P=99％，求得置信水平=0.01；自由度ν=6-1=5，查表可得=4.03。所以，測量結(jié)果為X=±=802.44±0.08(P=99％)在上例中，若以正態(tài)分布計算測量結(jié)果，對于給定的置信概率P=99％，查表可得到z=2.58，則測量結(jié)果為X=±z=802.44±0.05(P=99％)華北電力大學測量儀表-第二章測量誤差分析與處理共38頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!2.系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因

系統(tǒng)誤差是由固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素所造成，這些誤差因素是可以掌握的。測量裝置方面的因素環(huán)境方面的因素測量方法的因素測量人員方面的因素由于系統(tǒng)誤差是和隨機誤差同時存在于測量數(shù)據(jù)之中，且不易被發(fā)現(xiàn)，多次重復(fù)測量又不能減小它對測量結(jié)果的影響，這種潛伏性使得系統(tǒng)誤差比隨機誤差具有更大的危險性。

華北電力大學測量儀表-第二章測量誤差分析與處理共38頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁![例]對某恒溫箱內(nèi)溫度進行了10次測量，依次獲得數(shù)據(jù)如下：20.06，20.07，20.06，20.08，20.10，20.12，20.14，20.18，20.18，20.21試判斷該測量列中是否存在變值系統(tǒng)誤差。解：計算各測定值的殘差vi,并按先后順序排列：-0.06，-0.05，-0.06，-0.04，-0.02，0，0.02，0.06，0.06，0.09可見，殘差由負到正，其數(shù)值逐漸增大，故測量列中存在累進系統(tǒng)誤差。華北電力大學測量儀表-第二章測量誤差分析與處理共38頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!（b）阿貝-赫梅特準則將測得值按測量的先后順序列出，計算出全部殘余誤差，求出測量列的標準誤差估計值，令若

>則認為該測量列中含有周期性系統(tǒng)誤差。華北電力大學測量儀表-第二章測量誤差分析與處理共38頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!（2）用修正方法消除系統(tǒng)誤差這種方法是預(yù)先將測量器具的系統(tǒng)誤差檢定出來或計算出來，取與誤差大小相同而符號相反的值作為修正值，將測得值加上相應(yīng)的修正值，即可得到不包含該系統(tǒng)誤差的測量結(jié)果。（3）在實際測量時，盡可能采用有效的測量方法，以消除或減弱系統(tǒng)誤差對測量結(jié)果的影響。

(a)采用對置法可消除恒值系統(tǒng)誤差。

華北電力大學測量儀表-第二章測量誤差分析與處理共38頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!三、粗大誤差的分析與處理粗大誤差的定義及產(chǎn)生的原因粗大誤差是指明顯歪曲了測量結(jié)果而使該次測量失效的誤差，也稱為疏失誤差。含有粗大誤差的測量值稱為壞值或異常值。產(chǎn)生粗大誤差的原因很多，主要有：主觀原因測量者在測量時粗心大意、操作不當或過于疲勞而造成錯誤的讀數(shù)或記錄，這是產(chǎn)生粗大誤差的主要原因?？陀^原因測量條件意外的改變（如外界振動、機械沖擊、電源瞬時大幅度波動等），引起儀表示值的改變。對粗大誤差，除了設(shè)法從測量結(jié)果中發(fā)現(xiàn)和鑒別而加以剔除外，重要的是要加強測量的工作責任心和嚴格的科學態(tài)度。此外，還要保證測量條件的穩(wěn)定。華北電力大學測量儀表-第二章測量誤差分析與處理共38頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!

【例】對某量進行15次等精度測量，測得值如下表所列，設(shè)這些測得值已消除了系統(tǒng)誤差，試判別該測量列中是否含有粗大誤差的測得值。

表2-11序號12345678910111213141520.4220.4320.4020.4320.4220.4320.3920.3020.4020.4320.4220.4120.3920.3920.40+0.016+0.026-0.004+0.026+0.016+0.026-0.014-0.104-0.004+0.026+0.016+0.006-0.014-0.014-0.0040.0002560.0006760.0000160.0006760.0002560.0006760.0001960.0108160.0000160.0006760.0002560.0000360.0001960.0001960.000016+0.009+0.019-0.011+0.019+0.009+0.019-0.021——-0.011+0.019+0.009-0.001-0.021-0.021-0.0110.0000810.0003610.0001210.0003610.0000810.0003610.000441——0.0001210.0003610.0000810.0000010.0004410.0004410.000121華北電力大學測量儀表-第二章測量誤差分析與處理共38頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!2．格拉布斯準則設(shè)對某量作多次等精度獨立測量，得到一測量列：x1，x2，…，xn。當xi服從正態(tài)分布時，計算得到將xi按大小順序排列成順序統(tǒng)計量華北電力大學測量儀表-第二章測量誤差分析與處理共38頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!按測得值的大小，順序排列得今有兩測得值，可懷疑，但由于故應(yīng)先懷疑是否含有粗大誤差，計算查表2-12得則故表2-11中第八個測得值含有粗大誤差，應(yīng)予剔除。剩下的14個數(shù)據(jù)，再重復(fù)上述步驟，判別是否含有粗大誤差。解：

故可判別不包含粗大誤差，而各皆小于1.18，故可認為其余測得值也不含粗大誤差。

還用上例測得值，試判別該測量列中的測得值是否含有粗大誤差。華北電力大學測量儀表-第二章測量誤差分析與處理共38頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!上式為間接測量中系統(tǒng)誤差的傳遞公式二、間接測量中隨機誤差的傳遞

華北電力大學測量儀表-第二章測量誤差分析與處理共38頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!三、誤差分配

常按下列步驟求解：1．按等作用原則分配誤差，即令。注意當有的誤差已經(jīng)確定而不能改變時，應(yīng)先從給定的允許總誤差中除掉，然后再對其余誤差項進行誤差分配。2．根據(jù)測量的難易程度，對各局部誤差進行調(diào)整，即對難以實現(xiàn)測量的誤差項適當擴大，對容易實現(xiàn)測量的誤差項盡可能縮小，而對其余誤差項不予調(diào)整。3．驗算調(diào)整后的總誤差。若計算的實際總誤差超出給定的允許誤差范圍，應(yīng)選擇可能縮小的誤差項再予縮小誤差；若實際總誤差較小，可適當擴大難以測量的誤差項的誤差。

華北電力大學測量儀表-第二章測量誤差分析與處理共38頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!第二節(jié)直接測量誤差的分析與處理

一、隨機誤差的分析與處理1.隨機誤差的定義和分布特點（1）定義

在相同的條件下對同一被測量進行多次重復(fù)測量，誤差的大小和符號的變化沒有一定規(guī)律，且不可預(yù)知，這類誤差稱為隨機誤差。隨機誤差是由很多暫時未能掌握或不便掌握的微小因素綜合作用的結(jié)果。

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μ和σ確定之后，正態(tài)分布就完全確定了。正態(tài)分布密度函數(shù)的曲線如圖所示。從該曲線可以看出，正態(tài)分布很好地反映了隨機誤差的分布規(guī)律。華北電力大學測量儀表-第二章測量誤差分析與處理共38頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!均方根誤差σ

均方根誤差的定義式為

可以證明，均方根誤差的估計值計算公式為：

華北電力大學測量儀表-第二章測量誤差分析與處理共38頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!隨機誤差的工程計算隨機誤差出現(xiàn)的性質(zhì)決定了人們不可能準確地獲得單個測量值的真誤差的值。我們所能做的只能是在一定的概率意義下估計隨機誤差數(shù)值的范圍，或者求得隨機誤差出現(xiàn)在給定區(qū)間的概率。對于服從正態(tài)分布的測量誤差，出現(xiàn)于區(qū)間內(nèi)的概率為

考慮到正態(tài)分布密度函數(shù)的對稱性，出現(xiàn)于區(qū)間的概率為

華北電力大學測量儀表-第二章測量誤差分析與處理共38頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁![例2-1]計算z分別等于1、2、3時對應(yīng)的置信概率P。解：如圖所示，當z=1時，區(qū)間為[-σ，σ]，此時當z=2時，區(qū)間為[-2σ，2σ]，此時當z=3時，區(qū)間為[-3σ，3σ]，此時華北電力大學測量儀表-第二章測量誤差分析與處理共38頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!測量結(jié)果的表示方法若以單次測量值表示測量結(jié)果X，有X=單次測量值±置信區(qū)間半長(P=置信概率)例如：X=單次測量值±3(P=99.73％)X=單次測量值±2(P=95.45％)若以算術(shù)平均值表示測量結(jié)果X，有X=算術(shù)平均值±置信區(qū)間半長(P=置信概率)例如：X=±3(P=99.73％)X=±2(P=95.45％)華北電力大學測量儀表-第二章測量誤差分析與處理共38頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!

[例2-2]對某量進行6次測量，測得數(shù)據(jù)為：802.40、802.50、802.38、802.48、802.42、802.46，試給出測量結(jié)果的最佳表達式（要求測量結(jié)果的置信概率為99％）解：因為是小子樣，采用t分布置信系數(shù)來估計置信區(qū)間。（1）求平均值（2）求的標準誤差估計值

華北電力大學測量儀表-第二章測量誤差分析與處理共38頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!二、系統(tǒng)誤差的分析與處理系統(tǒng)誤差的定義與分類

在同一條件下，多次測量同一量值時，誤差的大小和符號或者保持不變，或者按一定的規(guī)律變化，這類誤差稱為系統(tǒng)誤差。前者稱為恒值系統(tǒng)誤差，后者稱為變值系統(tǒng)誤差。在變值系統(tǒng)誤差中，又可按誤差變化規(guī)律的不同分為累進系統(tǒng)誤差、周期性系統(tǒng)誤差和按復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。華北電力大學測量儀表-第二章測量誤差分析與處理共38頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!3.系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法（1）實驗對比法實驗對比法是改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件，進行不同條件的測量，以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。這種方法適用于發(fā)現(xiàn)不變的系統(tǒng)誤差（2）殘余誤差觀察法華北電力大學測量儀表-第二章測量誤差分析與處理共38頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!（3）殘余誤差校核法

（a）馬利科夫準則將測得值按測量的先后順序列出，計算出全部殘余誤差，用前一半測得值的殘余誤差之和減去后一半測得值的殘余誤差之和，若差值顯著不為零，則可判斷測量結(jié)果中存在累進系統(tǒng)誤差。則有理由認為測量列存在線性系統(tǒng)誤差。(當n為偶數(shù)，取K=n/2；n為奇數(shù)，取K=(n+1)/2)華北電力大學測量儀表-第二章測量誤差分析與處理共38頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!4.系統(tǒng)誤差的一般處理原則

（1）從產(chǎn)生誤差根源上消除誤差用排除誤差源的方法消除系統(tǒng)誤差是最理想的方法。它要求測量人員，對測量過程中可能產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的各個環(huán)節(jié)作仔細分析，并在正式測試前就將誤差從產(chǎn)生根源上加以消除或減弱到可忽略的程度。由于具體條件不同，在分析查找誤差源時，并無一成不變的方法，但以下幾方面是應(yīng)予考慮的：①所用基準件、標準件（如量塊、刻尺等）是否準確可靠；②所用量具儀器是否處于正常工作狀態(tài)，是否經(jīng)過檢定，并有有效周期的檢定證書；③儀器的調(diào)整、測件的安裝定位和支承裝卡是否正確合理；④所采用的測量方法和計算方法是否正確，有無理論誤差；⑤測量的環(huán)境條件是否符合規(guī)定要求，如溫度、振動、塵污、氣流等；⑥注意避免測量人員帶入主觀誤差如視差、視力疲勞、注意力不集中等。華北電力大學測量儀表-第二章測量誤差分析與處理共38頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁!(b)采用對稱觀測法可消除累進系統(tǒng)誤差。(c)采用半周期法，可以很好地消除周期性系統(tǒng)誤差。對周期性誤差，可以相隔半個周期進行兩次測量，取兩次讀數(shù)平均值，即可有效地消除周期性系統(tǒng)誤差。例如儀器度盤安裝偏心、測微表針回轉(zhuǎn)中心與刻度盤中心的偏心等引起的周期性誤差，皆可用半周期法予以剔除。

華北電力大學測量儀表-第二章測量誤差分析與處理共38頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁!2.判別粗大誤差的準則

(1)3準則（萊伊特準則）如果在測量列中，發(fā)現(xiàn)有大于3的殘余誤差的測得值，即則可以認為它含有粗大誤差，應(yīng)予以剔除。

實際使用時，標準誤差取其估計值，且按萊伊特準則剔除含有粗差的壞值后，應(yīng)重新計算新測量列的算術(shù)平均值及標準誤差，判定在余下的數(shù)據(jù)中是否還有含粗大誤差的壞值。注意：該準則是最常用也是最簡單的判別粗大誤差的準則，它是以測量次數(shù)充分大為前提，但通常測量次數(shù)比較少，因此該準則只是一個近似的準則。在測量次數(shù)較少時，最好不要選用該準則。華北電力大學測量儀表-第二章測量誤差分析與處理共38頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁!由表可得根據(jù)準則，第八測得值的殘余誤差為：即它含有粗大誤差,故將此測得值剔除。再根據(jù)剩下的14個測得值重新計算，得：

由表知，剩下的14個測得值的殘余誤差均滿足,故可以認為這些測得值不再含有粗大誤差。華北電力大學