函數(shù)與方程函數(shù)的應用

第四講函數(shù)與方程、函數(shù)的應用1．二次函數(shù)1求二次函數(shù)在某段區(qū)間上的最值時，要利用好數(shù)形結(jié)合，特別是含參數(shù)的兩種類型：“定軸動區(qū)間，定區(qū)間動軸”的問題，抓住“三點一軸”，三點指的是區(qū)間兩個端點和區(qū)間中點，一軸指的是對稱軸．2注意三個“二次”的相互轉(zhuǎn)化解題3二次方程實根分布問題，抓住四點：“開口方向、判別式Δ、對稱軸位置、區(qū)間端點函數(shù)值正負．”2．函數(shù)與方程1函數(shù)的零點對于函數(shù)f，我們把使f＝0的實數(shù)叫做函數(shù)f的零點．2零點存在性定理如果函數(shù)＝f在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有fa·fbne，∴>1－eq\f1,2∵＝og52eq\f1,\r4＝eq\f1,2，∴eq\f1,20，fb＝b－cb－aa·fb1621時，f＝－－1＝2og2－1，－eq\f1,2令f＝0得og2＝eq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1\f1,2，由＝og2，＝eq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1\f1,2的圖象知在1，＋∞上有一個交點，即f在1，＋∞上有一個零點，故選B5．最新·遼寧已知函數(shù)f＝2－2a＋2＋a2，g＝－2＋2a－2－a2＋1＝ma{f，g}，H2＝min{f，g}ma{in{2a2a4a4a4a4a4a4a1－1，g＝＋eq\fe2,>0．1若g＝m有實根，求m的取值范圍；2確定m的取值范圍，使得g－f＝0有兩個相異實根．審題破題1g＝m有實根，可以分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值．2利用圖象，探究可能的不等關(guān)系，從而構(gòu)造關(guān)于m的不等式求解．解1∵g＝＋eq\fe2,≥2eq\re2＝2e，等號成立的條件是＝e故g的值域是[2e，＋∞，因而只需m≥2e，則g＝m就有實根．故m∈[2e，＋∞．2若g－f＝0有兩個相異的實根，即g＝f中函數(shù)g與f的圖象有兩個不同的交點，作出g＝＋eq\fe2,>0的大致圖象．∵f＝－2＋2e＋m－1＝－－e2＋m－1＋e2其對稱軸為＝e，開口向下，最大值為m－1＋e2故當m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1時，g與f有兩個交點，即g－f＝0有兩個相異實根．∴m的取值范圍是－e2＋2e＋1，＋∞．反思歸納解決由函數(shù)零點的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問題，關(guān)鍵是利用函數(shù)方程思想或數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式求解．變式訓練2已知函數(shù)f＝2a2＋2－＝f在區(qū)間[－1,1]上有零點，則實數(shù)a的取值范圍為______________．答案eq\b\c\[\rc\\a\v4\a\co1\f1,2，＋∞解析若a＝0，則f＝2－3，f＝0?＝eq\f3,2?[－1,1]，不合題意，故a≠0下面就a≠0分兩種情況討論：1當f－1·f1≤0時，f在[－1,1]上至少有一個零點，即2a－52a－1≤0，解得eq\f1,2≤a≤eq\f5,22當f－1·f1>0時，f在[－1,1]上有零點的條件是eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co1f\b\c\\rc\\a\v4\a\co1－\f1,2af1≤0，,－10，解得a>eq\f5,2綜上，實數(shù)a的取值范圍為eq\b\c\[\rc\\a\v4\a\co1\f1,2，＋∞題型三函數(shù)模型及其應用例3為方便游客出行，某旅游點有50輛自行車供租賃使用，管理這些自行車的費用是每日115元．根據(jù)經(jīng)驗，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超過6元，則每超過1元，租不出的自行車就增加3輛．為了便于結(jié)算，每輛自行車的日租金元只取整數(shù)，并且要求出租自行車一日的收入必須高于這一日的管理費用，用元表示出租自行車的日凈收入即一日出租自行車的總收入減去管理費用后的所得．1求函數(shù)＝f的解析式及其定義域；2試問當每輛自行車的日租金為多少元時，才能使一日的凈收入最多審題破題f為分段函數(shù)，要分≤6和>6兩種情況分別尋求函數(shù)關(guān)系，應為整數(shù)．解1當≤6時，＝50－115令50－115>0，解得>∵∈N*，∴≥3，∴3≤≤6，∈N*當>6時，＝[50－3－6]－115，令[50－3－6]－115>0,32－68＋115185，∴當每輛自行車的日租金定在11元時，才能使一日的凈收入最多．反思歸納解應用題首先要正確理解題意，將實際問題化為數(shù)學問題，再利用數(shù)學知識如函數(shù)、導數(shù)、不等式解決數(shù)學問題，最后回歸到實際問題的解決上．變式訓練3里氏震級M的計算公式為：M＝gA－gA0，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應的標準地震的振幅．假設在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1000，此時標準地震的振幅為，則此次地震的震級為________級；9級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的________倍．答案610000解析由M＝gA－gA0知，M＝g1000－g＝3－－3＝6，∴此次地震的震級為6級．設9級地震的最大振幅為A1,5級地震的最大振幅為A2，則geq\fA1,A2＝gA1－gA2＝gA1－gA0－gA2－gA0＝9－5＝4∴eq\fA1,A2＝104＝10000，∴9級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的10000倍．典例12分省環(huán)保研究所對市中心每天環(huán)境放射性污染情況進行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)f與時刻時的關(guān)系為f＝eq\b\c\|\rc\|\a\v4\a\co1\f,2＋1－a＋2a＋eq\f2,3，∈[0,24]，其中a是與氣象有關(guān)的參數(shù)，且a∈eq\b\c\[\rc\]\a\v4\a\co10，\f1,2，若用每天f的最大值為當天的綜合放射性污染指數(shù)，并記作Ma．1令t＝eq\f,2＋1，∈[0,24]，求t的取值范圍；2省政府規(guī)定，每天的綜合放射性污染指數(shù)不得超過2，試問目前市中心的綜合放射性污染指數(shù)是否超標規(guī)范解答解1當＝0時，t＝0；[1分]當02a3aeq\f1,21eq\f1,2eq\f1,220，,－2－2，≤0，則關(guān)于的函數(shù)＝2f2－3f＋1的零點的個數(shù)為________．eq\f1,2eq\f1,2eq\f1,2答案7解析由＝2f2－3f＋1＝f＝eq\f1,2或f＝1，如圖畫出f的圖象，由f＝eq\f1,2知有4個根，由f＝1知有3個根，故共有7個零點．5．已知函數(shù)f＝eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co1\f2,，≥2，,－13，0，所以根據(jù)零點存在性定理可知函數(shù)的零點所在的區(qū)間是0,1，選D2．已知函數(shù)f＝a＋－b的零點0∈n，n＋1n∈Z，其中常數(shù)a，b滿足2a＝3,3b＝2，則nA．－2B．－1C．0D．答案B解析a＝og23>1，b＝og3230時，f＝eq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1\f1,5－og3是減函數(shù)，又0是方程f＝0的根，即f0＝0∴當0f0＝05．設函數(shù)＝f在R上有意義，對于給定的正數(shù)M，定義函數(shù)fM＝eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co1f，f≤M,M，f>M，則稱函數(shù)fM為f的“孿生函數(shù)”．若給定函數(shù)f＝2－2，M＝1，則fM0的值為A．2B．1\r2D．－eq\r2答案B解析由題意，當f＝2－2≤1，即≤－1或≥1時，fM＝2－2當－12261恰有3個不同的實數(shù)根，則a的取值范圍是________．22答案eq\r3,4，2解析由f－2＝f＋2，知f是周期為4的周期函數(shù)，于是可得f在－2,6]上的草圖如圖中實線所示，而函數(shù)g＝oga＋2a>1的圖象如圖中虛線所示，結(jié)合圖象可知，要使得方程f－oga＋2＝0a>1在區(qū)間－2,6]內(nèi)恰有3個不同的實數(shù)根，必需且只需eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co1g23所以eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co1oga43解得eq\r3,42.5米2.5米2.5米2.5米100平方米0，則方程a－1