數學-課程導學第七章第二節(jié)

第二節(jié)

空間幾何體的表面積與體積了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式．要點梳理·基礎落實考綱點擊柱、錐、臺和球的側面積和體積知識掃描Shπr2hπrlπ(r1＋r2)lChSh4πR2

[辨析]如何求不規(guī)則幾何體的體積？提示可以將不規(guī)則幾何體“分割”成若干個規(guī)則的幾何體求體積，即所謂的“分割法”求不規(guī)則幾何體的體積，也可以給不規(guī)則幾何體“補上”一個規(guī)則的幾何體使“補”后的幾何體變成規(guī)則幾何體求解．1．(2014·陜西)將邊長為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉軸旋轉一周，所得幾何體的側面積是A．4π

B．3π

C．2π

D．π解析由題意可知，旋轉體是一個底面半徑為1，高為1的圓柱，故其側面積為2π×1×1＝2π.答案C小題熱身3．表面積為3π的圓錐，它的側面展開圖是一個半圓，則該圓錐的底面直徑為________．解析設圓錐的母線為l，圓錐底面半徑為r，則πrl＋πr2＝3π，πl(wèi)＝2πr，解得r＝1，即直徑為2.答案24．已知正三棱柱的底面正三角形邊長為2，側棱長為3，則它的體積V＝________．5．某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為________．(1)(2015·三明模擬)已知矩形的周長為36，矩形繞它的一條邊旋轉形成一個圓柱，則旋轉形成的圓柱的側面積的最大值為________．考點突破·規(guī)律總結考點一幾何體的表面積例1【答案】

162π(2)(2014·浙江)幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的表面積是A．90cm2

B．129cm2

C．132cm2

D．138cm2【答案】

D[規(guī)律方法]

幾何體表面積的求法(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關鍵是能夠對給出的三視圖進行恰當的分析，從三視圖中發(fā)現幾何體中各元素間的位置關系及數量關系．(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積應注意重合部分的處理．(3)圓柱、圓錐、圓臺的側面是曲面，計算側面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而表面積是側面積與底面圓的面積之和．1．(2014·常德期末)若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是A．60

B．54

C．48

D．24◎變式訓練答案A考點二幾何體的體積例2【答案】

C【解析】

如圖，該長方體的底面邊長為2，高為3，點B、C、D分別為對應棱的中點，沿著平行四邊形ABCD切割該長方體，顯然被切割的部分占上面正方體的一半，所以剩余的部分體積為8.【答案】D[規(guī)律方法]

求幾何體體積的類型及思路(1)若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進行求解；(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉換法、分割法、補形法等方法進行求解．(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應先根據三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據條件求解．2．(2014·菏澤模擬)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為◎變式訓練答案C考點三多面體與球的切、接問題例3【解析】

如圖：∵球心O在AB上，PO⊥平面ABC，∴AB為球的直徑．△ABC在球大圓上，∴AC⊥BC.設球半徑為R，則PO＝OA＝OB＝OC＝R.又∵AB＝2AC，【答案】

D(2)(2014·長春模擬)若圓錐的內切球與外接球的球心重合，且內切球的半徑為1，則圓錐的體積為________．[規(guī)律方法]

解決與球有關的切、接問題的方法(1)一般要過球心及多面體中的特殊點或過線作截面將空間問題轉化為平面問題，從而尋找?guī)缀误w各元素之間的關系．(2)若球面上四點P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側棱兩兩垂直，可構造長方體或正方體確定直徑解決外接問題．3．(2014·黃岡模擬)一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是正三角形，則幾何體的外接球的表面積為◎變式訓練答案D創(chuàng)新設計·素能培優(yōu)[解題模型構建]

8.利用等體積法求空間

幾何體的體積(2014·福建)如圖，三棱錐A－BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.(1)求證：CD⊥平面ABD；(2)若AB＝BD＝CD＝1，M為AD中點，求三棱錐A－MBC的體積．典例【審題】

①信息搜集：底面為直角三角形的三棱錐，有一條側棱垂直于底面三角形，要求證明線面垂直并求三棱錐A－MBC的體積．②信息處理：要證線面垂直，需證線線垂直，所給條件中已經存在一個線線垂直，另外一個可通過線面垂直得到，第(2)要求三棱錐A－MBC的體積，直接求底面MBC上的高比較困難，可以利用第(1)問的結論求出底面ABM上的高，即可轉換頂點求體積．解析(1)證明∵PC⊥BC，PC⊥AB，又AB∩BC＝B，∴PC⊥平面