整體思考的優(yōu)越性

整體思考的優(yōu)越性——以20以內(nèi)的進位加和退位減為例摘要：學(xué)得多比學(xué)得少有時候更容易，這看起來是矛盾的，卻是教學(xué)的辯證法。辯證法的一個基本觀點是，事物是普遍聯(lián)系的，事物的發(fā)展變化是有規(guī)律的。小學(xué)數(shù)學(xué)中也普遍體現(xiàn)了這一點，20以內(nèi)的進位加和退位減就是其中的典型例子。如果整體思考，抓住其中的聯(lián)系，找出其中的規(guī)律，就可以使我們的教學(xué)變得簡單而有趣。用整體的觀點和聯(lián)系的觀點思考問題，是重要的數(shù)學(xué)思維方法。關(guān)鍵詞：整體思考；聯(lián)系的觀點；20以內(nèi)的進位加和退位減學(xué)得多比學(xué)得少有時候更容易，這看起來是矛盾的，卻是教學(xué)的辯證法。例如常用的公制長度單位有毫米、厘米、分米和米，如果整體學(xué)習(xí)，是非常有規(guī)律的：1米＝10分米，1分米＝10厘米，1厘米＝10毫米。并且其進率與自然數(shù)的進率相同，很容易相互類比，溫故知新。如果首先抽出厘米和米兩個單位來學(xué)習(xí)，就破壞了這一規(guī)律，既不易記憶，又失去了美感，也不能與記數(shù)法作類比。辯證法的一個基本觀點是，事物是普遍聯(lián)系的，事物的發(fā)展變化是有規(guī)律的。小學(xué)數(shù)學(xué)中也普遍體現(xiàn)了這一點，20以內(nèi)的進位加和退位減就是其中的典型例子。如果整體思考，抓住其中的聯(lián)系，找出其中的規(guī)律，就可以使我們的教學(xué)變得簡單而有趣。這兩個內(nèi)容都是小學(xué)數(shù)學(xué)中的難點，為了突破難點，教材采用了“小步子、多重復(fù)”的策略，分步學(xué)習(xí)。20以內(nèi)的進位加法分成9加幾，8、7、6加幾，5、4、3、2加幾三步；20以內(nèi)的退位減法分成十幾減9，十幾減8、7、6，十幾減5、4、3、2三步。這樣雖然是由易到難，穩(wěn)步推進，卻掩蓋了其中的規(guī)律。20以內(nèi)的進位加法這一單元的“整理與復(fù)習(xí)”的第1題，要求學(xué)生寫出20以內(nèi)的所有進位加法算式并進行整理。題目中列出了以下的表：9＋28＋37＋46＋55＋64＋73＋82＋99＋38＋47＋56＋69＋48＋57＋69＋58＋67＋79＋68＋77＋89＋78＋89＋88＋99＋9要求學(xué)生把表中的空格填滿。這張表由于只有加數(shù)沒有和，就體現(xiàn)不出加數(shù)與和的關(guān)系。如果我們把每一個算式都填完整，情形就完全不同了：表120以內(nèi)的進位加法表9＋2＝118＋3＝117＋4＝116＋5＝115＋6＝114＋7＝113＋8＝112＋9＝119＋3＝128＋4＝127＋5＝126＋6＝125＋7＝124＋8＝123＋9＝129＋4＝138＋5＝137＋6＝136＋7＝135＋8＝134＋9＝139＋5＝148＋6＝147＋7＝146＋8＝145＋9＝149＋6＝158＋7＝157＋8＝156＋9＝159＋7＝168＋8＝167＋9＝169＋8＝178＋9＝179＋9＝18由于整體思考，有序排列，這張表中出現(xiàn)了很強的規(guī)律性：所有的和都是11～18的數(shù)，因此只需確定和的個位即可；2．9加2，和的個位是1，9加3，和的個位是2，……，9加幾，和的個位就是幾減1；3．8加3，和的個位是1，8加4，和的個位是2，……，8加幾，和的個位就是幾減2；4．7加幾，6加幾，……以此類推；5．1是9的補數(shù)，2是8的補數(shù)……，減去的數(shù)總是第一個加數(shù)的補數(shù)。這些規(guī)律至少可以帶來兩個大好處，一是便于記憶，二是能激發(fā)興趣。產(chǎn)生這些規(guī)律的原因很簡單：這些和中最大的是9＋9＝18，最小的是9＋2＝11，所以所有的和都是11～18的數(shù)；2．用“湊10法”做這些加法，首先要從第二個加數(shù)中分出一個數(shù)與第一個加數(shù)湊成10，剩下的就是和的個位。例如8加5要先從5中分出2，與8湊成10，因此將5減去2，就得到和的個位3，而減去的數(shù)2就是8的補數(shù)。由此我們可以對20以內(nèi)的進位加的教學(xué)作出以下設(shè)計：1．用實例引入20以內(nèi)的進位加法。我國的數(shù)學(xué)課程標準（最新年版）要求培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，使學(xué)生“認識到生活中蘊含著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題，這些問題可以抽象成數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)的方法加以解決?！盵1]7小學(xué)數(shù)學(xué)教材也指出：“數(shù)學(xué)就在你身邊?！痹鯓幼龅竭@一點呢首先要求我們在學(xué)習(xí)計算前，應(yīng)從生活實例中引入計算。這些實例應(yīng)滿足兩個條件：（1）為兒童所熟悉。有些例子雖然是生活中存在的，也具有趣味性，但是兒童很少見到，就達不到這一目的。例如小學(xué)數(shù)學(xué)教材中常常用熊貓、天鵝、企鵝、猴子等動物作例子，而這些動物兒童一般只在動物園見到，他們就感受不到“數(shù)學(xué)就在身邊”。（2）例子中的問題是兒童需要解決的。有的實例雖然就在兒童身邊，但其中的問題不是兒童需要解決的，也不能激發(fā)兒童的學(xué)習(xí)動機。例如我們可以就商店賣洗衣機這一情境編一道應(yīng)用題，洗衣機是兒童熟悉的，但是賣洗衣機不是兒童需要解決的問題，他們也不會感興趣。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中有很多這類的例子：畫一幅小動物圖，配上文字：左邊有□只，右邊有□只。一共有只。這些小動物雖然為兒童所喜愛，但這個問題是生活中沒有的，兒童不需要解決這類問題。下面的問題則基本上能滿足這兩個條件：（1）學(xué)校舉行跑步比賽，小強取得第九名，小亮的名次比小強低兩個，小亮得了第幾名（2）電梯從一樓開始，先上了8層樓，接著又上了5層樓，現(xiàn)在電梯在第幾層樓（3）小明今年7歲，大牛比小明大4歲，大牛今年多少歲（4）鉛筆每盒6元，鋼筆每支9元，小紅要買一盒鉛筆和一支鋼筆，共需要多少錢（5）一（乙）班第一組有6名男生、5名女生，這一組共有多少名學(xué)生頭兩道題都涉及序數(shù)。序數(shù)在實踐中有廣泛的運用，但是教材中涉及序數(shù)的題很少。2．讓學(xué)生列出算式，并利用小棒自主計算這些題。先個人獨立做，之后進行小組交流：對不同的答案進行討論，每組確定一份最好的答案交給老師。最后，如有不同的答案，教師提出來供全班討論。3．列表計算。將所有20以內(nèi)的進位加法列成以下的表：表220以內(nèi)的進位加法算式表9＋2＝8＋3＝7＋4＝6＋5＝5＋6＝4＋7＝3＋8＝2＋9＝9＋3＝8＋4＝7＋5＝6＋6＝5＋7＝4＋8＝3＋9＝9＋4＝8＋5＝7＋6＝6＋7＝5＋8＝4＋9＝9＋5＝8＋6＝7＋7＝6＋8＝5＋9＝9＋6＝8＋7＝7＋8＝6＋9＝9＋7＝8＋8＝7＋9＝9＋8＝8＋9＝9＋9＝讓學(xué)生算出表中的每一道題，活動的過程與第二步相同。4．找規(guī)律。出示表1，讓學(xué)生找出表中的規(guī)律。先個人獨立做，再將個人的發(fā)現(xiàn)在小組中交流。最后教師指定一組派代表向全班匯報，其他組補充。教學(xué)結(jié)束后可將這張表貼在教室里，讓學(xué)生無意中經(jīng)?？吹健ｏ@然，20以內(nèi)的退位減法的教學(xué)步驟與此完全類似。首先仍然要用實例引入，例如：（1）學(xué)校舉行數(shù)學(xué)比賽，小強取得11名，小亮的名次比小強高兩個，小亮得了第幾名（2）小明與小紅住在同一個單元，小明住在二樓，小紅住在11樓，從小明家到小紅家要上幾層樓（3）昨天的最高氣溫是14℃，今天的最高氣溫是8℃，今天的最高氣溫比昨天低幾度（4）公共汽車到站時下了4人，上了12人，車上的人是多了還是少了多了或少了幾人（5）東東把零用錢存起來準備買一本15元的書，他已經(jīng)存了9元，還差幾元退位減法的計算比進位加法要困難些，教材介紹了兩種方法。以15－9為例，一是把被減數(shù)分成10和5，用10減去9得1，再將1加5就得差是6。二是利用加減的互逆關(guān)系得出差：因為9＋6＝15，所以15－9＝6。通常叫做“想加法，做減法”。第二種方法可以使學(xué)生理解加減法之間的關(guān)系，并培養(yǎng)他們的逆向思維能力。計算教學(xué)不僅要讓學(xué)生會算，通過計算培養(yǎng)思維能力更重要，因此這種方法更具有數(shù)學(xué)教育意義。美國數(shù)學(xué)教學(xué)法專家W·海敦斯教授指出：“逆運算概念是基本數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的一個重要概念，它對理解初等數(shù)學(xué)是必須的。”[2]154因此，選擇第二種方法更有意義。但是教學(xué)實踐表明，一年級的兒童理解這種互逆關(guān)系比較困難。要突破這一難點，首先必須使兒童明白加減的互逆關(guān)系。只有明白這種關(guān)系才能學(xué)會這種算法；而只要明白了這種關(guān)系，算法就會水到渠成，順理成章。怎樣使兒童明白這種關(guān)系呢事實證明，靠教師講解、畫圖甚至用實物演示，都收效甚微。在實踐中我們認識到，必須讓兒童通過主動的操作活動來領(lǐng)悟這一點。為此我們設(shè)計了以下兩個操作活動：活動一湊數(shù)游戲同座二人玩，每人準備幾十根小棒（或扣子、圍棋子等）。首先雙方約定一個要湊的數(shù)（教師要求最好是十幾），比如15。然后由甲方拿出幾根小棒（少于15根）擺在課桌上；再由乙方出小棒，所出小棒與桌上的小棒加起來要恰好等于15。如果出對了，那么桌上的小棒都歸乙；出錯了則桌上的小棒都歸甲?；顒佣聰?shù)游戲也是同座二人用小棒玩。首先拿出十幾根小棒擺在桌上，接著甲從中拿走若干根，但不讓乙看見是幾根；然后乙要根據(jù)桌上剩下的小棒猜出甲拿走了幾根。猜對了，則剩下的小棒都歸乙；猜錯了，就都歸甲。這兩個活動取得了良好的效果，通過活動，孩子們都明白了加減法的互逆關(guān)系。這時再來做退位減法，就能順利地按“想加法，做減法”的方法得出結(jié)果了。那么為什么老師用各種教法都無效，采用這種讓學(xué)生自己操作的活動就收到了良好效果呢原因是這種學(xué)習(xí)方式符合兒童的認識水平和思維特點。用實物進行的操作活動是看得見、摸得著的，具體性強，而具體性越強兒童就越容易理解。小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)材料，其具體性可以分為四個水平：1．具體水平：實物操作。例如前面兩個用小棒的操作活動就屬于具體水平。需要注意的是，教師用實物演示給學(xué)生看并不屬于具體水平，因為在數(shù)學(xué)的認知活動中，操作過程本身起著很大的作用。2．半具體水平：象形的圖。例如小學(xué)數(shù)學(xué)教材中廣泛采用的水果圖、人物圖等。3．半抽象水平。圖形代碼或?qū)嵨锎a。例如畫一個圓圈代表一個人，用一個小石子代表一頭小鹿，等等。與半具體水平不同的是，這里的圖不象形，具有更大的普遍性，因此也更抽象。4．抽象水平：符號。例如數(shù)字、運算符號、字母等。這些材料已脫離了具體事物，完全形式化了。根據(jù)皮亞杰的研究，小學(xué)兒童的思維處于“具體運算階段”，所以小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從具體水平開始，而不能用圖形、演示或多媒體課件來代替學(xué)生的實物操作。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的大量問題都是因為沒有從具體水平開始教學(xué)而引起的。這一點，W·海敦斯在《美國現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)》中曾多次強調(diào)。之后學(xué)生通過計算得出了以下的表：表320以內(nèi)的退位減法表11－9＝211－8＝311－7＝411－6＝511－5＝611－4＝711－3＝811－2＝912－9＝312－8＝412－7＝512－6＝612－5＝712－4＝812－3＝913－9＝413－8＝513－7＝613－6＝713－5＝813－4＝914－9＝514－8＝614－7＝714－6＝814－5＝915－9＝615－8＝715－7＝815－6＝916－9＝716－8＝816－7＝917－9＝817－8＝918－9＝9讓學(xué)生觀察這張表，可以發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：（1）十幾減9的差比被減數(shù)的個位大1，十幾減8的差比被減數(shù)的個位大2，十幾減7的差比被減數(shù)的個位大3……十幾減2的差比被減數(shù)的個位大8；（2）被減數(shù)的個位加上減數(shù)的補數(shù)就得到差，例如13－6的差是3加6的補數(shù)4，即7。這兩條規(guī)律都可以用第一種計算方法來說明。掌握了這兩條規(guī)律，就可以很快地寫出表3中任意一道減法的差。這張表也應(yīng)該貼在教室里，讓孩子們經(jīng)?？吹?。這些規(guī)律為20以內(nèi)的退位減法提供了一種迅速、準確，普遍適用又簡單易記的求差方法。這一方法是依靠把所有20以內(nèi)的退位減法按一定的順序排列起來而發(fā)現(xiàn)的，如果我們單個地或分開來教學(xué)，就不容易看出其中的規(guī)律。其實，用整體的觀點和聯(lián)系的觀點思考問題，是重要的數(shù)學(xué)思維方法。綜合以上的教學(xué)實踐和理論分析可知，20以內(nèi)的退位減法應(yīng)按以下步驟來教學(xué)：由實例引入20以內(nèi)的退位減法。2．通過前面的活動一和活動二，學(xué)習(xí)用“想加法，做減法”的方法計算20以內(nèi)的退位減法。3．列出20以內(nèi)的所有退位減法，排列成有序的表，得出前面的表1。4．用“想加法，做減法”的方法計算出表1的所有減法，填上差，得到表2。5．觀察表2，找出其中的規(guī)律。運用第二種算法討論、分析為什么會有這樣的規(guī)律，得出計算20以內(nèi)的退位減法的簡便算法。6．進行多種形式的鞏固練習(xí)。按這樣的步驟教學(xué)，既能培養(yǎng)學(xué)生快速、準確的計算能力，又能使他們理解加減運算