高等數(shù)學(xué)上-1 -4極限運(yùn)算法則新

第四節(jié)極限的運(yùn)算法則無窮小與無窮大極限的運(yùn)算法則小結(jié)思考題一、無窮小1.定義:極限為零的變量稱為無窮小.例如,注意1.無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;2.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).2.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:證必要性充分性意義1.將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小);3.無窮小的運(yùn)算性質(zhì):定理1(1)在同一變化過程中,有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.證注意

無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.如：解先變形再求極限.定理1(2)有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.證都是無窮小注意：無窮小的商未必是無窮小.推論

(1)同一變化過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小(2)常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.(3)有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小.

如以上定理和推論可以簡(jiǎn)記為：二、無窮大*絕對(duì)值無限增大的變量稱為無窮大.特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大．注意1.無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;3.無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.如數(shù)列2、無窮大的運(yùn)算性質(zhì)不是無窮大．證無窮大幾何意義：鉛直漸近線

(verticalasympotote)三、無窮小與無窮大的關(guān)系推論（1）在同一變化過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;

（2）恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.四、極限運(yùn)算法則定理證由無窮小運(yùn)算法則,得推論1常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.推論2有界，五、求極限方法舉例例1解小結(jié):解商的法則不能用例2例3例4解(無窮小因子分出法)小結(jié):無窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無窮小,然后再求極限.例5解先變形再求極限.例6解例6(2)解例6(3)解(分母或分子有理化)解解復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則定理3（復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則）意義1.極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換;例1解六、小結(jié)1、主要內(nèi)容:兩個(gè)定義;四個(gè)定理;三個(gè)推論.2、幾點(diǎn)注意:無窮小與無窮大是相對(duì)于過程而言的.（1）無窮小（大）是變量,不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；（2）無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小.（3）無界變量未必是無窮大.六、小結(jié)1.極限的四則運(yùn)算法則及其推論;2.極限求法;a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.思考題

在某個(gè)過程中，若有極限，無極限，那么是否有極限？為什么？思考題解答沒有極限．假設(shè)有極限，有極限