2021年中考數(shù)學(xué)分析資料-隱圓最值模型

2021 年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料隱圓最值模型與訓(xùn)練題隱氏圓模型題訓(xùn)練1

在AABCrrr

AB2AC

50

rio,M0=2,zO=90°,AABC的面積的最大值為 。

Q0

v則PQ+fQMr的最小值為:2的最小值為:2?如圖，AABCAC=6BC=8AB=10,圓C的4,點(diǎn)D是圓C上一動點(diǎn)連接ADBD,貝

6?如圖，四邊形ABCD是邊長為4的正方形,圓BB2P是圓B上一動點(diǎn)則厲PD+4PC的晟小值為 3?如圖，在RtZXABC中.zACB=90°,AC=4,BC=3,點(diǎn)D是AABC內(nèi)一動點(diǎn).且滿足CD=2,74的正方形的內(nèi)切圓記為圓0 P0上一動點(diǎn),則QPA+PB的最小值4?如圖，已知菱形ABCD的邊長為4,zB=60°,圓B2P為圓B上一動點(diǎn)，則PD+^PC的最

8?如圖，等邊AABC6,6P是圓O2PB+PC的最小值為。問題探究10ABCD中,點(diǎn)G是E、F分別是AB和CD接寫出四邊形BEFG四邊形BEFG的周長是否存在最小,如果存,請求出其最小,若不存在明理. Ar—~D/

問題解決（2）若鋪小路CE所用的石材每米的造價(jià)為a元?鋪小路DE2a邊形CODE，鋪設(shè)小路DECE的ar不是，請確定E的位宙使總造價(jià)最低，并求出最低造價(jià)（用含a的代數(shù)式表示）問題解決如圖，是街心花園的一角,在扇形AOBzAOB=90°#0A=12OA0B口C和D.AC=4m,DOB中點(diǎn),出口EAB在四邊形CODE

沿CE、DE，rE設(shè)在距M線OBCODE的面積顯大？？如圖.AB?O的直徑?且點(diǎn)「仔丫関匕OC6PF點(diǎn)作PEOC干點(diǎn)FMOPE?M半點(diǎn)P/?。的直徑，tL4"4?點(diǎn)COC6P（2j點(diǎn)臺）.過P點(diǎn)PE0C十點(diǎn)&*當(dāng)點(diǎn)PJ為』心；3“十；3“十?/畫此'gig4“"5I二舟?込厶述心隱圓最值模型解決隱圓最值模型問題的關(guān)鍵點(diǎn)在于：發(fā)現(xiàn)和確定動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡。-日?確左點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是一個圓，就可以利用點(diǎn)到圓上的最短、最長距離立理求解出最短或最長線段。下面我們來研究一下隱圓最值問題。隱圓最小線段、最大線段問題模型 頭篆號：數(shù)學(xué)頻逍求最值是常見的數(shù)學(xué)問題，幾何最值又是各地中考中的熱門話題?隨著直線型問題逐漸被我們熟悉，圓中的最值問題也走進(jìn)了我們的視野.圓中的最值問題多出現(xiàn)在動點(diǎn)軌跡圓中.即動點(diǎn)的軌跡是一個潛在的圓。然后在確定動點(diǎn)軌跡為圓后，可以依據(jù)點(diǎn)到圓上的聶小線段長度、最大線斷線長度來進(jìn)行線段最值得求解。隱圓最值問題從整體上劃分有一個基本模型，對應(yīng)兩個類型的題型。基本模型：點(diǎn)到圓上聶小距離、最大距藹問題?；绢}型；（1）定點(diǎn)定長定圓問題（2）定線定角定圓問題

沃條號「數(shù)學(xué)頻逍基本模型如圖12,平面內(nèi)有一定點(diǎn)月和一動點(diǎn)幾點(diǎn)P的運(yùn)動軌謹(jǐn)是圓0,連結(jié).40并延.分別交圓于從（兩.則朋為"的聶小仏M為〃的聶大值，即聶小值為彳％最大值為川0+半. 頭.條號：數(shù)學(xué)頻圖1 陽2類型1 定點(diǎn)定長定圓 頭條號；數(shù)學(xué)頻逍13,在中，厶CE=90。，Z.ABC50°,MXtAAC,0MN的中點(diǎn)，AC2P0,/V長度的最大值畏().t(A)2亦(B)2^3 (C)76 (D)3°?動軌跡.Q是RZ4NC于宦值，由圓的定義可以聯(lián)想到運(yùn)動軌建是圓.再結(jié)合基本模型，可以得出代?長度的聶大值為POC073,所以選D.例2 (2015年寧波考如圖4二次函數(shù)y=a+bx+c(a^O的圖象交x軸于心,0),3(4,0),交y軸于點(diǎn)C,過3,C?ia,并連結(jié)AC.求二次函數(shù)的解折式和直線BC9點(diǎn)廠長線段上的一點(diǎn)，過點(diǎn)FMBC內(nèi)接正方形DEFG便得邊QE9G在％上，GFV軸于點(diǎn)①求該正方形的邊長；

頭條號:數(shù)學(xué)頻道②將線段EF延長，交拋物線于點(diǎn)"，那么點(diǎn)F是/〃/的中點(diǎn)嗎?請說明理由.在(2)線段BF繞點(diǎn)(7??的中總請直接寫出線段"的最大值.E 頭條號；數(shù)學(xué)頻道4分析⑴二次函數(shù)解析式為"-護(hù)+詁+2直線解析式為y=-|x2⑵①％②不是；+本題中，O是定點(diǎn)，P畏動點(diǎn)，取眈K,連緒BF.PK+BF=+^K(2J)7PK為圓心，專忝OP的最大值為OK+瀘弋炳例3 (2016年寧波考綱〉如圖5,隹導(dǎo)廉RJMBC申，=BC=點(diǎn)p為萼屢類型2 定線定角定圓 頭篆號：數(shù)學(xué)頻逍RZBC所在平面內(nèi)一.且滿足巴1丄則P「的取值范圍為 .頭象號:數(shù)學(xué)頻道分析：根據(jù)條件可知線段M〃是定值.且川〃所對的張角厶是定值.根據(jù)同弧所對的圓周丸相等可知.動點(diǎn)"的運(yùn)動軌謚在過點(diǎn)4、B、卩三點(diǎn)的圓周上(不與久n頭象號:數(shù)學(xué)頻道又因?yàn)樯隙?0°.所以皿恰好是直徑。連結(jié)(0并延長交圓。分別為人■故"最小，最大，所以尸c的取值范圖為石一1SPCS般十I4(20136,F/依(7)的邊AEH連結(jié)心交〃。于點(diǎn)s連結(jié)處交處于點(diǎn)〃。若正方形的邊長為乙分析：衽確定動點(diǎn)〃的軌跡時，需要我們先去證明厶〃—9(TMBEMJCF,得到少CFMBE由正方形對稱性可知^AGMXG/DCF所以HBE、尸D的軌跡是M心，￡曲為半徑的￡圓，連接仞，M75-1.5(20167,003.RZBC的頂點(diǎn)R,B在G)O上.ZB=點(diǎn)G在0。內(nèi)，且lanJ=|,當(dāng)點(diǎn)?4在圓上運(yùn)動時，O「的最小值為( 〉4⑷ 42 (B) | (0幕 (D>|D分析：。是定點(diǎn).「是動點(diǎn)，確定點(diǎn)c的運(yùn)動軌跡是本題的難點(diǎn)?延長?"?交圓于點(diǎn)并延長，交圓于點(diǎn)F,連結(jié). 頭條號；數(shù)學(xué)頻道因?yàn)閠an/f=^,所以ZJO為定值，即ZBCfi為定值.4因?yàn)?0半徑為3. =S所肋二符合定線定角定圓這種類.故點(diǎn)C?的動軌跡是過叢c,E三點(diǎn)的圓弧且在Oo內(nèi).不妨設(shè)圓心為a,0,0.0因?yàn)閆^C￡+ZD=180°,ZOt=ZD所以乙BCE+g=180°易得ZO、=ZACB=ZFEB所以為tanq因()上丄0.04 4所以最小值為OQ-OiE=ge*2，點(diǎn)P是啊e*2，點(diǎn)P是啊c1 一網(wǎng)二￡輕二厲頂點(diǎn)〃在射線OD上移.厶OD=30J則頂點(diǎn)「到原點(diǎn)O的最大距離為 頭條號:數(shù)學(xué)頻道（兒動點(diǎn)是點(diǎn)C,盡管934頭條號:數(shù)學(xué)頻道不妨換個角度來希問思，正難則反，把正2BC看咸是不動的，此時平面直角坐標(biāo)系在動,原點(diǎn)O在運(yùn)動時滿足ZAOB=30°,而ZAOD?也是不變的，符合定線定角定QDO4B.O三點(diǎn)的圓?。ㄉ希?，取圓心E,連結(jié)Q.EB因?yàn)閆AOB30°所以ZJ￡B=60。9 t22連緒陽并延長，交圓子點(diǎn)O,此時co聶大，最大值為CE+半徑=2、廳+2從上面的幾個例子中可以發(fā)現(xiàn)，模型中難度叔大的就是如何判斷動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是一個圓.盡管不外乎利用定點(diǎn)定長和定線定角來定圓這兩種類型，但在實(shí)際的解題過程中，會遇到各種困難，這時就需要我們利用題目的巳知條件，挖掘潘在的結(jié)論，把隱藏在里面的圓還原出來.深度剖析一類隱含圓的動點(diǎn)問題挖掘隱含條件破解動點(diǎn)問題一、動點(diǎn)問題中可構(gòu)建圓的基本結(jié)論“定線定角”隱藏著外接圓1,已知線段AB1,點(diǎn)C是直線AB上方的一個動點(diǎn)，ZACB=30°,動點(diǎn)C的路徑是什么？想一想:在直線AB上方找這樣的點(diǎn)C,能找到多少個?把這些點(diǎn)連起來成的圖形是怎樣的圖形？通過思考可知，在直線AB上方可以找到無數(shù)個點(diǎn)C,耙這些點(diǎn)連結(jié)起來是一條圓弧.再想一想:如何畫出弧所在的圓？根據(jù)條件，圓周角是30°,圓心角是60°，畫等邊三角形AABC就可以了.0點(diǎn)就是圓心，半徑就是線段AB的長，可以畫岀一個圓.1,CA,B,CAABC是一個動三角形，ABAB所對的角是Z.C是在AABCAB是弦，00的圓心是在AB的垂直平分線上，ZC是圓周角，所以在圓中所對的圓心角ZC60°,即ZA0B60°,0A0B,AAOB,圓R4,動點(diǎn)C構(gòu)成O0的一段優(yōu)弧，即點(diǎn)C的路徑長就是優(yōu)弧ACB變式其它條件不變，ZC的度數(shù)改為45°,60°,?(0°<?<90°),求點(diǎn)C路徑.22,線段AB4ZC=<i時，ZC=a的大小確立，即“左線左角”，根據(jù)“同圓或等圓中相等的圓周角所對的弦相等”，可知這些問題中所求C而“公共料邊的直角三角形”隱藏著外接圓3,已知線段AB1,畫出平而內(nèi)滿足ZACBC想一想，能畫出的是什么圖形？經(jīng)過分析思考可知，所有動點(diǎn)C組成的圖形是圓(圖4)?圖3 圖4再想一想：圓心怎么找?半徑是多少？€)0各點(diǎn)都是使ZACB二90°的點(diǎn)C嗎？通過畫圖可讓我們聯(lián)想到:直徑所對的圓周角是90°直角，從而畫出隱藏的圓.再根據(jù)“90°是圓的直徑，圓心是AB的中點(diǎn)，所以半徑是2?點(diǎn)CA、點(diǎn)B處不能構(gòu)成直角三角形，所以動點(diǎn)C組成的圖形是除A,B二、實(shí)際應(yīng)用V15,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，A,B,C(73,0),(373,0),(0,5),且ZADB60°,點(diǎn)D在第一象限.求線段CDVV6,60。，作等腰MP3,且Z120。，則PPPEAB垂足為E?"（點(diǎn)0）/（3矗0）,???E（2VI0）,PE=lP4=2PE=2,二尸（2屈1）.???C（0,5）,?PC7（2^）2+（5-l）271216=7282^7當(dāng)P.D.C三點(diǎn)共線時，CD最短.又?PDPA2,:.CD=PC-PD=-2,即CD22?注：這道題中ZADB-600是左角，線段AB2J327,正方形ABCD2,PBD上的一個動點(diǎn)（不與B,D重合），連結(jié)AP,過點(diǎn)B作BH丄AP,H為垂足，連結(jié)DH,求線段DH圖78,取曲的中點(diǎn)O,連結(jié)圖7BH丄AP;SABH是直角三角形，.\OH=AO=-.4B=1,2在RZOD中，OZ）=Jo才+血?=JF+2?=.在中，0H+DN>0Df二當(dāng)DH的長度最小，此時，DH=0D-0H=后一\?注：解題的關(guān)鍵是找到共斜邊的宜角三角形隱藏的外接圓.解題中要能自己創(chuàng)造圖形，挖掘問題本質(zhì)，就能知其然，也知其所以然，從而牢固建立系統(tǒng)的知識體系，而且能靈活應(yīng)用所學(xué)的知識解決問題.三、反思認(rèn)真審題找突破口中考試卷中常會出現(xiàn)動點(diǎn)問題，其中一類動點(diǎn)題，看似無圓，但其中隱藏著圓的模型?如"左線左角”、"有公共斜邊的直角三角形”等.我們應(yīng)通過去偽成真，讓“圓”形顯露，再利用圓的性質(zhì)解決問題.抓準(zhǔn)延伸點(diǎn)思維持續(xù)生長在審題時要尋找題目中的特征，挖掘隱含條件，抓準(zhǔn)知識的延伸點(diǎn)，讓自己的思維持續(xù)生長.平時要注意積累解題方法，它對你來說就是一種解題模式，當(dāng)你碰到類似問題或求解英他問題時，就能起到指引作用.解題后要?dú)w納、總結(jié)和反思，使思維品質(zhì)不斷提升.找出數(shù)學(xué)模型求出正確結(jié)果在平時的學(xué)習(xí)中，對基礎(chǔ)知識、基本圖形、基本方法、基本結(jié)論要進(jìn)行深人研究，把解題的過程當(dāng)作建立數(shù)學(xué)模型的過程，并在建模過程中培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力?變與不”都是相對的，變的是幾何問題或圖形，不變的是解題思路和數(shù)學(xué)本質(zhì)?在解題過程中，要抓住圖形的特點(diǎn)，從中發(fā)現(xiàn)解決該問題的數(shù)學(xué)模型，并快速求岀正確結(jié)果.11.如圖，在銳角△11.如圖，在銳角△ABC中，AB=4,BC=5,ZACB=45?，在ZkABC繞點(diǎn)B按時針方向旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段A[C]上的動點(diǎn)，則線段MN的長度的最大值是 ，最小值是 .12、如圖，00的半徑是4站，四邊形ABCD為。0的內(nèi)接矩形，AD=12,MMF,MF的最大值是DC的中點(diǎn)，E00上DE,DFDEMF,MF的最大值是如圖，在RtAABC中，ZC=90%AO3,BO4,圓C2,點(diǎn)P是圓CCECP1由題可知，在CB上截取，CE=L則—ZPCB為公共角^>ACPE^ACBPPE_2PB^2 =>AP+—PBmin=AP+PE>AE=,/10CL111：0的半徑為「A.B為圓外兩個定點(diǎn)』足圓上一動點(diǎn)?己知i-kOB.連接PA.PB,PA?kPBP點(diǎn)的位趕?阿氏圓?木模型己知：圓0的半徑為nA.B為圓外兩個定點(diǎn)』是圓上一動點(diǎn)。已知-kOB,連接PA,PB,當(dāng)JPA金取最小值時，如何確定P點(diǎn)的付胃。如圖，菱形ABCD與BC相切于點(diǎn)E,點(diǎn)P是OA上的-個動點(diǎn)，則PB+乎PD的彊小值為 ?【答案：i2v,rio在AABC中，ZA( B(如圖，菱形ABCD與BC相切于點(diǎn)E,點(diǎn)P是OA上的-個動點(diǎn)，則PB+乎PD的彊小值為 ?【答案：i2v,rio阿氏圜解決方案，①構(gòu)造母卅I似/形②刈點(diǎn)之.間線段般短IO化做線段?連接朋二O化做線段?連接朋二OP^Oiri小加乙BOP_1=?2CPRCR=^7B..1PC^PB^1{PC>\PH)2(/\3r四邊形ABCD4的正方形Q"2/為O匕的動點(diǎn).連接PCPD,求2PD+4膽的加小值.數(shù)學(xué)大宇阿邊邊長為4的正方形Q"的F從是2屮為0〃匕的動血連接阿氏闘解決方來：①構(gòu)造皓產(chǎn)相似加形②兩點(diǎn)z間線毀赧短PGPD■求阿氏闘解決方來：①構(gòu)造皓產(chǎn)相似加形②兩點(diǎn)z間線毀赧短2RQKP2做線段〃（嚴(yán)連接2RQKP2做線段〃（嚴(yán)連接0ZPRQ=/DRP/"0s△肋/>.攀=_1-ID444（亍PDW）=4（/08/.［點(diǎn)慶線時仃址小值為止方形的邊長為4.P為內(nèi)切闘上的一個功點(diǎn)?求運(yùn)PA+止方形的邊長為4.P為內(nèi)切闘上的一個功點(diǎn)?求運(yùn)PA+P￡U；小依MPM比PAA況|Q盧過型心.卻⑷訃.屁護(hù)忡耐丸.【答案：A]、 49ioAl)toffi.ZkABC'的兩代\.B ft7?的ol【答案：A]“隱形圓”之“定角定角平分線模型”一.模型解讀如圖，已知AABC中，ZBAC=?（建角），AD平分ZBAC,且AD=m（定值），形稱為“左角立角平分線模型”，下而我們來研究一下它可能會考查哪些問題。過D作DH丄AB于H,作DG丄AC于G,則DH=DG,且為左值;??ZBAC=a為泄角，??? ZHDG二180°-a,???ZBDH+ZCDG二a,也是定角,在AB上截取HE二CG,則厶DHE^ADGC.???ZBDE二ZBDH+ZCDG二a,那么ABDE是一個左角泄髙三角形，我們可以通過研究ABDE的相關(guān)最值，來分析AABC而通過例題來說明。二、例題分析1/XABC中，ZBAC60°,AD平分ZBAC,交BCD,且AD6,則AABC【簡答）VZBAC=60°,AD平分ZBAC,???ZBAD=ZCAD=30%.\ZBDH+ZCDG=60°,過D作DH丄ABH,作DG丄AC于G,則DH=DG=3,.\ZBDH+ZCDG=60°,在AB上截取HE=CG,

貝ijADHE^ADGC,ZBDE=ZBDH+易證Sig~S曲龍+2S&QG5而SUM——X3X3壬—ZBDE=ZBDH+???要使AABC面積最小，只需ABDE面積最小，作ZXBDEOO,過O作ON丄BEN,連接OD,OB,OE,頭莖@巧學(xué)豹學(xué)V/.00r,BE=>/3r,ON=1/,2???OD+ONN???OD+ONNDH,r>3f:.r>2,2??S^DE=-B￡P(guān)//=ixAx3=—r>3>/3△BDE3厲，???△ABC面積的最小值=3A/5+2X婕=12、廳.2由上題還可以看出，當(dāng)"定角定角平分線，'的三角形面積取最小值2ABC,AD平分ZBAC,交BC于AD-2,求AB+AC的最小值。【簡答】???ZBAC=120。，AD平分ZBAC,???ZBAD=ZCAI>60Q,過D作DII丄AB于H,作DG丄AC于G,則DH=DG=,AH=AG=1,在BA的延長線上取點(diǎn)N,使HN=CG,AB+AOBH+CG+AH+AG—BN+2,要使AB+AC最小，只需BN最小。VAZHDG=60°,AZBDH+ZCDG=120°,???ZBDN=ZBDI1+ZCDG-120%（則ZiBDN）作△BDN的外接圓QO,過O作OM丄BN于連接OB,ON,OD,OB=ON=OD-r,貝lJOM=!r,BN-J3r2IOM+DH<OD.A-?+73<r2

r>2>/3,ABN=V3r>6,AAB+AC-BN+2>8,AAB+AC的最小值為&很明顯，當(dāng)AB+AC取得最小值時，AABC依然是一個等腰三角形。頭畀@巧喊學(xué)三、實(shí)戰(zhàn)練習(xí)問題提出MBCZJCB=90°,/EZCAB戲C=6,^=10,則點(diǎn)E到力B的距離問題探究\ABC中，ZC=ZJ=5C=2,點(diǎn)D為斜邊ABk一點(diǎn)，且ZEDF=90°,ZEDFMC于點(diǎn)交BCFDEDFDECF的面積.問題解決為了美化城市，某公園準(zhǔn)備設(shè)計(jì)一個三角形賞花園如圖③，為賞花園的大致輪廓，并將賞花園分成A5￡7兒ADFCAEDF三部分，其中在四邊形AEDF64A/JED和ADFC=、點(diǎn)點(diǎn)F分別在邊邊腫和邊ACDEDFZEDF=60。,為BC的面積是否存在最小值，若存在，請求出MBC【解答】(1)如圖①中，作丄曲于H?疝?巧學(xué)如圖①RtAACB中，vZC=90°,AC6,JS=10,ABC=V/152-^C2=>/l02-62=8?應(yīng)平分CABZ.CAE=ZE4H,???Z川CE=ZAHE=90°,A￡=AEf:.MEC=AAEH(AAS)f/.AC=AH=69

EC=EH,設(shè)EC二EH=x,在RtAEHB中,???E1+B2=B2,AX2+42=(8-X)2x=3,EH=33.如圖②中，作DM丄BC于CD.???ZDNC=Z.DMC=ZMCN=90°,???四邊形DNCM是矩形，ZNDM=90°,???ZNDM=ZEDF,???ZNDF=AMDE,ZDNEDME90°,DEDF:.2NFADME(AAS),???DN=DM‘S^^DECF

二知g'在RtAACB中，vZJCB=90°,ZJ=60°5C=2,AC=BCHan30°=,JB=2ziC=—,3 3?? BC2x跡丄2?M+~U邑DN,2 3 2 2本題屬于四邊形綜合題，考査了四邊形的面積，全等三角形的判怎和性質(zhì)，解直角三角形等知識.解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題.學(xué)會運(yùn)用“左角左角平分線”模型解題，辨別該模型與前而所學(xué)的“左角龍?bào){”、“左角泄中線”、“泄角泄周”等模型的區(qū)別和聯(lián)系！阿氏圓最值問題例k問題提出匸如;b左RlAASC中r也M8=90?，C8=4, "=6,?C半徑為乙P嘗試解％為了無決這個問題，下面給出一種輕迦恿路：如國2,連按嘗試解％為了無決這個問題，下面給出一種輕迦恿點(diǎn)0便0=1,則有尋=￡=￥又?:ZPCD=ZBCP、:.APCD^ABCP,:.AP-^BP=AP斗PQ.諸你充成余下的忌.并宣接寫出答実：人P*腫的垠小值為:.AP-^BP=AP斗PQ.自主探熱在嵋軀顯出”的條件不芙的情況扌“+”的最小侵為 拓展51伸二己知房形C0D中.ZCOD=900,0C=6?0A=3,03=5,AP是O上一雖,求2PA+PP韻最小值.例2：如囚，LABC 中，BC=4.AB2AC, 的面積的最大值為 強(qiáng)化訓(xùn)練向內(nèi)構(gòu)ifi類型1. 如圖.己知AC=6ac=8,AB=10.CX?g4.點(diǎn)D爰GX2上的動點(diǎn).連接AD?BD,^AAD^-BD的最小恒為 22RtAABC中-ZJC5=90a\ACM,BG=3,D為ZkABCCO2.2則AD^-BD的最小值為 3第1逋因 第2題圖3、如在R仏ABC中?ZC=^Oe?CA=3)CB=4?"C的半徑為Z點(diǎn)P￡O<7上一勃點(diǎn).則AP丄F3的最小值為 2^ABCD42,—：叱癖他為——.5、如叭00的半徑為JF,尸O=Ji? MO二2.ZPOAcf二90：0為G)O上一動點(diǎn)，則PQ十寫QM的最小值為 6、如圖，己知菱形ABCD4,ZflFOS02,P05的最小值為——第5題圈 第6題圖7v如團(tuán)，點(diǎn)C12.5）-點(diǎn)A的坐標(biāo)為（7,0）0C的半徑為JF6B在g上一動點(diǎn)，OB十吃AB的是小值為 5如圖.在平面直角坐>xoy中.A<6<"片M（4,+）,以M為麼心.2血為半徑畫臥0為原點(diǎn)，P^OM上一動員則的最小值為 357S39.在平面豆角坐標(biāo)系.A(2,0)3B(0.2) C(4>0),D(3.2),P是AJOB外St357S3的第一彖隈內(nèi)一動.且ZfiRd=135^則2FD-PCBj^fd是 ■10.如圖.AB為0(9的直衿，AB二2?點(diǎn)C與點(diǎn).D在AB的同妙且AD丄AB,BC亠AB,妙二走P是OO上的一動羔—PD+PC的最小值為 71幾在AB=9. BC=8Z4BC=60%OJ的半鉉為忘P是GM上的動連接朋則JFC+2FB的最小值為 4的正方形，內(nèi)切國記為P是CX）最小值為 2PB-PC

ABC6.0O?P8的最小值為 第128?14、如囲.在Z4BO申.N尿90^ C5=以越方為型心作國8與XC相切，點(diǎn)第128?J?為囲廳上任一動點(diǎn)，^PA^—PC的懾小值是 ?215.姐圖.蓋形ABCD2,厶A8C=04與BC相切于點(diǎn)&點(diǎn)P0J一動.PB^—PD的最小值為 216、如逐，RtAABC中.Z>1CB=9O'AC=8,BC二6?點(diǎn)P是AB上一?乳且—=7?J?點(diǎn)F在以點(diǎn)P為圓.AP為半徑的O尸上，則CF+mRF的最小值為 ‘此時AP= A(1)如圖】，己知正方形ABCD2,點(diǎn)F5上的一個動點(diǎn)，求加+￡尸C的最小值和PD-^PC的聶大直.二22,已知正方形ABCD9./的半徑為.點(diǎn)P3上的一個功爲(wèi)22求PD+jFC的最小值和PD-gPC3.已知菱形乂B34.ZS-90^畫遲的半徑為，2,F是圓S點(diǎn)，^PD+-PC的最小值和加-丄尸C22如國，在Ri'ABC中，Z4=^0=8,以C為國心，4為半徑作(1)試判斷?C與月B的垃買關(guān)條，并說明理由：⑵點(diǎn)F0C2＞3=2,2VQ△力CF("點(diǎn)E^AB邊上任意一點(diǎn)，在＜2)的情況下，試求出EF￡F4的最小值.■1?(3,0),以點(diǎn)M為圓心，5為半徑的圓與坐標(biāo)細(xì)分別交于點(diǎn)A，B,C.D.AAOD與△COB22，DExP.BPDP=32.tanZEDA:3.過點(diǎn)DfEOH的切找，交x希于點(diǎn)Q.點(diǎn)G0》上的動點(diǎn)?問比值嬰是否1,拋物線ywxJ3>"3(a*0>與x軸交于點(diǎn)A〈4.0>,yB,在x軸上育一動點(diǎn)ECE0)(0<m<4),過點(diǎn)E件xAB于虐N,交攤物線于點(diǎn)Pr過點(diǎn)P作PMAE子點(diǎn)M,(1)求R的值和宜線AB設(shè)△PMNCi，△AENCyCg5

,求m的值;2,企(2)條伴下，將線OE^5AO逆時針望轉(zhuǎn)得到OEa<0*<a?E'A.EE.求E'A+ZE'B的最小值.?13?1經(jīng)典幾何模型之隱圓”“圓來如此簡單”一?名稱由來在中考數(shù)學(xué)中，有一類髙頻率考題，幾乎每年各地都會出現(xiàn)，明明圖形中沒有出現(xiàn)“園”.但是解題中必須用到“圓”的知識點(diǎn)，像這樣的題我們稱之為“隱圓模型”。?sa?sr°—旦“BS”形畢則答案手到摘來I二?模旳建立【模型一，定弦定角】【棋創(chuàng)二，動點(diǎn)到定點(diǎn)定長（通俗講丸是一個動的點(diǎn)到一個固定的點(diǎn)的距離不變）】【模型三，亙角所對的是自徑】【模型四：四點(diǎn)共圈】51【模型一：定弦定角的“前世今生”】今生若有，固定紈段及線段丸〃所對的大小因定.根今生若有，固定紈段及線段丸〃所對的大小因定.根UlnfftlC點(diǎn)并不鳳唯PICft的優(yōu)上嘲可（至于是優(yōu)弧還是劣張取決于/「的90。?剋（衣優(yōu)強(qiáng)上壇動；等于90%（7|90C11運(yùn)動0O弦.43所對的（注逐仏在劣“上也棄m周舟,需要根據(jù)縣H靈活運(yùn)【模型二：動點(diǎn)到定點(diǎn)定長】前世/KOO前世/KOO中，OASB=OC=ODI—■, ?,GD點(diǎn)在以今生9?彳為圓心#〃為半徑的圓上.（理論依據(jù)：到定點(diǎn)的距離尊F定長的點(diǎn)的集合叫做1?【岡的定義】）【筷型三：宜兌所對的是宜徑】mtttmttt0O中?ABFlAB所對的Z(-90°i若有?“趕囚運(yùn)找段，RA^ZA<B-W3,IMc在以a/r為ft輪駁的圓匕.（北矣秸本來JK于定孩定舟?C1是因?yàn)楸容^待殊.故瞅狼分為類）今生【模型四：四點(diǎn)共圓】今生右網(wǎng)迪夠佃e（JftKCZ3-/4,Z1-Z2.Z5-/6）4/W1點(diǎn)（某蘭小舵￡（Miitf）四.“隱圓”破解策略知識儲備一：（點(diǎn)圓距離）圓外一點(diǎn)知識儲備一：（點(diǎn)圓距離）圓外一點(diǎn)P.圓交ft、3兩點(diǎn).則刃為P/臨為P到圓上最短距離C在優(yōu)加 T在劣弧上上時 時六?“隱岡”典型例題【模型一：定弦定角】1.（2017威海）1.^ABC/15=2,若尸為△/!滿足.蟻bffl乙PAB二乙則線段M長度的圮小值為.蟻bffl簡答：因?yàn)閆P4彷，所以ZP4CZPC=60。，即Z/PC=120°?因?yàn)?定KXZ/IPC=120°”,/＞01Z"O=120°,Z.4OC=60°■故以/1C作等邊△O為圖心.OA為半徑作eo.P00上當(dāng)禺幾O3P最短（知*點(diǎn)圓距離）.覽時BW2-22?如圖1所示，邊長為2的等邊的原點(diǎn)/在”軸的正半軸上移動，Z〃OD=30°,頂點(diǎn)M在射線OD上移動，則頂點(diǎn)cm點(diǎn)O的最大距離為?簡那因?yàn)閆AOB=30°（〈定弦）.故.4O08.60°?故以肋為邊向。方向作等邊為圓心角，Q01心以“為半徑2）?由知識可知當(dāng)OCAB時.OC0000+0〃+〃0=2+71=2+2【思考：若呢？（*借角模型〉】3?如圖1,點(diǎn)/是宜線尸=7?上的一個動點(diǎn).點(diǎn)〃是w軸上的動點(diǎn)，若/1ZJ=2,則△?40〃面積最大值為（）A.2 B?V2+1 C?V2-1 D?2V242（定弦）.Z/iO?=135°（定角）.因?yàn)閆AOB是圓周角.故Ml900為圓心（2）,識儲各二可知.0Q丄"時.此時NOAB的高OH?-AB^OH?2*（V2-I）?V2-1?所以此題選擇幾22同學(xué)：老.你說錯答案.選U 小段老師：沒錯.就選〃啊同學(xué)：你是老師，你說了算，你開心就???仏fi在哪里嗎.為什么想當(dāng)然覺得Zzl??=135*呢.難45?3,00由“知識備備二■可知當(dāng)OQ\AH.OH2?（T）二血…故答案選K2?如圖，在△/［〃（？6DA二DBDG若Z620°.^ZACB=簡答：如圖2因?yàn)镈2DB=DG故,C三點(diǎn)在0D,ZDAB=Zl)BA=29,故Z如圖ADB^9?故ZACB今ZABW如圖如圖1 如圖2簡答：因?yàn)閆1=Z2>AD//BC.ttZ3=Zl.Z4=Z2.故易證△AEB^^CD.故EB二CM,ED=2AD=\0f

故50=841,2/〃豎宜放在墻角，在沿著墻角緩慢下淆宜至水平地面過程中，梯子AB的中點(diǎn)P的移動軌跡長度為？2簡答：ft斜邊I：的中點(diǎn)等于斜邊的一半叮知二I,動點(diǎn)P到定點(diǎn)0的料始終等于1,觸足圓的定義（到定點(diǎn)的距離等T?定長的點(diǎn)的集合叫做圓）?故的運(yùn)動軌跡是碉.圓心角為90°.軌跡長度為四分-?惻的長.省略。5?在矩形ARCD中，已知J?=2, 現(xiàn)有一根長為2的木/〃?緊姑著矩形的27?的中點(diǎn)P如圖1簡答*點(diǎn)P如圖161,在矩形ARCD2,,40=3,點(diǎn)E,"分別為//XDC邊上的點(diǎn)，且￡F=2,G為EF的中點(diǎn)，P為〃C/M+PG的最小值為？如圖1 如圖2G的運(yùn)動軌跡為08求AP^PGA對禰點(diǎn)則AP^PC^9嚴(yán)PG當(dāng)幾GG在國00G47/（3,0）,〃為p軸正半軸上的點(diǎn)，（:為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且A0=2.設(shè)SVZBOUM,則”的取值范圍為？,402,?通過圓的定義（到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓）（70（7GU相切時，此時ZBOC最小，IANZBOC?此時ZBOC^ZA0C=Zz4OC+ZC/1O=90°,Z〃OC=ZC,4O,MNZC4W,又因?yàn)榻嵌仍酱?正切值超大.故IANZBOC=MM￡

AC281.Rt^tBC中.ZC=90°.4C=7,FME點(diǎn)E為邊BC△CEP沿賁線EFC落在點(diǎn)PP到邊距離的最小值是？簡答：EE八7＞1*22不變，故尸點(diǎn)到尸點(diǎn)的距離永遠(yuǎn)等于2.P在2.由垂錢最當(dāng)F△/1F〃SG所以Z1F:F//:.4//=5:4:3,又因?yàn)?5.故FH又因?yàn)?7＞也故P2980?8（7=4,CD=3zlBPG則PW長度的最小簡答*翻折過程中rA/P=A/4=2,故P運(yùn)動，當(dāng)弘（?MP需要過丄CZ）H,ZA/DW=3O0,/Of=l,H忙7/0=4^,MU7,PO7-2=5【模型三，宜角所對的是宜徑】11,/?tA.iBC+,ABLBC..15=6,BS4,尸是△"〃（：?終有AP丄BP,則線段CP長的最小值為？2,因?yàn)閦IP丄”幾Z戶（定旳）zf/；=6（定弦：），故P在以,43為H亡三點(diǎn)C3.〃C4則CP=5-3=22?如圖1, （1,0）.B（3,0）,以?佃為直徑作閥“射線0F交圓M于E、F點(diǎn)，C為HABD為弦上屮的中點(diǎn)，當(dāng)射線繞OC0的最小值為？。是EF中點(diǎn)，取ZOOM始90°■故O0M的。易當(dāng)線時.CQ最短.CP=/1C-W?又易faC(2,1),故.4C=v2rCI>=72I在厶ABC中，ZABO90,J/?=6, O為AC的中點(diǎn)，過O作OE丄O幾OE>OF別交射線AB.BC于&F,則”的最小值為？簡答：因?yàn)閆EOF=90°ZC=90°,故GO均在以"為直徑的E8上（也稱四點(diǎn)共EF（:「長度固定，要使得EF最?OC0（7H1最小（此處比較難，思維量比較大，大家慢慢琢唐），此時C8E20EB二5（斜邊上中441,Rt^ABC中，，4<?=5,BC=12,ZACB=90^PABh的動簡答：以（70為克徑作1HAR邊上的動點(diǎn)P在ZCPQ為宜角.當(dāng)O0（2）.直徑Q最小.由切線長定理.得/IP=*C=5,所以腫=13—5=8?OS/SBC,0P=￥?€0=罟?當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)〃璧合時（3）,直徑y(tǒng)最大，此時CQ=12?綜上所述，［WQW1251,4QO中，CD/I8丄CD且過半徑OD0O上一動點(diǎn)，CF丄,4力于點(diǎn)F./?點(diǎn)F簡答，因?yàn)閆m=90°（定角人心“（定弦人故F在以MC為直徑的OQ上.當(dāng)￡F在G處，當(dāng)E在。處時，F(xiàn)在?4處，故F弧AG的長度，易求出Z/S=30°>故Z/0G=6O°,故^AG長度^e2n<^=^6.（2013武漢）1.E.F是正方形ABCD的邊上兩個動點(diǎn)，滿足連接CFBD3疋交,4G?2,度的最小值是？AREDCF.bDAG辿ZDA6乙Z.4ZJE+Zzl￡U-90°,Z￡4〃+Z/E〃=90??Z?4〃B=90故〃在以/<30當(dāng)、//.0三0匸卡771.在Rl^ARC中，/90ZC=3O0,1,0為線段上一動點(diǎn)，將厶BDCBD（7的對應(yīng)點(diǎn)為F,E為/K?的中點(diǎn)?在。從Q/￡728FG故F當(dāng)EF最短時，B.E.F點(diǎn)共線（如圖2）,此時Z?FD=Z/?CD=30°,Z/7WXZGM>=15°（因ZEBC=ZBCE^30°）.故ZFDFAZCDHWZFED=60°,FD1CE.EF=BF-fBE=75-1DF^DCEDFED^EF=~^故f-1Ci>=l-￡/>=1-^—= 2

3-02（2017ft遷）fft片ABCD/?=1,點(diǎn)疋在邊O動，連接將多邊形ABCE/C（為點(diǎn)?當(dāng)C恰好經(jīng)過點(diǎn)。時（1）,求線段*98C分別交邊ADCD于點(diǎn)F,2人求HDFG9的面積；在點(diǎn)E從點(diǎn)C移動到點(diǎn)。的過程中，求點(diǎn)C'圖 圏1 2簡答:（1）“K字形”秒殺，過程略.答案：76-2（2）由翻折全尊可知Z0/1￡=ZB/1￡=67.5O,N￡ME=22?5°,故N/T/!45°?答案：|-V6（3）折疊過程中始終有ACL4為G8心.4T上。根據(jù)點(diǎn)EC時，CCE移動到。時，C3位JL易求C0160?故C'￡.2"2=￡艮360 3【模型四：四點(diǎn)共圓】11,正方形ABCD中，Z￡JF=45°,AF,V,AE與〃0MF>NE,求證MNE、ZVIMF是等腰宜角三角形fBJff：因?yàn)閆1=Z2=45°Z3=Z4.故八￡\N四點(diǎn)共因?yàn)閆ABE^.故ME為直徑，故Z4VE為CT,故△4VE18直角三角形.同理可證AJA/F（此題也是很經(jīng)典的“半角模型”問題之一）21.等邊△初C中?初=6,P一動點(diǎn).加丄PELAC.J!?JDE如圖1如圖阿氏圓中的雙線段模型與最值專題3 阿氏圓中的雙線段模型與最值問題【專題說明】△P/4aAG4PPA平方三原有線段x構(gòu)適線段?！緱Ｐ驼故尽?1)甬平分線定理:如ABDBJC~DC如下圖，已知43兩點(diǎn)，點(diǎn)P海足陽：(1)甬平分線定理:如ABDBJC~DC明：芒S證CD

S“二xDEACxDF

r\f>(2)外角平分線定理：如田，在中，外角少￡的角平分線ADBC0則走=藥?7")Z?4R&史得連接加■則△/!?爐少且“平分ZBDE.5!]=^.即炸算接下來開始證明步熱\( n如圖.PA:PQ*作ZAP3

MAPA

故"點(diǎn)為定點(diǎn),即N/JPg的角平分線支于定點(diǎn)：

NAP4

=—=k.MBPB作4B外角平分線支直線朋于N---A.即外角ABPR平分線交直線力8于定點(diǎn)：51Z,爐徒90°,定邊對定角，故P點(diǎn)軟跡是以剜為直徑的圓?【例題】仁如團(tuán)，拋楊線y=與x/($,0),3(晟B在點(diǎn)力的左側(cè))，與尹軸交于點(diǎn)C,HOB3OAZOAC7紬于點(diǎn)D,4,4￡＞/交歹軸于點(diǎn)E,點(diǎn)Px軸下方拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作”丄兀軸，垂足為F,交直線月。于點(diǎn)?設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為加，當(dāng)FHHP時，求刃的值：當(dāng)直淺PFHHC為半徑作OH,0為的一個動點(diǎn)，【解析】⑴由題愈水石，0).8(3^3.0).C(o.3).設(shè)牝物線的解析式為y=aO3\/5)a_J5),?Z/24C,:?ZOAD=3LOD=O*"rHQ=1t(0,

1),???fi.線MOy=2^x-13P（加,H5m-P（加,H5m-1),F0).3?:FEPH、A1使得丄,4(3)如圖對稱軸????F(-J5?0)."(-J5 ,使得丄,4氏卄（一加丄）.訕才，嘶*嵌—?.血二竺8 8 ???如—?△林—等箸冷，???◎掃

A-AQ^OE=K(hEO,???當(dāng)化Q、K4共線時，丄"-0F的值最小，敢小值=42. 1所示，00的半咎為人點(diǎn)A.B0。外，P00心?共線時，丄"-0F的值最小，敢小值=4則當(dāng)“P卅斤?P礦的值箴小時，P點(diǎn)的位迅如何確定？0（1的線段兩端點(diǎn)分別與圈心相連接），2:計(jì)算連肢線段儲長度：OP3：計(jì)其兩線段長度的比值——=k;OBOCOP4:在03上截取一點(diǎn)Q,使得-----=---構(gòu)建母子型相似：OPOB5:7,0交點(diǎn)為P?即AG段長為PX+A*PF的最小值。P2）000A,0與PQ0梱似,即八P生P0,iPS”“PP0”P、C三點(diǎn)共線時最?。?）時"線段長即所求就小值。3,Q12,C0、則2AZBD的最小值是 ?【分析】首先對問題作變式2阿3妙環(huán)；AD+BD「故求［AD+BD最小值即可.2考慮到。點(diǎn)軌逐是圓，力是定點(diǎn),且要求構(gòu)造匚仞.條件己經(jīng)足夠明顯.3當(dāng)0點(diǎn)運(yùn)動列加邊時?少=3,此時在戰(zhàn)段血上取點(diǎn)“使得恥2,則在點(diǎn)0運(yùn)動過仔中，始終存在DM^DA?3問題轉(zhuǎn)化為爾加的最小值，直接連接園人的長度的3倍即為農(nóng)逆答案.4、如圖，巳知正方朋〃的邊長為4,眥的半徑為2,點(diǎn)P是圓0上的-個動點(diǎn)，"-『C的聶大為 【分析】當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到％邊上時，此時PU2,［PC,在％上取"使得此時P1,P有PZM>"的走大值.2連按P0對于PZW,PPXQ0、P共線時，P0P【鞏固訓(xùn)練】1?婦圖1,矩形ABCDI45-2, 點(diǎn)F分別AD.DC邊上的點(diǎn)，￡F-2.點(diǎn)G2.JOffl2,3CD中.A3^4,9

￡ABF長線段BC邊上的動?點(diǎn)，將SEBF沿EF所在■第折疊得到△BF連寒則的量小值是 ?3/(3,0),0為〉?輕：E半輪上的一點(diǎn)?點(diǎn)C是第一欽瑯內(nèi)一點(diǎn).KXC-2.設(shè)UnOOC■加.則加的取值范國是 ?43,RtAABC中，ZCAC^6t

BC=8,點(diǎn)F在邊AC上?芥且CF=2,A￡為邊BC3CEF沿直線〃'和折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處.則點(diǎn)P到邊.45$小值是 54.四邊形MCD中，DCfiABf

5C-1,則加的長為 ?6?如圖5,在四邊形ABCD若ZB4C=25，,ZCW=75e?則ZBZX?= fZDBC= ?7?足球射門.不考慮其他因素，僅考慮射點(diǎn)到球門腫的張角大小時，張角越大，射門越好?如036的正方形網(wǎng)榕中.點(diǎn)A9九點(diǎn)C

B,C,D9

E均在艷點(diǎn).球員帝球沿CD方向進(jìn).最好的射點(diǎn)在＜ )B?點(diǎn)廠或點(diǎn)EC.a&DE〈異于5?A)上一點(diǎn)

D.asCD(異于2?A)上一點(diǎn)cy‘/，‘X/<H44圖6 圖8&如EE7.48是O0J［徑.FQ?0的弦.PQAB不平行.尺是說的中點(diǎn).作PS丄AB,S.TCS*D,并且Z5^=60°?_?如SB8,若?/APB=2"CB,AC與PB交于點(diǎn)且則AD?DC= ?10/(4,0).B(-6,0),jSC是y蘭ZBCA=45。時，點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ??9f1210,左平面直亢坐標(biāo)丟的第一貫農(nóng)內(nèi)有一點(diǎn)法坐標(biāo)為(2,加〉?過點(diǎn)B作AB±y9@?9fx雜，魚足分別為兒若點(diǎn)P在袋段M上灣動(點(diǎn)P可以與點(diǎn)兒B1SL=45-的位置有兩.則加的取值范33為 ?

BC丄在蛻角△肋C中M3=43C=5,AMC嶷點(diǎn)B￡^ABC.jD^ll-l,當(dāng)點(diǎn)CC4的廷長線上時，求*11-2.連接心"CG4.求△CBC；的面枳：(33S11-3,點(diǎn)E為線段肋中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段/C3C過程中?點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)R,o3143與K怡交于兒B5A在點(diǎn)〃的左側(cè)人與j輕交于點(diǎn)C.(1)求點(diǎn)人3的坐標(biāo))(2)/過點(diǎn)￡4.0),M為直護(hù)/￡?M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只/15.Jm?.直線，=一扌x+3X/兩點(diǎn)，點(diǎn)P0B在斜邊曲上找到一點(diǎn)C.便ZOCP=90設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為Cm.0),參考答案例1.【解答】輯\\4B=AC=4D9AB,GQ33/CAD=2厶,厶BAC=2BDC,?:ZCBD=2ZBDC,ZB4C=44?,:.ZCAD=121BAC=Sr?故簽案為，88-?2hPB1.EF的中旦P運(yùn)動過程中的軌述為分別以B.C.D3^,km為半徑的盜.35-4個扇形面祝=6-4”巴磐=6?貳(沏；)?JOU3?3?【解菩】解：連接C0.VZCPO=ZCW=90g,AC,MOf 9P四點(diǎn)共CS,CO為:S徑(E23連檢PM0E的一條弦.當(dāng)PMPM屋尢，聽以PM=CO=4時PM最大.即PM?儀=4.例4【繆答】解：(1)以.3為邊.左第一象萇內(nèi)作尊邊三舟影ABC.以點(diǎn)C為圓心.FC為半徑作0C,交〉紬于點(diǎn)P】?刊?在優(yōu)扳腫〃上任取一點(diǎn)幾如0E1,?IZAPB=^ZACB=丄X601=30,?2 2:?空ZAPBH的點(diǎn)P*???點(diǎn)川(1,0),點(diǎn)B(5,0),=\OB=5.9:.AB=4.C???點(diǎn)川(1,0),點(diǎn)B(5,0),=\OB=5.9:.AB=4.C2S心.CG丄AB:.AG=BG=^AB^2.9 2：.OG=OA^AG=3.是等邊三角執(zhí)??MC=BC=初=4.:.CG=7AC?-AG2=^42-22=丫忑.???點(diǎn)C的坐標(biāo)為<3.2苗).C作CDLy量足為D.CPif

0B1,C<3,2V3)iACD=3,OZ>=2近.I是QC:.ZAPtB=ZAP^=39.=CA=A.CD=3?=W????點(diǎn)CCD丄PiPz,:.P}D=Pi????円(0,2V3?聽〉?Pi<0,2V3W7).P在y*縮上時，同理可得：巧(0,-2^3?聽〉?H(0,-2VW7).綜上所述：満足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)有，(0,2V3-V7X(62^577入(0,?2?聽入(0.2VW7).（340E與〉岫相切于點(diǎn)P時，ZAPB大.ZAPB最大時，ZAEH得：當(dāng)血點(diǎn)小即私點(diǎn)小時.3大?所以當(dāng)刮與）?①當(dāng)點(diǎn)P在〉粕的正半軸上時，連按E4.作功丄x輕.垂足為H?如國2?與y頁P(yáng)E?丄a.OP丄OH,ZEPO=/POH=ZEHO=W????四邊OPEHf

PE=OH=3?；?EA=3??:ZEHA=9T,AH=2,3>3 .?.￡H=>3 AEA AH/.OP=V5???P（0,V5）.P在yflhP<0,?理由:?P在>，結(jié)的正半軸上任取一點(diǎn)M（不與點(diǎn)P重合人連張購，交于點(diǎn)連後2所示.VZANB是△XWC的外角，A?:乙APB=ZANB,:?厶APB>AMBP乙?*當(dāng)點(diǎn)P3E）ZAPB犬值.此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為<0,需）（0,?V5）.【鞏固訓(xùn)練】答案以1（2弧上的點(diǎn)，作彳關(guān)于BC^D.rZBC以1（2弧上的點(diǎn)，作彳關(guān)于BC^D.rZBCP.交以D為CS心.103于G.PA+PG的值點(diǎn)小.聶小值為MG的長IvAB2AD3?AX4>/.A*D■5■?MG?才D-DG?5?l?4i:?PA*PG的最小值為4*故答案為4?2GB3E為ES心E4為半輕的圓上運(yùn)動.當(dāng)D.B、E關(guān)錢時時，此時FD的值量卜:.LB^EB????EAB:.LB^EB????EAB邊的中點(diǎn)，-15=4,■?AEfbvAD?6?二7皿.-.^=2710-2.3 ?解：C/為$20C5-4*8切（即到C點(diǎn)〉時.Z50C?JC-2,0/1-3,由勾股定更得：OC?￡,7Z5OJ=ZACO=90°,??.ZBOCZAOCN90J7Z5OJ=ZACO=90°,??.ZBOCZAOCN90J/CAO+厶OC?.??Z3OC=ZOACrtin乙BOC■tinZ.OAC■—?AC2隨著c的移動.ooc毬來越大.???cCX軸點(diǎn)，即ZBOC<9,/.tanZBOCf故答案為：mRtlABC申，:ZC?90J*C?6,?/.AB■J6：109PF2.ZFPE?ZC?PE!AB.??.ZPDS-903?由垂線段晨短可知業(yè)時FDFP:PD有:e小值?又???厶■厶?ZACB■AADF■???誓-經(jīng)，即￡-￥，解憐???誓-經(jīng)，即￡-￥，解憐?ABBC108二??AB.BF?2+2?4,???FB52D,延長BA9AF^DF是0/的直徑./.ZFDS-900,:BDZBF'-DF、■屈.AB=AC=AD9ZADB=/ABD,ZACB=ZABC,DZBAC=29

,ZCQ=75?,ZACB=C180*?25?)2=77.5??AADC=ZACD=(18(T?75?)亍2=52.5，■ZADB=(180*KMT)2=4(T.ZFDC=ZADC40,=12$,ZDCB=ZDCA^Z彳CB=52$*77.5-=130???ZD?C=18(r-ZDCB?NBDC=18(T-130*-12.51=37$?AZJDC=12.5,,ZDBC=37.5,?7?【解答】解,連接BC.AC.BD?AD.AE,BE,己知兒B,D.E四點(diǎn)共21,（B斷角相等.因而然后卻同取對應(yīng)的“冒內(nèi)角組大于E3間角「E3蒞DE上時角最犬.財(cái)門點(diǎn)在D點(diǎn)右上方或點(diǎn)E左下方時角度則會更. 故選,c.8.【解答】連結(jié)OP?0Q9

EE,???R是P0?:?乙00TPS丄AB.???ZPSO=ZPRO=90?????點(diǎn)P.S、6R四點(diǎn)在以O(shè)卩為亶徑的C3±,:?ZPSR=ZPOR、同湮可^ZQTR=ZQOR9

:.ZPSR=ZQTR9

ZRST=ZRTS而ZSRT=69.沁RSTAZXSr=6e■ZRT3=60，?:.ZRPO=ZW=60s.ZRQ0=ZRT0W為等邊三克形，:.AB=1PQ.?畝答案為丄?AB2 29?解析，本遞主要考査三點(diǎn)共BS列定和相交弦定3L由PA=PB.ZAPB=2ZACBA,B.C三點(diǎn)共迅El心為P半包為PB由*fi交弦定現(xiàn)可知—4?DC=CPB*PD)(PB-PD)=710.【解答】解,設(shè)線段必的中點(diǎn)為E.???點(diǎn)*(4tOk3??6,0),:.AB=10,￡(-L0).Cl)J1所示，過點(diǎn)￡在第二象隈作腫丄且￡?=15=5,254Z＜=9(r.PA=PB=5^2；BJPA0P,?鮭的正半牡文于點(diǎn)GOP(3間角，?■?ZBC4=NB刊=45?,即則點(diǎn)C2過點(diǎn)卩作PF±y于點(diǎn)F.ROOr=P￡=5tPF=LRtAPFC中.PF=l,PC=CF=7pc2.pF2=7,:?OC=OFYF=5￡=a???點(diǎn)C坐標(biāo)為(&p12)iC2)如答圖2所示.在第3象限可以參照(1)作同樣姿作.同理求埠3?輸負(fù)半軸上的點(diǎn)C坐標(biāo)為(0.?12〉?綜上所述"點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,12)或＜0,-12).故答案為：(0,12)或(0,-12).11【轉(zhuǎn)答】VRtA^BC中，^C=90f?AC=3,BC=4,?'?府=JA5以DSI心…31,當(dāng)OD3CIB切時.DEBCAD=x9

KJDE=AD—X9BD=AB?Q=5?X.?M8QEs△站c,??M8QEs△站c,???煤*卩￥②如圖2.當(dāng)OD與方CIS交時，若文點(diǎn)為B或C,miAD= §2’【解答】于EVOC=2,：.OK=KC=y/2f當(dāng)朋=KC=V5時，以K為圓心，KC為半徑的C3與肋相切此時加=BC=\^/2在肋于EVOC=2,：.OK=KC=y/2f當(dāng)朋=KC=V5時，以K為圓心，KC為半徑的C3與肋相切此時加=BC=\^/2在肋上只有一個點(diǎn)P満足ZOP=丄ZOKC=4Z,92為P満足ZOPCZOKC=42此時m=BC=29綜上所述?滿足條件的加的喳的范圉為2Wm<Z\Jl?9故答宴為2W/V1W?【解答】憐＜1)由旅轉(zhuǎn)的性貢可樽，Z^iCiB=Z/iC5=45r,BC=BC“???NCCiB=ZCiCB=45?,???ZCCMi=ZC6Z4iB=4?7，*?(2)?：r^ABgjBCx:3A=BA\9BC=BC"Z/L5C=Z/IBC"器=^?,^ABC^^ABCi=￡\BC\^ZABCi.BCBC.SACBCX：.Z.4BAI=ZCBC}SACBCX■??Ssu】=4. Sqcu

25：(3〉①如圖1.過點(diǎn)3作勸丄/C,D為垂足,在RtABCD申.5D=5Cxsm45f???△MC為倪傷三介形????點(diǎn)在RtABCD申.5D=5Cxsm45fBPAC^3C點(diǎn)B涙轅.便點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)Pi上時.￡?hP^AChUZUBC縫點(diǎn)BP的對SAPi￡P(guān)iGIEP\=BC?BE=2T=7?14.【聲答】驚：(1)令)=0,解得%1=-4,々=2.3點(diǎn)的坐標(biāo)為.404,0).B<2,0).丄C2)拠楊線=2 2^1 的對稱維是直線x= =?1?> X X+384 2X(峙)9DD點(diǎn)的橫坐標(biāo)是?1.SueQC=9,$5RtA/lOC申，^^~yj()K^^CfCV=*上旗為兒則碼心“，吋書0E1,4C,4C2h和41的兩個交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)D設(shè)“交丁緒于E,過C作CF丄h于尸.則CF=A=J1,21. CF_ CF5g??sinz￡CEFsinZlOCA± r^2茨?綾*CK)解析式為y=^?執(zhí)將4—4,0>,CO3)繪標(biāo)代入,b=3???亶級AC解析式為y=丄"3?4亶線“可吋下平移d）而形啊???亶線h的解析式為y=2x+3?戈=缶?1.4 2 4 2則6的縱坐標(biāo)為lx（-1）-2=-2,:.D\（?i.丄）.4 2 4 4間連.旬上平移省個扶度草位傅到/”4A《?1,4DD!（-L丄〉.61.互〉.4 4C3)2.4BOE0F2條.連棲F.U過MV丄X0子點(diǎn)VJ(-4,0),B(2,0〉.AF(-1,0),QF半輕FM=FB=3?又YE<4,0).左RtAAiEF中,smZA/ra=—左RtAAiEF中,smZA/ra=—fcosZaVFE=—?在RtaiMV中，?^=血“10乙?14?^=3><?1=鑒EV=.UF-cosZ.WF