教輔同步階段質(zhì)量檢測(cè)數(shù)列

階段質(zhì)量檢測(cè)（二）數(shù)列一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．等比數(shù)列{an}的公比q＝－eq\f(1,4)，a1＝eq\r(2)，則數(shù)列{an}是()A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列C．常數(shù)數(shù)列 D．?dāng)[動(dòng)數(shù)列解析：選D因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的公比為q＝－eq\f(1,4)，a1＝eq\r(2)，故a2<0，a3>0，…，所以數(shù)列{an}是擺動(dòng)數(shù)列．2．若互不相等的實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，a是b，c的等比中項(xiàng)，且a＋3b＋c＝10，則a的值是()A．1 B．－1C．－3 D．－4解析：選D由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,a2＝bc，,a＋3b＋c＝10，))解得a＝－4，b＝2，c＝8.3．等差數(shù)列{an}中，a3＝2，a5＝7，則a7＝()A．10 B．20C．16 D．12解析：選D∵{an}是等差數(shù)列，∴d＝eq\f(a5－a3,5－3)＝eq\f(5,2)，∴a7＝2＋4×eq\f(5,2)＝12.4．在數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,3)，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，則a5等于()A．－eq\f(16,3) \f(16,3)C．－eq\f(8,3) \f(8,3)解析：選B∵a1＝eq\f(1,3)，an＝(－1)n·2an－1，∴a2＝(－1)2×2×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，a3＝(－1)3×2×eq\f(2,3)＝－eq\f(4,3)，a4＝(－1)4×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))＝－eq\f(8,3)，a5＝(－1)5×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)))＝eq\f(16,3).5．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S10∶S5＝1∶2，則S15∶S5＝()A．3∶4 B．2∶3C．1∶2 D．1∶3解析：選A在等比數(shù)列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比數(shù)列，因?yàn)镾10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝eq\f(3,4)S5，得S15∶S5＝3∶4，故選A.6．在等比數(shù)列{an}中，已知前n項(xiàng)和Sn＝5n＋1＋a，則a的值為()A．－1 B．1C．5 D．－5解析：選D因?yàn)镾n＝5n＋1＋a＝5×5n＋a，由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1,1－q)－eq\f(a1,1－q)·qn，可知其常數(shù)項(xiàng)與qn的系數(shù)互為相反數(shù)，所以a＝－5.7．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2an，n為正奇數(shù)，,an＋1，n為正偶數(shù)，))則254是該數(shù)列的()A．第8項(xiàng) B．第10項(xiàng)C．第12項(xiàng) D．第14項(xiàng)解析：選D當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，an＋1＝2an，則a2＝2a1＝2，當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，an＋1＝an＋1，得a3＝3，依次類推得a4＝6，a5＝7，a6＝14，a7＝15，…，歸納可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2\f(n＋1,2)－1，n為正奇數(shù)，,2\f(n,2)＋1－2，n為正偶數(shù)，))則2eq\f(n,2)＋1－2＝254，n＝14，故選D.8．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a1a2a3＝15，且eq\f(3,S1S3)＋eq\f(15,S3S5)＋eq\f(5,S5S1)＝eq\f(3,5)，則a2＝()A．2 \f(1,2)C．3 \f(1,3)解析：選C∵S1＝a1，S3＝3a2，S5＝5a3，∴eq\f(1,a1a2)＋eq\f(1,a2a3)＋eq\f(1,a1a3)＝eq\f(3,5)，∵a1a2a3＝15，∴eq\f(3,5)＝eq\f(a3,15)＋eq\f(a1,15)＋eq\f(a2,15)＝eq\f(a2,5)，∴a2＝3.故選C.9．如果數(shù)列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首項(xiàng)為1、公比為eq\f(1,3)的等比數(shù)列，那么an＝()\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n))) \f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n－1)))\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n))) \f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n－1)))解析：選A由題知a1＝1，q＝eq\f(1,3)，則an－an－1＝1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1.設(shè)數(shù)列a1，a2－a1，…，an－an－1的前n項(xiàng)和為Sn，∴Sn＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an.又∵Sn＝eq\f(1×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n))),1－\f(1,3))＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n)))，∴an＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n))).10．已知等比數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1，eq\f(1,2)a3，a2成等差數(shù)列，則eq\f(a3＋a4,a4＋a5)等于()\f(\r(5)＋1,2) \f(\r(5)－1,2)\f(1－\r(5),2) \f(\r(5)＋1,2)或eq\f(\r(5)－1,2)解析：選B由題意，得a3＝a1＋a2，即a1q2＝a1＋a1q，∴q2＝1＋q，解得q＝eq\f(1±\r(5),2).又∵{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，∴q>0，即q＝eq\f(1＋\r(5),2).∴eq\f(a3＋a4,a4＋a5)＝eq\f(a3＋a4,qa3＋a4)＝eq\f(1,q)＝eq\f(\r(5)－1,2).11．設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，已知a2a4＝1，S3＝7，則S5\f(15,2) \f(31,4)\f(33,4) \f(17,2)解析：選B設(shè){an}的公比為q，q>0，且aeq\o\al(2,3)＝1，∴a3＝1.∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝eq\f(1,q2)＋eq\f(1,q)＋1＝7，即6q2－q－1＝0，解得q＝eq\f(1,2)或q＝－eq\f(1,3)(舍去)，a1＝eq\f(1,q2)＝4.∴S5＝eq\f(4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,25))),1－\f(1,2))＝8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,25)))＝eq\f(31,4).12．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1＝－2014，eq\f(S2007,2007)－eq\f(S2005,2005)＝2，則S2016的值為()A．－2016 B．2016C．2015 D．－2015解析：選B因?yàn)镾n為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等差數(shù)列．設(shè)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的公差為d′，則由eq\f(S2007,2007)－eq\f(S2005,2005)＝2，得2d′＝2，解得d′＝1，所以eq\f(S2016,2016)＝eq\f(S1,1)＋2015d′＝a1＋2015d′＝－2014＋2015＝1，所以S2016＝2016.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)把正確答案填在題中的橫線上)13．已知{an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，則S10的值為________．解析：設(shè){an}的首項(xiàng)，公差分別是a1，d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝16，,20a1＋\f(20×20－1,2)×d＝20，))解得a1＝20，d＝－2，∴S10＝10×20＋eq\f(10×9,2)×(－2)＝110.答案：11014．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2015－3n，則使an>0成立的最大正整數(shù)n的值為________．解析：由an＝2015－3n>0，得n<eq\f(2015,3)＝671eq\f(2,3)，又∵n∈N*，∴n的最大值為671.答案：67115．某住宅小區(qū)計(jì)劃植樹不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n(n∈N*)等于________．解析：每天植樹的棵數(shù)構(gòu)成以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(21－2n,1－2)＝2n＋1－2.由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102.由于26＝64,27＝128，則n＋1≥7，即n≥6.答案：616．在等比數(shù)列{an}中，若1，a2，a3－1成等差數(shù)列，則eq\f(a3＋a4,a5＋a6)＝________.解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，依題意，可得2a1q＝1＋a1q2又a1≠0，整理得q2－2q＝0，所以q＝2或q＝0(舍去)，所以eq\f(a3＋a4,a5＋a6)＝eq\f(1,q2)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答時(shí)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(10分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(3x,x＋3)，數(shù)列{xn}的通項(xiàng)由xn＝f(xn－1)(n≥2且x∈N*)確定．(1)求證：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是等差數(shù)列；(2)當(dāng)x1＝eq\f(1,2)時(shí)，求x2016.解：(1)證明：∵xn＝f(xn－1)＝eq\f(3xn－1,xn－1＋3)(n≥2且n∈N*)，∴eq\f(1,xn)＝eq\f(xn－1＋3,3xn－1)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,xn－1)，∴eq\f(1,xn)－eq\f(1,xn－1)＝eq\f(1,3)(n≥2且n∈N*)，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是等差數(shù)列．(2)由(1)知eq\f(1,xn)＝eq\f(1,x1)＋(n－1)×eq\f(1,3)＝2＋eq\f(n－1,3)＝eq\f(n＋5,3).∴eq\f(1,x2016)＝eq\f(2016＋5,3)＝eq\f(2021,3).∴x2016＝eq\f(3,2021).18．(12分)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝－1，eq\f(S10,S5)＝eq\f(31,32).(1)求等比數(shù)列{an}的公比q；(2)求aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n).解：(1)由eq\f(S10,S5)＝eq\f(31,32)，a1＝－1，知公比q≠1，eq\f(S10－S5,S5)＝－eq\f(1,32).由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)知S5，S10－S5，S15－S10成等比數(shù)列，且公比為q5，故q5＝－eq\f(1,32)，q＝－eq\f(1,2).(2)由(1)，得an＝(－1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－1，所以aeq\o\al(2,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n－1，所以數(shù)列{aeq\o\al(2,n)}是首項(xiàng)為1，公比為eq\f(1,4)的等比數(shù)列，故aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝eq\f(1×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4n))),1－\f(1,4))＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4n))).19．(12分)在△ABC中，若lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差數(shù)列，且三個(gè)內(nèi)角A，B，C也成等差數(shù)列，試判斷此三角形的形狀．解：∵A，B，C成等差數(shù)列，∴2B＝A＋C.又∵A＋B＋C＝π，∴3B＝π，即B＝eq\f(π,3)，A＋C＝eq\f(2,3)π.∵lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差數(shù)列，∴2lgsinB＝lgsinA＋lgsinC，即sin2B＝sinAsinC.又∵B＝eq\f(π,3)，∴sinB＝eq\f(\r(3),2).∴sinAsinC＝sin2B＝eq\f(3,4).又∵cos(A＋C)＝cosAcosC－sinAsinC，cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC，∴sinAsinC＝－eq\f(1,2)[cos(A＋C)－cos(A－C)]．∴－eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,3)－cosA－C))＝eq\f(3,4).∴eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)cos(A－C)＝eq\f(3,4)，∴cos(A－C)＝1.∵A－C∈(－π，π)，∴A－C＝0，即A＝C＝eq\f(π,3).∴A＝B＝C.∴△ABC是等邊三角形．20．(12分)在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和(n∈N*)，且a2＝3，S4＝16.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝eq\f(1,anan＋1)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差是d，由已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝3，,4a1＋6d＝16，))解得a1＝1，d＝2，∴an＝2n－1.(2)由(1)知，an＝2n－1，∴bn＝eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n＋1)))＝eq\f(n,2n＋1).21．(12分)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，an<an＋1，且S3＝2S2＋1.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝(2n－1)an(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由an<an＋1，得q>1，又a1＝1，則a2＝q，a3＝q2，因?yàn)镾3＝2S2＋1，所以a1＋a2＋a3＝2(a1＋a2)＋1，則1＋q＋q2＝2(1＋q)＋1，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1(n∈N*)．(2)由(1)知，bn＝(2n－1)·an＝(2n－1)·2n－1(n∈N*)，則Tn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，2Tn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，兩式相減，得－Tn＝1＋2×21＋2×22＋…＋2×2n－1－(2