滬科版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第24章 圓 復(fù)習(xí)題

型之一 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及其應(yīng)用．如圖

－X－eq

\o\ac(△,1)，將

繞著點(diǎn)

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

°后得到△.若∠＝°，∠′＝°，則∠的度數(shù)是 圖

－X－A．° B．°．° ．°．如圖

－X－eq

\o\ac(△,2)，在

中，＝，∠＝°，在△

中，＝，∠＝°，且點(diǎn)

在邊

上，連接，將線段

繞點(diǎn)

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到線段，使得

DE＝，則∠

的度數(shù)為 圖

－X－A．° B．°或

°．° ．°或

°

－X－

是由△BEC

在平面內(nèi)繞點(diǎn)

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

°得到的，且

⊥，BE＝CE，連接

DE.求證：△BDE≌△BCE；試判斷四邊形

的形狀，并說(shuō)明理由．圖

－X－類(lèi)型之二 垂徑定理及其推論瀘．2019·

州

如圖

－X－，

是⊙

的直徑，弦⊥

于瀘點(diǎn)

E.若

＝，＝，則弦

的長(zhǎng)是 第頁(yè)/共頁(yè)圖

－X－A.

B． ． ．．如圖

－X－，⊙

的直徑

⊥弦

，若∠＝°，則∠

的度數(shù)為 圖

－X－A．° B．°．° ．°

到弦

的距離為

所對(duì)圓心角的度數(shù)為 A．° B．°．° ．°阜．2019·

陽(yáng)一模

如圖

－X－，⊙

過(guò)點(diǎn)

，，圓心

在阜等腰直角三角形

的內(nèi)部，∠＝°，＝，＝，則⊙

的半徑為 圖

－X－A． B.

． ． ．如圖－X－，⊙

的半徑

⊥弦

于點(diǎn)

，連接

并，延長(zhǎng)交⊙于點(diǎn)E，連接EC.若＝

＝，則CE的長(zhǎng)為_(kāi)_______．，圖

－X－．如圖

－X－，點(diǎn)

，

分別在扇形

的半徑

，第頁(yè)/共頁(yè)．如圖－X－所示，

是⊙

的直徑，

是弦，

是．如圖－X－所示，

是⊙

的直徑，

是弦，

是

－X－

為＝°，

兩點(diǎn)，

是劣弧上一點(diǎn)，則∠

的度數(shù)為 N.求線段

的長(zhǎng)；若

＝，求弦

MN

的長(zhǎng)．圖

－X－類(lèi)型之三 圓心角定理、圓周角定理及其推論

－X－

的⊙P

與

軸、

軸分別交于

，︵A．° B．°．° ．無(wú)法確定圖

－X－廣．2019·

州

如圖

－X－，

是⊙

的弦，⊥，交廣⊙

于點(diǎn)

，連接，，，若∠＝°，則∠

的度數(shù)是 A．° B．°．° ．°圖

－X－︵的中點(diǎn)，若∠＝°，則∠

的度數(shù)為_(kāi)_______．圖

－X－︵點(diǎn)

在

的延長(zhǎng)線上，＝，則∠

的度數(shù)為_(kāi)_______．第頁(yè)/共頁(yè)

是的中點(diǎn)．圖

－X－

是的中點(diǎn)．．如圖

－X－，，P，，

是圓上的四個(gè)點(diǎn)，∠＝∠＝°，，

的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)

.求證：△

是等邊三角形；若∠＝°，＝ ，求

的長(zhǎng)．圖

－X－．如圖

－X－，，

是⊙

上的兩點(diǎn)，∠＝°，︵求證：

平分∠；延長(zhǎng)

至點(diǎn)

P

使得

＝

PC

的半徑

＝，求

PC

的長(zhǎng)．圖

－X－類(lèi)型之四 切線的性質(zhì)與判定日．2019·

照

如圖

－X－

所示，

是⊙

的直徑，

切日⊙

于點(diǎn)

，連接

并延長(zhǎng)交⊙

于點(diǎn)

，連接

，＝，∠P＝°，則

的長(zhǎng)是 圖

－X－A． B． ． ．如圖－X－

所示，圓形薄鐵片與三角尺、直尺緊靠在一起平放在桌面上．已知鐵片的圓心為，三角尺的直角頂點(diǎn)

落在直尺的

處，鐵片與直尺的唯一公共點(diǎn)

落在直尺的

處，鐵片與三角尺的唯一公共點(diǎn)為.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是 第頁(yè)/共頁(yè)＝，

是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)＝，

是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

作

DE⊥

交

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

E.A．圓形鐵片的半徑是

B．四邊形

為正方形．弧

的長(zhǎng)度為

π

．扇形

的面積是

π

－X－，在

△

＝＝°，＝

，點(diǎn)

在中線

上，設(shè)

＝

，當(dāng)半徑為

的⊙

與△

的邊相切時(shí)，＝____________．圖

－X－．如圖－X－，，

是⊙

的切線，，

為切點(diǎn)，是⊙

的直徑，，

的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)

.若∠＝°，求∠

的度數(shù)；當(dāng)∠

為多少度時(shí)，＝？并說(shuō)明理由．圖

－X－．如圖

－X－eq

\o\ac(△,19)，

內(nèi)接于⊙，＝，

為⊙的弦，且

∥.過(guò)點(diǎn)

作⊙

的切線，與

的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)

E，

與

相交于點(diǎn)

F.求證：四邊形

是平行四邊形；若

＝，＝，求

的長(zhǎng)．圖

－X－．

濟(jì)寧如圖

－X－，已知⊙

的直徑

＝，弦︵第頁(yè)/共頁(yè)求證：DE

是⊙

的切線；求

的長(zhǎng)．圖

－X－蜀．2019·

山區(qū)一模

如圖

－X－，

是以

為直徑的⊙蜀上一點(diǎn)，

是⊙

的切線，點(diǎn)

在

的延長(zhǎng)線上，作

⊥

于點(diǎn)

E.求證：

平分∠；若

＝CE＝，求⊙

的半徑；請(qǐng)?zhí)剿鳎壕€段

，，

之間有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．圖

－X－類(lèi)型之五 正多邊形與圓的有關(guān)計(jì)算．如圖－X－

ABCDEF內(nèi)接于⊙，若直線與⊙

相切于點(diǎn)

，則∠

的度數(shù)為 圖

－X－A．° B．° ．° ．°．以半徑為

的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距為三邊作三角形，則該三角形的面積是 圖

－X－ A.

B.

C.

類(lèi)型之六 弧長(zhǎng)及扇形面積．如圖

－X－，在矩形

中，已知

＝，＝，第頁(yè)/共頁(yè)矩形在直線

l

上繞其右下角的頂點(diǎn)

向右旋轉(zhuǎn)

右下角的頂點(diǎn)繼續(xù)向右旋轉(zhuǎn)°至圖②位置，…，依次類(lèi)推，這樣連續(xù)旋轉(zhuǎn)

次后，頂點(diǎn)

在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路程之和是 圖

－X－A．π B．π．π ．π．如圖

－X－①所示，小剛用一張半徑為

的扇形紙板做一個(gè)如圖

－X－②所示的圓錐形小丑帽子側(cè)面接縫處忽略不計(jì)，如果做成的圓錐形小丑帽子的底面圓半徑為

，那么這張扇形紙板的面積是 圖

－X－A．π

B．π

．π

．π

瑤．2019·

海區(qū)三模

如圖

－X－，半徑為

的⊙

與正五瑤邊形

相切于點(diǎn)

，，則劣弧

的長(zhǎng)度為_(kāi)_______．圖

－X－．如圖－X－eq

\o\ac(△,27)，在

中，＝，以

為直徑的⊙

分別與

，

交于點(diǎn)

，E，過(guò)點(diǎn)

作⊙

的切線

DF，交

于點(diǎn)

F.求證：DF⊥；若⊙

的半徑為

，∠CDF＝°，求陰影部分的面積．第頁(yè)/共頁(yè)圖

－X－棗．2019·

莊

如圖

－X－eq

\o\ac(△,28)，在

中，∠＝°，∠棗

的平分線交

于點(diǎn)

，點(diǎn)

在

上，以點(diǎn)

為圓心，

為半徑的圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與

，

分別交于點(diǎn)

E，F(xiàn).試判斷直線

與⊙

的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；若

＝ ，BF＝，求陰影部分的面積結(jié)果保留π．圖

－X－第頁(yè)/共頁(yè)教師詳解詳析． 解析

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠A′＝∠A，∠A′CB′＝∠ACB.∵∠A＝°，∴∠A′＝°.∵∠B′＝°，∴∠A′CB′＝°－°－°＝°，∴∠ACB＝°.∵將△ABC

繞著點(diǎn)

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

eq

\o\ac(△,50)°后得到 A′B′，∴∠ACA′＝°，∴∠BCA′＝＋°＝°.． 解析

如圖，當(dāng)

在∠

的內(nèi)部時(shí)，若∠＝∠＝

＝，∠＝∠，＝eq

\o\ac(△,OE) ≌△，故

DE＝CB，此時(shí)∠BOE＝°－°－°＝°；當(dāng)

OE′在∠

的外部時(shí)，若∠DOE′＝∠＝°，則由＝′＝∠，＝OE′ODE′≌△

DE′＝CB，此時(shí)∠BOE′＝°－°＋°＝°.．解：證明：∵△BAD

是由△BEC

繞點(diǎn)

B

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

°得到的，∴DB＝CB，∠ABD＝∠EBC，∠ABE＝°.又∵AB⊥BC，∴∠ABC＝°，∴∠EBC＝∠ABD＝°，∴∠DBE＝°－∠EBC－∠ABD＝°，∴∠DBE＝∠EBC.第頁(yè)/共頁(yè)DB＝CB，在△BDE

和△BCE

中，∠DBE＝∠EBC，BE＝BE，∴△BDE≌△BCE.四邊形

ABED

是菱形．理由：由得△BDE≌△BCE.又∵△BAD

是由△BEC

旋轉(zhuǎn)得到的，∴△BAD≌△BEC，∴AB＝BE，＝DE＝CE.又∵BE＝CE，∴AB＝BE＝DE＝，∴四邊形

ABED

是菱形．． 解析

連接

，由題意，得

＝－AE＝－＝，根據(jù)勾股定理，得

CE＝

－＝

－＝

，∴＝＝︵ ︵ ． 解析

AC＝BC＝∠＝°.故選

.． 解析

如圖所示，連接

，，∵圓心

到弦

AB

的距離為

AB

長(zhǎng)度的一半，∴＝DB，⊥AB，∴∠＝∠＝°.同理，∠A＝∠＝°，∴∠＝°.第頁(yè)/共頁(yè)． 解析

連接

并延長(zhǎng)，交

BC

于點(diǎn)

，連接

，∵AB＝AC，∴⊥BC，∴BD＝＝∵△ABC

是等腰直角三角形，∴＝BD＝，∴＝，∴＝

＋BD＝

． 解析

如圖，連接

BE，設(shè)⊙

的半徑為

R.如圖， ∵⊥AB，∴AC＝BC＝＝×＝在

eq

\o\ac(△,Rt)

中，＝R，＝R－＝R－∵＋AC＝，∴(R－＋＝R，解得

R＝，∴＝－＝∵

為

AE

的中點(diǎn)，

為

AB

的中點(diǎn)，∴

為△ABE

的中位線，∴BE＝＝∵AE

為⊙

的直徑，∴∠ABE＝°.在

eq

\o\ac(△,Rt) BCE

中，CE＝

BC＋BE＝

＋＝ ．解：

∵＝，∴∠＝∠∵AB∥，∴∠＝∠，∠＝∠，∴∠＝∠，∴＝＝＋AC＝＋＝如圖，過(guò)點(diǎn)

作

⊥，連接

，則

＝第頁(yè)/共頁(yè)∵

是AC的中點(diǎn)，∴＝， ∵

是AC的中點(diǎn)，∴＝，∵＝，即CE＝，∴設(shè)

＝，則

CE＝在

eq

\o\ac(△,Rt)

中，＝＋CE，即＝＋，解得＝

負(fù)值舍去．在

△

中，＝＋，即

＝

＋，解得＝負(fù)值舍去．∴＝＝． 解析

在⊙

中，∵∠

與∠ACB

是同弧所對(duì)的圓周角，∴∠＝∠ACB.∵∠＝°，∴∠ACB＝°.故選

.． 解析

∵∠ABC＝°，∴∠＝°.∵AB

是⊙

的弦，⊥AB，∴∠＝∠＝°，∴∠＝°.．° 解析

如圖，連接

BC.∵AB

是⊙

的直徑，∴∠ACB＝°.∵∠BAC＝°，∴∠B＝°.∵四邊形

ABCD

為圓內(nèi)接四邊形，∴∠＝°.︵∴∠＝∠＝°－°＝°.．° 解析

∵∠＝°，∴∠BAC＝∠＝°.第頁(yè)/共頁(yè)∵∠＝°，

是AB的中點(diǎn)，

∴＝∵∠＝°，

是AB的中點(diǎn)，

∴＝ ＝ 3÷

＝∵∠BAC＝∠＋∠，∴∠＝∠BAC＝°.故答案為

°.．解：證明：由題意可得∠＝∠BAC，∠＝∠ABC.∵∠＝∠＝°，∴∠BAC＝∠ABC＝°，∴△ABC

是等邊三角形．∵∠＝°，∴

是圓的直徑，∴∠＝°，∴∠＝°.∵△ABC

是等邊三角形，∴AC＝BC＝AB＝ ∵∠＝°，BC°∵∠ACB＝°，∴∠＝°，∴∠＝°.在

eq

\o\ac(△,Rt)

中，＝＝．解：證明：如圖，連接

，︵∴∠＝∠＝°.∵＝，∴△

是等邊三角形，第頁(yè)/共頁(yè)∴＝AC，同理

＝BC，∴＝AC＝BC＝，∴四邊形

是菱形，∴AB

平分∠由知△

是等邊三角形，∴＝AC，∠＝∠＝°.∵＝，∴＝AC，∴∠＝∠，∴∠＝∠＝°，∴∠＝°－∠－∠＝°，∴△

是直角三角形，∴＝

＝

． 解析

∵是⊙

的切線，∴∠BAP＝°.∵∠＝°，∴∠＝°，∴∠＝°，∴∠＝∠BAC＝∠＝°＝∠，∴＝AC.在

eq

\o\ac(△,Rt)

＝°，＝＝＝ AC＝ ． 解析

∵圓形鐵片與直尺和三角尺的直角邊都有唯一的⊥BC，⊥AC.又∠BCA＝°，∴四邊形

為矩形．又

＝，∴四邊形

為正方形，∴圓形鐵片的半徑等于正方形

的邊長(zhǎng)，為第頁(yè)/共頁(yè)－＝cm

，

的面積為

∴＝

∠BDC－＝cm

，

的面積為

∴＝

∠BDC＝

∴＝

∠BCD＝

＝πcm，因此選項(xiàng)

正確．利用弧長(zhǎng)公式可計(jì)算弧

AB

的長(zhǎng)為×π× ＝πcm，故選項(xiàng)

錯(cuò)誤．． 或

或

解析

在

eq

\o\ac(△,Rt) ABC

中，∠ACB＝°，∠A＝°，AC＝，∴∠B＝°，AB＝ ∵

為中線，∴＝＝BD＝＝ ，∴∠BDC＝∠BCD＝∠B＝°，∠＝∠A＝°.①當(dāng)⊙

與

AB

相切時(shí)，如圖①，過(guò)點(diǎn)

作

⊥AB

于點(diǎn)

E，在

eq

\o\ac(△,Rt)

中，∠BDC＝°，＝，＝ ，∴＝＝－＝ － ＝ ；②當(dāng)⊙

與

BC

相切時(shí)，如圖②，過(guò)點(diǎn)

作

⊥BC

于點(diǎn)

E，在

eq

\o\ac(△,Rt)

中，∠BCD＝°，＝，＝ ，∴＝＝ ；第頁(yè)/共頁(yè) ∠③當(dāng)⊙

與

AC

相切時(shí)，如圖③. ∠過(guò)點(diǎn)

作

⊥AC

于點(diǎn)

E，在

eq

\o\ac(△,Rt)

中，∠＝°，＝， ∴＝ ＝

＝，∴＝＝故答案為

或

或

．解：∵是⊙

的切線，∴∠＝°，∴∠BAP＝°－∠＝°.又∵，

是⊙

的切線，∴＝，∴∠BAP＝∠ABP＝°，∴∠APB＝°－°×＝°.當(dāng)∠＝°時(shí)，＝理由如下：當(dāng)∠＝°時(shí)，由知∠BAP＝∠ABP＝°，∴∠APB＝°－°×＝°.∵，

是⊙

的切線，∴∠＝∠APB＝°.又∵∠＝∠ABP－∠＝°－°＝°，∴∠＝∠，∴＝．解：證明：連接

，交

BC

于點(diǎn)

，延長(zhǎng)

交⊙

于點(diǎn)

，連接

第頁(yè)/共頁(yè)∵AE

與⊙

相切于點(diǎn)

A，∴⊥AE，∴∠CAE＋∠＝°.∵∠＝°，∴∠＋∠＝°，∴∠＝∠CAE.∵∠ABC＝∠，∴∠ABC＝∠CAE.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ACB＝∠CAE，∴AE∥BC.又∵AB∥，∴四邊形

ABCE

是平行四邊形．由知∠＝∠CAE.∵∠＝∠，∴∠＝∠CAE.又∵∠AEC＝∠DEA，∴△ADE∽△CAE，∴AE∶CE＝DE∶AE，即

AE＝CE·(CE＋，∴＝CE·(CE＋，解得

CE＝負(fù)值舍去．根據(jù)得

AB＝AC＝CE＝，BC＝AE＝∵⊥AE，∴⊥BC，∴BG＝＝在

eq

\o\ac(△,Rt)

AGC

中，根據(jù)勾股定理，得

AG＝

AC－＝

設(shè)⊙

的半徑為

eq

\o\ac(△,r.)由

為斜邊上的高，AG 易推得△

AGC∽△，∴

＝，∴＝AG·GH＝AG·－AG)，第頁(yè)/共頁(yè)∵

是BC的中點(diǎn)，∴BD＝， ∵

是BC的中點(diǎn)，∴BD＝，即

＝ －，解得

＝

，∴＝－AG＝

.∵AE∥BC，∴FC∶AE＝∶＋CE)，AE·CD ×

＋∴FC＝＋CE＝ ＝

＋ ∴FG＝FC－＝

－＝在eq

\o\ac(△,Rt)

＝

FG＋＝錯(cuò)誤!＝.．解：證明：如圖，連接

，︵︵ ︵∴∠＝∠BAE，∴∥AE.又∵DE⊥AC，∴DE⊥∵

是⊙

的半徑，∴DE

是⊙

的切線．如圖，過(guò)點(diǎn)

作

⊥AC

于點(diǎn)

F，∵AC＝， ∴AF＝CF＝＝×＝∵∠＝∠DEF＝∠＝°，∴四邊形

是矩形，第頁(yè)/共頁(yè)∴FE＝＝∵AB＝，∴FE＝，∴AE＝AF＋FE＝＋＝．解：證明：連接

，∵

是⊙

的切線，∴⊥∵AE⊥，∴∥AE，∴∠EAC＝∠∵＝，∴∠＝∠，∴∠EAC＝∠，即

AC

平分∠BAE.連接

BC，∵AE⊥CE，AC＝＝，CE ∴∠CAE＝AC＝，∴∠CAE＝°，∴∠CAB＝∠CAE＝°.∵AB

是⊙

的直徑，∴∠ACB＝°，AC ∴∠CAB＝AB＝

，∴AB＝ ，∴⊙

的半徑是

＝BD·AD.證明：∵∠DCB＋∠＝°，∠＋∠＝°，∴∠DCB＝∠，∴∠DCB＝∠＝∠又∵∠＝∠eq

\o\ac(△,D)，∴ BCD∽△，BD ∴＝，即

＝BD·AD.第頁(yè)/共頁(yè)．． 解析

通過(guò)解直角三角形，可求出正三角形、正方形、 正六邊形的邊心距分別為＝，＝

，＝

，則＋＝，所 以該三角形是直角三角形，則＝××

＝

.故選

.

－ 解析

在⊙

的內(nèi)接正五邊形ABCDE

中，設(shè)

EG＝，易知∠AEB＝∠ABE＝∠EAG＝°，∠BAG＝∠AGB＝°，∴AB＝BG＝AE＝∵∠AEG＝∠AEB，∠EAG＝∠EBA，AE EG∴△AEG∽△BEA，∴BE＝EA，即

AE＝EG·BE，∴＝＋，解得

＝－＋

負(fù)值舍去，∴EG＝

－． 解析

旋轉(zhuǎn)

次是一個(gè)循環(huán)，其中前三次點(diǎn)A

作旋轉(zhuǎn)變換，第四次是繞點(diǎn)

A

旋轉(zhuǎn)，