福建省廈門市杏南中學10-11學年高二3月月考(數(shù)學理)

■■■?■■■■■鑼點亮心燈///(AvA)\\\照亮人生.■??■■■■鑼廈門市杏南中學2010-2011學年（下）學期高二數(shù)學理3月階段測試卷滿分150分（2011年3月25日）命題教師：陳文慶一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.在答題卷上的相應題目的答題區(qū)域內(nèi)作答考試時間：120分鐘1.下列求導運算正確的是（B11A.（X—）/=1右B.（log2X）/xx2.如圖，空間四邊形ABCD中，M、G分別是BC、CD的中點,則AB—BC—BD等于（C）2二*C.(5丫占1095羽(x2cosx)/二2xsinxA.ADB.3?在平行六面體11—T-Ji卡f右A1B1=a,AD1=b,向量是(D)1T1之TAa—一b亠c'22T1TTC.—a—一bc24.在下列條件中，使r■OM=2OA—CGAC.AGD.MGABCD-A1B1C1D1中，M為A―?T1T1TTB—ab亠c'22T1TTD.ab■c2M與A,B,C一定共面的是A.B.OMC.mAMBMC.0D.OMOAOBOC=05.若Hm仏2x)-f(x0)=1.x—0.x，則f（X0）等于（C6.A.2物體運動方程為則t=2時瞬時速度為A.2B7.曲線f(x)=x3+x-2在p。處的切線平行于直線4x-1，則P0點的坐標為(C)A.(1,0)B.(2,8)C.(1,0)和(-1,-4)D.(2,8)和(-1,-4)一—一—精誠凝聚7=成就夢想一—■■■?■■■■■鑼點亮心燈///(AvA)\\\照亮人生.■??■■■■鑼X曲線y在點1,1處的切線方程為(B)2x-1A.x-y-2=0B.xy-2=0C.x4y-5=0D.x-4y-5=0C.無極大值，極小值-32D函數(shù)f(x)=(x-3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是C.無極大值，極小值-32DA.(」：,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,：：)10.函數(shù)y=32/:x-6x(-1#x3)有(D)A.極大值0，極小值-32B.極大值-7，極小值-27?極大值0，無極小值11.設f(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)11.設f(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù),是(C)12.是(C)12.f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當X：：：0時,f(x)g(x)f(x)g(x)<0且f(T)=0則不等式f(x)g(x)：：0的解集為(A)A.(—1,0)U(1,+s)B.(-1,0)U(0,1)C.(—8,—1)U(1,+s)D.(—8,—1)U(0,1)二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.在答題卷上的相應題目的答題區(qū)域內(nèi)作答.■耳""若向量a=(1,-2,2),b=(2,—1,2)，且a與b的夾角余弦值為8/9._1函數(shù)f(x)=ln(x，1)-ax在(1,2)上單調(diào)遞增，貝U實數(shù)a的取值范圍是(-：：，］.3已知直線y=x+1與曲線y=ln(x-a)相切，貝Ua的值為2

解:設切點P(xo,y。)，則y。=X。?1,y。二ln(x°a),又;y|x朮二1Xoax。a"y。=1XoaTOC\o"1-5"\h\z16?做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使體積是27二，且用料最省，則圓柱的底面半徑為_3三、解答題：本大題共6題，共74分?解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟?在答題卷上的相應題目的答題區(qū)域內(nèi)作答.17.(本小題共12分)已知函數(shù)f(x)=3x3_9x?5.(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(H)求函數(shù)f(x)在［-2,2］上的最大值和最小值.17.解：(1)f'(x)=9x2-9.1分令9x2-90,解此不等式，得x”-1或x1.3分因此，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-:,-1)和(1,；).5分(2)令9x2-9=0,得x=1或x=1.6分當x變化時，f'(X),f(x)變化狀態(tài)如下表：X-2(-2.-1)X-2(-2.-1)-1(-11)1112〕2f'W/+0―04-/-11171110分從表中可以看出，當x--2或x=1時，函數(shù)f(x)取得最小值-1.當x=-1或x=2時，函數(shù)f(x)取得最大值11.12分18.(本小題共12分)設函數(shù)f(x^g(x)x2，曲線y=g(x)在點(1,g(1))處的切線方程為y=2x1，求曲線y二f(x)在點(1,f(1))處的切線方程。解：由已知曲線y二g(x)在點(1,g(1))處的切線方程為y=2xT?點(1,g(1))在切線y=2xv上且函數(shù)y=g(x)在x=1處的切線斜率為22分一—一—精誠凝聚7=成就夢想一—g(1)=21仁3得/得g(1)=2..4分.6分..4分.6分又flx)=glx)2x..8分所以有：f/(1)=g/(1)2=410分E..7分....8E..7分....8分-f(x)在(1,4)處的切線方程為：y-4=4(x-1)也即：4x-y=0.12分19.(本小題滿分12分)如圖，在三棱柱ABC-ABC中，CG丄平面ABC,CA=CB=CC2,/ACB=90,E、F分別是BABC的中點，G是AA上一點，且AC丄EG.(I)確定點G的位置；(H)求直線AC與平面EFG所成角0的大小.解：(I)以C為原點，分別以CBCACC為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則F(1,0,0),E(1,1,0),A(0,2,TOC\o"1-5"\h\z0),C(0,0,2),AC=(0,—2,2)2分設G(0,2,h)，則EG二(-1,1,h).AG_EG,EGAG=0.4分???—1X0+1X(-2)+2h=0.???h=1,即卩G是AA的中點..5分fa-■.，■■■!■■(n)設m=(x,y,z)是平面EFG的法向量，貝Um_FE,m_EG..6分?xx+1xy+0^z=0,所以丿i_x+y+z=0.取平面EFG的一個法向量m=(1,0,1)|m||AC1|1J2..10分Jlc兀???e=—,即AC與平面EFG所成角日為一6612分20.(本小題滿分12分)如圖，已知三棱錐O-ABC的側(cè)棱

.■?■■■■■鑼點亮心燈???///(AvA)\\\???照亮人生OAAOB,OC兩兩垂直，■■■■■■鑼且0A=1,0B=0C=2,E是0C的中點.求0點到面ABC的距離；求異面直線BE與AC所成角的余弦值；求二面角E-AB-C的余弦值.方法一:(1)以O為原點，OB、OC、OA分別為x、則有A(0,0,1)、B(2,0,0)、C(0,2,0)、E(0,1,0).設平面ABC的法向量為厲=(x,y,z),則由_AB知:n1AB=2x—z=0;由n,_AC知:n,AC=2y-z=0.取y、z軸建立空間直角坐標系4分n^(1,1,2)，則點O到面ABC的距離為d=■.■114__6_3(2)EB=(2,0,0)-(0,1,0)AC=(0,2,-1).=(2,-1,0),cos<EB,AC>二亠_75q52所以異面直線BE與AC所成的角余弦值為2/5.……8分5’4呻T⑶設平面EAB的法向量為n=(x,y,z),則由n_AB知：nAB=2x-z=0;4T?T斗由n_EB知：nEB=2x-y=0.取n=(1,2,2).由(1)知平面ABC的法向量為q=(1,1,2).1+2+47746-.9.63、618'7J6結(jié)合圖形可知，二面角E-AB-C的余弦值為—6.1812分方法二：(1)取BC的中點D,連AD、OD7OBPC,則OD—BC、AD—BC,BC_面OAD過O點作OH_AD于H,.■??■■■■鑼點亮心燈???〃/(")\\\???照亮人生.■??■■■■鑼一—一—精誠凝聚7=成就夢想一—■■■?■■■■■鑼點亮心燈///(AvA)\\\照亮人生.■??■■■■鑼則OH_面ABC,OH的長就是所要求的距離.BC=2、、2,OD二.OC2_CD2二2.：OA_OB、OA_OC,.0A_面OBC,則OA_OD.AD二OA2OD^.3，在直角三角形OAD中，有ohOAOD寸64/分1(另解：由VSABCOHJoAOBOC二2知,OH63罟)⑵取OA的中點M，連EM、BM，貝VEM//AC,.BEM是異面直線BE與AC所成1EM=—AC的角.求得：2cosNBEM5,BE二OB2-OE25,BMOM2OB22BE2ME2-BM22BEME22，一/BEM=arccos.55(3)連結(jié)CH并延長交AB于F,連結(jié)OF、EF.:OC_面OAB,.OC_AB.又：OH_面ABC,CF_AB,EF_AB,則.EFC就是所求二面角的平面角.作EG_CF于G,則EG1OH2、6在直角三角形OAB中，OFOAOB2AB_.5'在直角三角形OEF中，EF=.OE2OF21mEGsinEFGEF630,EFG二arcsin30.(或表示為arccos^-6)…12分一181831821.(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=x'3-3ax-1,a=0I：門求f(x)的單調(diào)區(qū)間;■若f(x)在X=-1處取得極值,直線y=m與y=f(x)的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍。解析：(1)f'(x)=3x?—3a=3(x2—a),①當a<0時，對xeR，有f'(x)>0,.3分當ac0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(―00,+辺.3分TOC\o"1-5"\h\z②當a0時，由f(x)0解得x：：：-?.,a或x?、.a；.4分由f(x)：：0解得-、、a:：x：：.a,.5分當a0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(_：：,_、、a),(、、a,=)；f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(-、.a,、、a)。6分(2)因為f(x)在x=—1處取得極值，所以f(—1)=3"—1)—3a=0,a=1....7分所以f(x)=x3—3x-1,f(x)=3x2-3,由f(x)=0解得論--1,x2=1。8分由(1)中f(x)的單調(diào)性可知，f(x)在x=-1處取得極大值=1,9分在x=1處取得極小值f(1)=-3。..10分因為直線y=m與函數(shù)y=f(x)的圖象有三個不同的交點，又f(-3)=-19::：-3,f(3)=171，結(jié)合f(x)的單調(diào)性可知，m的取值范圍是(-3,1)。12分22.(本小題共12分)把邊長為a的等邊三角形鐵皮剪去三個相同的四邊形(如圖陰影部分)后，用剩余部分做成一個無蓋的正三棱柱形容器(不計接縫)，設容器的高為x，容積為V(x).(I)寫出函數(shù)V(x)的解析式，并求出函數(shù)的定義域；(n)求當x為多少時，容器的容積最大？并求出最大容積.解：(I)因為容器的高為x，則做成的正三棱柱形容器的底邊長為(a-23x)——1分.一—一—精誠凝聚=A_A=成就夢想_—一—一—精誠凝聚7=成就夢想一—■■■?■■■■■鑼點亮心燈///(AvA)\\\照亮人生.■??■■■■鑼■■■■■■■■■鑼點亮心燈///(AvA)\\\照亮人生■■??■■■■鑼函數(shù)的定義域為(0,—3a).(a-2(a-23x)23分6(n)實際問題歸結(jié)為求函數(shù)V(x)在區(qū)間(0,—a)上的最大值點.6先求V(x)的極值點.在開區(qū)間(0,仝a)內(nèi)，V'(x)=9-3x2—6ax3a264令V'(x)=0，即令9、3x2_6ax3a2=0，解得為3a,x23a(舍去).4186因為人=1|已在區(qū)間(°，fa)內(nèi)，xi可能是極值點.當0■xXi時，V'(x)0；當％*卩時，v'(x)e因此Xi是極大值點，且在區(qū)間因此Xi是極大值點，且在區(qū)間(0,—3a)內(nèi)，Xi是唯一的極值點，所以x=Xi6的最大值點，并且最大值f(3a)丄a3i8543i即當正二棱柱形容器咼為'a時，容器的容積最大為ai8543a是V(x)1812附加題：(導優(yōu)小組必做題)23.設點P在曲線y=x2上，從原點向A(2,4)移動，如果直線OP,曲線y=x2及直線x=2所圍成的面積分別記為S1、S2。(I)當x=2所圍成的面積分別記為S1、S2。(I)當Si=S2時，求點P的坐標;(□)當SiS2有最小值時，求點解：(I)設點P的橫坐標為t(0<t<2)(t,t2),直線OP的方程為y=txt213Si(tx-X)dxt,S2=064416因為Si=S?，所以t，點P的坐標為(一，)339S25分(n)s=sS2Jt38(n)s=sS2Jt38—2t」t2Jt3—2t87分S*=t2-2，令Sz=0得t2-2=0,t=.28分因為0:::t：：：?一2時，Sz<0;,2:::t：：：2時，S，>09分/-所以，當t=.2時，Smin=841Z,p點的坐標為(..2,2)10分33'424.已知點A(,f(1))、點B(x,ln(x1))，向量a=(1,1)，2令f(x)=AB_a,g(x)=3口x(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式；k(2)若g(x)在X-(0,v)時恒成立，求整數(shù)k的最大值。x+1解：(1)：宋(-3,f'(1)),B(x,ln(x1)),.f(x)二ABt=ln(x?1)x-f'(1)3…1分22.f'(x)二」1,.f'(1)=?,.f(x)=ln(x1)x3分x+12TOC\o"1-5"\h\z(2)；g(x)二f(x)-x1」n(x"122.f'(x)二」1,.f'(1)=?,.f(x)=ln(x1)x3分x+12(x1)[1ln(x1)],亠s…入」、(x1)[1ln(x1)]k在x?(0,?：：)時恒成立，令h(x)二HYPER