江蘇省南京市第二十七中學(xué)2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

試卷第=page44頁(yè)，總=sectionpages44頁(yè)試卷第=page33頁(yè)，總=sectionpages44頁(yè)江蘇省南京市第二十七中學(xué)2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．（）A． B． C． D．2．下列各組向量中，可以作為基底的是（）A．， B．，C．， D．，3．復(fù)數(shù)，若復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（）A．關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱 B．關(guān)于虛軸對(duì)稱C．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱4．已知向量，，且，則（）A．5 B． C．10 D．5．下列命題中正確的有（）A．若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合B．若和是都是單位向量，則C．若，則與的夾角為0°D．零向量與任何向量共線6．如圖，已知兩座建筑物，的高度分別是12m，20m，從建筑物的頂部A處看建筑物的張角，則建筑物，的底部B，D之間的距離是（）A．18m B．20m C．24m D．30m7．已知函數(shù)，則的值域是（）A． B． C． D．8．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c．若,則∠A的大小為A． B． C． D．二、多選題9．已知，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．10．設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．11．在中，給出下列4個(gè)命題，其中正確的命題是（）A．若，則 B．，則C．若，則 D．，則12．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．2π是的一個(gè)周期 B．方程有無窮多解C．是偶函數(shù) D．在上是增函數(shù)三、填空題13．已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)的模為___________.14．已知為銳角，且，則___________.15．在中，已知，，則的面積為___________.16．已知函數(shù)，對(duì)于任意的，總存在，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.四、解答題17．已知復(fù)數(shù).（1）計(jì)算：；（2）若，求復(fù)數(shù).18．在中，已知，，.（1）求的長(zhǎng)；（2）若___________，求的長(zhǎng).給出條件①是的中線，②是的高.請(qǐng)?jiān)冖佗趦蓚€(gè)條件中任選一個(gè)，將問題（2）補(bǔ)充完整，并給出解答.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.19．已知，為銳角，，.（1）求，的值；（2）求的值.20．方位角是從指北方向線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的角.如圖，某貨船由西向東航行，在A處測(cè)得某島M的方位角為75°，前進(jìn)后到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得島M的方位角為30°.（1）求貨船在A處時(shí)與島M的距離；（2）若島M周圍內(nèi)有暗礁，如果該船繼續(xù)向東航行，有無觸礁危險(xiǎn)？21．在中，，，是的角平分線.（1）若，求的長(zhǎng)；（2）若，且點(diǎn)P滿足，求的最大值.22．已知向量，，函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期及其單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若，是函數(shù)的零點(diǎn)，用列舉法表示的值組成的集合；（3）求證：方程不存在正實(shí)數(shù)解.本卷由系統(tǒng)自動(dòng)生成，請(qǐng)仔細(xì)校對(duì)后使用，答案僅供參考。本卷由系統(tǒng)自動(dòng)生成，請(qǐng)仔細(xì)校對(duì)后使用，答案僅供參考。答案第=page1414頁(yè)，總=sectionpages1414頁(yè)答案第=page1313頁(yè)，總=sectionpages1414頁(yè)參考答案1．D【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式與兩角和的正弦公式即可求出結(jié)果.【詳解】，故選：D.2．C【分析】本題可根據(jù)向量平行的相關(guān)性質(zhì)依次判斷四個(gè)選項(xiàng)中的、是否共線，即可得出結(jié)果.【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)椋?、共線，不能作為基底；選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以、共線，不能作為基底；選項(xiàng)C：因?yàn)椋?、不共線，可以作為基底；選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以、共線，不能作為基底.故選：C.3．B【分析】由條件求得，化簡(jiǎn)，根據(jù)復(fù)平面內(nèi)坐標(biāo)，判斷兩復(fù)數(shù)對(duì)稱性即可.【詳解】由題知，，由復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)知，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱.故選：B4．A【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出，再求出，即可得出所求.【詳解】，，，解得，，，.故選：A.5．D【分析】根據(jù)平面向量的概念依次判斷即可得出.【詳解】對(duì)A，兩個(gè)向量相等，則它們的大小和方向相同，與位置無關(guān)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，若和是都是單位向量，則，方向不一定相同，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，若，則與的夾角為或，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，根據(jù)共線向量的定義規(guī)定，零向量與任何向量共線，故D正確.故選：D.6．C【分析】過A作于E，則，設(shè)，利用兩角和的正切公式可建立關(guān)于的關(guān)系式，即可解出．【詳解】如圖，過A作于，設(shè)，∵，記，則，在中，,∴,在中，,∴,∴，∴，解得：或（舍去），所以建筑物，的底部B，D之間的距離是24m.故選：C.7．C【分析】利用二倍角的余弦公式、誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)結(jié)合可求得原函數(shù)的值域.【詳解】由已知條件可得，因?yàn)椋瑒t，因此，.故選：C.8．B【詳解】由正弦定理知,即.故.由9．BCD【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，逐項(xiàng)變形移項(xiàng)即可得解.【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)的線性運(yùn)算，對(duì)A，化簡(jiǎn)為，錯(cuò)誤；對(duì)B，即，即，正確；對(duì)C，對(duì)移項(xiàng)可得，正確；對(duì)D，由，移項(xiàng)即，正確；故選：BCD10．ABC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則依次判斷即可.【詳解】對(duì)A，，故A正確；對(duì)B，，，，故B正確；對(duì)C，，故C正確；對(duì)D，，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11．ABD【分析】利用正弦定理判斷A，D，利用余弦函數(shù)，正切函數(shù)的單調(diào)性判斷B,C，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】∵A>B，∴a>b，∴sinA>sinB，A對(duì)，∵A>B，且，又函數(shù)在上為減函數(shù)，∴，B對(duì)，取，則A>B，但，C錯(cuò)，∵A<B，∴，∴，D對(duì)，故選：ABD.12．AC【分析】根據(jù)函數(shù)的周期與奇偶性的定義即可判斷AC選項(xiàng)，然后化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，得到分段函數(shù)的解析式，即可判斷BD選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所?π是的一個(gè)周期，故A正確；，所以是偶函數(shù)，故C正確；,由可知方程無解，故B錯(cuò)誤；因?yàn)闀r(shí)，，因?yàn)椋屎瘮?shù)在，在單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.故選：AC.13．5【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)可得，再利用模長(zhǎng)公式即可得解.【詳解】，所以，故答案為：14．【分析】結(jié)合已知角的范圍以及三角函數(shù)值，縮小角的范圍得到，進(jìn)而結(jié)合同角的平方關(guān)系得到的值，進(jìn)而湊角利用兩角和的正弦公式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉殇J角，所以，又因?yàn)?，則，故，所以，故答案為：.15．【分析】根據(jù)，，求得，，，即可求得，從而求得，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，，，所以，又，所以，所?故答案為：.16．【分析】條件等價(jià)于函數(shù)在區(qū)間上的最大值小于等于在區(qū)間上的最大值，當(dāng)區(qū)間的區(qū)間長(zhǎng)度，函數(shù)在區(qū)間上一定能取得最大值1，即不等式恒成立；然后對(duì)兩區(qū)間，的邊界點(diǎn)進(jìn)行分類討論，分別求得對(duì)應(yīng)的參數(shù)范圍即可.【詳解】由題易知，條件等價(jià)于函數(shù)在區(qū)間上的最大值小于等于在區(qū)間上的最大值，根據(jù)三角函數(shù)的周期性易知，當(dāng)區(qū)間的區(qū)間長(zhǎng)度，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上一定能取得最大值1，即不等式恒成立；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單增，不等式恒成立，故滿足條件；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即存在點(diǎn)滿足恒成立，故滿足條件；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，此時(shí)，，顯然不成立；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，若使不等式成立，即時(shí)，，只需，解得，即；綜上所述，故答案為：17．（1）；（2）或.【分析】（1）結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可求出結(jié)果；（2）結(jié)合復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算求出，然后利用復(fù)數(shù)相等得到，解之即可求出結(jié)果.【詳解】解：（1）原式（2）設(shè)，則，因?yàn)椋?，故，解得或所以?18．（1）；（2）答案見解析.【分析】（1）知兩邊和一角，利用余弦定理即可得解；（2）選①，利用向量的運(yùn)算，兩邊平方進(jìn)行計(jì)算即可得解，選②利用等面積法進(jìn)行計(jì)算即可得解.【詳解】（1）由余弦定理得：，所以.（2）若選①：則，所以，.若選②：因?yàn)槭堑母?，所以又，所以，，所以?19．（1），；（2）.【分析】（1）根據(jù)公式，求得結(jié)果；（2）由條件求得，，從而由求得結(jié)果.【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以?（2）因?yàn)椋裕驗(yàn)?，為銳角，所以.又因?yàn)?，所以，因此，因此?20．（1）；（2）該船繼續(xù)向東航行，無觸礁危險(xiǎn).【分析】（1）由條件求得，從而由正弦定理求得AM.

（2）設(shè)航線上點(diǎn)C恰在島M的正南方，則，然后與比較即可判斷是否有觸礁危險(xiǎn).

【詳解】解：（1）在中，易知，，所以，由正弦定理知：，所以，貨船在A處時(shí)到島M的距離為.（2）設(shè)航線上點(diǎn)C恰在島M的正南方，則，所以，該船繼續(xù)向東航行，無觸礁危險(xiǎn).21．（1）；（2）.【分析】（1）利用向量的運(yùn)算可得，結(jié)合條件，兩邊平方利用向量的運(yùn)算即可得解；（2）如圖先建立直角坐標(biāo)系，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，利用條件可得各點(diǎn)的坐標(biāo)，，，設(shè)，由條件可得，則，利用函數(shù)、基本不等式和向量運(yùn)算三種方法求最值即可得解.【詳解】（1）因?yàn)槭堑慕瞧椒志€，所以，則，所以，.即的長(zhǎng)為（2）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，，所以，，，設(shè)，由得即，所以，代入得.方法一：∵∴，∴，∴.方法二：∵，由得，∴.方法三：取中點(diǎn)M，中點(diǎn)N，連，∵，∴為直角三角形，∴，∵M(jìn)，N為中點(diǎn)，∴，∵，.當(dāng)且僅當(dāng)與反向取等號(hào).22．（1）最小正周期為4，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）；（3）證明見解析.【分析】（1）利用三角函數(shù)恒等變換的公式，把函數(shù)化簡(jiǎn)為，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）根據(jù)，是函數(shù)的零點(diǎn)，得到