數(shù)學必修4平面向量綜合練習題

數(shù)學必修4平面向量綜合練習題數(shù)學必修4平面向量綜合練習題數(shù)學必修4平面向量綜合練習題資料僅供參考文件編號：2022年4月數(shù)學必修4平面向量綜合練習題版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準:發(fā)布日期：一、選擇題【共12道小題】1、下列說法中正確的是(

)A.兩個單位向量的數(shù)量積為1

B.若a·b=a·c且a≠0,則b=cC.

D.若b⊥c,則(a+c)·b=a·b參考答案與解析:解析：A中兩向量的夾角不確定;B中若a⊥b,a⊥c,b與c反方向則不成立;C中應為;D中b⊥cb·c=0,所以(a+c)·b=a·b+c·b=a·b.答案：D主要考察知識點:向量、向量的運算2、設e是單位向量,=2e,=-2e,||=2,則四邊形ABCD是(

)A.梯形

B.菱形

C.矩形

D.正方形參考答案與解析:解析：,所以||=||,且AB∥CD,所以四邊形ABCD是平行四邊形.又因為||=||=2,所以四邊形ABCD是菱形.答案：B主要考察知識點:向量、向量的運算3、已知|a|=|b|=1，a與b的夾角為90°,且c=2a+3b，d=ka-4b,若c⊥d,則實數(shù)k的值為(

)

參考答案與解析:解析：∵c⊥d,∴c·d=(2a+3b)·(ka-4b)=0,即2k-12=0,∴k=6.答案：A主要考察知識點:向量、向量的運算4、設0≤θ＜2π,已知兩個向量=(cosθ，sinθ),=(2+sinθ，2-cosθ)，則向量長度的最大值是(

)A.

B.

C.

D.參考答案與解析:解析：=(2+sinθ-cosθ,2-cosθ-sinθ),所以||=≤=.答案：C主要考察知識點:向量與向量運算的坐標表示5、設向量a=(1,-3)，b=(-2,4)，c=(-1,-2)，若表示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則向量d為(

)A.(2,6)

B.(-2,6)

C.(2,-6)

D.(-2,-6)參考答案與解析:解析：依題意,4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,所以d=-6a+4b-4c=(-2，-6).答案：D主要考察知識點:向量與向量運算的坐標表示6、已知向量a=(3，4)，b=(-3，1)，a與b的夾角為θ,則tanθ等于(

)A.

參考答案與解析:解析：由已知得a·b=3×(-3)+4×1=-5，|a|=5，|b|=，所以cosθ=.由于θ∈［0，π］,所以sinθ=.所以tanθ==-3.答案：D主要考察知識點:向量與向量運算的坐標表示7、向量a與b不共線,=a+kb,=la+b(k、l∈R),且與共線,則k、l應滿足(

)+l=0

=0

+1=0

=0參考答案與解析:解析：因為與共線,所以設=λ(λ∈R),即la+b=λ(a+kb)=λa+λkb,所以(l-λ)a+(1-λk)b=0.因為a與b不共線,所以l-λ=0且1-λk=0,消去λ得1-lk=0,即kl-1=0.答案：D主要考察知識點:向量、向量的運算8、已知平面內(nèi)三點A(-1,0),B(5,6),P(3,4),且AP=λPB,則λ的值為(

)

C.

D.參考答案與解析:解析：因為=λ,所以(4，4)=λ(2，2).所以λ=.答案：C主要考察知識點:向量與向量運算的坐標表示9、設平面向量a1，a2，a3的和a1+a2+a3=0，如果平面向量b1，b2，b3滿足|bi|=2|ai|，且ai順時針旋轉(zhuǎn)30°后與bi同向，其中i=1，2，3，則(

)+b2+b3=0

+b3=0+b2-b3=0

+b2+b3=0參考答案與解析:解析：根據(jù)題意,由向量的物理意義,共點的向量模伸長為原來的2倍,三個向量都順時針旋轉(zhuǎn)30°后合力為原來的2倍,原來的合力為零,所以由a1+a2+a3=0,可得b1+b2+b3=0.答案：D主要考察知識點:向量、向量的運算10、設過點P(x，y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A、B兩點，點Q與點P關(guān)于y軸對稱，O為坐標原點，若,且·=1,則P點的軌跡方程是(

)+y2=1(x＞0,y＞0)

=1(x＞0,y＞0)=1(x＞0,y＞0)

+3y2=1(x＞0,y＞0)參考答案與解析:解析：設P(x,y),則Q(-x,y).設A(xA),xA,B(0,yByB0,=(x,y-yB)=(xAx,-y).∵=2PA,∴x=2(xA,x),y-yB=2y,xA=x,yB=3y(x＞0,y＞0).又∵·=1,(-x,y)·(-xA,yB)=1,∴(-x,y)·(x,3y)=1,即x2+3y2=1(x＞0,y＞0).答案：D主要考察知識點:向量、向量的運算11、已知△ABC中，點D在BC邊上，且，若,則r+s的值是(

)A.

C.

參考答案與解析:解析：△ABC中，==()=-，故r+s=0.答案：B主要考察知識點:向量、向量的運算12、定義a※b=|a||b|sinθ，θ是向量a和b的夾角，|a|、|b|分別為a、b的模，已知點A(-3,2)、B(2,3),O是坐標原點，則※等于(

)

參考答案與解析:解析：由題意可知=(-3,2),=(2,3),計算得·=-3×2+2×3=0，另一方面·=||||cosθ，∴cosθ=0,又θ∈(0,π)，從而sinθ=1，∴※=||||sinθ=13.答案：D主要考察知識點:向量與向量運算的坐標表示二、填空題【共4道小題】1、已知a+b+c=0,且|a|=3,|b|=5,|c|=7,則向量a與b的夾角是____________.參考答案與解析:解析：由已知得a+b=-c,兩邊平方得a2+2a·b+b2=c2,所以2a·b=72-32-52=15.設a與b的夾角為θ,則cosθ===,所以θ=60°.答案：60°主要考察知識點:向量、向量的運算2、若=2e1+e2,=e1-3e2,=5e1+λe2,且B、C、D三點共線,則實數(shù)λ=___________.參考答案與解析:解析：由已知可得=(e1-3e2)-(2e1+e2)=-e1-4e2,=(5e1+λe2)-(e1-3e2)=4e1+(λ+3)e2.由于B、C、D三點共線,所以存在實數(shù)m使得,即-e1-4e2=m［4e1+(λ+3)e2］.所以-1=4m且-4=m(λ+3),消去m得λ=13.答案：13主要考察知識點:向量、向量的運算3、已知e1、e2是夾角為60°的兩個單位向量,則a=2e1+e2和b=2e2-3e1的夾角是__________.參考答案與解析:解析：運用夾角公式cosθ=，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)果.答案：120°主要考察知識點:向量、向量的運算4、如圖2-1所示，兩射線OA與OB交于O，則下列選項中向量的終點落在陰影區(qū)域內(nèi)的是_________________.圖2-1①

②+

③

④+

⑤-參考答案與解析:解析：由向量減法法則可知③⑤不符合條件,①②顯然滿足，④不滿足.答案：①②主要考察知識點:向量、向量的運算三、解答題【共6道小題】

1、如圖2-2所示，在△ABC中,=c,=a,=b,且a·b=b·c=c·a，試判斷△ABC的形狀.圖2-2參考答案與解析:解：∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0.又b=-(a+c),∴-(a+c)·(a-c)=0,即c2-a2=0.∴|c|=|a|.同理,|b|=|a|,故|a|=|b|=|c|,所以△ABC為等邊三角形.主要考察知識點:向量、向量的運算2、如圖2-3所示,已知||=||=1，、的夾角為120°,與的夾角為45°,||=5,用，表示.(注：cos75°=)圖2-3參考答案與解析:解：設=λ+μ,則·=(λ+μ)·=λ+μ·=λ+μcos120°=λμ.又·=||||cos45°=5cos45°=,∴λμ=,·=(λ+μ)·=λ·+μ=λcos120°+μ=λ+μ.又·=||·||cos(120°-45°)=5cos75°=,∴λ+μ=.∴λ=,μ=.∴=+.主要考察知識點:向量、向量的運算3、在四邊形ABCD中(A、B、C、D順時針排列),=(6，1)，=(-2，-3).若有∥,又有⊥,求的坐標.參考答案與解析:解：設=(x,y),則=(6+x,1+y),=(4+x,y-2),=(-x-4,2-y),=(x-2,y-3).又∥及⊥,所以x(2-y)-(-x-4)y=0,

①(6+x)(x-2)+(1+y)(y-3)=0.

②解得或∴=(-6,3)或(2,-1).主要考察知識點:向量與向量運算的坐標表示4、已知平面向量a=(,-1),b=(,).(1)證明a⊥b;(2)若存在不同時為零的實數(shù)k、t,使得x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且x⊥y,求函數(shù)關(guān)系式k=f(t).參考答案與解析:(1)證明：因為a·b=(，-1)·(，)=+(-1)×=0，所以a⊥b.(2)解：由已知得|a|==2，|b|==1,由于x⊥y,所以x·y=0,即［a+(t2-3)b］·(-ka+tb)=0.所以-ka2+ta·b-k(t2-3)b·a+t(t2-3)b2=0.由于a·b=0,所以-4k+t(t2-3)=0.所以k=t(t2-3).由已知k，t不同時為零得k=t(t2-3)(t≠0).主要考察知識點:向量與向量運算的坐標表示5、已知a、b、c是同一平面內(nèi)的三個向量,其中a=(1,2).(1)若|c|=,且c∥a,求c的坐標;(2)若|b|=,且a+2b與2a-b垂直,求a與b的夾角θ.參考答案與解析:解：(1)設c=(x，y),∵|c|=,∴,即x2+y2=20,

①∵c∥a,a=(1，2),∴2x-y=0,即y=2x.

②聯(lián)立①②得或∴c=(2,4)或(-2,-4).(2)∵(a+2b)⊥(2a-b),∴(a+2b)·(2a-b)=0,即2a2+3a·b-2b2=0.∴2|a|2+3a·b-2|b|2=0.

①∵|a|2=5，|b|2=,代入①式得a·b=.∴cosθ==-1.又∵θ∈［0，π］，∴θ=π.主要考察知識點:向量與向量運算的坐標表示6、如圖2-4所示