工程流體力學(xué)講義課件

第六章

理想不可壓縮流體的平面勢流和旋渦運(yùn)動第六章1§1流體微團(tuán)運(yùn)動法分析§2速度環(huán)量和漩渦強(qiáng)度§3速度勢和流函數(shù)§5基本的平面勢流§6有勢流動疊加§7理想流體的漩渦運(yùn)動§1流體微團(tuán)運(yùn)動法分析2理想流體的流動分有旋運(yùn)動無旋運(yùn)動位勢流動：無旋運(yùn)動由于存在速度勢和流函數(shù)，故又稱位勢流。理想流體的流動分有旋運(yùn)動位勢流動：無旋運(yùn)動由于存在速度勢和流3§6－1流體微團(tuán)運(yùn)動分析流體微團(tuán)的運(yùn)動：平移轉(zhuǎn)動變形轉(zhuǎn)動平移§6－1流體微團(tuán)運(yùn)動分析流體微團(tuán)的運(yùn)動：平移轉(zhuǎn)4變形角變形線變形變形角變形線變形5一.平移如圖：在流場中取一四邊形流體a、b、c、d，經(jīng)過dt時間后該四邊形移到a’、b’、c’d’，形狀、大小沒有變化，僅是平移了一段距離。各點(diǎn)的速度大小和方向沒有變化，即沒有變形和轉(zhuǎn)動。xabcddxdxdydyb’a’c’d’y一.平移如圖：在流場中取一四邊形流體a、b、c、d，經(jīng)過d6二.線變形在t時刻a、b、c、d各點(diǎn)的速度如圖，由于各點(diǎn)的速度不同，經(jīng)過Δt時刻后由b點(diǎn)的和d點(diǎn)的作用下，會產(chǎn)生線變形。xabcdyuvb’a’c’d’二.線變形在t時刻a、b、c、d各點(diǎn)的速度如圖，由于各點(diǎn)的速7

定義：單位長度、單位時間內(nèi)線變形稱為線變形率，用ε表示。由定義有：三個方向的線變形定義：單位長度、單位時間內(nèi)線變形稱為線變形率，8討論b點(diǎn)的和d點(diǎn)的作用，經(jīng)時間dt后，由于這兩個速度增量，使原圖形發(fā)生角變形。三.角變形b’a’c’d’ΔαΔβabcdyuv討論b點(diǎn)的和d點(diǎn)的作用，經(jīng)時9

定義：單位時間內(nèi)ab、cd轉(zhuǎn)過的平均角度稱角變形速度，用θ表示。由定義有：為三個平面內(nèi)的角變形定義：單位時間內(nèi)ab、cd轉(zhuǎn)過的平均角度稱角變10

四.轉(zhuǎn)動：假設(shè)d點(diǎn)和c點(diǎn)的速度增量在x方向是負(fù)的，則經(jīng)過dt時間后，a、b、c、d繞a點(diǎn)轉(zhuǎn)過一個角度d’b’a’c’ΔβΔαabcduv四.轉(zhuǎn)動：假設(shè)d點(diǎn)和c點(diǎn)的速度增量在x方向是負(fù)11

圖中定義：單位時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的平均角度為旋轉(zhuǎn)角速度，以ω表示。代入和圖中定義：單位時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的平均角度為旋轉(zhuǎn)角速度12

有或當(dāng)稱無旋流或勢流。稱有旋流或渦流。有或當(dāng)稱無旋流或勢13

流體運(yùn)動是否有旋不能只看其運(yùn)動軌跡，而要看它是否繞自身軸轉(zhuǎn)動。例：流體運(yùn)動是否有旋不能只看其運(yùn)動軌跡，而要看它是14流動是否存在？是否有旋？例：流動是否存在？是否有旋？流動是否存在？是否有旋？例：流動是否存在？是否有旋？15例：如圖所示，流體各個微團(tuán)以速度解：平行于x軸作直線流動，試確定流動是否有旋。有旋運(yùn)動。例：如圖所示，流體各個微團(tuán)以速度16§2速度環(huán)量和旋渦強(qiáng)度一.渦線、渦管1.渦線：與流線概念相似，渦線也是一條曲線，在給定瞬時t，這條曲線每一點(diǎn)的切線與該點(diǎn)流體微團(tuán)的角速度的方向重合。由渦線定義得渦線方程：§2速度環(huán)量和旋渦強(qiáng)度一.渦線、渦管1.渦線：與流線概念172.渦管

在給定瞬時，在渦量場中取一不是渦線得封閉曲線，通過曲線上每點(diǎn)做渦線，這些渦線形成一個管狀表面，稱為渦管，渦管中充滿著做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的流體。沿渦管長度方向旋轉(zhuǎn)角速度是變化的。2.渦管在給定瞬時，在渦量場中取一不是渦線得封閉曲線18二.漩渦強(qiáng)度：在渦量場中任取一微元面積，上流體質(zhì)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角速度向量為，為的法線方向，微元面積上的漩渦強(qiáng)度用表示定義：A對整個表面積A積分,總的漩渦強(qiáng)度為：二.漩渦強(qiáng)度：在渦量場中任取一微元面積19當(dāng)在A上均布,則有：——稱為渦通量漩渦強(qiáng)度等于2倍的渦通量。當(dāng)在A上均布,則有：——稱為渦通量漩渦強(qiáng)度等于220三、速度環(huán)量定義：假定某一瞬時，流場中每一點(diǎn)的速度是已知的，AB曲線上任一點(diǎn)的速度為，在該曲線上取一微元段為沿微元線段上的環(huán)量。與之間的夾角為α，則稱αAB三、速度環(huán)量定義：假定某一瞬時，流場中每一點(diǎn)的速度是已知的，21曲線AB上的環(huán)量為：

若曲線AB是封閉曲線，則環(huán)量為：Lα曲線AB上的環(huán)量為：若曲線AB是封閉曲線，則環(huán)22將矢量、分別表示：故對封閉周線L的環(huán)量為：環(huán)量是一個標(biāo)量，它的正負(fù)取決于速度方與線積分的方向。將矢量、分別表示：故對封閉周線L的環(huán)23當(dāng)速度方向與線積分方向同向時取正，反向時取負(fù)。若是封閉周線，逆時針為正，順時針為負(fù)。

例：不可壓縮流體平面流動的速度分布為，求繞圓的速度環(huán)量。當(dāng)速度方向與線積分方向同向時取正，反向時取負(fù)。若是封閉周線，24解：積分路徑在圓上，有解：積分路徑在圓上，有25四、斯托克斯定理

斯托克斯定理：任意面積A上的旋渦強(qiáng)度，等于該面積的邊界L上的速度環(huán)量Γ。Stokeslaw將對渦量的研究轉(zhuǎn)化為對速度環(huán)量的研究。因?yàn)榫€積分比面積分要簡單，且速度場比渦量場容易測得。四、斯托克斯定理斯托克斯定理：任意面積A上的旋26

1.微元面積的stokeslaw證明：BCDdxdyAxy取一微元矩形的封閉周線，各點(diǎn)速度大小如圖：1.微元面積的stokeslaw證明：B27沿A、B、C、D的速度環(huán)量為由于各點(diǎn)速度不等，取各邊始端點(diǎn)的速度的平均值計(jì)算環(huán)量：將各點(diǎn)速度代入整理，有：沿A、B、C、D的速度環(huán)量為由于各點(diǎn)速度不等，28∴stokes定理得證。（水平面）2.有限單連域的stokeslaw:將微元面積的結(jié)果推廣到有限大面積中。把有限大面積劃分成無數(shù)個微元面積，∴stokes定理得證。（水平面）2.有限單連域的29求出每條邊，然后再求和，內(nèi)周線上的環(huán)量相互抵消，只剩下沿外周界線L的環(huán)量。L求出每條邊，然后再求和，內(nèi)周線上的環(huán)量相互抵消，只30

此式即為有限大單連域stokes定理。即：此定理也可用于復(fù)連域：此式即為有限大單連域stokes定理。即：31

L1L2AStokeslaw說明，速度環(huán)量Γ不僅可以決定漩渦的存在，還可衡量封閉周線所圍區(qū)域中全部漩渦的總渦強(qiáng)。環(huán)量為零，即總渦強(qiáng)為零；環(huán)量不為零必然存在漩渦。反之，無旋，環(huán)量為零。L1L2AStokeslaw說明，速度環(huán)量32

問題：沿封閉周線L的環(huán)量Γ為零，是否在所圍面積內(nèi)流體各處都處于無旋狀態(tài)？答：否只有在區(qū)域內(nèi)任一條封閉曲線上的速度環(huán)量皆為零，則區(qū)域內(nèi)的旋渦強(qiáng)度必為零，流動為無旋運(yùn)動。問題：沿封閉周線L的環(huán)量Γ為零，是否在所圍面積33

例1：證明平行流的環(huán)量為零。流體以定常速度水平運(yùn)動，在流場中任取一封閉周線1234，求若封閉周線取為圓Γ＝？1234例1：證明平行流的環(huán)量為零。流體以定常速度水34例2：求有間斷面的平行流的速度環(huán)量Γ＝？1234Lbu1u2例2：求有間斷面的平行流的速度環(huán)量Γ＝？1234Lbu1u235例3：龍卷風(fēng)的速度分布為

試根據(jù)stokeslaw來判斷是否為有旋流動。時時如圖，當(dāng)，流體以ω象剛體一樣轉(zhuǎn)動，稱風(fēng)眼或強(qiáng)迫渦（渦核）。例3：龍卷風(fēng)的速度分布為試根據(jù)stokes36在區(qū)域，流體繞渦核轉(zhuǎn)動，流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是圓但本身并沒有旋轉(zhuǎn)稱之為自由渦或勢渦。自由渦rr0ω強(qiáng)制渦復(fù)合渦在區(qū)域，流體繞渦核轉(zhuǎn)動，流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動37分別討論自由渦和強(qiáng)制渦。在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)p，過p點(diǎn)做任一封閉曲線ABCD，沿ABCD做環(huán)量:ABCDr1r2r0θpω強(qiáng)制渦：分別討論自由渦和強(qiáng)制渦。在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)p38式中為扇形ABCD的面積即有旋由于p是任取的，故這一結(jié)果可推廣到強(qiáng)制渦中任一點(diǎn)，由此可見，強(qiáng)制渦是有旋流。討論自由渦：在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)p，過p點(diǎn)做任一封閉曲線ABCD，沿ABCD做環(huán)量式中為扇形ABC39ABCDr1r2r0θpω由于ABCD是任取的，故此結(jié)論可推廣到自由渦中任一區(qū)域。結(jié)論：龍卷風(fēng)的風(fēng)眼是有旋的，風(fēng)眼外是無旋的。ABCDr1r2r0θpω由于ABCD是任取的，故此結(jié)論可推40例：設(shè)二元流的速度為：問：1）流動是否存在？2）流動是否有旋？3）求沿的Γ和該周線所圍面積內(nèi)的漩渦強(qiáng)度。例：設(shè)二元流的速度為：問：1）流動是否存在？41例：已知速度場求以所圍正方形的Γ。1－1－11例：已知速度場求以所圍正方42例：設(shè)在（1，0）點(diǎn)置有Γ＝Γ0的渦，在（－1，0）點(diǎn)置有Γ＝－Γ0的旋渦，求沿下例路線的Γ。＋Γ0－Γ01）2）3）4）例：設(shè)在（1，0）點(diǎn)置有Γ＝Γ0的渦，在（－1，0）點(diǎn)置有Γ43§3速度勢和流函數(shù)一、平面流動二、速度勢函數(shù)1.勢函數(shù)φ存在的條件：垂直與z軸的每個平面流動都相同，稱平面流動。對無旋流此條件可寫成：§3速度勢和流函數(shù)一、平面流動二、速度勢函數(shù)1.勢函數(shù)φ44此條件稱柯西—黎曼條件由高數(shù)知識可知，柯西—黎曼條件是使成為某一個函數(shù)全微分的充要條件，即此條件稱柯西—黎曼條件由高數(shù)知識可知，柯西—黎曼條件是使成為45而當(dāng)t為參變量，的全微分為比較兩式有：柱坐標(biāo)而當(dāng)t為參變量，的全微分為比較兩式有：柱坐標(biāo)46

無論流體是否可壓縮，是否定常流只要滿足無旋條件，總有勢函數(shù)存在。故理想流體無旋流也稱勢流。

把稱為速度勢函數(shù)簡稱勢函數(shù)用勢函數(shù)表示速度矢量：無論流體是否可壓縮，是否定常流只要滿足無旋條件472、勢函數(shù)的性質(zhì)

1）流線與等勢面垂直證：令為等勢面，在其上任取一微元線段，上的速度為,求兩者點(diǎn)積2、勢函數(shù)的性質(zhì)1）流線與等勢面垂直證：令48

在等勢面上，故即速度與等勢面垂直，由于速度矢量與流線相切，故流線與等勢面垂直。2）勢函數(shù)對任意方向L的偏導(dǎo)數(shù)，等于速度矢量在該方向的的分量。3）φ與Γ之間的關(guān)系在等勢面上，故49

由此可知：在勢流中，沿任意曲線AB的環(huán)量等于曲線兩端點(diǎn)勢函數(shù)的差，與曲線的形狀無關(guān)。由此可知：在勢流中，沿任意曲線AB的環(huán)量等于曲50

若φ函數(shù)是單值的，則沿任一封閉周線k的速度環(huán)量等于零。4）在不可壓流體中，勢函數(shù)是調(diào)和函數(shù)由連續(xù)性方程：有：滿足拉普拉斯方程的函數(shù)是調(diào)和函數(shù)。若φ函數(shù)是單值的，則沿任一封閉周線k的速度51

三、流函數(shù)ψ1、流函數(shù)的定義：在不可壓流體的平面流中，應(yīng)滿足即由高數(shù)知識可知，此式是使成為某一個函數(shù)全微分的充要條件，即三、流函數(shù)ψ1、流函數(shù)的定義：在不可壓流體的平52

而的全微分又可表示為：比較兩式有極坐標(biāo)稱為流函數(shù)。只要流動存在，無論而而的全微53

是否有旋，是否為理想流體，都必定存在流函數(shù)。2、流函數(shù)的特性：1）流函數(shù)與流線的關(guān)系：的等值線是平面上一條流線。證明：由流線方程：是否有旋，是否為理想流體，都必定54

而即故時c是流線方程的解,它是平面上一條流線。注意：有流動就有流線存在，而流函數(shù)僅存在于平面流動中。2）流函數(shù)與流量Q的關(guān)系：

流過任意曲線的流量等于曲線兩端點(diǎn)流函數(shù)的函數(shù)值之差。而即故55

流線ABV由此結(jié)果可知：

兩流線之間流量保持不變，與曲線AB的起始點(diǎn)無關(guān)，若AB本身就是一條流線，則通過AB的流量為零。若AB是一條封閉周線，通過AB的流量也為零。流線ABV由此結(jié)果可知：56

3）流函數(shù)ψ與勢函數(shù)φ的關(guān)系：對不可壓平面勢流，流函數(shù)和勢函數(shù)同時存在，它們之間關(guān)系是a:b:

等φ線與等ψ線垂直前已證明，流線與等勢面垂直，而的線是流線故等φ線與等ψ線垂直。流網(wǎng)3）流函數(shù)ψ與勢函數(shù)φ的關(guān)系：對57

代入

4）在不可壓平面無旋流中，流函數(shù)也是調(diào)和函數(shù)。對平面無旋流將有：滿足拉普拉斯方程，故是調(diào)和函數(shù)。代入4）在不可壓平面無旋流中，流函58例1：不可壓縮平面流動的速度勢為，求在點(diǎn)（2，1.5）處速度的大小。解由速度勢的定義求出例1：不可壓縮平面流動的速度勢為59例2：設(shè)二元流動的速度場為

求1)流動是否存在？是否有旋？

2）φ＝？3）ψ＝？

4）求沿的Γ和該周線所圍面積內(nèi)的漩渦強(qiáng)度。例2：設(shè)二元流動的速度場為

求1)流動是否存在？是否有60例3：已知流場的流函數(shù)

試問1)是否存在φ？

2）求出通過A(2,3)和B(4,7)任意曲線的流量和沿曲線的環(huán)量Γ。例3：已知流場的流函數(shù)

試問1)是否存在φ？61例4：已知試問1)流動是否存在？

2）流動是否有勢？3）ψ＝？φ＝？4）求沿的Γ及通過此曲線的流量Q。例4：已知試問1)流動是否存在？62§6-4不可壓縮流體平面無旋流動的復(fù)變函數(shù)表示一、復(fù)位勢與流函數(shù)、勢函數(shù)間的對應(yīng)關(guān)系流函數(shù)與勢函數(shù)的關(guān)系這正是柯西-黎曼條件。復(fù)變函數(shù)的理論，和可以組成以復(fù)變量為自變量的一個復(fù)變函數(shù)?！?-4不可壓縮流體平面無旋流動的復(fù)變函數(shù)表示一、復(fù)位勢63它的導(dǎo)數(shù)為被稱為流動的復(fù)位勢，實(shí)部為勢函數(shù)，虛部為流函數(shù)。被稱為復(fù)速度，實(shí)部為速度在x方向的分量，虛部為速度在y方向的分量的相反數(shù)。它的導(dǎo)數(shù)為被稱為流動的復(fù)位勢，實(shí)部為勢64二、復(fù)位勢的性質(zhì)1.兩點(diǎn)的復(fù)位勢之差是復(fù)勢，其實(shí)部是兩點(diǎn)連線上的速度環(huán)量，虛部是通過兩點(diǎn)連線的流量。2.復(fù)位勢允許加任一復(fù)常數(shù)而不改變所代表的流動。3.兩個不可壓縮流體的平面無旋流動的疊加，仍然為平面無旋流，其復(fù)勢為原兩個復(fù)勢之和。二、復(fù)位勢的性質(zhì)1.兩點(diǎn)的復(fù)位勢之差是復(fù)勢，其實(shí)部是兩點(diǎn)連65三、勢流疊加原理勢函數(shù)速度三、勢流疊加原理勢函數(shù)速度66§5基本的平面有勢流動勢流疊加原理:由于φ函數(shù)和ψ函數(shù)都是調(diào)和函數(shù)，由調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)可知，調(diào)和函數(shù)的線性組合仍是調(diào)和函數(shù)，故可用來描述一個新的有勢流動即φ函數(shù)和ψ函數(shù)可疊加，疊加后仍是無旋流?！?基本的平面有勢流動勢流疊加原理:由于φ函67一、均勻直線流動

平行流有幾種情況：如圖xyyxvuαxyΦ＝cΨ=c一、均勻直線流動平行流有幾種情況：如圖xyyx68討論一般情況：1、速度場可分解成2、φ與ψ由積分有:討論一般情況：1、速度場可分解成2、φ與ψ由積分有:693、求流線同理:令有解得:流線是斜線斜率是3、求流線同理:令有解得:流線是斜70點(diǎn)z相同，有即全流場壓力為常數(shù)如α＝0，流線平行與x軸,如α＝90°流線平行與y軸，4、壓力分布平行流中各點(diǎn)速度相等，任取兩點(diǎn)寫伯努利方程，都有在水平面上，各點(diǎn)z相同，有即全流場壓力為常數(shù)如α＝0，71二、平面點(diǎn)源和點(diǎn)匯二、平面點(diǎn)源和點(diǎn)匯72點(diǎn)源：單位時間內(nèi)通過一半徑為的圓周流出流量當(dāng)時保持Q不變，則這種流動稱為點(diǎn)源流（若流入，稱點(diǎn)匯），Q稱為點(diǎn)源（匯）強(qiáng)度。1.點(diǎn)源的速度場由與r成反比。為源，為匯。只有徑向流動點(diǎn)源：單位時間內(nèi)通過一半徑為的圓周流出流量732.點(diǎn)源勢函數(shù)φ和流函數(shù)ψ由0積分當(dāng)φ＝const，即r=const，等勢線為一族同心圓。當(dāng)，故源點(diǎn)是奇點(diǎn)，不討論。2.點(diǎn)源勢函數(shù)φ和流函數(shù)ψ由0積分當(dāng)φ＝cons74流函數(shù)ψ由0積分ψ＝const為流線，即θ=const，流線是半射線。等φ線與等ψ線正交。流函數(shù)ψ由0積分ψ＝const為流線，即θ=c753.點(diǎn)源的壓力分布在源上任取一點(diǎn)與無窮遠(yuǎn)處寫能量方程將，代入

有P與r成拋物線正比。rp;rpr0rp3.點(diǎn)源的壓力分布在源上任取一點(diǎn)與無窮遠(yuǎn)處寫能量方程將76三、點(diǎn)渦點(diǎn)渦：無限長的直線渦束所形成的平面流動。除渦線本身有旋外渦線外的流體繞渦線做等速圓周運(yùn)動且無旋。這種流動也稱純環(huán)流。若設(shè)點(diǎn)渦的強(qiáng)度為則在半徑r處由點(diǎn)渦所誘導(dǎo)的速度為而三、點(diǎn)渦點(diǎn)渦：無限長的直線渦束所形成的平面流動。除渦線本身有771.速度分布：因?yàn)橛森h(huán)量定義1.速度分布：因?yàn)橛森h(huán)量定義782.勢函數(shù)φ流函數(shù)ψ：積分令φ＝const，即θ＝const，等勢線是半射線。0同理可求ψ：2.勢函數(shù)φ流函數(shù)ψ：積分令φ＝const，即θ＝cons79積分令ψ＝const為流線，即r＝const，流線是圓周線。如圖示。3.壓力分布0此種流動是復(fù)合渦的情況，單獨(dú)討論。積分令ψ＝const為流線，即r＝const，流線是圓80四：二元渦所謂二元渦就是前面討論的強(qiáng)迫渦加自由渦，也即復(fù)合渦的問題。rr0ω強(qiáng)制渦復(fù)合渦自由渦四：二元渦所謂二元渦就是前面討論的強(qiáng)迫渦加自由渦，也即復(fù)合渦811.速度分布前面已討論過渦核內(nèi)外的速度分布：

與半徑成正比如圖。由于這部分流體有旋。與半徑r成反比。渦內(nèi)：渦外：在時當(dāng)不變處的為常數(shù)1.速度分布前面已討論過渦核內(nèi)外的速度分布：與半徑82工程流體力學(xué)講義課件832、壓力分布：自由渦：由于是無旋流動，在自由渦中任取一點(diǎn)與無窮遠(yuǎn)處寫伯努利方程：忽略位能若則將代入在自由渦中p與r成平方關(guān)系,(拋物線）2、壓力分布：自由渦：由于是無旋流動，在自由渦中任取一點(diǎn)與無84越靠近渦核，壓力越小，當(dāng)時渦核邊緣處與無窮遠(yuǎn)處的壓力差為越靠近渦核，壓力越小，當(dāng)時渦核邊緣處與無窮85渦核內(nèi)的壓力分布渦核內(nèi)是有旋的，能量方程只對流線成立，故只能從原始的運(yùn)動方程入手導(dǎo)出壓力分布，其結(jié)論為：將代入即在渦核內(nèi)壓力分布也是拋物線渦核內(nèi)的壓力分布渦核內(nèi)是有旋的，能量方程只對流線成立，故只能86此時是常數(shù)，若設(shè)渦核中心點(diǎn)為c，當(dāng)漩渦中心點(diǎn)的壓力渦核邊緣與渦核中心的壓降為與自由渦壓降相等此時是常數(shù)，若設(shè)渦核中心點(diǎn)為c，當(dāng)漩渦中心點(diǎn)的壓力渦核87由以上推導(dǎo)可知：渦核中心的壓力低于無窮遠(yuǎn)處的壓力，差值為在漩渦區(qū)內(nèi)，壓力急劇下降，在漩渦中心產(chǎn)生一個很大的吸力，對渦外的物體具有抽吸作用。由以上推導(dǎo)可知：渦核中心的壓力低于無窮遠(yuǎn)處的壓力，差值為在漩88§6有勢流動疊加一、點(diǎn)源流和直線流的疊加1、勢函數(shù)流函數(shù)：為新的有勢流§6有勢流動疊加一、點(diǎn)源流和直線流的疊加1、勢函數(shù)流函數(shù)893、駐點(diǎn)：2、速度場令解得駐點(diǎn)在x負(fù)軸上4、流線：令ψ＝c得流線3、駐點(diǎn)：2、速度場令解得駐點(diǎn)在x負(fù)軸上4、流線：90解得流線方程為：當(dāng)給出一個θ角，對應(yīng)一個距離r，如圖解得流線方程為：當(dāng)給出一個θ角，對應(yīng)一個距離r，如圖91駐點(diǎn)駐點(diǎn)92過駐點(diǎn)的流線上幾個特殊點(diǎn)的確定：由數(shù)學(xué)知識故過駐點(diǎn)此時最大開口當(dāng)當(dāng)當(dāng)上下對稱過駐點(diǎn)的流線上幾個特殊點(diǎn)的確定：由數(shù)學(xué)知識故過駐點(diǎn)此時93由于流線不能相交，此條流線可以模擬有頭無尾的半物體的固體邊界線。二、點(diǎn)渦＋點(diǎn)匯（螺旋流）勢函數(shù)：流函數(shù)：流線方程：由于流線不能相交，此條流線可以模擬有頭無尾的半物體的固體邊界94

等勢線族和流線族是兩組互相正交的對數(shù)螺旋線族，故稱為螺旋流。等勢線族和流線族是兩組互相正交的對數(shù)螺旋線族，95三、偶極子流

將強(qiáng)度為－Q的點(diǎn)匯放在坐標(biāo)原點(diǎn)的右邊，強(qiáng)度為Q的點(diǎn)源放在坐標(biāo)原點(diǎn)的左邊，

三、偶極子流將強(qiáng)度為－Q的點(diǎn)匯放在坐標(biāo)原點(diǎn)的右96當(dāng)兩點(diǎn)無限靠近所形成的流動稱偶極流。

1、φ函數(shù)、ψ函數(shù)式中M稱為偶極矩，為常數(shù).當(dāng)兩點(diǎn)無限靠近所形成的流動稱偶極流。1、φ97分別令φ＝c和ψ=c可得流線和等勢線。如令ψ=c有:解得：這是圓心在y軸上，與原點(diǎn)相切，半徑為的圓，圓心在分別令φ＝c和ψ=c可得流線和等勢線。如令ψ=c有98Φ=cΨ＝cxy這種流動就好像流體在一個圓柱里面流動，故用偶極流來模擬圓柱表面。Φ=cΨ＝cxy這種流動就好像流體在一個圓柱里面流動，故用偶99四、均勻流繞圓柱體無環(huán)量流動將均勻直線流和偶極子疊加,可模擬平行流繞圓柱體的流動.零流線四、均勻流繞圓柱體無環(huán)量流動將均勻直線流和偶極子疊加,可模擬1001.流函數(shù)和勢函數(shù)勢函數(shù)流函數(shù)令稱為零流線，有解得：1.流函數(shù)和勢函數(shù)勢函數(shù)流函數(shù)令稱為零流101零流線是由x軸和以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓組成，由于流線不能相交，故可把零流線模擬圓柱的固體表面。由有代入φ、ψ表達(dá)式：零流線是由x軸和以原點(diǎn)為圓心，半徑為1022、速度場在圓柱面上徑向速度為零，說明流體沒有脫離圓柱表面，緊貼在柱面上。切向速度滿足正弦函數(shù)關(guān)系，與半徑無關(guān)。2、速度場在圓柱面上徑向速度為零，說明流體沒有脫離圓柱表面，103當(dāng)和時，即

是駐點(diǎn)當(dāng)時，柱面上的速度以x軸y和軸對稱。3、環(huán)量在流場中圍繞圓柱體任取一封閉周線做環(huán)量：當(dāng)和時，即是駐點(diǎn)當(dāng)104故稱平行流繞圓柱的流動為無環(huán)流。4、壓力分布在圓柱面上任取一點(diǎn)與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)寫能量方程：式中故故稱平行流繞圓柱的流動為無環(huán)流。4、壓力分布在圓柱面上任取一105用壓力系數(shù)來表示壓力分布與r無關(guān)在柱面上，當(dāng)和時，當(dāng)時，壓力按正弦函數(shù)分布，上下對稱（x軸）用壓力系數(shù)來表示壓力分布與r無關(guān)在柱面上，當(dāng)106左右對稱（y軸），在圓柱面上的合力為零。如圖：箭頭朝外為負(fù)，箭頭朝里為正。左右對稱（y軸），在圓柱面上的合力為零。如圖：箭頭朝外107在圓柱面上取一微元面積，其上作用的力為，可分解為將代入上兩式積分在圓柱面上取一微元面積，其上作用108即在圓柱體上既無垂直來流的升力，也無與來流平行的阻力。這一理論推導(dǎo)的結(jié)果與實(shí)際情況矛盾，稱為“達(dá)朗貝爾疑題”。沒有阻力的原因是沒有考慮流體的粘性所引起的摩擦力;沒有升力是由于物體的對稱性，使得流場相對于x軸對稱。即在圓柱體上既無垂直來流的升力，也無與來流平行的阻力。這一理109五、均勻流繞圓柱體有環(huán)量流動由平行流＋偶極子＋環(huán)流組成,可模擬平行流繞旋轉(zhuǎn)圓柱的流動.五、均勻流繞圓柱體有環(huán)量流動由平行流＋偶極子＋環(huán)流組成,可模1101.求φ、ψ勢函數(shù)：流函數(shù)：2.速度場1.求φ、ψ勢函數(shù)：流函數(shù)：2.速度場111在柱面上徑向速度為零，說明流體沒有脫離柱面，物體表面仍是一條流線。求駐點(diǎn)：令有有如圖三種情況：在柱面上徑向速度為零，說明流體沒有脫離柱面，物體表面仍是一條112a.柱面上有兩個駐點(diǎn)

b.柱面上有一個駐點(diǎn)c.柱面上沒有駐點(diǎn)，駐點(diǎn)在流場中。a.柱面上有兩個駐點(diǎn)1133.壓力分布：在圓柱面上任取一點(diǎn)與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)寫能量方程：式中故作用在圓柱上的合力：3.壓力分布：在圓柱面上任取一點(diǎn)與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)寫能量方程：式中故114如圖：即這就是著名的儒可夫斯基升力定理。由此可知繞圓柱的有環(huán)流無阻力但有升力無阻力的原因仍是沒有考慮粘性。有升力的L-圓柱體長度如圖：即這就是著名的儒可夫斯基升力定理。由此可知繞圓柱的有環(huán)115原因是流場相對于x軸不對稱，在圓柱體的上表面，平行流與環(huán)流的速度同向，和速度增加，壓力下降；在圓柱體的下表面，平行流與環(huán)流的速度反向，和速度下降，壓力增加，故作用在圓柱體上有一個向上的力。升力方向的確定：將來流速度的方向逆的方向轉(zhuǎn)90°，即為升力的方向原因是流場相對于x軸不對稱，在圓柱體的上表面，平行流與環(huán)流的116工程流體力學(xué)講義課件117機(jī)翼壓強(qiáng)分布機(jī)翼壓強(qiáng)分布118例：直徑為1.2m，長為50m的圓柱體以90r/min繞其軸順時轉(zhuǎn)動，空氣流以80km/h的速度沿與圓柱體軸相垂直的方向繞流柱體。試求速度環(huán)量、升力大小及方向。設(shè)流體是理想流體例：直徑為1.2m，長為50m的圓柱體以90r/min119第六章

理想不可壓縮流體的平面勢流和旋渦運(yùn)動第六章120§1流體微團(tuán)運(yùn)動法分析§2速度環(huán)量和漩渦強(qiáng)度§3速度勢和流函數(shù)§5基本的平面勢流§6有勢流動疊加§7理想流體的漩渦運(yùn)動§1流體微團(tuán)運(yùn)動法分析121理想流體的流動分有旋運(yùn)動無旋運(yùn)動位勢流動：無旋運(yùn)動由于存在速度勢和流函數(shù)，故又稱位勢流。理想流體的流動分有旋運(yùn)動位勢流動：無旋運(yùn)動由于存在速度勢和流122§6－1流體微團(tuán)運(yùn)動分析流體微團(tuán)的運(yùn)動：平移轉(zhuǎn)動變形轉(zhuǎn)動平移§6－1流體微團(tuán)運(yùn)動分析流體微團(tuán)的運(yùn)動：平移轉(zhuǎn)123變形角變形線變形變形角變形線變形124一.平移如圖：在流場中取一四邊形流體a、b、c、d，經(jīng)過dt時間后該四邊形移到a’、b’、c’d’，形狀、大小沒有變化，僅是平移了一段距離。各點(diǎn)的速度大小和方向沒有變化，即沒有變形和轉(zhuǎn)動。xabcddxdxdydyb’a’c’d’y一.平移如圖：在流場中取一四邊形流體a、b、c、d，經(jīng)過d125二.線變形在t時刻a、b、c、d各點(diǎn)的速度如圖，由于各點(diǎn)的速度不同，經(jīng)過Δt時刻后由b點(diǎn)的和d點(diǎn)的作用下，會產(chǎn)生線變形。xabcdyuvb’a’c’d’二.線變形在t時刻a、b、c、d各點(diǎn)的速度如圖，由于各點(diǎn)的速126

定義：單位長度、單位時間內(nèi)線變形稱為線變形率，用ε表示。由定義有：三個方向的線變形定義：單位長度、單位時間內(nèi)線變形稱為線變形率，127討論b點(diǎn)的和d點(diǎn)的作用，經(jīng)時間dt后，由于這兩個速度增量，使原圖形發(fā)生角變形。三.角變形b’a’c’d’ΔαΔβabcdyuv討論b點(diǎn)的和d點(diǎn)的作用，經(jīng)時128

定義：單位時間內(nèi)ab、cd轉(zhuǎn)過的平均角度稱角變形速度，用θ表示。由定義有：為三個平面內(nèi)的角變形定義：單位時間內(nèi)ab、cd轉(zhuǎn)過的平均角度稱角變129

四.轉(zhuǎn)動：假設(shè)d點(diǎn)和c點(diǎn)的速度增量在x方向是負(fù)的，則經(jīng)過dt時間后，a、b、c、d繞a點(diǎn)轉(zhuǎn)過一個角度d’b’a’c’ΔβΔαabcduv四.轉(zhuǎn)動：假設(shè)d點(diǎn)和c點(diǎn)的速度增量在x方向是負(fù)130

圖中定義：單位時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的平均角度為旋轉(zhuǎn)角速度，以ω表示。代入和圖中定義：單位時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的平均角度為旋轉(zhuǎn)角速度131

有或當(dāng)稱無旋流或勢流。稱有旋流或渦流。有或當(dāng)稱無旋流或勢132

流體運(yùn)動是否有旋不能只看其運(yùn)動軌跡，而要看它是否繞自身軸轉(zhuǎn)動。例：流體運(yùn)動是否有旋不能只看其運(yùn)動軌跡，而要看它是133流動是否存在？是否有旋？例：流動是否存在？是否有旋？流動是否存在？是否有旋？例：流動是否存在？是否有旋？134例：如圖所示，流體各個微團(tuán)以速度解：平行于x軸作直線流動，試確定流動是否有旋。有旋運(yùn)動。例：如圖所示，流體各個微團(tuán)以速度135§2速度環(huán)量和旋渦強(qiáng)度一.渦線、渦管1.渦線：與流線概念相似，渦線也是一條曲線，在給定瞬時t，這條曲線每一點(diǎn)的切線與該點(diǎn)流體微團(tuán)的角速度的方向重合。由渦線定義得渦線方程：§2速度環(huán)量和旋渦強(qiáng)度一.渦線、渦管1.渦線：與流線概念1362.渦管

在給定瞬時，在渦量場中取一不是渦線得封閉曲線，通過曲線上每點(diǎn)做渦線，這些渦線形成一個管狀表面，稱為渦管，渦管中充滿著做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的流體。沿渦管長度方向旋轉(zhuǎn)角速度是變化的。2.渦管在給定瞬時，在渦量場中取一不是渦線得封閉曲線137二.漩渦強(qiáng)度：在渦量場中任取一微元面積，上流體質(zhì)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角速度向量為，為的法線方向，微元面積上的漩渦強(qiáng)度用表示定義：A對整個表面積A積分,總的漩渦強(qiáng)度為：二.漩渦強(qiáng)度：在渦量場中任取一微元面積138當(dāng)在A上均布,則有：——稱為渦通量漩渦強(qiáng)度等于2倍的渦通量。當(dāng)在A上均布,則有：——稱為渦通量漩渦強(qiáng)度等于2139三、速度環(huán)量定義：假定某一瞬時，流場中每一點(diǎn)的速度是已知的，AB曲線上任一點(diǎn)的速度為，在該曲線上取一微元段為沿微元線段上的環(huán)量。與之間的夾角為α，則稱αAB三、速度環(huán)量定義：假定某一瞬時，流場中每一點(diǎn)的速度是已知的，140曲線AB上的環(huán)量為：

若曲線AB是封閉曲線，則環(huán)量為：Lα曲線AB上的環(huán)量為：若曲線AB是封閉曲線，則環(huán)141將矢量、分別表示：故對封閉周線L的環(huán)量為：環(huán)量是一個標(biāo)量，它的正負(fù)取決于速度方與線積分的方向。將矢量、分別表示：故對封閉周線L的環(huán)142當(dāng)速度方向與線積分方向同向時取正，反向時取負(fù)。若是封閉周線，逆時針為正，順時針為負(fù)。

例：不可壓縮流體平面流動的速度分布為，求繞圓的速度環(huán)量。當(dāng)速度方向與線積分方向同向時取正，反向時取負(fù)。若是封閉周線，143解：積分路徑在圓上，有解：積分路徑在圓上，有144四、斯托克斯定理

斯托克斯定理：任意面積A上的旋渦強(qiáng)度，等于該面積的邊界L上的速度環(huán)量Γ。Stokeslaw將對渦量的研究轉(zhuǎn)化為對速度環(huán)量的研究。因?yàn)榫€積分比面積分要簡單，且速度場比渦量場容易測得。四、斯托克斯定理斯托克斯定理：任意面積A上的旋145

1.微元面積的stokeslaw證明：BCDdxdyAxy取一微元矩形的封閉周線，各點(diǎn)速度大小如圖：1.微元面積的stokeslaw證明：B146沿A、B、C、D的速度環(huán)量為由于各點(diǎn)速度不等，取各邊始端點(diǎn)的速度的平均值計(jì)算環(huán)量：將各點(diǎn)速度代入整理，有：沿A、B、C、D的速度環(huán)量為由于各點(diǎn)速度不等，147∴stokes定理得證。（水平面）2.有限單連域的stokeslaw:將微元面積的結(jié)果推廣到有限大面積中。把有限大面積劃分成無數(shù)個微元面積，∴stokes定理得證。（水平面）2.有限單連域的148求出每條邊，然后再求和，內(nèi)周線上的環(huán)量相互抵消，只剩下沿外周界線L的環(huán)量。L求出每條邊，然后再求和，內(nèi)周線上的環(huán)量相互抵消，只149

此式即為有限大單連域stokes定理。即：此定理也可用于復(fù)連域：此式即為有限大單連域stokes定理。即：150

L1L2AStokeslaw說明，速度環(huán)量Γ不僅可以決定漩渦的存在，還可衡量封閉周線所圍區(qū)域中全部漩渦的總渦強(qiáng)。環(huán)量為零，即總渦強(qiáng)為零；環(huán)量不為零必然存在漩渦。反之，無旋，環(huán)量為零。L1L2AStokeslaw說明，速度環(huán)量151

問題：沿封閉周線L的環(huán)量Γ為零，是否在所圍面積內(nèi)流體各處都處于無旋狀態(tài)？答：否只有在區(qū)域內(nèi)任一條封閉曲線上的速度環(huán)量皆為零，則區(qū)域內(nèi)的旋渦強(qiáng)度必為零，流動為無旋運(yùn)動。問題：沿封閉周線L的環(huán)量Γ為零，是否在所圍面積152

例1：證明平行流的環(huán)量為零。流體以定常速度水平運(yùn)動，在流場中任取一封閉周線1234，求若封閉周線取為圓Γ＝？1234例1：證明平行流的環(huán)量為零。流體以定常速度水153例2：求有間斷面的平行流的速度環(huán)量Γ＝？1234Lbu1u2例2：求有間斷面的平行流的速度環(huán)量Γ＝？1234Lbu1u2154例3：龍卷風(fēng)的速度分布為

試根據(jù)stokeslaw來判斷是否為有旋流動。時時如圖，當(dāng)，流體以ω象剛體一樣轉(zhuǎn)動，稱風(fēng)眼或強(qiáng)迫渦（渦核）。例3：龍卷風(fēng)的速度分布為試根據(jù)stokes155在區(qū)域，流體繞渦核轉(zhuǎn)動，流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是圓但本身并沒有旋轉(zhuǎn)稱之為自由渦或勢渦。自由渦rr0ω強(qiáng)制渦復(fù)合渦在區(qū)域，流體繞渦核轉(zhuǎn)動，流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動156分別討論自由渦和強(qiáng)制渦。在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)p，過p點(diǎn)做任一封閉曲線ABCD，沿ABCD做環(huán)量:ABCDr1r2r0θpω強(qiáng)制渦：分別討論自由渦和強(qiáng)制渦。在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)p157式中為扇形ABCD的面積即有旋由于p是任取的，故這一結(jié)果可推廣到強(qiáng)制渦中任一點(diǎn)，由此可見，強(qiáng)制渦是有旋流。討論自由渦：在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)p，過p點(diǎn)做任一封閉曲線ABCD，沿ABCD做環(huán)量式中為扇形ABC158ABCDr1r2r0θpω由于ABCD是任取的，故此結(jié)論可推廣到自由渦中任一區(qū)域。結(jié)論：龍卷風(fēng)的風(fēng)眼是有旋的，風(fēng)眼外是無旋的。ABCDr1r2r0θpω由于ABCD是任取的，故此結(jié)論可推159例：設(shè)二元流的速度為：問：1）流動是否存在？2）流動是否有旋？3）求沿的Γ和該周線所圍面積內(nèi)的漩渦強(qiáng)度。例：設(shè)二元流的速度為：問：1）流動是否存在？160例：已知速度場求以所圍正方形的Γ。1－1－11例：已知速度場求以所圍正方161例：設(shè)在（1，0）點(diǎn)置有Γ＝Γ0的渦，在（－1，0）點(diǎn)置有Γ＝－Γ0的旋渦，求沿下例路線的Γ。＋Γ0－Γ01）2）3）4）例：設(shè)在（1，0）點(diǎn)置有Γ＝Γ0的渦，在（－1，0）點(diǎn)置有Γ162§3速度勢和流函數(shù)一、平面流動二、速度勢函數(shù)1.勢函數(shù)φ存在的條件：垂直與z軸的每個平面流動都相同，稱平面流動。對無旋流此條件可寫成：§3速度勢和流函數(shù)一、平面流動二、速度勢函數(shù)1.勢函數(shù)φ163此條件稱柯西—黎曼條件由高數(shù)知識可知，柯西—黎曼條件是使成為某一個函數(shù)全微分的充要條件，即此條件稱柯西—黎曼條件由高數(shù)知識可知，柯西—黎曼條件是使成為164而當(dāng)t為參變量，的全微分為比較兩式有：柱坐標(biāo)而當(dāng)t為參變量，的全微分為比較兩式有：柱坐標(biāo)165

無論流體是否可壓縮，是否定常流只要滿足無旋條件，總有勢函數(shù)存在。故理想流體無旋流也稱勢流。

把稱為速度勢函數(shù)簡稱勢函數(shù)用勢函數(shù)表示速度矢量：無論流體是否可壓縮，是否定常流只要滿足無旋條件1662、勢函數(shù)的性質(zhì)

1）流線與等勢面垂直證：令為等勢面，在其上任取一微元線段，上的速度為,求兩者點(diǎn)積2、勢函數(shù)的性質(zhì)1）流線與等勢面垂直證：令167

在等勢面上，故即速度與等勢面垂直，由于速度矢量與流線相切，故流線與等勢面垂直。2）勢函數(shù)對任意方向L的偏導(dǎo)數(shù)，等于速度矢量在該方向的的分量。3）φ與Γ之間的關(guān)系在等勢面上，故168

由此可知：在勢流中，沿任意曲線AB的環(huán)量等于曲線兩端點(diǎn)勢函數(shù)的差，與曲線的形狀無關(guān)。由此可知：在勢流中，沿任意曲線AB的環(huán)量等于曲169

若φ函數(shù)是單值的，則沿任一封閉周線k的速度環(huán)量等于零。4）在不可壓流體中，勢函數(shù)是調(diào)和函數(shù)由連續(xù)性方程：有：滿足拉普拉斯方程的函數(shù)是調(diào)和函數(shù)。若φ函數(shù)是單值的，則沿任一封閉周線k的速度170

三、流函數(shù)ψ1、流函數(shù)的定義：在不可壓流體的平面流中，應(yīng)滿足即由高數(shù)知識可知，此式是使成為某一個函數(shù)全微分的充要條件，即三、流函數(shù)ψ1、流函數(shù)的定義：在不可壓流體的平171

而的全微分又可表示為：比較兩式有極坐標(biāo)稱為流函數(shù)。只要流動存在，無論而而的全微172

是否有旋，是否為理想流體，都必定存在流函數(shù)。2、流函數(shù)的特性：1）流函數(shù)與流線的關(guān)系：的等值線是平面上一條流線。證明：由流線方程：是否有旋，是否為理想流體，都必定173

而即故時c是流線方程的解,它是平面上一條流線。注意：有流動就有流線存在，而流函數(shù)僅存在于平面流動中。2）流函數(shù)與流量Q的關(guān)系：

流過任意曲線的流量等于曲線兩端點(diǎn)流函數(shù)的函數(shù)值之差。而即故174

流線ABV由此結(jié)果可知：

兩流線之間流量保持不變，與曲線AB的起始點(diǎn)無關(guān)，若AB本身就是一條流線，則通過AB的流量為零。若AB是一條封閉周線，通過AB的流量也為零。流線ABV由此結(jié)果可知：175

3）流函數(shù)ψ與勢函數(shù)φ的關(guān)系：對不可壓平面勢流，流函數(shù)和勢函數(shù)同時存在，它們之間關(guān)系是a:b:

等φ線與等ψ線垂直前已證明，流線與等勢面垂直，而的線是流線故等φ線與等ψ線垂直。流網(wǎng)3）流函數(shù)ψ與勢函數(shù)φ的關(guān)系：對176

代入

4）在不可壓平面無旋流中，流函數(shù)也是調(diào)和函數(shù)。對平面無旋流將有：滿足拉普拉斯方程，故是調(diào)和函數(shù)。代入4）在不可壓平面無旋流中，流函177例1：不可壓縮平面流動的速度勢為，求在點(diǎn)（2，1.5）處速度的大小。解由速度勢的定義求出例1：不可壓縮平面流動的速度勢為178例2：設(shè)二元流動的速度場為

求1)流動是否存在？是否有旋？

2）φ＝？3）ψ＝？

4）求沿的Γ和該周線所圍面積內(nèi)的漩渦強(qiáng)度。例2：設(shè)二元流動的速度場為

求1)流動是否存在？是否有179例3：已知流場的流函數(shù)

試問1)是否存在φ？

2）求出通過A(2,3)和B(4,7)任意曲線的流量和沿曲線的環(huán)量Γ。例3：已知流場的流函數(shù)

試問1)是否存在φ？180例4：已知試問1)流動是否存在？

2）流動是否有勢？3）ψ＝？φ＝？4）求沿的Γ及通過此曲線的流量Q。例4：已知試問1)流動是否存在？181§6-4不可壓縮流體平面無旋流動的復(fù)變函數(shù)表示一、復(fù)位勢與流函數(shù)、勢函數(shù)間的對應(yīng)關(guān)系流函數(shù)與勢函數(shù)的關(guān)系這正是柯西-黎曼條件。復(fù)變函數(shù)的理論，和可以組成以復(fù)變量為自變量的一個復(fù)變函數(shù)?！?-4不可壓縮流體平面無旋流動的復(fù)變函數(shù)表示一、復(fù)位勢182它的導(dǎo)數(shù)為被稱為流動的復(fù)位勢，實(shí)部為勢函數(shù)，虛部為流函數(shù)。被稱為復(fù)速度，實(shí)部為速度在x方向的分量，虛部為速度在y方向的分量的相反數(shù)。它的導(dǎo)數(shù)為被稱為流動的復(fù)位勢，實(shí)部為勢183二、復(fù)位勢的性質(zhì)1.兩點(diǎn)的復(fù)位勢之差是復(fù)勢，其實(shí)部是兩點(diǎn)連線上的速度環(huán)量，虛部是通過兩點(diǎn)連線的流量。2.復(fù)位勢允許加任一復(fù)常數(shù)而不改變所代表的流動。3.兩個不可壓縮流體的平面無旋流動的疊加，仍然為平面無旋流，其復(fù)勢為原兩個復(fù)勢之和。二、復(fù)位勢的性質(zhì)1.兩點(diǎn)的復(fù)位勢之差是復(fù)勢，其實(shí)部是兩點(diǎn)連184三、勢流疊加原理勢函數(shù)速度三、勢流疊加原理勢函數(shù)速度185§5基本的平面有勢流動勢流疊加原理:由于φ函數(shù)和ψ函數(shù)都是調(diào)和函數(shù)，由調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)可知，調(diào)和函數(shù)的線性組合仍是調(diào)和函數(shù)，故可用來描述一個新的有勢流動即φ函數(shù)和ψ函數(shù)可疊加，疊加后仍是無旋流。§5基本的平面有勢流動勢流疊加原理:由于φ函186一、均勻直線流動

平行流有幾種情況：如圖xyyxvuαxyΦ＝cΨ=c一、均勻直線流動平行流有幾種情況：如圖xyyx187討論一般情況：1、速度場可分解成2、φ與ψ由積分有:討論一般情況：1、速度場可分解成2、φ與ψ由積分有:1883、求流線同理:令有解得:流線是斜線斜率是3、求流線同理:令有解得:流線是斜189點(diǎn)z相同，有即全流場壓力為常數(shù)如α＝0，流線平行與x軸,如α＝90°流線平行與y軸，4、壓力分布平行流中各點(diǎn)速度相等，任取兩點(diǎn)寫伯努利方程，都有在水平面上，各點(diǎn)z相同，有即全流場壓力為常數(shù)如α＝0，190二、平面點(diǎn)源和點(diǎn)匯二、平面點(diǎn)源和點(diǎn)匯191點(diǎn)源：單位時間內(nèi)通過一半徑為的圓周流出流量當(dāng)時保持Q不變，則這種流動稱為點(diǎn)源流（若流入，稱點(diǎn)匯），Q稱為點(diǎn)源（匯）強(qiáng)度。1.點(diǎn)源的速度場由與r成反比。為源，為匯。只有徑向流動點(diǎn)源：單位時間內(nèi)通過一半徑為的圓周流出流量1922.點(diǎn)源勢函數(shù)φ和流函數(shù)ψ由0積分當(dāng)φ＝const，即r=const，等勢線為一族同心圓。當(dāng)，故源點(diǎn)是奇點(diǎn)，不討論。2.點(diǎn)源勢函數(shù)φ和流函數(shù)ψ由0積分當(dāng)φ＝cons193流函數(shù)ψ由0積分ψ＝const為流線，即θ=const，流線是半射線。等φ線與等ψ線正交。流函數(shù)ψ由0積分ψ＝const為流線，即θ=c1943.點(diǎn)源的壓力分布在源上任取一點(diǎn)與無窮遠(yuǎn)處寫能量方程將，代入

有P與r成拋物線正比。rp;rpr0rp3.點(diǎn)源的壓力分布在源上任取一點(diǎn)與無窮遠(yuǎn)處寫能量方程將195三、點(diǎn)渦點(diǎn)渦：無限長的直線渦束所形成的平面流動。除渦線本身有旋外渦線外的流體繞渦線做等速圓周運(yùn)動且無旋。這種流動也稱純環(huán)流。若設(shè)點(diǎn)渦的強(qiáng)度為則在半徑r處由點(diǎn)渦所誘導(dǎo)的速度為而三、點(diǎn)渦點(diǎn)渦：無限長的直線渦束所形成的平面流動。除渦線本身有1961.速度分布：因?yàn)橛森h(huán)量定義1.速度分布：因?yàn)橛森h(huán)量定義1972.勢函數(shù)φ流函數(shù)ψ：積分令φ＝const，即θ＝const，等勢線是半射線。0同理可求ψ：2.勢函數(shù)φ流函數(shù)ψ：積分令φ＝const，即θ＝cons198積分令ψ＝const為流線，即r＝const，流線是圓周線。如圖示。3.壓力分布0此種流動是復(fù)合渦的情況，單獨(dú)討論。積分令ψ＝const為流線，即r＝const，流線是圓199四：二元渦所謂二元渦就是前面討論的強(qiáng)迫渦加自由渦，也即復(fù)合渦的問題。rr0ω強(qiáng)制渦復(fù)合渦自由渦四：二元渦所謂二元渦就是前面討論的強(qiáng)迫渦加自由渦，也即復(fù)合渦2001.速度分布前面已討論過渦核內(nèi)外的速度分布：

與半徑成正比如圖。由于這部分流體有旋。與半徑r成反比。渦內(nèi)：渦外：在時當(dāng)不變處的為常數(shù)1.速度分布前面已討論過渦核內(nèi)外的速度分布：與半徑201工程流體力學(xué)講義課件2022、壓力分布：自由渦：由于是無旋流動，在自由渦中任取一點(diǎn)與無窮遠(yuǎn)處寫伯努利方程：忽略位能若則將代入在自由渦中p與r成平方關(guān)系,(拋物線）2、壓力分布：自由渦：由于是無旋流動，在自由渦中任取一點(diǎn)與無203越靠近渦核，壓力越小，當(dāng)時渦核邊緣處與無窮遠(yuǎn)處的壓力差為越靠近渦核，壓力越小，當(dāng)時渦核邊緣處與無窮204渦核內(nèi)的壓力分布渦核內(nèi)是有旋的，能量方程只對流線成立，故只能從原始的運(yùn)動方程入手導(dǎo)出壓力分布，其結(jié)論為：將代入即在渦核內(nèi)壓力分布也是拋物線渦核內(nèi)的壓力分布渦核內(nèi)是有旋的，能量方程只對流線成立，故只能205此時是常數(shù)，若設(shè)渦核中心點(diǎn)為c，當(dāng)漩渦中心點(diǎn)的壓力渦核邊緣與渦核中心的壓降為與自由渦壓降相等此時是常數(shù)，若設(shè)渦核中心點(diǎn)為c，當(dāng)漩渦中心點(diǎn)的壓力渦核206由以上推導(dǎo)可知：渦核中心的壓力低于無窮遠(yuǎn)處的壓力，差值為在漩渦區(qū)內(nèi)，壓力急劇下降，在漩渦中心產(chǎn)生一個很大的吸力，對渦外的物體具有抽吸作用。由以上推導(dǎo)可知：渦核中心的壓力低于無窮遠(yuǎn)處的壓力，差值為在漩207§6有勢流動疊加一、點(diǎn)源流和直線流的疊加1、勢函數(shù)流函數(shù)：為新的有勢流§6有勢流動疊加一、點(diǎn)源流和直線流的疊加1、勢函數(shù)流函數(shù)2083、駐點(diǎn)：2、速度場令解得駐點(diǎn)在x負(fù)軸上4、流線：令ψ＝c得流線3、駐點(diǎn)：2、速度場令解得駐點(diǎn)在x負(fù)軸上4、流線：209解得流線方程為：當(dāng)給出一個θ角，對應(yīng)一個距離r，如圖解得流線方程為：當(dāng)給出一個θ角，對應(yīng)一個距離r，如圖210駐點(diǎn)駐點(diǎn)211過駐點(diǎn)的流線上幾個特殊點(diǎn)的確定：由數(shù)學(xué)知識故過駐點(diǎn)此時最大開口當(dāng)當(dāng)當(dāng)上下對稱