2020高中數(shù)學(xué)- 排列組合中的常見(jiàn)模型

第80煉排列組合的常見(jiàn)模型一、基礎(chǔ)知識(shí)：（一）處理排列組合問(wèn)題的常用思路：1、特殊優(yōu)先：對(duì)于題目中有特殊要求的元素，在考慮步驟時(shí)優(yōu)先安排，然后再去處理無(wú)要求的元素。例如：用0,1,2,3,4組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，共有多少種排法？解：五位數(shù)意味著首位不能是0，所以先處理首位，共有4種選擇，而其余數(shù)位沒(méi)有要求，只需將剩下的元素全排列即可，所以排法總數(shù)為N二4xA4二96種42、尋找對(duì)立事件：如果一件事從正面入手，考慮的情況較多，則可以考慮該事的對(duì)立面，再用全部可能的總數(shù)減去對(duì)立面的個(gè)數(shù)即可。例如：在10件產(chǎn)品中，有7件合格品，3件次品。從這10件產(chǎn)品中任意抽出3件，至少有一件次品的情況有多少種解：如果從正面考慮，則“至少1件次品”包含1件，2件，3件次品的情況，需要進(jìn)行分類(lèi)討論，但如果從對(duì)立面想，則只需用所有抽取情況減去全是正品的情況即可，列式較為簡(jiǎn)單。N=C3—C3=85（種）1073、先取再排（先分組再排列）：排列數(shù)Am是指從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素，再將這m個(gè)元n素進(jìn)行排列。但有時(shí)會(huì)出現(xiàn)所需排列的元素并非前一步選出的元素，所以此時(shí)就要將過(guò)程拆分成兩個(gè)階段，可先將所需元素取出，然后再進(jìn)行排列。例如：從4名男生和3名女生中選3人，分別從事3項(xiàng)不同的工作，若這3人中只有一名女生，則選派方案有多少種。解：本題由于需要先確定人數(shù)的選取，再能進(jìn)行分配（排列），所以將方案分為兩步，第一步：確定選哪些學(xué)生，共有C2Ci種可能，然后將選出的三個(gè)人進(jìn)行排列：A3。所以共有33C2CiA3=108種方案433（二）排列組合的常見(jiàn)模型1、捆綁法（整體法）：當(dāng)題目中有“相鄰元素”時(shí)，則可將相鄰元素視為一個(gè)整體，與其他元素進(jìn)行排列，然后再考慮相鄰元素之間的順序即可。例如：5個(gè)人排隊(duì)，其中甲乙相鄰，共有多少種不同的排法解：考慮第一步將甲乙視為一個(gè)整體，與其余3個(gè)元素排列，則共有A4種位置，第二步考4慮甲乙自身順序，有A2種位置，所以排法的總數(shù)為N二A4?A2二48種422、插空法：當(dāng)題目中有“不相鄰元素”時(shí)，則可考慮用剩余元素“搭臺(tái)，”不相鄰元素進(jìn)行“插空”，然后再進(jìn)行各自的排序注：（1）要注意在插空的過(guò)程中是否可以插在兩邊（2）要從題目中判斷是否需要各自排序例如：有6名同學(xué)排隊(duì)，其中甲乙不相鄰，則共有多少種不同的排法解:考慮剩下四名同學(xué)“搭臺(tái)”甲乙不相鄰，則需要從5個(gè)空中選擇2個(gè)插入進(jìn)去，即有C25種選擇，然后四名同學(xué)排序，甲乙排序。所以N二C2?A4?A2二480種5423、錯(cuò)位排列：排列好的n個(gè)元素，經(jīng)過(guò)一次再排序后，每個(gè)元素都不在原先的位置上，則稱(chēng)為這n個(gè)元素的一個(gè)錯(cuò)位排列。例如對(duì)于a,b,c,d，則d,c,a,b是其中一個(gè)錯(cuò)位排列。3個(gè)元素的錯(cuò)位排列有2種，4個(gè)元素的錯(cuò)位排列有9種，5個(gè)元素的錯(cuò)位排列有44種。以上三種情況可作為結(jié)論記住例如：安排6個(gè)班的班主任監(jiān)考這六個(gè)班，則其中恰好有兩個(gè)班主任監(jiān)考自己班的安排總數(shù)有多少種？解：第一步先確定那兩個(gè)班班主任監(jiān)考自己班，共有C2種選法，然后剩下4個(gè)班主任均不6監(jiān)考自己班，則為4個(gè)元素的錯(cuò)位排列，共9種。所以安排總數(shù)為N二C2?9二13564、依次插空：如果在n個(gè)元素的排列中有m個(gè)元素保持相對(duì)位置不變，則可以考慮先將這m個(gè)元素排好位置，再將n-m個(gè)元素一個(gè)個(gè)插入到隊(duì)伍當(dāng)中（注意每插入一個(gè)元素，下一個(gè)元素可選擇的空+1）例如：已知A,B,C,D,E,F6個(gè)人排隊(duì)，其中A,B,C相對(duì)位置不變，則不同的排法有多少種解:考慮先將A,B,C排好，則D有4個(gè)空可以選擇，D進(jìn)入隊(duì)伍后，E有5個(gè)空可以選擇，以此類(lèi)推，F(xiàn)有6種選擇，所以方法的總數(shù)為N=4x5x6=120種5、不同元素分組：將n個(gè)不同元素放入m個(gè)不同的盒中6、相同元素分組：將n個(gè)相同元素放入m個(gè)不同的盒內(nèi)，且每盒不空，則不同的方法共有Cm-1種。解決此類(lèi)問(wèn)題常用的方法是“擋板法”因?yàn)樵叵嗤?，所以只需考慮每個(gè)盒子里n-1

所含元素個(gè)數(shù)，則可將這n個(gè)元素排成一列，共有（n-1）個(gè)空，使用（m-1）個(gè)“擋板”進(jìn)入空檔處，則可將這n個(gè)元素劃分為m個(gè)區(qū)域，剛好對(duì)應(yīng)那m個(gè)盒子。例如：將6個(gè)相同

的小球放入到4個(gè)不同的盒子里，那么6個(gè)小球5個(gè)空檔，選擇3個(gè)位置放“擋板”，共有C3二20種可能57、涂色問(wèn)題：涂色的規(guī)則是“相鄰區(qū)域涂不同的顏色”在處理涂色問(wèn)題時(shí)，可按照選擇顏色的總數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，每減少一種顏色的使用，便意味著多出一對(duì)不相鄰的區(qū)域涂相同的顏色（還要注意兩兩不相鄰的情況），先列舉出所有不相鄰區(qū)域搭配的可能，再進(jìn)行涂色即可。例如：最多使用四種顏色涂圖中四個(gè)區(qū)域，不同的涂色方案有多少種?IIIIII解：可根據(jù)使用顏色的種數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論（1）使用4種顏色，則每個(gè)區(qū)域涂一種顏色即可：N=A4TOC\o"1-5"\h\z4（2）使用3種顏色，則有一對(duì)不相鄰的區(qū)域涂同一種顏色,先要選擇不相鄰的區(qū)域：用列舉法可得：｛i,iv｝不相鄰所以涂色方案有：N二A34（3）使用2種顏色，則無(wú)法找到符合條件的情況，所以討論終止總計(jì)S=A4+A3=48種44二、典型例題：例1：某電視臺(tái)邀請(qǐng)了6位同學(xué)的父母共12人，請(qǐng)12位家長(zhǎng)中的4位介紹對(duì)子女的教育情況，如果這4位中恰有一對(duì)是夫妻，則不同選擇的方法種數(shù)有多少思路：本題解決的方案可以是：先挑選出一對(duì)夫妻，然后在挑選出兩個(gè)不是夫妻的即可。第一步：先挑出一對(duì)夫妻：C16第二步：在剩下的10個(gè)人中選出兩個(gè)不是夫妻的，使用間接法：C2-510所以選擇的方法總數(shù)為N=C1（C2-5）=240（種）610答案：240種例2：某教師一天上3個(gè)班級(jí)的課，每班上1節(jié)，如果一天共9節(jié)課，上午5節(jié)，下午4節(jié),并且教師不能連上3節(jié)課（第5節(jié)和第6節(jié)不算連上），那么這位教師一天的課表的所有不同排法有（）A.474種B.77種C.462種D.79種思路：本題如果用直接法考慮，則在安排的過(guò)程中還要考慮兩節(jié)連堂，并且會(huì)受到第5,6節(jié)課連堂的影響，分類(lèi)討論的情形較多，不易求解。如果使用間接法則更為容易。首先在無(wú)任何特殊要求下，安排的總數(shù)為A3。不符合要求的情況為上午連上3節(jié)：A3和下午連上三94節(jié)：A3，所以不同排法的總數(shù)為：A3-A3-A3二474（種）943答案：A例3：2位男生和3位女生共5位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（）A.60B.48C.42D.36思路：首先考慮從3位女生中先選中相鄰的兩位女生，從而相鄰的女生要與另一女生不相鄰，則可插空，讓男生搭架子，因?yàn)槟猩撞徽緝啥耍栽诓蹇盏倪^(guò)程中需有人站在甲的邊上，再?gòu)氖Ｏ碌膬蓚€(gè)空中選一個(gè)空插入即可。第一步：從三位女生中選出要相鄰的兩位女生：C23第二步：兩位男生搭出三個(gè)空，其中甲的邊上要進(jìn)入女生，另外兩個(gè)空中要選一個(gè)空進(jìn)女生，所以共有Ci種選法。2第三步：排列男生甲，乙的位置：A2,排列相鄰女生和單個(gè)女生的位置：A2,排列相鄰女22生相互的位置：A22所以共有N=C2-Ci-A2-A2?A2=48種2222答案：B例4：某班班會(huì)準(zhǔn)備從甲，乙等7名學(xué)生中選派4名學(xué)生發(fā)言，要求甲，乙兩名同學(xué)至少有一人參加，且若甲乙同時(shí)參加，則他們發(fā)言時(shí)不能相鄰，那么不同的發(fā)言順序種數(shù)為（）A.360B.520C.600D.720思路：因?yàn)檫x人的結(jié)果不同會(huì)導(dǎo)致安排順序的不同，所以考慮“先取再排”，分為“甲乙”同時(shí)選中和“甲乙只有一人選中”兩種情況討論：若甲乙同時(shí)被選中，則只需再?gòu)氖Ｏ?人中選取2人即可：C2，在安排順序時(shí)，甲乙不相鄰則“插空”所以安排的方式有：A2?A2，32從而第一種情況的總數(shù)為：N二C2?A2?A2二120（種），若甲乙只有一人選中，則首先先1532從甲乙中選一人，有C1,再?gòu)氖Ｏ?人中選取三人，有C3,安排順序時(shí)則無(wú)要求，所以第25

二種情況的總數(shù)為：N=C1-C3-A4=480（種）從而總計(jì)600種2254答案：C例5：從單詞“equation”中選取5個(gè)不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相連且順序不變）的不同排列共有種思路：從題意上看，解決的策略要分為兩步：第一步要先取出元素，因?yàn)椤皅u”必須取出，所以另外3個(gè)元素需從剩下的6個(gè)元素中取出，即C3種，然后在排列時(shí)，因?yàn)橐蟆皅u”6相連，所以采用“捆綁法”，將qu視為一個(gè)元素與其它三個(gè)元素進(jìn)行排列：A4，因?yàn)椤皅u”4順序不變，所以不需要再對(duì)qu進(jìn)行排列。綜上，共有：C3-A4二480種64答案：480例6：設(shè)有編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)茶杯和編號(hào)為1,2,3,4,5的五個(gè)杯蓋，將五個(gè)杯蓋蓋在五個(gè)茶杯上，至少有兩個(gè)杯蓋和茶杯的編號(hào)相同的蓋法有（）A.30種B.31種C.32種D.36種思路：本題可按照相同編號(hào)的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，有兩個(gè)相同時(shí)，要先從5個(gè)里選出哪兩個(gè)相同，有C2種選法，則剩下三個(gè)為錯(cuò)位排列，有2種情況，所以N二C2-2，有三個(gè)相同515時(shí)，同理，剩下兩個(gè)錯(cuò)位排列只有一種情況（交換位置），所以N二C3-1，有四個(gè)相同時(shí)25則最后一個(gè)也只能相同，所以N3-1，從而S二C-2+C；-1+1-31（種）答案：B例7：某人上10級(jí)臺(tái)階，他一步可能跨1級(jí)臺(tái)階，稱(chēng)為一階步，也可能跨2級(jí)臺(tái)階，稱(chēng)為二階步；最多能跨3級(jí)臺(tái)階，稱(chēng)為三階步，若他總共跨了6步，而且任何相鄰兩步均不同階，則此人所有可能的不同過(guò)程的種數(shù)為（）D.12A.6B.8C.10D.12答案：A思路：首先要確定在這6步中，一階步，二階步，三階步各有幾步，分別設(shè)為x,y,zgN*，x+y+zx+y+z二6x+2y+3z二10，解得：因?yàn)橄噜弮刹讲煌A，所以符合x(chóng)=3要求的只有sy=2，下面開(kāi)始安排順序，可以讓一階步搭架子，則二階步與三階步必須插、z=1入一階步里面的兩個(gè)空中，所以共有2種插法，二階步與三階步的前后安排共有3種(三二二，三二三，二三三)，所以過(guò)程總數(shù)為N=2x3=6答案：A例8：某旅行社有導(dǎo)游9人，其中3人只會(huì)英語(yǔ)，2人只會(huì)日語(yǔ)，其余4人既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)，現(xiàn)要從中選6人，其中3人負(fù)責(zé)英語(yǔ)導(dǎo)游，另外三人負(fù)責(zé)日語(yǔ)導(dǎo)游，則不同的選擇方法有種思路：在步驟上可以考慮先選定英語(yǔ)導(dǎo)游，再選定日語(yǔ)導(dǎo)游。英語(yǔ)導(dǎo)游的組成可按只會(huì)英語(yǔ)的和會(huì)雙語(yǔ)的人數(shù)組成進(jìn)行分類(lèi)討論，然后再在剩下的人里選出日語(yǔ)導(dǎo)游即可。第一種情況：沒(méi)有會(huì)雙語(yǔ)的人加入英語(yǔ)導(dǎo)游隊(duì)伍，則英語(yǔ)導(dǎo)游選擇數(shù)為C3,日語(yǔ)導(dǎo)游從剩下6個(gè)人中選3擇，有C3中，從而N=C3-C3，第二種情況：有一個(gè)會(huì)雙語(yǔ)的人加入英語(yǔ)導(dǎo)游隊(duì)伍，從TOC\o"1-5"\h\z036而可得N二匕1?2).C3，依次類(lèi)推，第三種情況。兩個(gè)會(huì)雙語(yǔ)的加入英語(yǔ)導(dǎo)游隊(duì)伍，則1435N=(C2-cJ?C3，第四種情況，英語(yǔ)導(dǎo)游均為會(huì)雙語(yǔ)的。則N=C3-C3，綜上所述，243434336435434不同的選擇方法總數(shù)為S=C3-C3+(ciC2).C3+(c2-Cl)C3+C3-C3364354343答案：216種要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色,例9：如圖，用四種不同顏色給圖中A,B,C,D,E,F六個(gè)點(diǎn)涂色,要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色,且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法有(A.288種A.288種B.264種C.240種D.168種思路：如果用四種顏色涂六個(gè)點(diǎn)，則需要有兩對(duì)不相鄰的點(diǎn)涂相同的顏色。所以考慮列舉出不相鄰的兩對(duì)點(diǎn)。列舉的情況如下：{a,c}{b,d}，{a,c}{b,e}，{a,c}{d,f}，{a,fd}，{a,f}{b,e}，{a,f}ce}，{b,d}{c,e}，{b,e}{d,f}，{c,e}{d,f}共九組,所以涂色方法共有9xA:=216如果用三種顏色涂六個(gè)點(diǎn)，則需要有三對(duì)不相鄰的點(diǎn)涂相同的顏色，列舉情況如下:{a,c}{b,e}{d,F},{a,F,e}{b,d}共兩組，所以涂色方法共有2xA3=48綜上所述，總計(jì)264種答案：B例10：有8張卡片分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8，從中取出6張卡片排成3行2列，要求3行中僅有中間行的兩張卡片上的數(shù)字之和為5，則不同的排法共有（）A.1344種B.1248種C.1056種D.960種思路：中間行數(shù)字和為5只有兩種情況，即1,4和2,3，但這兩組不能同時(shí)占據(jù)兩行，若按題意思考，以1,4占中間行為例，則在安排時(shí)既要考慮另一組2,3是否同時(shí)被選中，還要考慮同時(shí)被選中時(shí)不能呆在同一行，情況比較復(fù)雜。所以考慮間接法，先求出中間和為5的所有情況，再減去兩行和為5的情形解：先考慮中間和為5的所有情況：第一步：先將中