2020高中數(shù)學(xué)競賽試卷及答案

2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試試題（A卷）一、填空題：本大題共&小題，每小題軸分，滿分64分口TOC\o"1-5"\h\z1.已知正實數(shù)°滿足宀（9譏則logjja）的值為.N若實數(shù)集合｛123國的最大元索與最小元素之差等于該集合的所肓元素之和.則工的值為?￥Tiff］直角坐標(biāo)系屮，盤是單位向呈，向量日滿足c?=2H.t?|<5a+te對任思實數(shù)r成立’則:的取值范用淘.為橢岡「的長軸頂點，E,F為「的兩個焦點，WF|=2+j5,卩為「上一點.滿址|PE卜PF\^2t則“EF的面積為.在1,2,3*…，10中隨機選出一個數(shù)⑴在丄4,-310中隨機選出?個數(shù)b則川十力被3整除的概率人.對任意閉區(qū)間/,用龍示函數(shù)丿二sinX在f上的故衣值.若正數(shù)樸滿足%“畑「則詢值為,工如圖，用方體ABCD-EFGH的一個截面經(jīng)過頂點/1,C■及棱EF匕一點K,口將上方FKTOC\o"1-5"\h\z體分成體積比為3:1的兩部分?則二的值為.?、「7.1.丫.\..11/n:.--■■■./-?的不同的X位數(shù)的個數(shù)為.高中數(shù)學(xué)競賽試卷及答案高中數(shù)學(xué)競賽試卷及答案/11二、解答題：本大題共3小題，滿分56分?解答應(yīng)寫岀文字說明、證明過程或演算步驟.9*〔本題滿分1“分｝在/\月*（?中，RC-a,CA-byAB~c.若力是口與c的等比中項，RsinA是sinCB-/）與sinC的等差屮項，求cos百的值。10.（本題滿分20分〉在半面直角坐標(biāo)系xQy中，圓。與拋物線「：尸=4_r恰有一個公共點，II圓。與x軸相切與廠的焦點F,求圓G的半徑°1L〔本題滿分20分）稱一個復(fù)數(shù)數(shù)列化｝為誦趣的3若|召|(zhì)=1,11對任意止整數(shù)宀均有++嚴尋求最大的常數(shù)二使得對切有趣的數(shù)列｛兀｝及任意止報數(shù)m均有石+z?++zjn>C.2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試試題A卷

一、（本題滿分40分）如圖，在銳角厶ABC中，M是BC邊的中點。點卩地厶ABC內(nèi)，使得AP平分ZBAC。直線MP與厶ABP，△ACP的外接圓分別相交于不同點P的兩點D,E。證明：若DE=MP，則BC=2BP。（答題時請將圖畫在答題紙上）求f的最小值f0,并確定使f=f0成立的數(shù)組（a】,a?,…覽詁的個數(shù)。三、（本題滿分50分）設(shè)m為整數(shù)，|m|22。整數(shù)數(shù)列a,a，…?滿足：a,a不全為零，且對任意正整1212數(shù)n均有a二a-ma,n+2n+1證明：若存在整數(shù)r,s（r>s=2）使得a=a=a，則r-s=|m|ors1四、（本題滿分50分）設(shè)V是空間中2019個點構(gòu)成的集合，其中任意四點不共面，某些點之間連有線段，設(shè)E為這些線段構(gòu)成的集合。試求最小的正整數(shù)n,滿足條件：若E至少有n個元素，則E—定含有908個二元子集，其中每從此二元子集中的兩條線段有公共端點，且任意兩個二元子集的交為空集。2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試試題A卷答案2時9年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試試題(A卷)答案一、填空題16aa=(9町*"u>理=肋logfl9aI77弧呃9a--=>Jog^9=—yn108^3=-~O<5lc9log(3a=logfl3+—2由題席知，工為負值，二3—畫=!+2+3十x=—二23|屈2佝設(shè)問=血原題轉(zhuǎn)化為"<25(x2+?+4f)=>25(r+40“1i5x><=>JOO^x4?25x25<x?<20=>V5<|a|<2^54>I由題意知該橢圖可設(shè)為—+/=!<■■-PF+PE二紜EF=2加，由條弦定理「4PF1+PE2-2P&P/'cosZEPF=EF2n12-4cosZEPF=12所以cos/EPF=0,sinZEPF=InS川訐二￡P(guān)E，PFcosZEPF=1375.而若朋{1,2,4,5,7,8,10}=Imod377w2+/j=0mod3=>b三」mod3=>be{-L-4<7<10}若g{3,6.9}(72=0mod3(72+/)=0mod3nd三0mod3=>/?gj-3^-6,-9}TOC\o"1-5"\h\z7x4+lx37為3的倍數(shù)的概率為丄—--1001005/r612由圖像分析得心竺或者2—世667-I戡面與兀交于丿66R_、k1R_、k1+k=-^k1+2k-\=0M得心J2EK=2-W3-!)=3-^3

~KF=V3-1=73-l乩解折;所有首僮非乩解折;所有首僮非0的8位熱2.0相鄰的不同K位數(shù):645!511.9相鄒的不同8位數(shù):冬0與1、冬0與1、9均相鄰的不同8位數(shù):4!mi5!5!-4!4!故所求的*位數(shù)個數(shù)為：（6^5!）+—=222!2!49K二、解答題9.由題意ac=b22sinj4=sin(B-^)4-&inC=sin仏一貝)+血($+兄)=2sin2/cosr整理叩sin/?=tanq-i門4Mac^b1利用止咳疋理并結(jié)含二項的等普數(shù)列得sin^sinC=sin=Z?-一—+即cos"AsinA=sinCcoszA

于最tanA弋sinCcosJsin/?=sin(/l+C'.i=sinAcosC1十co專AsinC”即sin/cosC=0(C=—2sinZ?=tan4=cot,cos8=sinLB=1-cos2B>cos2?=x,則sinBx2+x-1x2+x-1=0^解得cosB=x=~T】隊解析；段園的豐輕為R,岡心為（hR誡（-詢,則圓的方程可寫作匕_廳心_町=F不妨設(shè)圓與拋物線ffl切于點（旺n則過該切點（陽兒）的切線方程為以圓為對象’得（耳一1）（島一1）十U—R）（兒一R）=R，TOC\o"1-5"\h\z以拋物線為對線’得vv.=2（x+）于足可得蘭二一旦二LCD兒幾_R厶嚴込g②y0兒—尺又切點（和％）在拋物線y2=4x±.y.2=4jcq③由①得尺=上必沁”由②得叮3性&十?c兒"+2心6兀于是解得處+葉半’于是解得處+葉半’峠故舷圖半桂晉口【另解】如圖./為準(zhǔn)線，尸為隹點.O為圓心，S人公共點，F(xiàn)H丄!于H,SG丄/于G,刃'平分乙GSF,則由拋物線性質(zhì)訶得GS=F,OS丄ST?爪而飯F=Z丁F5枷設(shè)站g則由勾肢定理畑(5+U3丫x2幾即討一徼+4=0?解得訃4或？又3,故罔噸'沖I2-4ASGT全等于ASF7\從而I/T=-GT=-TF^-t從而x二一2233_]十1L—方面*取可=【啟”二1U,死」+]=礦（川=12…），其中0R則limlfflt—>?2l+22+?—+Z,”|=f則limlfflt—>?幻一方面，由條件可得陥廣中曲知不失i般性，可不妨設(shè)可二1（否則可用召二玉代替和及/舒否則可砒勺代替小設(shè)孔二缶，其中％=6旳=1/“—碣I記集合4=|art=f(mod3)J<n<J=0,1,2,…并設(shè)A2-｛町…，碼農(nóng)其屮斫<w2<..<wz則u}>3、比一I>2(/=2“3,…,f)故％>2z>l(Z-L20因此

2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試試題（A卷）答案如圖：只要證明賛全等^EM（\/RDP二ZRA2厶貧二/CEMDP=ME\所以只要BD=CE注意M是中點，BF農(nóng)G,ZBDF=ZCEGBD=CE2如打-丨+Tg+@加打-99)斗1+勺+a20i?+99’>2門如「-196^17+2*992>14H00取最小值時吆門=49禺=1,血氏-49,每個*_%=Q或L/tffilX-,2016設(shè)即吆…畑埒中*打有兀個（?=L2v>49）則任意n1,2(..,49.x>2令yn—\r-U則X十戸+…+-2018-49=1969由隔扳法乃,兀2兒的解數(shù)為琨因此所求（場宀,…衛(wèi)亦）科G爲(wèi)個，擬小俏A=7400

若（卩宀）>1，記（爲(wèi)衛(wèi)J=d則對任意止整數(shù)小d\a^考慮數(shù)列心二玉，叮得同樣結(jié)論.故不妨設(shè)（口衛(wèi)J=1由all+i=九l一叫，?mod|/w|可伽an+2=礙十】（mod岡），即對任意XF2的山整數(shù)n若盤［不滿足“嚴?2（modm|）T則不存在尸>s>2使得％=as=a}故不妨設(shè)％=G』mo<咖|）,由旦質(zhì)性（即制）=1設(shè)叫=切+厲恤/=12…則玄為整數(shù)數(shù)列，b.=0?氏+產(chǎn)$+廠尙—岡，mod|用|可知①十產(chǎn)婦I-tfi（modp?i|）:若存在整數(shù)r>s>2使得at-ah=,則心匚瓦=0，而br=bf-（r-5）*￡?E（modpJ?|h故用|（廣一少】，由（絢皿|）=1知切|廠一3，故r-s>w?|?證畢。四、引理：前單連通圖片自5個頂點，也條邊，則一宦可以將?其邊集劃分aW個二元子集.L劉.二元予集之間爾交n每個1元于案內(nèi)的邊有公共端點。證明：歸納対阿用=1,2,玄顯然成立設(shè)結(jié)論對朋盤左成茁23、則用=左+1時，考慮所有葉子頂點的，令…￡「若有兩片葉子妁&連在同一頂點B上，則將4*與盤聲分為二元子集?對貝余蜩-2條邊由歸納假設(shè),可芬為［巴呂］=］彳|］-1個二元子集R兩兩不相交>結(jié)論成晝。否則設(shè)令心“,島分別接在頂點場0場上，若存在\<i<q，站度対2,設(shè)巧與九<?相連，將&垃與0.C瞋匚同理由歸納假設(shè)結(jié)論成立，會則對任意川$）>2,將務(wù)心占去掉，得圖丹，則在丹中沒有葉子結(jié)點，H1連通，則刊為一個環(huán).此時設(shè)目在環(huán)上與C,D相連’在H中把出場與耳C去掉，圖依然連通’由歸納假設(shè)同理可證，引理證畢.冋原題，V構(gòu)虛■個無向簡單圖（7,艸圖G可彷為9了9個K?連適仆支和?個含1815條邊的口亍點的連通分支時，囚二2794*此時無法符合題意，故n>2795,而fi|￡|>2795（設(shè)G有戸個連通分支，每個連通分支邊數(shù)為％…灼*點數(shù)為片，…，匕,求邊數(shù)為奇數(shù)的連通分支至多