2020高考數(shù)學(xué) 三視圖(幾何體的體積問題)

第61煉三視圖——幾何體的體積問題—、基礎(chǔ)知識(shí)：1、常見幾何體的體積公式：（S:底面積，h:高）（1）柱體：V=S-h（2）錐體:V=丄S-h3（3）臺(tái)體：V=+S+JSS）?h，其中S為上底面面積，S為下底面面積312^12124（4）球：V=兀R332、求幾何體體積要注意的幾點(diǎn)（1）對(duì)于多面體和旋轉(zhuǎn)體：一方面要判定幾何體的類型（柱，錐，臺(tái)）另一方面要看好該幾何體擺放的位置是否是底面著地。對(duì)于擺放“規(guī)矩”的幾何體（底面著地），通常只需通過俯視圖看底面面積，正視圖（或側(cè)視圖）確定高，即可求出體積。（2）對(duì)于組合體，首先要判斷是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成的，或是以哪個(gè)幾何體為基礎(chǔ)切掉了一部分。然后再尋找相關(guān)要素（3）在三視圖中，每個(gè)圖各條線段的長(zhǎng)度不會(huì)一一給出，但可通過三個(gè)圖之間的聯(lián)系進(jìn)行推斷，推斷的口訣為“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”，即正視圖的左右間距與俯視圖的左右間距相等，正視圖的上下間距與側(cè)視圖的上下間距相等，側(cè)視圖的左右間距與俯視圖的上下間距相等。二、典型例題：例1：已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為思路：從正視圖，側(cè)視圖可判斷出幾何體與錐體相關(guān)（帶尖兒），從俯視圖中可看出并非圓錐和棱錐，而是兩者的一個(gè)組合體（一■半圓錐+三棱錐），所以V=-V+V，錐體的高計(jì)算可2圓錐棱錐得h二6、打（利用正視圖），底面積半圓的半徑為6，三角形底邊為12,高為6（俯視圖看出），所以S=?12?6=36，S=兀?62=36兀，則V=—S?h=72\：3三角形2圓棱錐3三角形V=—?S?h=72**，所以V=—V+V=+72\：3圓錐3圓2圓錐棱錐答案：36?+72朽

例2：已知一棱錐的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖和俯視圖都是等腰直角三角形，正視圖為H直角梯形，則該棱錐的體積為.H思路：觀察可發(fā)現(xiàn)這個(gè)棱錐是將一個(gè)側(cè)面擺在地面上，而棱錐的真正底面體現(xiàn)在正視圖（梯形）中，所以S=?（4+2）?4=12，而棱錐的高為側(cè)視圖的左右間距，底2即h二4，所以V=-S-h=163底答案：16正視圖刪視圖俯視圖例3：若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積是?正視圖刪視圖俯視圖思路：該幾何體可拆為兩個(gè)四棱柱，這兩個(gè)四棱柱的高均為4（俯視圖得到），其中一個(gè)四棱柱底面為正方形，邊長(zhǎng)為2（正視圖得到），所以V=S]?h=22-4=16，另一個(gè)四棱柱底面為梯形，上下底分別為2,6，所以S=丄（2+6）?2=8，V=S?h=8?4=32。故幾何體2222的體積為V=V+V=4812答案：48例4：如下圖是一個(gè)組合幾何體的三視圖，則該幾何體的體積思路：從三視圖中觀察可得該組合體是由一個(gè)圓柱與一個(gè)躺倒的三棱錐拼接而成，對(duì)于圓柱可得其底面半徑為4（正視圖），高為8（正視圖），所以V=S?h=兀?42?8=128兀，而棱柱底面為底是3（俯視圓柱圖），高為4（正視圖）的三角形，棱柱的高為6（俯視圖），所以可得V=S?h=?3?4?6=36，所以組合體的體積為棱柱2V=V+V=128^+36圓柱棱柱答案：128n+36

例5：某幾何體三視圖如圖所示（正方形邊長(zhǎng)為2）,則該幾何體的體積為思路：由正視圖與側(cè)視圖可得該幾何體的輪廓為一個(gè)棱柱，從俯視圖中可確定該組合體為正方體截掉了兩部分，且這兩部分剛好1、1都是一個(gè)圓柱，可拼成一個(gè)圓柱。所以先計(jì)算出正方體的體積42V=23=8，而圓柱正方體的底面半徑為1，高為2，所以V=丄V=—n-2=兀，所截2圓柱2以組合體的體積為V=V-V=8一兀正方體截答案：8—兀例6：某個(gè)長(zhǎng)方體被一個(gè)平面所截，得到的幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積卜匝十渥T匸觀圖側(cè)視圖tttt俯視圖A.4B.2￡2C.D.8答案：D思路：由于長(zhǎng)方體被平面所截，所以很難直接求出幾何體的體積，可以考慮沿著截面再接上一個(gè)一模一樣的幾何體，從而拼成了一個(gè)長(zhǎng)方體，因?yàn)殚L(zhǎng)方體由兩個(gè)完全一樣的幾何體拼成,所以所求體積為長(zhǎng)方體體積的一半。從圖上可得長(zhǎng)方體的底面為正方形，且邊長(zhǎng)為2，長(zhǎng)方體的高為3+1=4，所以V=22-4=16，所以V=—V=8長(zhǎng)方體2長(zhǎng)方體V=兀?22-4=16兀，所以V=V+丄V=16+8兀圓柱長(zhǎng)方體2圓柱答案：16+弘例8：已知四棱錐P-ABCD的直觀圖和三視圖如圖所示，則三棱錐C-PBD的體積為思路：要求三棱錐C-PBD的體積，則要確定棱錐的高（P到底面BCD的距離）和^BCD的面積，從主視圖中可判斷出棱錐的高h(yuǎn)=2，俯視圖體現(xiàn)出四邊形ABCD為矩形，所以^BCD的面積為c1-…"1—1「2S=-1-2=1，所以V=—h-S=-2-1=—BCD23BCD332答案：3例9：一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積為cm2''S，棱錐的高是4（側(cè)視圖的左右間距），B-平面ACDEACDEV=—-d3邊形ACDE是邊長(zhǎng)為6的正方形（由正視圖看出），所以S=62=36，所以ACDE第八章第第八章第61煉三視圖幾何體的體積問題立體幾何11?S=?4?36=48(cm2)B-平面B-平面ACDE答案:48例10：如圖,網(wǎng)格紙上的小正方形邊長(zhǎng)為1，粗線是一個(gè)棱錐的三視圖，則此棱錐的體積為8A.-34B?3思路：本題很難直接看出棱錐的底面積與高，但通過觀察可看出此棱錐可能由正方體ABCD-A1B1C1D1（棱長(zhǎng)為2）通過切割而成，所以先畫出正方體，再根據(jù)三視圖中的實(shí)線虛線判斷如何【丄阮I(lǐng)E：it"&.?ft*切割，正視圖中可看出正方體用前后面的對(duì)角線所在平面將下方完全切掉，從左視圖可看出正方體的右側(cè)面（虛線）有切痕，俯視圖體現(xiàn)出正方體的上底面有切痕。進(jìn)而可得所求棱錐為一個(gè)四棱錐，底面是矩形ABCD，寬C