【格致課堂】6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理(1)教學(xué)設(shè)計(jì)

6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理(1)教材分析本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊》，第六章《計(jì)數(shù)原理》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理。兩個計(jì)數(shù)原理，其核心是準(zhǔn)確理解兩個原理，弄清它們的區(qū)別。理解它關(guān)鍵就是要根據(jù)實(shí)例概括兩個計(jì)數(shù)原理。學(xué)生對計(jì)數(shù)問題己經(jīng)有一些經(jīng)騎和技巧，本節(jié)課的內(nèi)容分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理就是在此基礎(chǔ)上的發(fā)展。由于排列、組合及二項(xiàng)式定理的研究都是以兩個計(jì)數(shù)原理為基礎(chǔ)，所以在本學(xué)科計(jì)數(shù)問題中有重要的地位，是本學(xué)科的核心內(nèi)容。教學(xué)的重點(diǎn)是兩個原理的理解與應(yīng)用，解決重點(diǎn)的關(guān)鍵是從單一到綜合，恰當(dāng)安排實(shí)例。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.通過實(shí)例能歸納總結(jié)出分類加法計(jì)數(shù)原1.數(shù)學(xué)抽象：兩個計(jì)數(shù)原理理與分步乘法計(jì)數(shù)原理；2.邏輯推理：準(zhǔn)確運(yùn)用兩個計(jì)數(shù)原理解決問題3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問題正確理解“完成一件事情”的含義，能根據(jù)具體問題的特征，選擇“分類”或“分步”.能利用兩個原理解決一些簡單的實(shí)際問題.4.數(shù)學(xué)建模：將計(jì)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為分類和分步計(jì)數(shù)問題重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其簡單應(yīng)用難點(diǎn)：準(zhǔn)確應(yīng)用兩個計(jì)數(shù)原理解決問題課前準(zhǔn)備多媒體教學(xué)過程

區(qū)別每類辦法中的每種方法都能獨(dú)立地完成這件事，它是獨(dú)立的、一次的且每種方法得到的都是最后結(jié)果，只需一種方法就可完成這件事除最后?步外，其他每步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立完成這件事,缺少任何一步也不能完成這件事，只有各個步驟都完成了，才能完成這件事區(qū)別各類辦法之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨(dú)立的,“關(guān)聯(lián)"確保不遺漏，“獨(dú)立"確保不重復(fù)五、課時練教學(xué)反思在本節(jié)課的教學(xué)中，學(xué)生可能遇到的問題（或困難、障礙）是綜合應(yīng)用兩個計(jì)數(shù)原理，產(chǎn)生這一問題的原因是不能根據(jù)問題的特征選擇對應(yīng)的原理。要解決這一問題，就要要通過典型的、學(xué)生比較熟悉的實(shí)例，經(jīng)過概括得出兩個計(jì)數(shù)原理，然后從單一到綜合的方式，安排例題，其中關(guān)鍵是從單一到綜合，引導(dǎo)學(xué)生體會兩個計(jì)數(shù)原理的基本思想。教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)一、問題導(dǎo)學(xué)計(jì)數(shù)問題是我們從小就經(jīng)常遇到的，通過列舉一個一個地?cái)?shù)是計(jì)數(shù)的基本方法，但當(dāng)問題中的數(shù)量很大時，列舉的方法效率不高，能否設(shè)計(jì)巧妙的“數(shù)法”，以提高效率呢？下面先分析一個簡單的問題，并嘗試從中得出巧妙的計(jì)數(shù)方法.通過導(dǎo)語，幫助學(xué)生I可顧計(jì)數(shù)問題,單的問題，并嘗試從中得出巧妙的計(jì)數(shù)方法.通過導(dǎo)語，幫助學(xué)生I可顧計(jì)數(shù)問題,引出學(xué)習(xí)課題。問題1.用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的一個座位編號，總共能編出多少種不同的號碼？因?yàn)橛⑽淖帜腹灿?6個，阿拉伯?dāng)?shù)字共有10個，所以總共可以編出26+10=36出26+10=36種不同的號碼.出26+10=36出26+10=36種不同的號碼.通過具體問題，己發(fā)學(xué)生思考，通過分（3）各類號碼的個數(shù)相加，得出所有號碼的個數(shù).析、比較、歸納、形你能舉出一些生活中類似的例子嗎?成對計(jì)數(shù)原理的認(rèn)問題通過具體問題，己發(fā)學(xué)生思考，通過分（3）各類號碼的個數(shù)相加，得出所有號碼的個數(shù).析、比較、歸納、形你能舉出一些生活中類似的例子嗎?成對計(jì)數(shù)原理的認(rèn)上述計(jì)數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)是:（I）確定分類標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)問題條件分為字母號碼和數(shù)字號碼兩類;（2）分別計(jì)算各類號碼的個數(shù):識。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)識。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)-般地，有如下分類加法計(jì)數(shù)原理:算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。完成一件事，有兩類辦法.在第1類辦法中有m種不同的方法，在第2類方法中有n種不同的方法，則完成這件事共有:N=m+n種不同的方法.二、典例解析例1.在填寫高考志愿時，一名高中畢業(yè)生了解到，A,B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，如表，A大學(xué)B大學(xué)生物學(xué)數(shù)學(xué)化學(xué)會計(jì)學(xué)醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)物理學(xué)法學(xué)工程學(xué)如果這名同學(xué)只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇？分析:要完成的事情是“選一個專業(yè)”.因?yàn)檫@名同學(xué)在A,B兩所大學(xué)中只能選擇一所，而且只能選擇一個專業(yè)，乂因?yàn)檫@兩所大學(xué)沒有共同的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，所以符合分類加法計(jì)數(shù)原理的條件.解：這名同學(xué)可以選擇A.B兩所大學(xué)中的一所，在A大學(xué)中有5種專業(yè)選擇方法，在B大學(xué)中有4種專業(yè)選擇方法，因?yàn)闆]有一個強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)是兩所大學(xué)共有的，所以根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇種數(shù)N=5+4=9.利用分類加法計(jì)數(shù)原理解題的一般思路分類:將完成這件事的辦法分成若干類；計(jì)數(shù):求出每-類中的方法數(shù)；結(jié)論:將每一類中的方法數(shù)相加得最終結(jié)果.問題3.如果完成一件事有三類不同方案，在第一類方案中有，〃種1不同的方法，在第二類方案中有〃？種不同的方法，在第三類方案中2

有小種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？如果3完成一件事情有N類不同方案，在每一類中都有若干種不同的方法，那么應(yīng)該如何計(jì)數(shù)呢？分類加法計(jì)數(shù)原理：完成i件事,如果有〃類辦法，且:第一類辦法中有m種不同的方法，第二類辦法中有m種不同的方法......第〃類辦12法中有m種不同的方法，那么完成這件事共有N=m+〃?+???+〃】種n12n不同的方法.跟蹤訓(xùn)練1.在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)是（）A.18B.36C.72D.48解析：方法一按十位上的數(shù)字分別是1,2,3,4,5,6,7,8分成八類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有8個、7個、6個、5個、4個、3個、2個、1個.由分類加法計(jì)數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有8+7+6+5+4+3+2+1=36（個）.方法二按個位上的數(shù)字分別是2,3,4,5,6,7,8,9分成八類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有1個、2個、3個、4個、5個、6個、7個、8個.由分類加法計(jì)數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有1+2+3+4+5+6+7+8=36（個）.方法三考慮兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字的大小關(guān)系，利用對應(yīng)思想解決.所有的兩位數(shù)共有90個，其中，個位數(shù)字等于十位數(shù)字的兩位數(shù)為11,22,3399,共9個；有10,20,30,90共9個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字不能調(diào)換位置，則剩余的兩位數(shù)有90-18=72（個）.在這72個兩位數(shù)中，每一個個位數(shù)字（〃）小于十位數(shù)字（b）的兩位數(shù)都有一個十位數(shù)字（G小于個位數(shù)字0）的兩位數(shù)與之對應(yīng)，故滿足條件的兩位數(shù)的個數(shù)是72^2=36.故選B.答案：B問題4.用前6個大寫的英文字母和1?9個阿拉伯?dāng)?shù)字，以A,1A，…A,B,B,...的方式給教室里的一個座位編號，總共能編出1912多少種不同的號碼？在典例分析和練習(xí)中讓學(xué)生熟悉兩個計(jì)數(shù)原理的基本步驟，并能區(qū)分它們的聯(lián)系和區(qū)別，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。解：方法一：解決計(jì)數(shù)問題可以用“樹狀圖"列舉出來字毋敗字得到的號碼方法二：由于6個英文字母中的任意一個都能與6個數(shù)字中的任意一個組成一個號碼，而且它們互不相同，因此共有6x9=54種不同的號碼.問題5.你能說說這個問題的特征嗎？上述計(jì)數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)是：（1）由問題條件中的“和”，可確定完成編號要分兩步；（2）分別計(jì)算各步號碼的個數(shù)；（3）將各步號碼的個數(shù)相乘，得出所有號碼的個數(shù).你能舉出一些生活中類似的例子嗎？例2.設(shè)某班有男生30名，女生24名。現(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法？分析:選出一組參賽代表，可分兩步：第一步，選男生；第二步，選女生.解：第一步，從30名男生中選出1人，有30種不同選擇；第二步，從24名女生中選出1人，有24種不同選擇；根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有30X24=720種不同方法.問題6.如果完成一件事有三個步驟，做第1步有〃？種不同的方1法，做第2步有〃？種不同的方法，做第3步有m3種不同的方法，2那么完成這件事共有多少種不同的方法?N=mXmXm123如果完成一件事需要有n個步驟，做每一步中都有若干種不同方法，那么應(yīng)當(dāng)如何計(jì)數(shù)呢？如果完成一件事需要n個步驟，做第1步有ni種不同的方法，做第I2步有ni種不同的方法，…，做第n步有m種不同的方法，那么完成2n這件事的方法總數(shù)如何計(jì)算？劃味坦H或?財(cái);論：N=mXmX???XmI2n例3.書架上第I層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育雜志.從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？從書架的第1、2、3層各取1本書,有多少種不同取法？從書架上取2本不同學(xué)科的書，有多少種不同的取法？解：(1)根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得：N=4+3+2=9；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：N=4x3x2=24；需先分類再分步.第一類：從一、二層各取一本，有4x3=12種方法：第二類：從一、三層各取一本，有4x2=8種方法；第三類：從二、三層各取一本，有3x2=6種方法；根據(jù)兩個基本原理，不同的取法總數(shù)是N=4x3+4x2+3x2=26答：從書架上取2木不同種的書，有26種不同的取法.應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的一般思路

跟蹤訓(xùn)練2.有6名同學(xué)報(bào)名參加三個智力競賽項(xiàng)目，在下列情況下各有多少種不同的報(bào)名方法？(不一定6名同學(xué)都參加)每人恰好參加一項(xiàng)，每項(xiàng)人數(shù)不限；每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)；每項(xiàng)限報(bào)一人，但每人參加的項(xiàng)目不限.解：(1)每人都可以從這三個比賽項(xiàng)FI中選報(bào)一項(xiàng)，各有3種不同的報(bào)名方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法種數(shù)為36=729.每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，因此可由項(xiàng)目選人，第一個項(xiàng)目有6種選法，第二個項(xiàng)目有5種選法，第三個項(xiàng)目有4種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法種數(shù)為6x5x4=120.每人參加的項(xiàng)目不限，因此每一個項(xiàng)目都可以從這6人中選出1人參賽.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法種數(shù)為6，=216.三、達(dá)標(biāo)檢測某教師有相同的語文參考書3本，相同的數(shù)學(xué)參考書4本，從中取出4本贈送給4位學(xué)生，每位學(xué)生1本，則不同的贈送方法共有()A.20種B.15種C.10種D.4種解析：若4本中有3本語文參考書和1本數(shù)學(xué)參考書，則有4種方法，若4本中有1本語文參考書和3本數(shù)學(xué)參考書，則有4種方法，若4本中有2本語文參考書和2本數(shù)學(xué)參考書，則有6種方法，若4本都是數(shù)學(xué)參考書，則有…種方法，所以不同的贈送方法共有4+4+6+1=15(種).故選B.答案：B現(xiàn)有6名同學(xué)去聽同時進(jìn)行的5個課外知識講座，每名同學(xué)可自由選擇其中的一個講座，不同的選法的種數(shù)是()A.56B.65C.30D.11解析：⑴第一名同學(xué)有5種選擇方法，第二名也有5種選擇方法，...，依次，第六名同學(xué)有5種選擇方法，綜上，6名同學(xué)共有56種不同的選法.故選A.通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。4張卡片的正、反面分別標(biāo)有。與1,2與3,4與5,6與7,將其中3張卡片排放在一起,可組成個不同的三位數(shù).解析:分三個步驟：第一步:百位可放8-1=7個數(shù)；第二步:十位可放6個數(shù)；第三步:個位可放4個數(shù).根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可以組成N=7X6X4=168個不同的三位數(shù).答案:168如圖所示的電路圖，從A到B共有條不同的線路可通電.解析:先分三類.第?類,經(jīng)過支路①有3種方法;第二類，經(jīng)過支路②有1種方法;第三類，經(jīng)過支路③有2X2=4種方法，所以總的線路條數(shù)N=3+1+4=8.答案：8如圖，一只螞蚊沿著長方體的棱，從頂點(diǎn)A爬到相對頂點(diǎn)C,求其中I經(jīng)過3條棱的路線共有多少條？解:從總體上看有三類方法，分別經(jīng)過ABAIXAA.從局部上看每一類1又需分兩步完成.故第一類:經(jīng)過AB,有m=1X2=2條;第二類:經(jīng)過IAD,有m=1X2=2條;第三類:經(jīng)過AA，有m=1X2=2條.根據(jù)分類加2I3法計(jì)數(shù)原理,從頂點(diǎn)A到頂點(diǎn)C經(jīng)過3條棱的路線共有N=2+2+2=6I條.

6.某外語組有9人海人至少會英語和日語中的-門，其中7人會英語,3人會日語,從中選出會英語和口語的各一人到邊遠(yuǎn)地區(qū)支教，有多少種不同的選法？解:由題意知，有1人既會英語乂會日語,6人只會英語,2人只會日語.方法一:分兩類.第一類:從只會英語的6人中選1人有6種選法，從會日語的3人中選1人有3種選法.此時共有6X3=18（種）選法.第二類:從“全能"的人中選1人有1種選法，從只會日語的2人中選1人有2種選法，此時有1X2=2（種）選法.所以由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有18+2=20（種）選法.方法二:設(shè)既會英語又會日語的人為甲,則甲有入選和不入選兩類情形,入選后乂分兩種情況:⑴教英語;⑵教日語.第一類:甲入選.（1）甲教英語，再從只會日語的2人中選1人,由分步乘法計(jì)數(shù)原理，有1X2=2（種）選法;（2）甲教口語，再從只會英語的6人中選1人,由分步乘法計(jì)數(shù)原理，