計(jì)量學(xué)-向量自回歸和自回歸條件異方差模型課件

向量自回歸和自回歸條件異方差模型1向量自回歸和自回歸條件異方差模型1本章介紹時(shí)間序列的向量自回歸和自回歸條件異方差模型。向量自回歸模型是自回歸移動(dòng)平均模型從單個(gè)時(shí)間序列到多個(gè)時(shí)間序列的擴(kuò)展。自回歸條件異方差模型主要考察時(shí)間序列數(shù)據(jù)波動(dòng)性的變化，在金融領(lǐng)域的風(fēng)險(xiǎn)分析中有重要應(yīng)用。本章介紹這兩種模型的意義和特征、參數(shù)估計(jì)、檢驗(yàn)和應(yīng)用等。2本章介紹時(shí)間序列的向量自回歸和自回歸條件異方差模型。2第一節(jié)向量自回歸模型一、向量自回歸模型概述ARMA模型分析針對單個(gè)時(shí)間序列，存在忽略經(jīng)濟(jì)變量之間內(nèi)在聯(lián)系的缺點(diǎn)?？朔@個(gè)缺點(diǎn)的方法是把ARMA模型擴(kuò)展到針對多個(gè)時(shí)間序列，把ARMA模型中的變量換成向量。因?yàn)樽曰貧w移動(dòng)平均模型可相互轉(zhuǎn)換，而且在向量變量的情況下自回歸模型比較方便，因此一般主要考慮向量變量的自回歸模型，稱為“向量自回歸模型”（Vectorautoregressionmodel，VAR）。3第一節(jié)向量自回歸模型一、向量自回歸模型概述3(一)VAR模型的表示形式把p階自回歸模型AR(p)中的變量和誤差項(xiàng)都變成向量，系數(shù)變成系數(shù)向量或矩陣，就得到一個(gè)p階向量自回歸模型VAR(p)：引進(jìn)滯后算子，向量自回歸模型可以寫成或者4(一)VAR模型的表示形式4引進(jìn)下列記號(hào)：則p階向量自回歸模型VAR(p)，也可寫成一階自回歸形式VAR(1)：5引進(jìn)下列記號(hào)：5其中的協(xié)方差矩陣為6其中的協(xié)方差矩陣為6為了分析的方便，也常常假設(shè)服從多元正態(tài)分布，即~，其中可以包含一定自相關(guān)性，即是對稱正定矩陣，但不一定是對角線矩陣。當(dāng)滿足該假設(shè)時(shí)，上述向量自回歸模型也稱為“高斯向量自回歸模型”。7為了分析的方便，也常常假設(shè)服從多元正態(tài)分布，即向量自回歸模型VAR(p)展開，可以寫成每個(gè)變量對常數(shù)項(xiàng)和向量中所有變量的1-p階滯后項(xiàng)回歸的，n個(gè)方程構(gòu)成的聯(lián)立方程組系統(tǒng)8向量自回歸模型VAR(p)展開，可以寫成每個(gè)變量對常數(shù)項(xiàng)和這個(gè)展開形式上與一般聯(lián)立方程組模型相似，但其實(shí)有本質(zhì)差異：1、VAR模型不強(qiáng)調(diào)變量之間關(guān)系的理論根據(jù)，模型形式、變量、滯后期數(shù)等并不以特定經(jīng)濟(jì)理論為依據(jù)，模型變量也不存在內(nèi)生、外生之分，每個(gè)方程都包含所有的變量；2、VAR模型的主要作用是進(jìn)行預(yù)測分析而不是經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)分析；3、由于模型結(jié)構(gòu)性質(zhì)的差別，VAR模型的參數(shù)估計(jì)和檢驗(yàn)等與聯(lián)立方程組模型也有差別。9這個(gè)展開形式上與一般聯(lián)立方程組模型相似，但其實(shí)有本質(zhì)差異：9（二）平穩(wěn)性分析1、平穩(wěn)性定義如果向量自回歸過程的一階矩和二階矩關(guān)于時(shí)期t都是獨(dú)立的，則稱為“協(xié)方差平穩(wěn)的”，或者直接稱“平穩(wěn)的”。平穩(wěn)意味著向量中包含的各個(gè)時(shí)間序列都是平穩(wěn)的。10（二）平穩(wěn)性分析102、平穩(wěn)性條件利用一階自回歸形式進(jìn)行迭代可得因?yàn)槠椒€(wěn)過程意味著隨著時(shí)間的不斷增大，擾動(dòng)的效應(yīng)必須逐漸消失，因此上述向量自回歸過程的平穩(wěn)性要求隨著s不斷增大112、平穩(wěn)性條件11因此矩陣F的特征方程的根都必須滿足，也就是在單位圓內(nèi)。另一種表達(dá)方法:滿足方程的所有值（根）都必須在單位圓之外。12因此矩陣F的特征方程12(三)性質(zhì)1、均值對于平穩(wěn)的向量自回歸模型，兩邊求數(shù)學(xué)期望得：可得到其均值為：13(三)性質(zhì)132、MA(∞)表示方法一個(gè)平穩(wěn)的向量自回歸過程可以寫成一個(gè)白噪聲向量的無限移動(dòng)平均過程MA(∞)：其中是上述移動(dòng)平均表達(dá)式的滯后算子多項(xiàng)式，與自回歸形式的滯后算子多項(xiàng)式之間的關(guān)系為，意味著142、MA(∞)表示方法14二、向量自回歸模型參數(shù)估計(jì)普通最小二乘估計(jì)能得到一致估計(jì)。因?yàn)椴煌匠痰恼`差之間有相關(guān)性，因此ML能得到更有效的估計(jì)在模型誤差項(xiàng)服從多元正態(tài)分布的前提下，模型參數(shù)向量的最大似然估計(jì)與最小二乘估計(jì)是相同的，只是誤差方差的估計(jì)不同。15二、向量自回歸模型參數(shù)估計(jì)15以誤差向量服從多元高斯過程的高斯向量自回歸模型為例，說明最大似然估計(jì)。一個(gè)p階高斯向量自回歸模型即其中~。16以誤差向量服從多元高斯過程的高斯向量自回歸模型為例，說明最大如果已經(jīng)得到向量時(shí)間序列的個(gè)時(shí)期的觀測值，那么因?yàn)樵跁r(shí)期t為常數(shù)，而~，因此17如果已經(jīng)得到向量時(shí)間序列的個(gè)時(shí)期的引進(jìn)記號(hào):上述服從的條件分布可以寫成下列緊湊形式因此第t個(gè)觀測值的條件密度為18引進(jìn)記號(hào):18向量自回歸模型的（條件）似然函數(shù)為:對數(shù)似然函數(shù)則為19向量自回歸模型的（條件）似然函數(shù)為:19可以證明其中的最大似然估計(jì)實(shí)際上與最小二乘估計(jì)相同，為

其中第j行就是對回歸得到的回歸系數(shù)向量。的最大似然估計(jì)則是20可以證明其中的最大似然估計(jì)實(shí)際上與最小二乘估計(jì)相同，為20最大似然估計(jì)肯定是一致估計(jì)，其漸近分布是漸近正態(tài)分布其中，是克羅內(nèi)克積。第i個(gè)系數(shù)估計(jì)量漸近分布21最大似然估計(jì)肯定是一致估計(jì)，其漸近分布是漸近正態(tài)分布21如果由其一致估計(jì)代，而則由一致估計(jì)代，則可以將近似看作當(dāng)樣本容量較大時(shí)，可以利用該漸近分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷檢驗(yàn)。22如果由其一致估計(jì)三、向量自回歸模型檢驗(yàn)（一）需要通過模型檢驗(yàn)加以確定的問題包括：滯后期長度的確定；模型的參數(shù)是否顯著，是否存在特定約束關(guān)系等。23三、向量自回歸模型檢驗(yàn)23（二）似然比檢驗(yàn)

似然比檢驗(yàn)實(shí)際上就是把不同約束，有約束和無約束的參數(shù)估計(jì)、最大似然估計(jì)分別代入上述似然函數(shù)，根據(jù)是否有顯著差異說明參數(shù)約束或者所對應(yīng)的檢驗(yàn)假設(shè)是否成立。24（二）似然比檢驗(yàn)24：一組變量數(shù)據(jù)由階而不是階滯后的高斯向量自回歸生成。：這組變量數(shù)據(jù)是由階滯后的高斯向量自回歸生成。分別在兩個(gè)不同的假設(shè)下估計(jì)這個(gè)系統(tǒng)，也就是分別求每個(gè)變量關(guān)于常數(shù)項(xiàng)和系統(tǒng)中所有變量的階和滯后的回歸。25：一組變量數(shù)據(jù)由階而不是階滯分別代入上述似然函數(shù)公式得到得到似然比統(tǒng)計(jì)量為26分別代入上述似然函數(shù)公式得到26Sims（1980）也提出了一種適應(yīng)小樣本情況的修正的似然比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在確定向量自回歸模型的滯后期數(shù)等方面，進(jìn)行參數(shù)估計(jì)回歸時(shí)的SIC和AIC信息數(shù)標(biāo)準(zhǔn)同樣也是重要的參考依據(jù)。一般來說，這兩個(gè)指標(biāo)較小的選擇是較好的。27Sims（1980）也提出了一種適應(yīng)小樣本情況的修正的似然比四、向量自回歸模型的應(yīng)用（一）預(yù)測——向量自回歸模型最重要的應(yīng)用由于向量自回歸模型沒有當(dāng)期外生變量，因此在預(yù)測方面沒有確定外生變量水平的困難，預(yù)測比較容易。向量自回歸模型的最優(yōu)預(yù)測就是條件期望預(yù)測。28四、向量自回歸模型的應(yīng)用28基于的的預(yù)測如下：作為一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，向量自回歸模型很容易得到多步、多期預(yù)測。例如作基于的、等預(yù)測時(shí)，只要把前期預(yù)測作為變量值代入模型，就可以得到多步預(yù)測、等。這種方法的缺點(diǎn)是前期的預(yù)測誤差會(huì)不斷積累，導(dǎo)致長期預(yù)測的較大偏差。29基于的的預(yù)測如下：29（二）因果性分析（三）脈沖——響應(yīng)函數(shù)分析把向量自回歸模型表示為移動(dòng)平均模型形式時(shí)，等于把時(shí)間序列向量自身的慣性趨勢，轉(zhuǎn)化成了一系列隨機(jī)擾動(dòng)、新生的白噪聲擾動(dòng)影響的疊加，該移動(dòng)平均模型的系數(shù)矩陣滿足30（二）因果性分析30它反映了t時(shí)期的擾動(dòng)（創(chuàng)新）對時(shí)期t+s向量或其中各個(gè)變量水平的影響。如果已知變化，那么對的綜合影響為因此系數(shù)矩陣稱為“脈沖——響應(yīng)函數(shù)”。脈沖——響應(yīng)函數(shù)是研究新生沖擊的長期影響的方法。31它反映了t時(shí)期的擾動(dòng)（創(chuàng)新）對時(shí)期t+s向量或其中各個(gè)變量水在實(shí)際應(yīng)用中，由于把向量自回歸模型變換成移動(dòng)平均形式并不是很容易，因此一般采用模擬的方法求向量自回歸模型的脈沖——響應(yīng)函數(shù)。令32在實(shí)際應(yīng)用中，由于把向量自回歸模型32根據(jù)上述向量自回歸模型模擬時(shí)期t、t+1、t+2…的向量，其中即對應(yīng)矩陣的第j列。讓j取遍1,…,n，即可計(jì)算出中所有元素。33根據(jù)上述向量自回歸模型模擬時(shí)期t、t+1、t+2…的第二節(jié)自回歸條件異方差模型許多學(xué)者在分析通貨膨脹、匯率、股票價(jià)格等金融時(shí)間序列時(shí)，都發(fā)現(xiàn)時(shí)間序列模型擾動(dòng)方差的穩(wěn)定性比通常認(rèn)為的差，時(shí)間序列數(shù)據(jù)也存在異方差問題。經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)的這種方差變化也稱為波動(dòng)集聚性（volatilityclustering），對于研究和控制金融風(fēng)險(xiǎn)等非常有用。34第二節(jié)自回歸條件異方差模型許多學(xué)者在分析通貨膨脹、匯率、股恩格爾（Engle）1982年提出一種自回歸條件異方差模型（autoregressiveconditionalhetroscedasticitymodel，ARCH），來描述上述時(shí)間序列的方差波動(dòng)。后來該模型又被擴(kuò)展到GARCH、EGARCH、ARCH-M等模型。35恩格爾（Engle）1982年提出一種自回歸條件異方差模型（自回歸條件異方差模型可以在一個(gè)自回歸模型的基礎(chǔ)上引出1、自回歸模型是p階自回歸過程AR(p)

其中是白噪聲：36自回歸條件異方差模型可以在一個(gè)自回歸模型的基礎(chǔ)上引出36假定特征方程的根都在單位圓之外，則該過程是弱平穩(wěn)的。的無條件均值則是對的最優(yōu)線性預(yù)測為37假定特征方程2、自回歸條件異方差模型服從q階自回歸過程:其中服從獨(dú)立同分布的白噪聲過程382、自回歸條件異方差模型38給定，的條件方差隨時(shí)間而變化，而且模型中包含的q階自回歸結(jié)構(gòu)，因此稱服從q階“自回歸條件異方差過程”，記作~ARCH(q)。39給定，的條件方差39的分布是受限制的，上述自回歸過程中的系數(shù)必須滿足；對都必須成立。平穩(wěn)性條件特征方程的根必須都在單位圓之外。40的分布是受限制的，上述自回歸過程中的系數(shù)必須滿足因?yàn)?，，，該平穩(wěn)條件等價(jià)于上述平穩(wěn)性條件成立時(shí)，的無條件方差仍然為常數(shù)。41因?yàn)?，?、可以用另一種更方便的方法表示服從ARCH(q)過程。假設(shè)其中是獨(dú)立同分布序列，并假設(shè)423、可以用另一種更方便的方法表示服從ARCH(q)過程此時(shí)的條件期望為條件方差為與前一種表示方法完全是相同的。43此時(shí)的條件期望為43自回歸條件異方差模型的特點(diǎn)就是可以計(jì)算時(shí)間序列的條件方差，從而可以評價(jià)相關(guān)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的風(fēng)險(xiǎn)。如果自回歸條件異方差模型的參數(shù)已知，那么可以根據(jù)前期的數(shù)據(jù)和公式

估計(jì)預(yù)測未來的條件方差。不過一般來說，自回歸條件異方差模型的參數(shù)是需要估計(jì)的。44自回歸條件異方差模型的特點(diǎn)就是可以計(jì)算時(shí)間序列的條件方差，二、自回歸條件異方差模型參數(shù)估計(jì)(一)一般的OLS方法其實(shí)在誤差項(xiàng)服從ARCH過程的情況下，如果模型仍然服從基本假設(shè)，例如線性回歸模型的5條假設(shè)或平穩(wěn)自回歸模型的條件，那么一般的OLS仍然是有效的。45二、自回歸條件異方差模型參數(shù)估計(jì)45ARCH過程最常用的模型是在回歸模型

其中是已知的回歸變量構(gòu)成的向量，可以包括滯后，是回歸參數(shù)向量。誤差項(xiàng)服從ARCH(q)，即，是白噪聲，而。46ARCH過程最常用的模型是在回歸模型46由于的無條件均值和方差都滿足古典線性回歸模型的假設(shè)，因此理論上可以用OLS法估計(jì)線性回歸模型的參數(shù)，得到的參數(shù)估計(jì)量是有效線性估計(jì)量（BLUE估計(jì)）。即使不是正態(tài)分布的，通常的OLS檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量也是漸近有效的。47由于的無條件均值和方差都滿足古典線性回歸模型的假設(shè)，但由于存在自回歸條件異方差性，因此用加權(quán)最小二乘估計(jì)有可能獲得比OLS估計(jì)更有效，但不是無偏的估計(jì)量。在誤差項(xiàng)正態(tài)分布的條件下，最大似然估計(jì)也可以得到更有效的非線性估計(jì)量。48但由于存在自回歸條件異方差性，因此用加權(quán)最小二乘估計(jì)有可能獲（二）最大似然估計(jì)假設(shè)服從正態(tài)分布。根據(jù)模型（8-3）的假設(shè)，與，以及滯后相互獨(dú)立。因此隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，條件密度函數(shù)為：49（二）最大似然估計(jì)49模型的條件對數(shù)似然函數(shù)為在此基礎(chǔ)上可以根據(jù)非線性優(yōu)化的數(shù)值算法，通過搜索或者迭代運(yùn)算的方法，求出模型參數(shù)的最大似然估計(jì)。對于不服從正態(tài)分布而服從其他分布，只要能夠得到的分布密度函數(shù)，也可以用同樣的方法進(jìn)行最大似然估計(jì)。50模型的條件對數(shù)似然函數(shù)為50三、廣義自回歸條件異方差模型許多金融時(shí)間序列ARCH模型的仍然必須取很大值。這意味著參數(shù)的數(shù)量較大，估計(jì)較困難，而且模型所有系數(shù)都要求也有問題。解決這些問題的方法是用一個(gè)類似ARMA的“自回歸移動(dòng)平均條件異方差模型”，也稱為“廣義條件異方差模型”（GARCH）進(jìn)行分析。51三、廣義自回歸條件異方差模型51GARCH表現(xiàn)為誤差項(xiàng)，其中是獨(dú)立同分布序列，并假設(shè)其中和都大于0，且這種模型記GARCH(p,q)。52GARCH表現(xiàn)為誤差項(xiàng)，其中在實(shí)際應(yīng)用中，GARCH(p,q)中的q一般比較小，比ARCH(q)中的q可以小得多，事實(shí)上最常用的是GARCH(1,1)模型。GARCH(1,1)模型就可以描述大量的金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)。很顯然，GARCH(1,1)需要估計(jì)的參數(shù)數(shù)量就比較少，對于估計(jì)和分析等都有很大好處。53在實(shí)際應(yīng)用中，GARCH(p,q)中的q一般比較小，比ARC四、自回歸條件異方差模型檢驗(yàn)和預(yù)測（一）檢驗(yàn)檢驗(yàn)GARCH效應(yīng)1、簡單的方法是估計(jì)最小二乘殘差的平方。殘差平方的自回歸提供了關(guān)于GARCH效應(yīng)的證據(jù)。54四、自回歸條件異方差模型檢驗(yàn)和預(yù)測542、博拉斯萊夫提出的拉格朗日統(tǒng)計(jì)量?？梢杂糜谶M(jìn)行相對于ARCH(q)的沒有ARCH效應(yīng)的ARCH(0)檢驗(yàn)，相對于GARCH(p,q)的關(guān)于GARCH(p,0)的LM檢驗(yàn)。具體是通過在對常數(shù)和q個(gè)滯后變量的線性回歸，得到的的T倍服從自由度為q的極限卡方分布，因此可以用具有q個(gè)自由度的卡方分布進(jìn)行檢驗(yàn)。552、博拉斯萊夫提出的拉格朗日統(tǒng)計(jì)量。55當(dāng)此統(tǒng)計(jì)量的值大于臨界值表明ARCH或GARCH效應(yīng)存在，否則認(rèn)為ARCH或GARCH效應(yīng)不存在。56當(dāng)此統(tǒng)計(jì)量的值大于臨界值表明ARCH或GARCH效應(yīng)存在，否（二）預(yù)測這里的預(yù)測是指自回歸條件異方差模型，有自回歸條件異方差的線性回歸、自回歸模型的誤差項(xiàng)條件方差的預(yù)測。該條件方差的預(yù)測可以用迭代的方法進(jìn)行多步預(yù)測。記為條件方差超前s預(yù)測期的線性預(yù)測57（二）預(yù)測57可以得到線性預(yù)測的迭代公式其中，當(dāng)時(shí)。假定有有限方差，而那么當(dāng)時(shí)，超前s期預(yù)測58可以得到線性預(yù)測的迭代公式58向量自回歸和自回歸條件異方差模型59向量自回歸和自回歸條件異方差模型1本章介紹時(shí)間序列的向量自回歸和自回歸條件異方差模型。向量自回歸模型是自回歸移動(dòng)平均模型從單個(gè)時(shí)間序列到多個(gè)時(shí)間序列的擴(kuò)展。自回歸條件異方差模型主要考察時(shí)間序列數(shù)據(jù)波動(dòng)性的變化，在金融領(lǐng)域的風(fēng)險(xiǎn)分析中有重要應(yīng)用。本章介紹這兩種模型的意義和特征、參數(shù)估計(jì)、檢驗(yàn)和應(yīng)用等。60本章介紹時(shí)間序列的向量自回歸和自回歸條件異方差模型。2第一節(jié)向量自回歸模型一、向量自回歸模型概述ARMA模型分析針對單個(gè)時(shí)間序列，存在忽略經(jīng)濟(jì)變量之間內(nèi)在聯(lián)系的缺點(diǎn)?？朔@個(gè)缺點(diǎn)的方法是把ARMA模型擴(kuò)展到針對多個(gè)時(shí)間序列，把ARMA模型中的變量換成向量。因?yàn)樽曰貧w移動(dòng)平均模型可相互轉(zhuǎn)換，而且在向量變量的情況下自回歸模型比較方便，因此一般主要考慮向量變量的自回歸模型，稱為“向量自回歸模型”（Vectorautoregressionmodel，VAR）。61第一節(jié)向量自回歸模型一、向量自回歸模型概述3(一)VAR模型的表示形式把p階自回歸模型AR(p)中的變量和誤差項(xiàng)都變成向量，系數(shù)變成系數(shù)向量或矩陣，就得到一個(gè)p階向量自回歸模型VAR(p)：引進(jìn)滯后算子，向量自回歸模型可以寫成或者62(一)VAR模型的表示形式4引進(jìn)下列記號(hào)：則p階向量自回歸模型VAR(p)，也可寫成一階自回歸形式VAR(1)：63引進(jìn)下列記號(hào)：5其中的協(xié)方差矩陣為64其中的協(xié)方差矩陣為6為了分析的方便，也常常假設(shè)服從多元正態(tài)分布，即~，其中可以包含一定自相關(guān)性，即是對稱正定矩陣，但不一定是對角線矩陣。當(dāng)滿足該假設(shè)時(shí)，上述向量自回歸模型也稱為“高斯向量自回歸模型”。65為了分析的方便，也常常假設(shè)服從多元正態(tài)分布，即向量自回歸模型VAR(p)展開，可以寫成每個(gè)變量對常數(shù)項(xiàng)和向量中所有變量的1-p階滯后項(xiàng)回歸的，n個(gè)方程構(gòu)成的聯(lián)立方程組系統(tǒng)66向量自回歸模型VAR(p)展開，可以寫成每個(gè)變量對常數(shù)項(xiàng)和這個(gè)展開形式上與一般聯(lián)立方程組模型相似，但其實(shí)有本質(zhì)差異：1、VAR模型不強(qiáng)調(diào)變量之間關(guān)系的理論根據(jù)，模型形式、變量、滯后期數(shù)等并不以特定經(jīng)濟(jì)理論為依據(jù)，模型變量也不存在內(nèi)生、外生之分，每個(gè)方程都包含所有的變量；2、VAR模型的主要作用是進(jìn)行預(yù)測分析而不是經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)分析；3、由于模型結(jié)構(gòu)性質(zhì)的差別，VAR模型的參數(shù)估計(jì)和檢驗(yàn)等與聯(lián)立方程組模型也有差別。67這個(gè)展開形式上與一般聯(lián)立方程組模型相似，但其實(shí)有本質(zhì)差異：9（二）平穩(wěn)性分析1、平穩(wěn)性定義如果向量自回歸過程的一階矩和二階矩關(guān)于時(shí)期t都是獨(dú)立的，則稱為“協(xié)方差平穩(wěn)的”，或者直接稱“平穩(wěn)的”。平穩(wěn)意味著向量中包含的各個(gè)時(shí)間序列都是平穩(wěn)的。68（二）平穩(wěn)性分析102、平穩(wěn)性條件利用一階自回歸形式進(jìn)行迭代可得因?yàn)槠椒€(wěn)過程意味著隨著時(shí)間的不斷增大，擾動(dòng)的效應(yīng)必須逐漸消失，因此上述向量自回歸過程的平穩(wěn)性要求隨著s不斷增大692、平穩(wěn)性條件11因此矩陣F的特征方程的根都必須滿足，也就是在單位圓內(nèi)。另一種表達(dá)方法:滿足方程的所有值（根）都必須在單位圓之外。70因此矩陣F的特征方程12(三)性質(zhì)1、均值對于平穩(wěn)的向量自回歸模型，兩邊求數(shù)學(xué)期望得：可得到其均值為：71(三)性質(zhì)132、MA(∞)表示方法一個(gè)平穩(wěn)的向量自回歸過程可以寫成一個(gè)白噪聲向量的無限移動(dòng)平均過程MA(∞)：其中是上述移動(dòng)平均表達(dá)式的滯后算子多項(xiàng)式，與自回歸形式的滯后算子多項(xiàng)式之間的關(guān)系為，意味著722、MA(∞)表示方法14二、向量自回歸模型參數(shù)估計(jì)普通最小二乘估計(jì)能得到一致估計(jì)。因?yàn)椴煌匠痰恼`差之間有相關(guān)性，因此ML能得到更有效的估計(jì)在模型誤差項(xiàng)服從多元正態(tài)分布的前提下，模型參數(shù)向量的最大似然估計(jì)與最小二乘估計(jì)是相同的，只是誤差方差的估計(jì)不同。73二、向量自回歸模型參數(shù)估計(jì)15以誤差向量服從多元高斯過程的高斯向量自回歸模型為例，說明最大似然估計(jì)。一個(gè)p階高斯向量自回歸模型即其中~。74以誤差向量服從多元高斯過程的高斯向量自回歸模型為例，說明最大如果已經(jīng)得到向量時(shí)間序列的個(gè)時(shí)期的觀測值，那么因?yàn)樵跁r(shí)期t為常數(shù)，而~，因此75如果已經(jīng)得到向量時(shí)間序列的個(gè)時(shí)期的引進(jìn)記號(hào):上述服從的條件分布可以寫成下列緊湊形式因此第t個(gè)觀測值的條件密度為76引進(jìn)記號(hào):18向量自回歸模型的（條件）似然函數(shù)為:對數(shù)似然函數(shù)則為77向量自回歸模型的（條件）似然函數(shù)為:19可以證明其中的最大似然估計(jì)實(shí)際上與最小二乘估計(jì)相同，為

其中第j行就是對回歸得到的回歸系數(shù)向量。的最大似然估計(jì)則是78可以證明其中的最大似然估計(jì)實(shí)際上與最小二乘估計(jì)相同，為20最大似然估計(jì)肯定是一致估計(jì)，其漸近分布是漸近正態(tài)分布其中，是克羅內(nèi)克積。第i個(gè)系數(shù)估計(jì)量漸近分布79最大似然估計(jì)肯定是一致估計(jì)，其漸近分布是漸近正態(tài)分布21如果由其一致估計(jì)代，而則由一致估計(jì)代，則可以將近似看作當(dāng)樣本容量較大時(shí)，可以利用該漸近分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷檢驗(yàn)。80如果由其一致估計(jì)三、向量自回歸模型檢驗(yàn)（一）需要通過模型檢驗(yàn)加以確定的問題包括：滯后期長度的確定；模型的參數(shù)是否顯著，是否存在特定約束關(guān)系等。81三、向量自回歸模型檢驗(yàn)23（二）似然比檢驗(yàn)

似然比檢驗(yàn)實(shí)際上就是把不同約束，有約束和無約束的參數(shù)估計(jì)、最大似然估計(jì)分別代入上述似然函數(shù)，根據(jù)是否有顯著差異說明參數(shù)約束或者所對應(yīng)的檢驗(yàn)假設(shè)是否成立。82（二）似然比檢驗(yàn)24：一組變量數(shù)據(jù)由階而不是階滯后的高斯向量自回歸生成。：這組變量數(shù)據(jù)是由階滯后的高斯向量自回歸生成。分別在兩個(gè)不同的假設(shè)下估計(jì)這個(gè)系統(tǒng)，也就是分別求每個(gè)變量關(guān)于常數(shù)項(xiàng)和系統(tǒng)中所有變量的階和滯后的回歸。83：一組變量數(shù)據(jù)由階而不是階滯分別代入上述似然函數(shù)公式得到得到似然比統(tǒng)計(jì)量為84分別代入上述似然函數(shù)公式得到26Sims（1980）也提出了一種適應(yīng)小樣本情況的修正的似然比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在確定向量自回歸模型的滯后期數(shù)等方面，進(jìn)行參數(shù)估計(jì)回歸時(shí)的SIC和AIC信息數(shù)標(biāo)準(zhǔn)同樣也是重要的參考依據(jù)。一般來說，這兩個(gè)指標(biāo)較小的選擇是較好的。85Sims（1980）也提出了一種適應(yīng)小樣本情況的修正的似然比四、向量自回歸模型的應(yīng)用（一）預(yù)測——向量自回歸模型最重要的應(yīng)用由于向量自回歸模型沒有當(dāng)期外生變量，因此在預(yù)測方面沒有確定外生變量水平的困難，預(yù)測比較容易。向量自回歸模型的最優(yōu)預(yù)測就是條件期望預(yù)測。86四、向量自回歸模型的應(yīng)用28基于的的預(yù)測如下：作為一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，向量自回歸模型很容易得到多步、多期預(yù)測。例如作基于的、等預(yù)測時(shí)，只要把前期預(yù)測作為變量值代入模型，就可以得到多步預(yù)測、等。這種方法的缺點(diǎn)是前期的預(yù)測誤差會(huì)不斷積累，導(dǎo)致長期預(yù)測的較大偏差。87基于的的預(yù)測如下：29（二）因果性分析（三）脈沖——響應(yīng)函數(shù)分析把向量自回歸模型表示為移動(dòng)平均模型形式時(shí)，等于把時(shí)間序列向量自身的慣性趨勢，轉(zhuǎn)化成了一系列隨機(jī)擾動(dòng)、新生的白噪聲擾動(dòng)影響的疊加，該移動(dòng)平均模型的系數(shù)矩陣滿足88（二）因果性分析30它反映了t時(shí)期的擾動(dòng)（創(chuàng)新）對時(shí)期t+s向量或其中各個(gè)變量水平的影響。如果已知變化，那么對的綜合影響為因此系數(shù)矩陣稱為“脈沖——響應(yīng)函數(shù)”。脈沖——響應(yīng)函數(shù)是研究新生沖擊的長期影響的方法。89它反映了t時(shí)期的擾動(dòng)（創(chuàng)新）對時(shí)期t+s向量或其中各個(gè)變量水在實(shí)際應(yīng)用中，由于把向量自回歸模型變換成移動(dòng)平均形式并不是很容易，因此一般采用模擬的方法求向量自回歸模型的脈沖——響應(yīng)函數(shù)。令90在實(shí)際應(yīng)用中，由于把向量自回歸模型32根據(jù)上述向量自回歸模型模擬時(shí)期t、t+1、t+2…的向量，其中即對應(yīng)矩陣的第j列。讓j取遍1,…,n，即可計(jì)算出中所有元素。91根據(jù)上述向量自回歸模型模擬時(shí)期t、t+1、t+2…的第二節(jié)自回歸條件異方差模型許多學(xué)者在分析通貨膨脹、匯率、股票價(jià)格等金融時(shí)間序列時(shí)，都發(fā)現(xiàn)時(shí)間序列模型擾動(dòng)方差的穩(wěn)定性比通常認(rèn)為的差，時(shí)間序列數(shù)據(jù)也存在異方差問題。經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)的這種方差變化也稱為波動(dòng)集聚性（volatilityclustering），對于研究和控制金融風(fēng)險(xiǎn)等非常有用。92第二節(jié)自回歸條件異方差模型許多學(xué)者在分析通貨膨脹、匯率、股恩格爾（Engle）1982年提出一種自回歸條件異方差模型（autoregressiveconditionalhetroscedasticitymodel，ARCH），來描述上述時(shí)間序列的方差波動(dòng)。后來該模型又被擴(kuò)展到GARCH、EGARCH、ARCH-M等模型。93恩格爾（Engle）1982年提出一種自回歸條件異方差模型（自回歸條件異方差模型可以在一個(gè)自回歸模型的基礎(chǔ)上引出1、自回歸模型是p階自回歸過程AR(p)

其中是白噪聲：94自回歸條件異方差模型可以在一個(gè)自回歸模型的基礎(chǔ)上引出36假定特征方程的根都在單位圓之外，則該過程是弱平穩(wěn)的。的無條件均值則是對的最優(yōu)線性預(yù)測為95假定特征方程2、自回歸條件異方差模型服從q階自回歸過程:其中服從獨(dú)立同分布的白噪聲過程962、自回歸條件異方差模型38給定，的條件方差隨時(shí)間而變化，而且模型中包含的q階自回歸結(jié)構(gòu)，因此稱服從q階“自回歸條件異方差過程”，記作~ARCH(q)。97給定，的條件方差39的分布是受限制的，上述自回歸過程中的系數(shù)必須滿足；對都必須成立。平穩(wěn)性條件特征方程的根必須都在單位圓之外。98的分布是受限制的，上述自回歸過程中的系數(shù)必須滿足因?yàn)椋?，，該平穩(wěn)條件等價(jià)于上述平穩(wěn)性條件成立時(shí)，的無條件方差仍然為常數(shù)。99因?yàn)?，?、可以用另一種更方便的方法表示服從ARCH(q)過程。假設(shè)其中是獨(dú)立同分布序列，并假設(shè)1003、可以用另一種更方便的方法表示服從ARCH(q)過程此時(shí)的條件期望為條件方差為與前一種表示方法完全是相同的。101此時(shí)的條件期望為43自回歸條件異方差模型的特點(diǎn)就是可以計(jì)算時(shí)間序列的條件方差，從而可以評價(jià)相關(guān)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的風(fēng)險(xiǎn)。如果自回歸條件異方差模型的參數(shù)已知，那么可以根據(jù)前期的數(shù)據(jù)和公式

估計(jì)預(yù)測未來的條件方差。不過一般來說，自回歸條件異方差模型的參數(shù)是需要估計(jì)的。102自回歸條件異方差模型的特點(diǎn)就是可以計(jì)算時(shí)間序列的條件方差，二、自回歸條件異方差模型參數(shù)估計(jì)(一)一般的OLS方法其實(shí)在誤差項(xiàng)服從ARCH過程的情況下，如果模型仍然服從基本假設(shè)，例如線性回歸模型的5條假設(shè)或平穩(wěn)自回歸模型的條件，那么一般的OLS仍然是有效的。103二、自回歸條件異方差模型參數(shù)估計(jì)45ARCH過程最常用的模型是在回歸模型

其中是已知的回歸變量構(gòu)成的向量，可以包括滯后，是回歸參數(shù)向量。誤差項(xiàng)服從ARCH(q)，即，是白噪聲，而。104ARCH過程最常用的模型是在回歸模型46由于的無條件均值和方差都滿足古典線性回歸模型的假設(shè)，因此理論上可以用OLS法估計(jì)線性回歸模型的參數(shù)，得到的參數(shù)估計(jì)量是有效線性估計(jì)量（BLUE估計(jì)）。即使不是正態(tài)分布的，通常的OLS檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量也是漸近有效的。105由于的無條件均值和方差都滿足古典線性回歸模型的假設(shè)，但由于存在自回歸條件異方差性，因此用加權(quán)最小二乘估計(jì)有可能獲得比OLS估計(jì)更有效，但不是無偏的估計(jì)量。在誤差項(xiàng)正態(tài)分布的條件下，最大似然估