七年級數(shù)學探索規(guī)律專題(教師版)

探索規(guī)律【學習目標】通過觀察、分析、總結(jié)等一系列過程，經(jīng)歷探索數(shù)量關(guān)系，并運用代數(shù)式表示規(guī)律，通過運算驗證規(guī)律是否正確的過程；會用代數(shù)式表示簡單問題中的數(shù)量關(guān)系，能用合并同類項、去括號等法則驗證所探索的規(guī)律是否正確；通過動手操作、觀察、思考，體驗數(shù)學活動是充滿著探索性和創(chuàng)造性的過程.【要點梳理】要點一、規(guī)律探索型問題常見類型1、數(shù)式規(guī)律通常給定一些數(shù)字、代數(shù)式、等式或不等式，然后猜想其中蘊含的規(guī)律，反映了由特殊到一般的數(shù)學方法，考查了學生的分析、歸納、抽象、概括能力.一般解法是先寫出數(shù)式的基本結(jié)構(gòu)，然后通過橫比（比較同一等式中不同部分的數(shù)量關(guān)系）或縱比（比較不同等式間相同位置的數(shù)量關(guān)系）找出各部分的特征，改寫成要求的格式.要點詮釋：由于尋找規(guī)律并用字母表示這一規(guī)律體現(xiàn)了從特殊到一般和歸納、猜想的數(shù)學思想的運用.解題中應(yīng)注意先從特殊的結(jié)果入手尋找規(guī)律，再用字母表示，最后加以驗證.2、圖形規(guī)律根據(jù)一組相關(guān)圖形的變化，從中總結(jié)圖形變化所反映的規(guī)律.解決這類圖形規(guī)律問題的方法有兩種，一種是數(shù)圖形，將圖形轉(zhuǎn)化成數(shù)字規(guī)律，再用數(shù)字規(guī)律的解決問題，一種是通過圖形的直觀性，從圖形中直接尋找規(guī)律.要點詮釋：圖案、圖表具有直觀、形象、簡明，包含的信息量多等特點，解決此類問題需要把“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.3、數(shù)表規(guī)律解決本題的方法一般是先看行（或列）的規(guī)律，再以列（或行）為單位用數(shù)列找規(guī)律方法找規(guī)律.有時也需要看看有沒有一個數(shù)是上面兩數(shù)或下面兩數(shù)的和或差等.有時還需要先局部看，再整體找規(guī)律.要點二、規(guī)律探索型問題解題技巧1、抓住條件中的變與不變找數(shù)學規(guī)律的題目，都會涉及到一個或者幾個變化的量.所謂找規(guī)律，多數(shù)情況下，是指變量的變化規(guī)律.所以，抓住了變量，就等于抓住了解決問題的關(guān)鍵.而這些變量通常按照一定的順序給出，揭示的規(guī)律，常常包含著事物的序列號.2、化繁為簡，形轉(zhuǎn)化為數(shù)有些題目看上去很大、圖形很復雜，實際上，關(guān)鍵性的內(nèi)容并不多.對題目做一番認真地分析，去粗取精，取偽存真，把其中主要的、關(guān)鍵的內(nèi)容抽出來，題目的難度就會大幅度降低，問題也就容易解決了.3、要進行計算嘗試找規(guī)律，當然是找數(shù)學規(guī)律.而數(shù)學規(guī)律，多數(shù)是函數(shù)的解析式.函數(shù)的解析式里常常包含著數(shù)學運算.因此，找規(guī)律，在很大程度上是在找能夠反映已知量的數(shù)學運算式子.所以，從運算入手，嘗試著做一些計算，也是解答找規(guī)律題的好途徑.4、尋找事物的循環(huán)節(jié)有些題目包含著事物的循環(huán)規(guī)律，找到了事物的循環(huán)規(guī)律，其他問題就可以迎刃而解.【典型例題1】類型一、數(shù)式規(guī)律1．在下列數(shù)列里，寫出后面兩個數(shù)：1)1，10，3，13，5，16,7,19,,??2)2，5，6，10，18，20,54,40,9???3)4，16,36,64,,144,196,???4)0，1,2,3,6,11,20,,???15913172125295)-3,6,9,12,15,18,21,24,【對點演練1】Q1A觀察下列各數(shù)：1,舟，卡，畀，…，按你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算這列數(shù)的第6個數(shù)為()5t15A.，B.，C.星D.'3135763【總結(jié)升華】(1)(2)(4)的第n項不容易用一個代數(shù)式表示出來，(3)的第n項為4n24n—3(5)的第n項為(—1)”+1-3n【典型例題2】我們知道簡便計算的好處，事實上，簡便計算在好多地方都存在，觀察下列等式：152=1X2X100+25=225,252=2X3X100+25=625,352=3X4X100+25=1225,…根據(jù)上述格式反應(yīng)出的規(guī)律填空：952=；設(shè)這類等式左邊兩位數(shù)的十位數(shù)字為a,請用一個含a的代數(shù)式表示其結(jié)果；這種簡便計算也可以推廣應(yīng)用：個位數(shù)字是5的三位數(shù)的平方,請寫出1952的簡便計算過程及結(jié)果．【對點演練2】觀察下面組成的圖案和算式,解答問題：1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52；請猜想1+3+5+7+9+…+19=；請猜想1+3+5+7+9+…+(2n-1)+(2n+1)+(2n+3)=.【總結(jié)升華】本題考査了規(guī)律型中的數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是找出變化規(guī)律(a5)2=aX(a+1)X100+25=100a(a+1)+25”.解決該題型題目時，根據(jù)給定等式子的變化，找出變化規(guī)律是關(guān)鍵．圖形編號①②③④⑤⑥

火柴棒根數(shù)（2）第N個圖形需要多少根火柴?對點演練3】從一個三角形的一個頂點向它的對邊引一條線段，此時圖中共有3個三角形（如圖2）；若再向它的對邊引一條線段，此時圖中共有6個三角形（如圖3）；……依次類推，則第N個圖中共有個三角形?【總結(jié)升華】在數(shù)圖形的數(shù)量時，如能掌握：先單一、后2個復合、再3個復合……依次類推，數(shù)出相應(yīng)所有的結(jié)論，這樣做不易重復和遺漏.【典型例題4】將正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列下去.若用有序?qū)崝?shù)對（m,n）表示第m排、從左到右第n個數(shù)，如（3,2）表示實數(shù)5.（1）圖中（7,3）位置上的數(shù)；數(shù)據(jù)45對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對是.（2）第2n行的最后一個數(shù)為，并簡要說明理由.1第一行24第二與37第三疔S1012911?,131517對點演練4】根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，在最后一個空格中填上適當?shù)臄?shù)字．【總結(jié)升華】此題主要考查了探尋數(shù)列規(guī)律問題，注意觀察總結(jié)規(guī)律，并能正確的應(yīng)用規(guī)律，解答此題的關(guān)鍵是判斷出：每行數(shù)字的個數(shù)等于行數(shù)，而且奇數(shù)行的數(shù)字都是奇數(shù)，偶數(shù)行的數(shù)字都是偶數(shù)．【典型例題5】觀察下列球的排列規(guī)律（其中?是實心球，O是空心球）：從第1個球起到第2004個球止，共有實心球個.【對點演練5】白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑排列的珠子，前2002個中有幾個是黑的？2.如圖，一串有黑有白，其排列有一定規(guī)律的珠子，被盒子遮住一部分，則這串珠子被盒子6，7，8，9，10個為空心球．【鞏固練習】一、選擇題為慶?！傲?一”兒童節(jié)，某幼兒園舉行用火柴棒擺“金魚”比賽.如圖所示:按照上面的規(guī)律，擺n個“金魚”需用火柴棒的根數(shù)為（）.A.2+6A.2+6nB.8+6nC.4+4nD.8n2?請你觀察表一，尋找規(guī)律.表二、表三、表四分別是從表一中截取的一部分，其中a、b、12345???24681012345???246810???3691215???48121620???510152025???????????????c的值分別為（）.1215a表二A.20、29、30B.18、30、2624|25b18c32表四表三C.18、20、26D.18、30、283.從1開始得到如下的一列數(shù):1,2,4,8,16,22,24,28,…其中每一個數(shù)加上自己的個位數(shù)，成為下一個數(shù)，上述一列數(shù)中小于100的個數(shù)為（）21B.21B.22C.23D.994?伸出你的左手，從大拇指開始如圖示那樣數(shù)數(shù)：1,2,3,4……數(shù)到2013時，你數(shù)到的手A.小指B.無名指C.中指D.食指下列數(shù)據(jù)具有一定的排列規(guī)律：TOC\o"1-5"\h\z第一行1第二行23第三行456第四行78910若整數(shù)2016位于第a行，從左數(shù)第b個數(shù)，則a+b的值是（）a+11,i|A.63B.126C.2015D.10026-已知整數(shù)ai,a2,aa+11,i|…，依此類推，則氣12的值為（

A.—1005—1006—1007—2012A.—1005—1006—1007—2012二、填空題7?古希臘數(shù)學家把數(shù)1,3,6,10,15,21,…叫做三角形數(shù)，其中1是第一個三角形數(shù)，3是第2個三角形數(shù)，6是第3個三角形數(shù)，…依此類推，那么第9個三角形數(shù)■—,2016是第—個三角形數(shù).有數(shù)組：(1,1,1),(2,4,8),(3,9,27),…，則第100組的三個數(shù)之和.一個用數(shù)字1和0組成的2003位數(shù)碼，其排列規(guī)律是：101101110101101110……則這個數(shù)碼中數(shù)字“0”共有個.觀察下列等式：2=2=1X22+4=6=2X32+4+6=12=3X42+4+6+8=20=4X5TOC\o"1-5"\h\z可以猜想，從2開始到第n(n為自然數(shù))個連續(xù)偶數(shù)的和是；當n=10時，從2開始到第10個連續(xù)偶數(shù)的和是.13+23=9=(1+2)2；13+23+33=36二(1+2+3)2；13+23+33+43二(1+2+3+4)2,…，則13+23+33+43+^+993+1003=.在數(shù)學競賽的頒獎會上，10位獲獎?wù)呙课欢枷嗷ノ帐肿ＹR，則他們共握了次手.如果有n位獲獎?wù)?，則他們共握了次手.三、解答題(2015?廣東模擬)觀察下列等式：第一個等式，=「事

第二個等式:第三個等式:第四個等式:4112X3X第二個等式:第三個等式:第四個等式:4112X3X232X223X2a，5113X4X243X234X2r6114X5X254X245X盧a4=a2=a二按上述規(guī)律，回答以下問題：TOC\o"1-5"\h\z用含n的代數(shù)式表示第n個等式：a==z;n式子a+a+a+???+a=-.12320觀察下面的圖形(每個正方形的邊長均為1)和相應(yīng)的等式，探究其中的規(guī)律111=—X1+—111+111=—X1+—111+2=x22+x22222111+2+3=x32+x322111+2+3+4=x42+x422⑴寫出第五個等式，并在左邊畫出與之對應(yīng)的圖示；⑵猜想并寫出與第n個圖形相對應(yīng)的等式用棋子擺出下列一組圖形:1)填寫下表:圖形編號①②③④⑤⑥圖形中的棋子（2）照這樣的方式擺下去，寫出擺第n個圖形棋子的枚數(shù)；（3）如果某一圖形共有99枚棋子，你知道它是第幾個圖形嗎？【答案與解析】一、選擇題【答案】A；【答案】D;【解析】觀察表一，尋找規(guī)律:每個數(shù)可以看成它所在的行數(shù)與列數(shù)的乘積，由表一得12=4X3,15=5X3,a=6X3=18；由表二得：20=4X5,24=4X6,25=5X5,b=5X6=30；由表三得：18=6X3,32=8X4,c=7X4=28.【答案】A.【解析】由題意知：1,2,4,8,16,22,24,28,…由此可知，每4個數(shù)一組，后面依次為36,42,44,48,56,62,64,68,76,82,84,88,96,故小于100的個數(shù)為：21個.【答案】A；【解析】從大拇指到小指再到食指的過程堪稱一個循環(huán),一個循環(huán)就是8,*.*2013^8=251^5，余數(shù)是5,所以是從大拇指開始第五個，就是小指.【答案】B；【解析】解：設(shè)第n行中最大的數(shù)為a（n為正整數(shù)），n觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：a1=1,a2=1+2=3,a3=1+2+3=6,…，???叮1+2+…+n=.令a“W2016，即口第°W2016,解得：-64WnW63..??1WnW63,即整數(shù)2016為63行的最后一個數(shù).?a+b=63+63=126.【答案】B；

【解析】解：a^O,a=－|a＋1|=－|0+1|=－1，21a=－|a＋2|=－|－1＋2|=－132a4=－|a3＋3|=－|－1＋3|=－2a=－|a＋4|=－|－2＋4|=－254所以，n是奇數(shù)時,a=nn所以，n是奇數(shù)時,a=nnn是偶數(shù)時，叮-二，a2O1220122=-1006.二、填空題【答案】45，63．【解析】第9個三角形數(shù)是1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,l+2+3+4+???+n=2016,n(n+1)=4032，解得:n=63.故答案為:45,63.【答案】1010100；【解析】觀察可得：第一個數(shù)表示序列號,第二數(shù)是序列號的平方,第三個數(shù)是序列號的立方,所以第100組數(shù)是(100,1002,1003).9．【答案】668；【解析】2003一9=222..5，“0”的個數(shù)：3x222+2=668.【答案】(1)n(n+1)；(2)110.【答案】50502；【解析】從給出的三個條件式子中不難發(fā)現(xiàn)各式的特點：從1開始的幾個連續(xù)自然數(shù)的立方和，等于這幾個數(shù)的和的平方.不難找到第N個式子為：13+23+33+??+N3=(1+2+3+??+N)2.因此，13+23+33+43+……+993+1003=(1+2+3+4+……+99+100)2=50502.12.答案】45，12.答案】45，n(n-1)""2【答案】226.【解析】解：根據(jù)題意得出規(guī)律：14+a=15X16,解得：a=226；故答案為：226．三、解答題