大學數(shù)學函數(shù)的極限課件

類似于數(shù)列極限，如果在自變量的某個變化過程中，對應的函數(shù)值可以無限接近于某個確定的常數(shù)，那么這個確定的常數(shù)就叫做函數(shù)在該變化過程中的極限。對于數(shù)列極限故很自然地函數(shù)的極限又如：當時，，記作相似地類似于數(shù)列極限，如果在自變量的某個變化過程中1

或定義1設函數(shù)f(x)在點x0的某一去心鄰域內有定義，如果存在常數(shù)A,對于任意給定的正數(shù)ε（不論它多么小），總存在正數(shù)δ,使得當x

滿足不等式0<|x－x0|<δ時，對應的函數(shù)值f(x)都滿足不等式，|f(x)－A|<ε那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當x→x0時的極限，記作語言表述當時有則自變量趨于有限值時函數(shù)的極限或定義1設函數(shù)f(x)在點x0的某一去心鄰域內有定義，如21）表示時有無極限與

有無定義沒有關系.2）任意給定后，才能找到，依賴于，且越小，越小.3）不唯一，也不必找最大的，只要存在即可.注1）表示3xOy函數(shù)極限的幾何解釋如果函數(shù)f(x)當x→x0時極限為A,以任意給定一正數(shù)ε,作兩條平行于x軸的直線y=A+ε和y=A-ε,存在點x0的δ鄰域(x0-δ,x0+δ),當x在鄰域(x0-δ,x0+δ)內,但x≠x0時,曲線y=f(x)上的點(x,f(x))都落在兩條平行線之間。xOy函數(shù)極限的幾何解釋如果函數(shù)f(x)當x→x0時極限為A4證函數(shù)在點x=1處沒有定義.例1證明要使只要取當時,就有證函數(shù)在點x=1處沒有定義.例1證明要使只要取當5例2證明(C為常數(shù))證要使成立,例3證明證取當時,成立,可任取一當時要使例2證明(C為常數(shù)6左極限left-handlimit

右極限right-handlimitx僅從x0

的左側趨于x0，記作或x僅從x0

的右側趨于x0，記作或左極限與右極限左極限left-handlimit右極限7考慮符號函數(shù)現(xiàn)在考慮x

從左右兩個方向趨于0時f(x)的極限右極限左極限yxo1-1從右邊趨于0從左邊趨于0左右極限不相等證明函數(shù)極限不存在的方法是:(1)證明左極限與右極限至少有一個不存在(2)或證明左極限和右極限均存在,但不相等考慮符號函數(shù)現(xiàn)在考慮x從左右兩個方向趨于0時f(8例題yxo例題yxo9自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限設函數(shù)f(x)當|x|大于某一正數(shù)時有定義.如果存在常數(shù)A,對于任意給定的正數(shù)ε（不論它多么?。偞嬖谡龜?shù)X，使得當x滿足不等式|x|>X時，對應的函數(shù)值f(x)都滿足不等式|f(x)－A|<ε,那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當x→∞時的極限即自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限設函數(shù)f(x)當|x|大于某一10的方式有兩種可能：（且無限增大）（且無限增大）注

且若或不存在,則不存在.若,則不存在.幾何意義yxO-XX如果函數(shù)f(x)當x→∞時極限為A，以任意給定一正數(shù)ε,作兩條平行于x軸的直線y=A-ε和y=A+ε,則總存在一個正數(shù)X，使得當x<－X或x>X時，函數(shù)y=f(x)的圖形位于這兩條直線之間.的方式有兩種可11yxoy=arctanx觀察y=arctanx的圖像從圖像容易看出結果xyoy=1/x所以yxoy=arctanx觀察y=arctanx的12yxoyxo考慮函數(shù)f(x)=ax,分a>1,,0<a<1兩種情形下，分別求x→+∞,x→－∞，x→∞時f(x)的極限。所以，都不存在。yxoyxo考慮函數(shù)f(x)=ax13大學數(shù)學函數(shù)的極限課件14函數(shù)極限的性質唯一性函數(shù)f(x)當x→x0時極限存在，則極限必唯一.局部有界性如果存在，則函數(shù)在點的某個去心鄰域內有界。局部保號性設（1）若（或），則，使得有（或）（2）若存在點的去心鄰域，使得，有（或），則推論:

如果，且當時，則，即

函數(shù)極限的性質唯一性局部有界性如果存在，則函數(shù)15如果函數(shù)f(x)在某個極限過程中的極限為零，那么就稱f(x)是此極限過程的無窮小（量）無窮小舉例

無窮小是以零為極限的變量（函數(shù)），不是絕對值很小的固定數(shù)。但0可以作為無窮小的唯一一個常數(shù).都是無窮小量是無窮小量是無窮小量與與無窮小不能說函數(shù)

f(x)是無窮小,應該說在什么情況下的無窮小.即無窮小與自變量的變化過程有關.如時是無窮小，但時，則不是無窮小。如果函數(shù)f(x)在某個極限過程中的極限16無窮小的性質定理1

極限與無窮小的關系即其中兩個無窮小的和或差，仍是無窮小。有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小。有界變量與無窮小的乘積仍是無窮小。有限個無窮小的乘積仍是無窮小。常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。例如，因為所以同理無窮小的性質定理1極限與無窮小的關系即其中兩個無窮小的17

如果函數(shù)f(x)在某個極限過程中，對應的函數(shù)值的絕對值可以無限增大，那么就稱f(x)是此極限過程的無窮大（量）。只有一種趨勢包括兩種趨勢

如無窮大如果函數(shù)f(x)在某個極限過程中，對應18觀察函數(shù)y=1/x的圖像再考察函數(shù)y=lnx注意：無窮大不是很大的數(shù)，而是表示函數(shù)的絕對值可以無限增大，反映函數(shù)值的一種變化趨勢。xyoy=1/xyxoy=lnx觀察函數(shù)y=1/x的圖像再考察函數(shù)y=lnx19無窮小和無窮大的關系

在同一極限過程中，無窮小與無窮大之間是通過取倒數(shù)互相轉化。即在自變量的同一變化過程中，如果f(x)為無窮大，則

為無窮??；反之，如果f(x)為無窮小，且無窮小和無窮大的運算法則以下A表示有極限的函數(shù)，K表示有界函數(shù)，C代表常數(shù)結果不定，稱為未定式無窮小和無窮大的關系在同一極限過程中，無窮小與無窮大之間是20極限的四則運算法則注：

設有數(shù)列和.如果則1)2)3)當且時,

極限的四則運算法則注：設有數(shù)列和21例２求解這里分母的極限不為零,故小結:例１求解例２求解這里分母的極限不為零,故小結:例１求22例３求解例４求解例３求解例４求解23例５求解例６求解例７求解例５求解例６求解例７求解24大學數(shù)學函數(shù)的極限課件25因式分解消除零因子有理化消除零因子因式分解有理化26消除零因子例９求解消除零因子例９求解27思考由題設知，分子必須是x的零次多項式解答思考由題設知，分子必須是x的零次多項式解28由x→0得3x→0即u→0重要極限Ⅰ的應用舉例重要極限Ⅰ重要極限Ⅰ的應用舉例重要極限Ⅰ29(6)

(6)30例重要極限Ⅱ的應用舉例公式特點：例重要極限Ⅱ的應用舉例公式特點：31大學數(shù)學函數(shù)的極限課件32定義無窮小的比較定義無窮小的比較33例比較下列兩個無窮小低階高階同階練一練無窮小的階揭示了無窮小趨向于零的速度快慢程度：高階的較快，低階的較慢；同階的相當；等價的同步。例比較下列兩個無窮小低階高階同階練一練無窮小的階34求兩個無窮小之比的極限時，分子分母都可用等價無窮小來替換。適當替換可以簡化極限的計算。等價無窮小替換定理證明求兩個無窮小之比的極限時，分子分母都可用等價35常用等價無窮小常用等價無窮小36練一練練一練37例題求極限解原式注意：如果，則，但是不等價。!例題求極限解原式注意：如果，則，但是不等價。!38類似于數(shù)列極限，如果在自變量的某個變化過程中，對應的函數(shù)值可以無限接近于某個確定的常數(shù)，那么這個確定的常數(shù)就叫做函數(shù)在該變化過程中的極限。對于數(shù)列極限故很自然地函數(shù)的極限又如：當時，，記作相似地類似于數(shù)列極限，如果在自變量的某個變化過程中39

或定義1設函數(shù)f(x)在點x0的某一去心鄰域內有定義，如果存在常數(shù)A,對于任意給定的正數(shù)ε（不論它多么?。?，總存在正數(shù)δ,使得當x

滿足不等式0<|x－x0|<δ時，對應的函數(shù)值f(x)都滿足不等式，|f(x)－A|<ε那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當x→x0時的極限，記作語言表述當時有則自變量趨于有限值時函數(shù)的極限或定義1設函數(shù)f(x)在點x0的某一去心鄰域內有定義，如401）表示時有無極限與

有無定義沒有關系.2）任意給定后，才能找到，依賴于，且越小，越小.3）不唯一，也不必找最大的，只要存在即可.注1）表示41xOy函數(shù)極限的幾何解釋如果函數(shù)f(x)當x→x0時極限為A,以任意給定一正數(shù)ε,作兩條平行于x軸的直線y=A+ε和y=A-ε,存在點x0的δ鄰域(x0-δ,x0+δ),當x在鄰域(x0-δ,x0+δ)內,但x≠x0時,曲線y=f(x)上的點(x,f(x))都落在兩條平行線之間。xOy函數(shù)極限的幾何解釋如果函數(shù)f(x)當x→x0時極限為A42證函數(shù)在點x=1處沒有定義.例1證明要使只要取當時,就有證函數(shù)在點x=1處沒有定義.例1證明要使只要取當43例2證明(C為常數(shù))證要使成立,例3證明證取當時,成立,可任取一當時要使例2證明(C為常數(shù)44左極限left-handlimit

右極限right-handlimitx僅從x0

的左側趨于x0，記作或x僅從x0

的右側趨于x0，記作或左極限與右極限左極限left-handlimit右極限45考慮符號函數(shù)現(xiàn)在考慮x

從左右兩個方向趨于0時f(x)的極限右極限左極限yxo1-1從右邊趨于0從左邊趨于0左右極限不相等證明函數(shù)極限不存在的方法是:(1)證明左極限與右極限至少有一個不存在(2)或證明左極限和右極限均存在,但不相等考慮符號函數(shù)現(xiàn)在考慮x從左右兩個方向趨于0時f(46例題yxo例題yxo47自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限設函數(shù)f(x)當|x|大于某一正數(shù)時有定義.如果存在常數(shù)A,對于任意給定的正數(shù)ε（不論它多么小），總存在正數(shù)X，使得當x滿足不等式|x|>X時，對應的函數(shù)值f(x)都滿足不等式|f(x)－A|<ε,那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當x→∞時的極限即自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限設函數(shù)f(x)當|x|大于某一48的方式有兩種可能：（且無限增大）（且無限增大）注

且若或不存在,則不存在.若,則不存在.幾何意義yxO-XX如果函數(shù)f(x)當x→∞時極限為A，以任意給定一正數(shù)ε,作兩條平行于x軸的直線y=A-ε和y=A+ε,則總存在一個正數(shù)X，使得當x<－X或x>X時，函數(shù)y=f(x)的圖形位于這兩條直線之間.的方式有兩種可49yxoy=arctanx觀察y=arctanx的圖像從圖像容易看出結果xyoy=1/x所以yxoy=arctanx觀察y=arctanx的50yxoyxo考慮函數(shù)f(x)=ax,分a>1,,0<a<1兩種情形下，分別求x→+∞,x→－∞，x→∞時f(x)的極限。所以，都不存在。yxoyxo考慮函數(shù)f(x)=ax51大學數(shù)學函數(shù)的極限課件52函數(shù)極限的性質唯一性函數(shù)f(x)當x→x0時極限存在，則極限必唯一.局部有界性如果存在，則函數(shù)在點的某個去心鄰域內有界。局部保號性設（1）若（或），則，使得有（或）（2）若存在點的去心鄰域，使得，有（或），則推論:

如果，且當時，則，即

函數(shù)極限的性質唯一性局部有界性如果存在，則函數(shù)53如果函數(shù)f(x)在某個極限過程中的極限為零，那么就稱f(x)是此極限過程的無窮?。浚o窮小舉例

無窮小是以零為極限的變量（函數(shù)），不是絕對值很小的固定數(shù)。但0可以作為無窮小的唯一一個常數(shù).都是無窮小量是無窮小量是無窮小量與與無窮小不能說函數(shù)

f(x)是無窮小,應該說在什么情況下的無窮小.即無窮小與自變量的變化過程有關.如時是無窮小，但時，則不是無窮小。如果函數(shù)f(x)在某個極限過程中的極限54無窮小的性質定理1

極限與無窮小的關系即其中兩個無窮小的和或差，仍是無窮小。有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小。有界變量與無窮小的乘積仍是無窮小。有限個無窮小的乘積仍是無窮小。常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。例如，因為所以同理無窮小的性質定理1極限與無窮小的關系即其中兩個無窮小的55

如果函數(shù)f(x)在某個極限過程中，對應的函數(shù)值的絕對值可以無限增大，那么就稱f(x)是此極限過程的無窮大（量）。只有一種趨勢包括兩種趨勢

如無窮大如果函數(shù)f(x)在某個極限過程中，對應56觀察函數(shù)y=1/x的圖像再考察函數(shù)y=lnx注意：無窮大不是很大的數(shù)，而是表示函數(shù)的絕對值可以無限增大，反映函數(shù)值的一種變化趨勢。xyoy=1/xyxoy=lnx觀察函數(shù)y=1/x的圖像再考察函數(shù)y=lnx57無窮小和無窮大的關系

在同一極限過程中，無窮小與無窮大之間是通過取倒數(shù)互相轉化。即在自變量的同一變化過程中，如果f(x)為無窮大，則

為無窮小；反之，如果f(x)為無窮小，且無窮小和無窮大的運算法則以下A表示有極限的函數(shù)，K表示有界函數(shù)，C代表常數(shù)結果不定，稱為未定式無窮小和無窮大的關系在同一極限過程中，無窮小與無窮大之間是58極限的四則運算法則注：

設有數(shù)列