學(xué)案隨機(jī)變量的數(shù)字特征

8/8隨機(jī)變量的數(shù)字特征【第一學(xué)時(shí)】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．通過學(xué)習(xí)離散型隨機(jī)變量的均值，體會數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)。2．借助數(shù)學(xué)期望公式解決問題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)。【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】1．理解離散型隨機(jī)變量的均值的意義和性質(zhì)，會根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值。（重點(diǎn)）2．掌握兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布的均值。（重點(diǎn)）3．會利用離散型隨機(jī)變量的均值解決一些相關(guān)的實(shí)際問題。（難點(diǎn)）【學(xué)習(xí)過程】一、新知初探1．均值或數(shù)學(xué)期望（1）定義：一般地，如果離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示。Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn則稱E（X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq\o(\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))xipi)為離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望（簡稱為期望）。（2）意義：它刻畫了X的平均取值。（3）性質(zhì)：若X與Y都是隨機(jī)變量，且Y＝ax＋b（a≠0），則E（Y）＝aE（x）＋B．2．兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布及超幾何分布的均值（1）若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布，則E（X）＝p。（2）若X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，即X～B（n，p），則E（X）＝np；（3）若X服從參數(shù)為N，n，M的超幾何分布，即X～H（N，n，M），則E（X）＝eq\f(nM,N)。二、初試身手1．思考辨析（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）（1）隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）是個(gè)變量，其隨X的變化而變化。 （）（2）隨機(jī)變量的均值反映樣本的平均水平。 （）（3）若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）＝2，則E（2X）＝4． （）（4）隨機(jī)變量X的均值E（X）＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)。 （）2．若隨機(jī)變量X的分布列為X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,6)eq\f(1,3)則E（X）＝（）A．0 B．－1C．－eq\f(1,6) D．－eq\f(1,2)3．設(shè)E（X）＝10，則E（3X＋5）＝________。4．（一題兩空）若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3)))，則E（X）的值為________；若隨機(jī)變量Y～H（10，3，5），則E（Y）＝________。三、合作探究類型1求離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望【例1】（1）設(shè)口袋中有黑球、白球共7個(gè)，從中任取2個(gè)球，已知取到白球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望值為eq\f(6,7)，則口袋中白球的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4C．5 D．2（2）（一題兩空）某運(yùn)動員投籃命中率為p＝0.6，則①投籃1次時(shí)命中次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為________；②重復(fù)5次投籃時(shí)，命中次數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望為________。類型2離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)【例2】已知隨機(jī)變量X的分布列為X－2－1012Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,5)meq\f(1,20)若Y＝－2X，則E（Y）＝________。類型3求離散型隨機(jī)變量的均值【例3】在甲、乙等6個(gè)單位參加的一次“唱讀講傳”演出活動中，每個(gè)單位的節(jié)目集中安排在一起，若采用抽簽的方式隨機(jī)確定各單位的演出順序（序號為1，2，…，6），求：（1）甲、乙兩單位的演出序號至少有一個(gè)為奇數(shù)的概率；（2）甲、乙兩單位之間的演出單位個(gè)數(shù)ξ的分布列與均值。類型4離散型隨機(jī)變量的均值實(shí)際應(yīng)用【例4】隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件。已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元，設(shè)1件產(chǎn)品的利潤（單位：元）為X。（1）求X的分布列；（2）求1件產(chǎn)品的平均利潤（即X的數(shù)學(xué)期望）；（3）經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個(gè)等級的產(chǎn)品，但次品率降為1%，一等品率提高為70%，如果此時(shí)要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？【學(xué)習(xí)小結(jié)】1．求離散型隨機(jī)變量均值的步驟：（1）確定離散型隨機(jī)變量X的取值；（2）寫出分布列，并檢查分布列的正確與否；（3）根據(jù)公式寫出均值。2．對于aX＋b型的隨機(jī)變量，可利用均值的性質(zhì)求解，即E（aX＋b）＝aE（X）＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解，比較兩種方式顯然前者較方便。3．若隨機(jī)變量X～B（n，p），則E（X）＝np，若隨機(jī)變量Y～H（N，n，M），則E（Y）＝eq\f(nM,N)?！揪珶挿答仭?．一名射手每次射擊中靶的概率為0.8，則獨(dú)立射擊3次中靶的次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望是（）A．0.83 B．0.8C．2．4 D．32．有N件產(chǎn)品，其中有M件次品，從中不放回地抽n件產(chǎn)品，抽到次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望值是（）A．n B．（n－1）eq\f(M,N)C．eq\f(nM,N) D．（n＋1）eq\f(M,N)3．某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的均值E（ξ）＝8．9，則y的值為________。4．已知E（X）＝eq\f(5,3)，且Y＝aX＋3，若E（Y）＝－2，則a＝________。5．根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，某地車主購買甲種保險(xiǎn)的概率為0.5，購買乙種保險(xiǎn)但不購買甲種保險(xiǎn)的概率為0.3，設(shè)各車主購買保險(xiǎn)相互獨(dú)立。（1）求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率；（2）X表示該地的100位車主中，甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購買的車主數(shù)，求X的均值?！镜诙W(xué)時(shí)】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．通過學(xué)習(xí)離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差，體會數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)。2．借助方差的性質(zhì)及兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的方差解題，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)。【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】1．理解離散型隨機(jī)變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念。（重點(diǎn)）2．掌握方差的性質(zhì)以及兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的方差。（重點(diǎn)）3．會用方差解決一些實(shí)際問題。（難點(diǎn)）【學(xué)習(xí)過程】一、新知初探1．離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差（1）定義：如果離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示。Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn則D（X）＝[x1－E（X）]2p1＋[x2－E（X）]2p2＋…＋[xn－E（X）]2pn＝eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))[xi－E（X）]2pi，稱為離散型隨機(jī)變量X的方差；eq\r(DX)稱為離散型隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差。（2）意義：方差和標(biāo)準(zhǔn)差均刻畫一個(gè)離散型隨機(jī)變量的離散程度（或波動大?。?。（3）性質(zhì)：若X與Y都是隨機(jī)變量，且Y＝aX＋b（a≠0），則D（Y）＝a2D（X）。2．兩點(diǎn)分布及二項(xiàng)分布的方差（1）若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布，則D（X）＝p（1－p）。（2）若隨機(jī)變量X～B（n，p），則D（X）＝np（1－p）。二、初試身手1．思考辨析（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）（1）離散型隨機(jī)變量X的期望E（X）反映了X取值的概率的平均值。（）（2）離散型隨機(jī)變量X的方差D（X）反映了X取值的平均水平。（）（3）離散型隨機(jī)變量X的期望E（X）反映了X取值的波動水平。（）（4）離散型隨機(jī)變量X的方差D（X）反映了X取值的波動水平。（）2．設(shè)隨機(jī)變量ξ的方差D（ξ）＝1，則D（2ξ＋1）的值為（）A．2 B．3C．4 D．53．若隨機(jī)變量ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))，則D（ξ）＝________。4．已知隨機(jī)變量X的分布列為X135P0.40.10.5則X的標(biāo)準(zhǔn)差為________。三、合作探究類型1離散型隨機(jī)變量的方差【例1】袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號的有10個(gè)，記上n號的有n個(gè)（n＝1，2，3，4）?，F(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號。（1）求X的分布列、均值和方差；（2）若Y＝aX＋b，E（Y）＝1，D（Y）＝11，試求a，b的值。類型2兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的方差【例2】某出租車司機(jī)從某飯店到火車站途中需經(jīng)過六個(gè)交通崗，假設(shè)他在各個(gè)交通崗遇到紅燈這一事件是相互獨(dú)立的，并且概率是eq\f(1,3)。（1）求這位司機(jī)遇到紅燈次數(shù)X的均值與方差；（2）若遇上紅燈，則需等待30秒，求司機(jī)總共等待時(shí)間Y的均值與方差。類型3期望、方差的綜合應(yīng)用【例3】甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ，η，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6環(huán)，且甲射中10，9，8，7環(huán)的概率分別為0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8環(huán)的概率分別為0.3，0.3，0.2（1）求ξ，η的分布列；（2）求ξ，η的數(shù)學(xué)期望與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)?！緦W(xué)習(xí)小結(jié)】1．求離散型隨機(jī)變量的方差的類型及解決方法（1）已知分布列型（非兩點(diǎn)分布或二項(xiàng)分布）：直接利用定義求解，具體如下，①求均值；②求方差。（2）已知分布列是兩點(diǎn)分布或二項(xiàng)分布型：直接套用公式求解，具體如下，①若X服從兩點(diǎn)分布，則D（X）＝p（1－p）。②若X～B（n，p），則D（X）＝np（1－p）。（3）未知分布列型：求解時(shí)可先借助已知條件及概率知識求得分布列，然后求方差。（4）對于已知D（X）求D（aX＋b）型，利用方差的性質(zhì)求解，即利用D（aX＋b）＝a2D（X）求解。2．解答離散型隨機(jī)變量的實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)注點(diǎn)（1）分析題目背景，根據(jù)實(shí)際情況抽象出概率模型，特別注意隨機(jī)變量的取值及其實(shí)際意義。（2）弄清實(shí)際問題是求均值還是方差，在實(shí)際決策問題中，需先計(jì)算均值，看一下誰的平均水平高，然后再計(jì)算方差，分析一下誰的水平發(fā)揮相對穩(wěn)定。因此，在利用均值和方差的意義去分析解決實(shí)際問題時(shí)，兩者都要分析?！揪珶挿答仭?．有甲、乙兩種水稻，測得每種水稻各10株的分蘗數(shù)據(jù)，計(jì)算出樣本方差分別為D（X甲）＝11，D（X乙）＝3.4．由此可以估計(jì)（）A．甲種水稻比乙種水稻分蘗整齊B．乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊C．甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度相同D．甲、乙兩種水稻分蘗整齊不能比較2．設(shè)二項(xiàng)分布B（n，p）的隨機(jī)變量X的均值與方差分別是2.4和1.44，則二項(xiàng)分布的參數(shù)n，p的值為（