五年級奧數(shù).行程.比例解行程問題.教師版

五年級奧數(shù).行程.比例解行程問題.教師版五年級奧數(shù).行程.比例解行程問題.教師版五年級奧數(shù).行程.比例解行程問題.教師版資料僅供參考文件編號：2022年4月五年級奧數(shù).行程.比例解行程問題.教師版版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準:發(fā)布日期：比例解行程問題比例解行程問題知識框架知識框架比例的知識是小學數(shù)學最后一個重要內(nèi)容，從某種意義上講仿佛扮演著一個小學“壓軸知識點”的角色。從一個工具性的知識點而言，比例在解很多應用題時有著“得天獨厚”的優(yōu)勢，往往體現(xiàn)在方法的靈活性和思維的巧妙性上，使得一道看似很難的題目變得簡單明了。比例的技巧不僅可用于解行程問題，對于工程問題、分數(shù)百分數(shù)應用題也有廣泛的應用。我們常常會應用比例的工具分析2個物體在某一段相同路線上的運動情況，我們將甲、乙的速度、時間、路程分別用來表示，大體可分為以下兩種情況：當2個物體運行速度在所討論的路線上保持不變時，經(jīng)過同一段時間后，他們走過的路程之比就等于他們的速度之比。，這里因為時間相同，即,所以由得到，，甲乙在同一段時間t內(nèi)的路程之比等于速度比當2個物體運行速度在所討論的路線上保持不變時，走過相同的路程時，2個物體所用的時間之比等于他們速度的反比。，這里因為路程相同，即，由得，，甲乙在同一段路程s上的時間之比等于速度比的反比。例題精講例題精講甲、乙兩車往返于A，B兩地之間。甲車去時的速度為60千米／時，返回時的速度為40千米／時；乙車往返的速度都是50千米／時。求甲、乙兩車往返一次所用時間的比?！究键c】行程問題之比例解行程 【難度】2星 【題型】解答25∶24。提示：設(shè)A，B兩地相距600千米?！敬鸢浮?5∶24一段路程分為上坡、平路、下坡三段，各段路程的長度之比是1∶2∶3，某人走這三段路所用的時間之比是4∶5∶6。已知他上坡時每小時行2.5千米，路程全長為20千米。此人走完全程需多長時間？

【考點】行程問題之比例解行程 【難度】2星 【題型】解答5時。提示：先求出上坡的路程和所用時間。【答案】5時甲、乙兩車從相距330千米的A、B兩城相向而行，甲車先從A城出發(fā)，過一段時間后，乙車才從B城出發(fā)，并且甲車的速度是乙車速度的。當兩車相遇時，甲車比乙車多行駛了30千米，則甲車開出千米，乙車才出發(fā)?！究键c】行程問題之比例解行程 【難度】2星 【題型】解答兩車相遇時共行駛330千米，但是甲多行30千米，可以求出兩車分別行駛的路程，可得甲車行駛180千米，乙車行駛150千米，由甲車速度是乙車速度的可以知道，當乙車行駛150千米的時候，甲車實際只行駛了千米，那么可以知道在乙車出發(fā)之前，甲車已經(jīng)行駛了180-125=55千米。【答案】55千米甲乙兩車分別從A、B兩地同時相向開出，甲車的速度是50千米/時，乙車的速度是40千米/時，當甲車駛過A、B距離的多50千米時,與乙車相遇.A、B兩地相距______千米?！究键c】行程問題之比例解行程 【難度】2星 【題型】解答AB距離的多50千米即是AB距離的，所以50千米的距離相當于全程的，全程的距離為（千米）.【答案】千米甲乙兩地相距12千米，上午10：45一位乘客乘出租車從甲地出發(fā)前往乙地，途中，乘客問司機距乙地還有多遠，司機看了計程表后告訴乘客：已走路程的加上未走路程的2倍，恰好等于已走的路程，又知出租車的速度是30千米/小時，那么現(xiàn)在的時間是。【考點】行程問題之比例解行程 【難度】2星 【題型】解答可設(shè)已走路程為X千米，未走路程為（12-X）千米。列式為：X-X=(12-X)×2解得：X=9分鐘，現(xiàn)在時間是【答案】歡歡和貝貝是同班同學，并且住在同一棟樓里．早晨7:40，歡歡從家出發(fā)騎車去學校，7:46追上了一直勻速步行的貝貝；看到身穿校服的貝貝才想起學校的通知，歡歡立即調(diào)頭，并將速度提高到原來的2倍，回家換好校服，再趕往學校；歡歡8:00趕到學校時，貝貝也恰好到學校．如果歡歡在家換校服用去6分鐘且調(diào)頭時間不計，那么貝貝從家里出發(fā)時是幾點幾分．【考點】行程問題之比例解行程 【難度】3星 【題型】解答歡歡從出發(fā)到追上貝貝用了6分鐘，她調(diào)頭后速度提高到原來的2倍，根據(jù)路程一定，時間比等于速度的反比，她回到家所用的時間為3分鐘，換衣服用時6分鐘，所以她再從家里出發(fā)到到達學校用了20-6-3-6=5分鐘，故她以原速度到達學校需要10分鐘，最開始她追上貝貝用了6分鐘，還剩下4分鐘的路程，而這4分鐘的路程貝貝走了14分鐘，所以歡歡的6分鐘路程貝貝要走14×（6÷4）=21分鐘，也就是說歡歡追上貝貝時貝貝已走了21分鐘，所以貝貝是7點25分出發(fā)的．【答案】7點25分明明每天早上7：00從家出發(fā)上學，7：30到校。有一天，明明6：50就從家出發(fā)，他想：“我今天出門早，可以走慢點。”于是他每分鐘比平常少走lO米，結(jié)果他到校時比往常遲到了5分鐘。明明家離學校________米?！究键c】行程問題之比例解行程 【難度】2星 【題型】填空平時明明用30分鐘，今天用了45分鐘，時間比為2:3,則速度比為3:2，那么可知平時速度為30米/分鐘，所以明明家離學校900米。、、【答案】900米甲、乙、丙三輛車先后從A地開往B地，乙比丙晚出發(fā)5分，出發(fā)后45分追上丙；甲比乙晚出發(fā)15分，出發(fā)后1時追上丙。甲出發(fā)后多長時間追上乙？

【考點】行程問題之比例解行程 【難度】2星 【題型】解答75分。提示：行駛相同路程所需時間之比為：，?！敬鸢浮?5分大、小客車從甲、乙兩地同時相向開出，大、小客車的速度比為4∶5，兩車開出后60分相遇，并繼續(xù)前進。問：大客車比小客車晚多少分到達目的地？【考點】行程問題之比例解行程 【難度】2星 【題型】解答27分。解：大客車還需（分）、小客車還需（分）。大客車比小客車晚到（分）【答案】27分甲、乙分別從A，B兩地同時相向出發(fā)。相遇時，甲、乙所行的路程比是a∶b。從相遇算起，甲到達B地與乙到達A地所用的時間比是多少？

【考點】行程問題之比例解行程 【難度】2星 【題型】解答b2∶a2。解：因為甲、乙的速度比是a∶b，所以相遇后甲、乙還要行的路程比是b∶a，還要用的時間比是（b÷a）∶（a÷b）＝b2：a2?！敬鸢浮縝2∶a2甲、乙兩輛車分別同時從A，B兩地相向而行，相遇后甲又經(jīng)過15分到達B地，乙又經(jīng)過1時到達A地，甲車速度是乙車速度的幾倍？

【考點】行程問題之比例解行程 【難度】2星 【題型】解答2倍。解：60∶15＝22∶12，所以甲車速度是乙車的2倍?！敬鸢浮?倍A，B兩地相距1800米，甲、乙二人分別從A，B兩地同時出發(fā)，相向而行。相遇后甲又走了8分到達B地，乙又走了18分到達A地。甲、乙二人每分鐘各走多少米？

【考點】行程問題之比例解行程 【難度】2星 【題型】解答每分甲走90米，乙走60米。解：18∶8＝32∶22，所以甲的速度是乙的3÷2＝1.5（倍）。相遇時乙走了1800÷（1＋1.5）＝720（米）。推知，甲每分走720÷8＝90（米），乙每分走90÷1.5＝60（米）。【答案】60米甲、乙兩人同時從A、B兩點出發(fā)，甲每分鐘行80米，乙每分鐘行60米，出發(fā)一段時間后，兩人在C處相遇；如果甲出發(fā)后在途中某地停留了7分鐘，兩人將在D處相遇，且中點距C、D距離相等，問A、B兩點相距多少米？

【考點】行程問題之比例解行程 【難度】3星 【題型】解答甲、乙兩人速度比為，相遇的時候時間相等，路程比等于速度之比，相遇時甲走了全程的，乙走了全程的．第二次甲停留，乙沒有停留，且前后兩次相遇地點距離中點相等，所以第二次乙行了全程的，甲行了全程的．由于甲、乙速度比為4:3，根據(jù)時間一定，路程比等于速度之比，所以甲行走期間乙走了，所以甲停留期間乙行了，所以A、B兩點的距離為(米)．【答案】米如圖3，甲、乙二人分別在A、B兩地同時相向而行，于E處相遇后，甲繼續(xù)向B地行走，乙則休息了14分鐘，再繼續(xù)向A地行走。甲和乙到達B和A后立即折返，仍在E處相遇，已知甲分鐘行走60米，乙每分鐘行走80米，則A和B兩地相（）米。

圖3【考點】行程問題之比例解行程 【難度】3星 【題型】解答1680米【答案】米甲、乙兩車分別同時從A、B兩地相對開出，第一次在離A地95千米處相遇．相遇后繼續(xù)前進到達目的地后又立刻返回，第二次在離B地25千米處相遇．求A、B兩地間的距離？

【考點】行程問題之比例解行程 【難度】2星 【題型】解答畫線段示意圖(實線表示甲車行進的路線，虛線表示乙車行進的路線)：可以發(fā)現(xiàn)第一次相遇意味著兩車行了一個A、B兩地間距離，第二次相遇意味著兩車共行了三個A、B兩地間的距離．當甲、乙兩車共行了一個A、B兩地間的距離時，甲車行了95千米，當它們共行三個A、B兩地間的距離時，甲車就行了3個95千米，即95×3=285（千米），而這285千米比一個A、B兩地間的距離多25千米，可得：95×【答案】260千米地鐵有A，B兩站，甲、乙二人都要在兩站間往返行走.兩人分別從A，B兩站同時出發(fā)，他們第一次相遇時距A站800米，第二次相遇時距B站500米.問：兩站相距多遠

【考點】行程問題之比例解行程 【難度】2星 【題型】解答從起點到第一次迎面相遇地點，兩人共同完成1個全長，從起點到第二次迎面相遇地點，兩人共同完成3個全長，一個全程中甲走1段800米，3個全程甲走的路程為3段800米.畫圖可知，由3倍關(guān)系得到：A，B兩站的距離為800×3－500=1900米【答案】1900米如右圖，A，B是圓的直徑的兩端，甲在A點，乙在B點同時出發(fā)反向而行，兩人在C點第一次相遇，在D點第二次相遇.已知C離A有80米，D離B有60米，求這個圓的周長.【考點】行程問題之比例解行程 【難度】2星 【題型】解答根據(jù)總結(jié)可知，第二次相遇時，乙一共走了80×3=240米，兩人的總路程和為一周半，又甲所走路程比一周少60米，說明乙的路程比半周多60米，那么圓形場地的半周長為240-60=180米，周長為180×2=360米.【答案】360米甲、乙兩車同時從A地出發(fā)，不停地往返行駛于A、B兩地之間．已知甲車的速度比乙車快，并且兩車出發(fā)后第一次和第二次相遇都在途中C地．甲車的速度是乙車速度的多少倍？

【考點】行程問題之比例解行程 【難度】2星 【題型】解答第一次相遇時兩車合走了兩個全程，而乙車走了AC這一段路；第二次相遇兩車又合走了兩個全程，而乙車走了從C地到B地再到C地，也就是2個BC段．由于兩次的總行程相等，所以每次乙車走的路程也相等，所以AC的長等于2倍BC的長．而從第一次相遇到第二次相遇之間，甲車走了2個AC段，根據(jù)時間一定，速度比等于路程的比，甲車、乙車的速度比為2AC:2BC2:1，所以甲車的【答案】2倍自行車隊出發(fā)12分后，通信員騎摩托車去追他們，在距出發(fā)地點9千米處追上了自行車隊，然后通信員立即返回出發(fā)點，到達后又返回去追自行車隊，再追上時恰好離出發(fā)點18千米。自行車隊和摩托車每分各行多少千米？

【考點】行程問題之比例解行程 【難度】2星 【題型】解答自行車每分行0.5千米，摩托車每分行1.5千米。提示：摩托車在4個相等的時間里走了36千米，自行車在其中三個相等時間里走了9千米，故摩托車的速度是自行車的3倍。自行車出發(fā)12分后，摩托車需6分追上，所以摩托車每分行9÷6＝1.5（千米）?！敬鸢浮?.5千米B地在A，C兩地之間。甲從B地到A地去，甲出發(fā)后1時乙從B地出發(fā)到C地，乙出發(fā)后1時丙突然想起要通知甲、乙一件重要事情，于是從B地出發(fā)騎車去追趕甲和乙。已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，為使丙從B地出發(fā)到最終趕回B地所用時間最少，丙應當先追甲再返回追乙，還是先追乙再返回追甲？

【考點】行程問題之比例解行程 【難度】4星 【題型】解答先追乙。解：若先追甲，甲已走了2時，則追上甲需1時，返回B地又用1時，此時乙已走了3時，再追上乙需1.5時，返回B地再用1.5時。共用5時。若先追乙，乙已走了1時，則追上乙需0.5時，返回B地又用0.5時，此時甲已走了3時，再追上甲需1.5時，返回B地再用1.5時。共用4時?！敬鸢浮?時課堂檢測課堂檢測甲、乙兩人步行速度之比是3∶2，甲、乙分別由A，B兩地同時出發(fā)，若相向而行，則1時后相遇。若同向而行，則甲需要多少時間才能追上乙？

【考點】行程問題之比例解行程 【難度】2星 【題型】解答5時。解：設(shè)甲、乙速度分別為3x千米／時和2x千米／時。由題意可知A，B兩地相距（3x＋2x）×1＝5x（千米）。追及時間為5x÷（3x－2x）=5（時）?！敬鸢浮?時一輛貨車從甲地往乙地運貨，然后空車返回，再繼續(xù)運貨。已知裝滿貨物每時行50千米，空車每時行70千米。不計裝卸貨物時間，9時往返五次。求甲、乙兩地的距離?！究键c】行程問題之比例解行程 【難度】2星 【題型】解答52.5千米。解：因為滿車與空車的速度比為50∶70＝5∶7，所以9時中滿車行的時間為的時間為（時），兩地距離為（千米）?！敬鸢浮壳准?、乙兩車分別從A、B兩地出發(fā)，在A、B之間不斷往返行駛，已知甲車的速度是乙車的速度的，并且甲、乙兩車第2007次相遇（這里特指面對面的相遇）的地點與第2008次相遇的地點恰好相距120千米，那么，A、B兩地之間的距離等于多少千米

【考點】行程問題之比例解行程 【難度】2星 【題型】解答甲、乙速度之比是3：7，所以我們可以設(shè)整個路程為3+7=10份，這樣一個全程中甲走3份，第2007次相遇時甲總共走了3×（2007×2-1）=12039份，第2008次相遇時甲總共走了3×（2008×2-1）=12045份，所以總長為120÷［12045-12040-（12040-12039）]×10=300米.【答案】300米上午8點8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時候，離家恰好是8千米，這時是幾點幾分？

【考點】行程問題之比例解行程 【難度】3星 【題型】解答畫一張簡單的示意圖：圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸騎的距離是4＋8＝12（千米）.這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的12÷4＝3（倍）.按照這個倍數(shù)計算，小明騎8千米，爸爸可以騎行8×3＝24（千米）.但事實上，爸爸少用了8分鐘，騎行了4＋12＝16（千米）.少騎行24-16＝8（千米）.摩托車的速度是8÷8=1（千米/分），爸爸騎行16千米需要16分鐘.8＋8＋16＝32.所以這時是8點32分。注意：小明第2個4千米，也就是從到的過程中，爸爸一共走12千米，這一點是本題的關(guān)鍵．對時間相同或距離相同，但運動速度、方式不同的兩種狀態(tài)，是一大類行程問題的關(guān)鍵．本題的解答就巧妙地運用了這一點．【答案】8點32分家庭作業(yè)作業(yè)家庭作業(yè)作業(yè)檢測一段路程分為上坡、平路、下坡三段，各段路程的長度之比是2∶3∶5，某人騎車走這三段路所用的時間之比是6∶5∶4。已知他走平路時速度為4.5千米／時，全程用了5時。問：全程多少千米？

【考點】行程問題之比例解行程 【難度】2星 【題型】解答25千米。提示：先求出走平路所用的時間和路程。【答案】25千米甲、乙兩車先后以相同的速度從A站開出，10點整甲車距A站的距離是乙車距A站距離的三倍，10點10分甲車距A站的距離是乙車距A站距離的二倍。問：甲車是何時從A站出發(fā)的？

【考點】行程問題之比例解行程 【難度】2星 【題型】解答9點30分。提示：因為兩車速度相同，故甲、乙兩車距A站的距離之比等于甲、乙兩車行駛的時間之比。設(shè)10點時乙車行駛了x分，用車行駛了3x分，據(jù)題意有2（x＋10）=3x＋10?！敬鸢浮?點30分A、B兩地相距7200米，甲、乙分別從A，B兩地同時出發(fā)，結(jié)果在距B地2400米處相遇．如果乙的速度提高到原來的3倍，那么兩人可提前10分鐘相遇，則甲的速度是每分鐘行多少米？

【考點】行程問題之比例解行程 【難度】2星 【題型】解答第一種情況中相遇時乙走了2400米，根據(jù)時間一定，速度比等于路程之比，最初甲、乙的速度比為(7200－2400):2400=2:1，所以第一情況中相遇時甲走了全程的2/3．乙的速度提高3倍后，兩人速度比為2