萬有引力經(jīng)典題型(含解析)要點

萬有引力經(jīng)典題型(含解析)要點萬有引力經(jīng)典題型(含解析)要點萬有引力經(jīng)典題型(含解析)要點萬有引力經(jīng)典題型(含解析)要點編制僅供參考審核批準生效日期地址：電話：傳真:郵編:萬有引力題型歸納5★.萬有引力定律

（1）萬有引力定律：宇宙間的一切物體都是互相吸引的.兩個物體間的引力的大小，跟它們的質(zhì)量的乘積成正比，跟它們的距離的平方成反比.

公式:

（2）★★★應用萬有引力定律分析天體的運動

①基本方法:把天體的運動看成是勻速圓周運動，其所需向心力由萬有引力提供.即F引=F向得：

應用時可根據(jù)實際情況選用適當?shù)墓竭M行分析或計算.②天體質(zhì)量M、密度ρ的估算:

（3）三種宇宙速度

①第一宇宙速度:v1=s，它是衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，也是地球衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度.

②第二宇宙速度（脫離速度）:v2=s，使物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度.

③第三宇宙速度（逃逸速度）:v3=s，使物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度.

（4）地球同步衛(wèi)星

所謂地球同步衛(wèi)星，是相對于地面靜止的，這種衛(wèi)星位于赤道上方某一高度的穩(wěn)定軌道上，且繞地球運動的周期等于地球的自轉(zhuǎn)周期，即T=24h=86400s，離地面高度

同步衛(wèi)星的軌道一定在赤道平面內(nèi)，并且只有一條.所有同步衛(wèi)星都在這條軌道上，以大小相同的線速度，角速度和周期運行著.

（5）衛(wèi)星的超重和失重

“超重”是衛(wèi)星進入軌道的加速上升過程和回收時的減速下降過程，此情景與“升降機”中物體超重相同.“失重”是衛(wèi)星進入軌道后正常運轉(zhuǎn)時，衛(wèi)星上的物體完全“失重”（因為重力提供向心力），此時，在衛(wèi)星上的儀器，凡是制造原理與重力有關(guān)的均不能正常使用.圖4－3－11如圖所示，a、b、c是在地球大氣層外圓形軌道上運行的3顆人造衛(wèi)星，下列說法正確的是（）圖4－3－1A．b、c的線速度大小相等，且大于a的線速度B．b、c向心加速度相等，且大于a的向心加速度C．c加速可以追上同一軌道上的b，b減速可以等候同一軌道上的cD．a(chǎn)衛(wèi)星由于某種原因，軌道半徑緩慢減小，其線速度將變大一：黃金代換例1、火星的質(zhì)量和半徑分別約為地球的和，地球表面的重力加速度為g，則火星表面的重力加速度約為(B)

二：天體質(zhì)量，密度例2、登月飛行器關(guān)閉發(fā)動機后在離月球表面112km的空中沿圓形軌道繞月球飛行，周期是min.已知月球半徑是1740km，根據(jù)這些數(shù)據(jù)計算月球的平均密度.(G＝×10－11N?m2/kg2)例3、2009?全國Ⅰ)天文學家新發(fā)現(xiàn)了太陽系外的一顆行星.這顆行星的體積是地球的倍，質(zhì)量是地球的25倍.已知某一近地衛(wèi)星繞地球運動的周期約為小時，引力常量G＝×10－11N?m2/kg2，由此估算該行星的平均密度約為(D)kg/m3103kg3例4、我國發(fā)射的“神舟”五號載人宇宙飛船的周期約為90min，如果把它繞地球的運動看做是勻速圓周運動，飛船的運動和人造地球同步衛(wèi)星的運動相比，假設(shè)它們質(zhì)量相等，下列判斷正確的是()A.飛船受到的向心力大于同步衛(wèi)星受到的向心力B.飛船的動能小于同步衛(wèi)星的動能C.飛船的軌道半徑大于同步衛(wèi)星的軌道半徑D.發(fā)射飛船過程需要的能量小于發(fā)射同步衛(wèi)星過程需要的能量例5、同步衛(wèi)星距地心間距為r，運行速率為v1，加速度為a1.地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度為a2，地球半徑為R.第一宇宙速度為v2，則下列比值正確的是()A.B.C.D.例6、右圖是“嫦娥一號奔月”示意圖，衛(wèi)星發(fā)射后通過自帶的小型火箭多次變軌，進入地月轉(zhuǎn)移軌道，最終被月球引力捕獲，成為繞月衛(wèi)星，并開展對月球的探測，下列說法正確的是()A.發(fā)射“嫦娥一號”的速度必須達到第三宇宙速度B.在繞月圓軌道上，衛(wèi)星周期與衛(wèi)星質(zhì)量有關(guān)C.衛(wèi)星受月球的引力與它到月球中心距離的平方成反比D.在繞月圓軌道上，衛(wèi)星受地球的引力大于受月球的引力例7、某人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，設(shè)地球半徑為R，地面重力加速度為g，下列說法錯誤的是 （）A．人造衛(wèi)星的最小周期為2πB．衛(wèi)星在距地面高度R處的繞行速度為C．衛(wèi)星在距地面高度為R處的重力加速度為g/4D．地球同步衛(wèi)星的速率比近地衛(wèi)星速率小，所以發(fā)射同步衛(wèi)星所需的能量較少四：雙星問題例8：宇宙中兩顆相距較近的天體均為“雙星”，它們以二者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動，而不至因為萬有引力的作用而吸引到一起。設(shè)兩者的質(zhì)量分別為m1和m2，兩者相距L，求：雙星的軌道半徑之比；雙星的線速度之比；雙星的角速度。例9、（01北京.08寧夏卷）兩個星球組成雙星，它們在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上某點做周期相同的勻速圓周運動?，F(xiàn)測得兩星中心距離為R，其運動周期為T，求兩星的總質(zhì)量。（引力常量為G） 五：變軌問題例10、人造飛船首先進入的是距地面高度近地點為200km，遠地點為340km的的橢圓軌道，在飛行第五圈的時候，飛船從橢圓軌道運行到以遠地點為半徑的圓行軌道上，如圖所示，試處理下面幾個問題（地球的半徑R=6370km，g=s2）：P地球QP地球Q軌道1軌道2到P點時點火，使飛船沿圓軌道２運行，以下說法正確的是A．飛船在Q點的萬有引力大于該點所需的向心力B．飛船在P點的萬有引力大于該點所需的向心力C．飛船在軌道1上P的速度小于在軌道2上P的速度D．飛船在軌道1上P的加速度大于在軌道2上P的加速度（2）假設(shè)由于飛船的特殊需要，美國的一艘原來在圓軌道運行的飛船前往與之對接，則飛船一定是A．從較低軌道上加速B．從較高軌道上加速C．從同一軌道上加速D．從任意軌道上加速例11．發(fā)射地球同步衛(wèi)星時，先將衛(wèi)星發(fā)射到近地圓軌道1，然后點火，使其沿橢圓軌道2運行，最后再次點火，將衛(wèi)星送人同步圓軌道3。軌道1、2相切于Q點，軌道2、3相切于P點，如圖所示，，則當衛(wèi)星分別在1、2、3軌道上正常運行時，下列說法中正確的是A．衛(wèi)星在軌道3上的速率大于在軌道1上的速率B．衛(wèi)星在軌道3上的角速度小于在軌道1上的角速度C．衛(wèi)星在軌道1上經(jīng)過Q點時的加速度大于它在軌道2上經(jīng)過Q點時的加速度D．衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過P點時的加速度等于它在軌道3上經(jīng)過P點時的加速度萬有引力與航天測試題（時間60分鐘滿分100分）一、選擇題（每小題5分，共50分）1．下列說法符合史實的是 （） A．牛頓發(fā)現(xiàn)了行星的運動規(guī)律 B．開普勒發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律 C．卡文迪許第一次在實驗室里測出了萬有引力常量 D．牛頓發(fā)現(xiàn)了海王星和冥王星2．下列說法正確的是 （） A．第一宇宙速度是人造衛(wèi)星環(huán)繞地球運動的速度 B．第一宇宙速度是人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做勻速圓周運動所必須具有的速度 C．如果需要，地球同步通訊衛(wèi)星可以定點在地球上空的任何一點 D．地球同步通訊衛(wèi)星的軌道可以是圓的也可以是橢圓的3．關(guān)于環(huán)繞地球運轉(zhuǎn)的人造地球衛(wèi)星，有如下幾種說法，其中正確的是 （） A．軌道半徑越大，速度越小，周期越長 B．軌道半徑越大，速度越大，周期越短 C．軌道半徑越大，速度越大，周期越長 D．軌道半徑越小，速度越小，周期越長4．兩顆質(zhì)量之比的人造地球衛(wèi)星，只在萬有引力的作用之下，環(huán)繞地球運轉(zhuǎn)。如果它們的軌道半徑之比，那么它們的動能之比為 （） A．8：1 B．1：8 C．2：1 D．1：25．科學家們推測，太陽系的第十顆行星就在地球的軌道上，從地球上看，它永遠在太陽的背面，人類一直未能發(fā)現(xiàn)它，可以說是“隱居”著的地球的“孿生兄弟”．由以上信息可以確定 （） A．這顆行星的公轉(zhuǎn)周期與地球相等 B．這顆行星的半徑等于地球的半徑 C．這顆行星的密度等于地球的密度 D．這顆行星上同樣存在著生命6．關(guān)于開普勒行星運動的公式＝k，以下理解正確的是 （） A．k是一個與行星無關(guān)的常量 B．若地球繞太陽運轉(zhuǎn)軌道的半長軸為R地，周期為T地；月球繞地球運轉(zhuǎn)軌道的長半軸為R月，周期為T月，則 C．T表示行星運動的自轉(zhuǎn)周期 D．T表示行星運動的公轉(zhuǎn)周期7．若已知行星繞太陽公轉(zhuǎn)的半徑為r，公轉(zhuǎn)的周期為T，萬有引力恒量為G，則由此可求出 （） A．某行星的質(zhì)量 B．太陽的質(zhì)量 C．某行星的密度 D．太陽的密度8．已知下面的哪組數(shù)據(jù)，可以算出地球的質(zhì)量M地（引力常量G為已知） （） A．月球繞地球運動的周期T及月球到地球中心的距離R1 B．地球繞太陽運行周期T2及地球到太陽中心的距離R2 C．人造衛(wèi)星在地面附近的運行速度v3和運行周期T3 D．地球繞太陽運行的速度v4及地球到太陽中心的距離R49．下列說法中正確的是 （） A．天王星偏離根據(jù)萬有引力計算的軌道，是由于天王星受到軌道外面其他行星的引力作用 B．只有海王星是人們依據(jù)萬有引力定律計算軌道而發(fā)現(xiàn)的 C．天王星是人們依據(jù)萬有引力定律計算軌道而發(fā)現(xiàn)的 D．以上均不正確10．2001年10月22日，歐洲航天局由衛(wèi)星觀測發(fā)現(xiàn)銀河系中心存在一個超大型黑洞，命名為MCG6－30－15，由于黑洞的強大引力，周圍物質(zhì)大量掉入黑洞，假定銀河系中心僅此一個黑洞，已知太陽系繞銀河系中心勻速運轉(zhuǎn)，下列哪一組數(shù)據(jù)可估算該黑洞的質(zhì)量 （） A．地球繞太陽公轉(zhuǎn)的周期和速度 B．太陽的質(zhì)量和運行速度 C．太陽質(zhì)量和到MCG6－30－15的距離 D．太陽運行速度和到MCG6－30－15的距離二、填空題（每題6分，共18分）11．兩顆人造衛(wèi)星A、B的質(zhì)量之比mA∶mB=1∶2，軌道半徑之比rA∶rB=1∶3，某一時刻它們的連線通過地心，則此時它們的線速度之比vA∶vB=，向心加速度之比aA∶aB=，向心力之比FA∶FB=。12．地球繞太陽運行的半長軸為×1011m，周期為365天；月球繞地球運行的軌道半長軸為×108m，周期為天，則對于繞太陽運行的行星；R3／T2的值為______m3／s2，對于繞地球運行的物體，則R3／T2＝________m13．地核的體積約為整個地球體積的16%，地核的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的34%.經(jīng)估算，地核的平均密度為_______kg/m3.（已知地球半徑為×106m，地球表面重力加速度為m/s2，萬有引力常量為×10－11N·m2/kg三、計算題（共32分）14．（10分）宇航員駕駛一飛船在靠近某行星表面附近的圓形軌道上運行，已知飛船運行的周期為T，行星的平均密度為。試證明（萬有引力恒量G為已知，是恒量）15．（10分）在某個半徑為的行星表面，對于一個質(zhì)量kg的砝碼，用彈簧稱量，其重力的大小。請您計算該星球的第一宇宙速度是多大（注：第一宇宙速度，也即近地、最大環(huán)繞速度；本題可以認為物體重力大小與其萬有引力的大小相等。）16．（12分）神舟五號載人飛船在繞地球飛行的第5圈進行變軌，由原來的橢圓軌道變?yōu)榫嗟孛娓叨萮=342km的圓形軌道。已知地球半徑，地面處的重力加速度。試導出飛船在上述圓軌道上運行的周期T的公式（用h、R、g表示），然后計算周期的數(shù)值（保留兩位有效數(shù)字）參考答案1．C2．B3．A4．B5．A6．AD【解析】公式＝k成立的前提條件是繞同一天體運動的行星，故B錯.公式中的T指的是行星運轉(zhuǎn)的公轉(zhuǎn)周期，故D正確，C錯.由于此公式對所有行星都成立，而各行星質(zhì)量及其他又相差很多，故k應是與行星無關(guān)的常量.故A正確.7．B【解析】根據(jù)萬有引力充當行星的向心力，得GMm/r2＝m4π2r/T2，所以太陽的質(zhì)量為M＝4π2r3／GT2. 要求太陽的密度還需要知道太陽的半徑. 根據(jù)行星繞太陽的運動，既不能求行星的質(zhì)量也不能求行星的密度.8．AC【解析】要求地球的質(zhì)量，應利用圍繞地球的月球、衛(wèi)星的運動.根據(jù)地球繞太陽的運動只能求太陽的質(zhì)量，而不能求地球的質(zhì)量，B、D選項錯.設(shè)地球質(zhì)量為M，衛(wèi)星或月球的軌道半徑為R，則有GR所以，地球的質(zhì)量為M＝ 再由v＝R得R＝，代入上式得M＝所以，A、C選項正確.9．A解析：1781年3月13日晚，恒星天文學之父——赫歇耳用自制的大望遠鏡發(fā)現(xiàn)天王星.海王星是繼天王星之后發(fā)現(xiàn)的第二顆新行星，但與天王星不同，海王星的發(fā)現(xiàn)是神機妙算的結(jié)果.同理，冥王星也是天文學家分析推算出來的.所以本題A為正確答案.10．D解析：G=m,M=.故D選項正確.11．；9：1；9：212．×1018；×101313．×104 【解析】要計算地核密度，就要計算地球密度，由條件知ρ核＝ρ＝ρ 而要求地球密度只有R和g為已知量，可以根據(jù)地球表面重力近似等于萬有引力來求： 即：g＝而ρ＝ 即：ρ＝＝×103kg/m3 ρ核＝×104kg14．設(shè)行星半徑為R、質(zhì)量為M，飛船在靠近行星表面附近的軌道上運行時，有 即①（6分） 又行星密度②（2分） 將①代入②得證畢（2分）15.解：由重量和質(zhì)量的關(guān)系知：所以m/s2…設(shè)：環(huán)繞該行星作近地飛行的衛(wèi)星，其質(zhì)量為m′，所以，應用牛頓第二定律有：…解得：…代入數(shù)值得第一宇宙速度：m/s…16．解：設(shè)地球質(zhì)量為M，飛船質(zhì)量為m，速度為v，圓軌道的半徑為r，由萬有引力和牛頓第二定律，有代入數(shù)值，得 2分1解析：因為b、c在同一軌道上運行，故其線速度大小、加速度大小均相等，又b、c軌道半徑大于a的軌道半徑，由知=vc<va，故A選項錯；由加速度可知ab=ac<aa，故B選項錯，當c加速時，c受到的萬引力F<，故它將偏離圓軌道，做離心運動；當b減速時，b受的萬有引力F>，故它將偏離圓軌道，而離圓心越來越近，所以無論如何c也追不上b，b也等不到c，故C選項錯.對這一選項，不能用來分析b、c軌道半徑的變化情況。對a衛(wèi)星，當它的軌道半徑緩慢變小時，在轉(zhuǎn)動一段較短時間內(nèi)，何以認為其軌道半徑未變，視作穩(wěn)定運動，由知，r減小時v逐漸增大，故D選項正確。例1【解析】考查萬有引力定律.星球表面重力等于萬有引力，即G＝mg，故火星表面的重力加速度與地球表面的重力加速度的比值＝，故B正確.例2【解析】根據(jù)牛頓第二定律有G從上式中消去飛行器質(zhì)量m后可解得M＝＝eq\f(4××(1852×103)3,×10－11××103)2)kg＝×1022kg根據(jù)密度公式有ρ＝eq\f(M,V)＝＝eq\f(3××1022,4×××106)3)kg/m3＝×103kg/m3例3【解析】由ρ＝eq\f(M,V)知該行星的密度是地球密度的倍.對近地衛(wèi)星有，再結(jié)合ρ＝eq\f(M,V)，V＝eq\f(4,3)πR3可解得地球的密度ρ＝＝×103kg/m3，故行星的密度ρ′＝×ρ＝×104kg/m3，D正確.例5【解析】設(shè)地球的質(zhì)量為M，同步衛(wèi)星的質(zhì)量為m1，地球赤道上的物體的質(zhì)量為m2，根據(jù)向心加速度和角速度的關(guān)系，有：a1＝r，a2＝R，因ω1＝ω2故，則選A正確.由萬有引力定律有G，G，故，則C選項正確.【答案】AC例4AD例6正解：第三宇宙速度是指衛(wèi)星脫離太陽的吸引，進入太空的最小速度；在繞月軌道上，由萬有引力定律和牛頓運動定律得，衛(wèi)星受到月球的萬