【試卷】2021年廣東省深圳市布心中學(xué)中考復(fù)習(xí)試卷（瓜豆原理）

2021年廣東省深圳市布心中學(xué)中考復(fù)習(xí)試卷（瓜豆原理）一．選擇題（共3小題）1．如圖，正方形ABCD中，AB＝12，點(diǎn)E在邊CD上，將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，且BG＝CG，連接AG、CF．下列結(jié)論：①△ABG≌△AFG；②∠EAG＝45°；③CE＝2DE；④AG∥CF；⑤S△FGC＝．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)2．如圖，在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上有一動(dòng)點(diǎn)A，連接AO并延長(zhǎng)交圖象的另一支于點(diǎn)B，在第一象限內(nèi)有一點(diǎn)C，滿足AC＝BC，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C始終在函數(shù)y＝的圖象上運(yùn)動(dòng)．若tan∠CAB＝2，則k的值為（）A．2 B．4 C．6 D．83．如圖，A（﹣1，1），B（﹣1，4），C（﹣5，4），點(diǎn)P是△ABC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接OP，以O(shè)P為斜邊在OP的右上方作直角三角形，其中∠OQP＝90°，∠POQ＝30°，當(dāng)點(diǎn)P在△ABC的三條邊上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為（）A．4B．6C．4 D．6二．填空題（共12小題）4．如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝8，AD⊥BC于點(diǎn)D，E為線段AD上一點(diǎn)，AE＝2．以AE為邊在直線AD右側(cè)構(gòu)造等邊三角形AEF，EF與AC交于點(diǎn)G，連接CE，N為CE的中點(diǎn)．連接NG，則線段NG的長(zhǎng)為．5．如圖Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，點(diǎn)P為BC上任意一點(diǎn)，連接PA，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，連接PQ，則PQ的最小值為．第5題圖第6題圖第7題圖第8題圖6．如圖所示，拋物線y＝x2﹣6x+8與x軸交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B的直線與拋物線交于點(diǎn)C（C在x軸上方），過A、B、C三點(diǎn)的⊙M滿足∠MBC＝45°，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．7．如圖，在等邊△ABC中，AB＝10，BD＝4，BE＝2，點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿EA方向運(yùn)動(dòng)，連接PD，以PD為邊，在PD的右側(cè)按如圖所示的方式作等邊△DPF，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是．8．如圖，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為的一個(gè)定點(diǎn)，AC⊥x軸于點(diǎn)M，交直線y＝﹣x于點(diǎn)N．若點(diǎn)P是線段ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠APB＝30°，BA⊥PA，則點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A點(diǎn)不變，B點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng)．求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是．9．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為BC上一點(diǎn)，且BE＝1，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為．第9題圖第10題圖第11題圖10．如圖，△ABC是等邊三角形，AB＝4，E是AC的中點(diǎn)，D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，線段ED繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段EF，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)，AF的最小值是．11．如圖，PA＝，PB＝2，以AB為一邊作正方形ABCD，使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè)，當(dāng)P與D的距離最大時(shí)，正方形ABCD的面積為．12．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿DB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，至點(diǎn)B停止運(yùn)動(dòng)，連接AP，過點(diǎn)B作BH垂直于直線AP于點(diǎn)H，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)H所走過的路徑長(zhǎng)是．第12題圖第13題圖13．已知線段AB＝12，C、D是AB上兩點(diǎn)，且AC＝DB＝2，P是線段CD上一動(dòng)點(diǎn)，在AB同側(cè)分別作等邊三角形APE和等邊三角形PBF，G為線段EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P由點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，G點(diǎn)移動(dòng)的路徑長(zhǎng)度為14．如圖，等腰Rt△ABC中，斜邊AB的長(zhǎng)為2，O為AB的中點(diǎn)，P為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，OQ⊥OP交BC于點(diǎn)Q，M為PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M所經(jīng)過的路線長(zhǎng)為．第14題圖第15題圖15．如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的半徑為2，點(diǎn)A是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上一動(dòng)點(diǎn)，以AB為斜邊作等腰直角△ABC，連接OC，則OC的最小值為．三．解答題（共11小題）16．△ABC為等邊三角形，AB＝8，AD⊥BC于點(diǎn)D，E為線段AD上一點(diǎn)，AE＝2．以AE為邊在直線AD右側(cè)構(gòu)造等邊三角形AEF，連接CE，N為CE的中點(diǎn)．（1）如圖1，EF與AC交于點(diǎn)G，連接NG，求線段NG的長(zhǎng)；（2）如圖2，將△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，M為線段EF的中點(diǎn)，連接DN，MN．當(dāng)30°＜α＜120°時(shí)，猜想∠DNM的大小是否為定值，并證明你的結(jié)論；（3）連接BN，在△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，求線段BN的取值范圍．17．[問題探究]（1）如圖1，△ABC為等邊三角形，邊長(zhǎng)為6，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是線段和AD和AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CE，EF．則CE+EF的最小值為；（2）如圖2，⊙O為△ABC的外接圓，AB是直徑，AC＝BC，點(diǎn)D是直徑AB左側(cè)的圓上一點(diǎn)，連接DA，DB，DC．將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△BCE．若CD＝4，求四邊形ADBC的面積；[問題解決]（3）如圖3，⊙O為等邊△ABC的外接圓，半徑為2，點(diǎn)D在劣弧上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A，B重合），連接DA．DB，DC．設(shè)線段DC的長(zhǎng)為x．四邊形ADBC的面積為S．①求S與x的函數(shù)關(guān)系式；②若點(diǎn)M，N分別在線段CA，CB上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到每一個(gè)確定的位置．△DMN的周長(zhǎng)有最小值t，隨著點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)，t的值會(huì)發(fā)生變化．求所有t值中的最大值，并求此時(shí)四邊形ADBC的面積S．18．某中學(xué)決定在本校學(xué)生中，開展足球、籃球、羽毛球、乒乓球四種活動(dòng)，為了了解學(xué)生對(duì)這四種活動(dòng)的喜愛情況，學(xué)校隨機(jī)調(diào)查了該校m名學(xué)生，看他們喜愛哪一種活動(dòng)（每名學(xué)生必選一種且只能從這四種活動(dòng)中選擇一種），現(xiàn)將調(diào)查的結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖．（1）m＝，n＝；（2）請(qǐng)補(bǔ)全圖中的條形圖；（3）在抽查的m名學(xué)生中，喜愛打乒乓球的有10名同學(xué)（其中有4名女生，包括小紅、小梅），現(xiàn)將喜愛打乒乓球的同學(xué)平均分成兩組進(jìn)行訓(xùn)練，且女生每組分兩人，求小紅、小梅能分在同一組的概率．19．某社區(qū)擬建A，B兩類攤位以搞活“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”，每個(gè)A類攤位的占地面積比每個(gè)B類攤位的占地面積多2平方米，建A類攤位每平方米的費(fèi)用為40元，建B類攤位每平方米的費(fèi)用為30元，用60平方米建A類攤位的個(gè)數(shù)恰好是用同樣面積建B類攤位個(gè)數(shù)的．（1）求每個(gè)A，B類攤位占地面積各為多少平方米？（2）該社區(qū)擬建A，B兩類攤位共90個(gè)，且B類攤位的數(shù)量不大于A類攤位數(shù)量的3倍，建造這90個(gè)攤位的總費(fèi)用不超過10850元．則共有哪幾種建造方案？（3）在（2）的條件下，哪種方案的總費(fèi)用最少？最少費(fèi)用是多少？20．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，點(diǎn)P是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B，C不重合），連接AP并延長(zhǎng)AP交拋物線于點(diǎn)Q，連接CQ，BQ，設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m．（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）當(dāng)△BCQ的面積等于2時(shí)，求m的值；（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．21．已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC，BC，在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D，連接CD，使CD＝CB．（1）如圖1，若AC＝AD，求證：CD是⊙O的切線；（2）如圖2，延長(zhǎng)DC交⊙O于點(diǎn)E，連接AE．i）若⊙O的直徑為，sinB＝，求AD的長(zhǎng)；ii）若CD＝2CE，求cosB的值．22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣3，0），點(diǎn)B是y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊在AB的下方作等邊△ABP，點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接OP，求OP的最小值．23．（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖①，正方形AEFG的兩邊分別在正方形ABCD的邊AB和AD上，連接CF．填空：①線段CF與DG的數(shù)量關(guān)系為；②直線CF與DG所夾銳角的度數(shù)為．（2）【拓展探究】如圖②，將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)利用圖②進(jìn)行說明．（3【解決問題】如圖③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，O為AC的中點(diǎn)．若點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)，連接OE，則在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，線段OE長(zhǎng)的最小值為（直接寫出結(jié)果）．24．如圖，點(diǎn)O在線段AB上，OA＝1，OB＝2，以點(diǎn)O為圓心、OA長(zhǎng)為半徑的圓為⊙O，在⊙O上取動(dòng)點(diǎn)P，以PB為邊作△PBC，使∠PBC＝90°，tan∠PCB＝，P、B、C三點(diǎn)為逆時(shí)針順序，連接AC，求AC的取值范圍．25．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，3），P點(diǎn)是以點(diǎn)A為圓心、2為半徑的圓上的任意動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)P為直角邊作等腰直角△OPQ，且點(diǎn)Q在第二象限，求AQ的最大值與最小值．26．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝，BC的中點(diǎn)為D，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度得到△FEC，EF的中點(diǎn)為G，連接DG．在旋轉(zhuǎn)過程中，求DG的最大值和最小值．

2021年廣東省深圳市布心中學(xué)中考復(fù)習(xí)試卷（瓜豆原理）參考答案與試題解析一．選擇題（共3小題）1．如圖，正方形ABCD中，AB＝12，點(diǎn)E在邊CD上，將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，且BG＝CG，連接AG、CF．下列結(jié)論：①△ABG≌△AFG；②∠EAG＝45°；③CE＝2DE；④AG∥CF；⑤S△FGC＝．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【分析】依據(jù)HL即可判定Rt△ABG≌Rt△AFG；依據(jù)∠BAG＝∠FAG，∠DAE＝∠FAE，即可得到∠EAG＝∠BAD；依據(jù)勾股定理列方程，即可得到DE＝4，CE＝8，進(jìn)而得出CE＝2DE；依據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到∠AGB＝∠GCF，即可得到AG∥CF；根據(jù)GF＝6，EF＝4，△GFC和△FCE等高，即可得到S△GFC＝×S△GCE＝．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝12，∠B＝∠GCE＝∠D＝90°，由折疊的性質(zhì)得：AF＝AD，∠AFE＝∠D＝90°，∴∠AFG＝90°＝∠B，AB＝AF，在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），故①正確；∴∠BAG＝∠FAG，由折疊可得，∠DAE＝∠FAE，∴∠EAG＝∠BAD＝45°，故②正確；由題意得：EF＝DE，BG＝CG＝6＝GF，設(shè)DE＝EF＝x，則CE＝12﹣x．在直角△ECG中，根據(jù)勾股定理，得CE2+CG2＝GE2，即（12﹣x）2+62＝（x+6）2，解得：x＝4，∴DE＝4，CE＝8，∴CE＝2DE，故③正確；∵CG＝BG，BG＝GF，∴CG＝GF，∴∠GFC＝∠GCF．又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB＝∠AGF，∵∠AGB+∠AGF＝2∠AGB＝∠GFC+∠GCF＝2∠GCF，∴∠AGB＝∠GCF，∴AG∥CF，故④正確；∵S△GCE＝GC?CE＝×6×8＝24，∵GF＝6，EF＝4，△GFC和△FCE等高，∴S△GFC：S△FCE＝3：2，∴S△GFC＝×24＝，故⑤正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及三角形的面積計(jì)算等知識(shí)的綜合運(yùn)用；解折疊問題時(shí)，我們常常設(shè)要求的線段長(zhǎng)為x，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．2．如圖，在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上有一動(dòng)點(diǎn)A，連接AO并延長(zhǎng)交圖象的另一支于點(diǎn)B，在第一象限內(nèi)有一點(diǎn)C，滿足AC＝BC，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C始終在函數(shù)y＝的圖象上運(yùn)動(dòng)．若tan∠CAB＝2，則k的值為（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】連接OC，過點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，通過角的計(jì)算找出∠AOE＝∠COF，結(jié)合“∠AEO＝90°，∠CFO＝90°”可得出△AOE∽△COF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，再由tan∠CAB＝＝2，可得出CF?OF＝8，由此即可得出結(jié)論．【解答】解：連接OC，過點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖所示．由直線AB與反比例函數(shù)y＝﹣的對(duì)稱性可知A、B點(diǎn)關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱，∴AO＝BO．又∵AC＝BC，∴CO⊥AB．∵∠AOE+∠EOC＝90°，∠EOC+∠COF＝90°，∴∠AOE＝∠COF，又∵∠AEO＝90°，∠CFO＝90°，∴△AOE∽△COF，∴．∵tan∠CAB＝＝2，∴CF＝2AE，OF＝2OE．又∵AE?OE＝|﹣2|＝2，CF?OF＝|k|，∴k＝±8．∵點(diǎn)C在第一象限，∴k＝8．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)的性質(zhì)以及相似三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出CF?OF＝8．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，巧妙的利用了相似三角形的性質(zhì)找出對(duì)應(yīng)邊的比例，再結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征找出結(jié)論．3．如圖，A（﹣1，1），B（﹣1，4），C（﹣5，4），點(diǎn)P是△ABC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接OP，以O(shè)P為斜邊在OP的右上方作直角三角形，其中∠OQP＝90°，∠POQ＝30°，當(dāng)點(diǎn)P在△ABC的三條邊上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為（）A．4 B．6 C．4 D．6【分析】如圖，由題意，點(diǎn)P在△ABC的三條邊上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的軌跡是△MGH．利用相似三角形的性質(zhì)求出MG，GH，MH即可解決問題．【解答】解：如圖，由題意，點(diǎn)P在△ABC的三條邊上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的軌跡是△MGH．∵A（﹣1，1），B（﹣1，4），C（﹣5，4），∴AB＝3，BC＝4，AC＝5，∵＝＝，∠AOB＝∠MOG，∴△AOB∽△MOG，∴＝＝，∴MG＝，同法可得，GH＝BC＝2，MH＝AC＝，∴點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)＝+2+＝6，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡，屬于中考選擇題中的壓軸題．二．填空題（共12小題）4．如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝8，AD⊥BC于點(diǎn)D，E為線段AD上一點(diǎn)，AE＝2．以AE為邊在直線AD右側(cè)構(gòu)造等邊三角形AEF，EF與AC交于點(diǎn)G，連接CE，N為CE的中點(diǎn)．連接NG，則線段NG的長(zhǎng)為．【分析】連接BE，CF．由勾股定理求出BE，證△BAE≌△CAF（SAS），得CF＝BE＝2，利用三角形的中位線定理即可解決問題．【解答】解：如圖，連接BE，CF，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴AB＝BC＝AC＝8，BD＝CD＝4，∠BAD＝∠CAD＝30°，∴AD＝BD＝4，∵△AEF是等邊三角形，∴∠EAF＝60°，∴∠EAG＝∠GAF＝30°，∴EG＝GF，∵AE＝2，∴DE＝AE＝2，∴BE＝＝＝2，∵△ABC和△AEF是等邊三角形，∴AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF（SAS），∴CF＝BE＝2，∵EN＝CN，EG＝FG，∴NG＝CF＝；故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．5．如圖Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，點(diǎn)P為BC上任意一點(diǎn)，連接PA，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，連接PQ，則PQ的最小值為．【分析】以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，由平行四邊形的性質(zhì)可知O是AC中點(diǎn)，PQ最短也就是PO最短，所以應(yīng)該過O作BC的垂線P′O，然后根據(jù)△P′OC和△ABC相似，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出PQ的最小值．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵四邊形APCQ是平行四邊形，∴PO＝QO，CO＝AO，∵PQ最短也就是PO最短，∴過O作BC的垂線OP′，∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，∴△CAB∽△CP′O，∴，∴，∴OP′＝，∴則PQ的最小值為2OP′＝，方法二：不用相似的方法，只利用等面積得，OC?AB＝BC?OP'，求得OP′，而其他部分的步驟共用．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的運(yùn)用、平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及垂線段最短的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是做高線各種相似三角形．6．如圖所示，拋物線y＝x2﹣6x+8與x軸交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B的直線與拋物線交于點(diǎn)C（C在x軸上方），過A、B、C三點(diǎn)的⊙M滿足∠MBC＝45°，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，3）．【分析】解方程得到A（2，0），B（4，0），求得AB＝2，連接MC，過C作CE⊥x軸于E，過M作MD⊥AB于D，MH⊥CE于H，則四邊形MDEH是矩形，AD＝BD＝1，得到∠BMC＝90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DM＝MH，CH＝BD＝推出矩形MDEH是正方形，設(shè)MH＝EH＝a，把C（3+a，a+1），代入拋物線的解析式得到a+1＝（a+3）2﹣6（a+3）+8，解方程即可得到結(jié)論．【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣6x+8與x軸交于A、B兩點(diǎn)，∴A（2，0），B（4，0），∴AB＝2，連接MC，過C作CE⊥x軸于E，過M作MD⊥AB于D，MH⊥CE于H，則四邊形MDEH是矩形，AD＝BD＝1，∴DM＝HE，MH＝DE，∠DMH＝90°，∵∠BBC＝45°，BM＝MC，∴∠MCB＝∠MBC＝45°，∴∠BMC＝90°，∴∠DMB＝∠HMC，∵∠MDB＝∠MHC＝90°，∴△MDB≌△MHC（AAS），∴DM＝MH，CH＝BD＝1，∴矩形MDEH是正方形，∴MH＝HE，設(shè)MH＝EH＝a，∴C（3+a，a+1），∵拋物線過點(diǎn)C，∴a+1＝（a+3）2﹣6（a+3）+8，解得：a1＝2，a2＝﹣1（不合題意舍去），∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，3），故答案為：（5，3）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，正方形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在等邊△ABC中，AB＝10，BD＝4，BE＝2，點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿EA方向運(yùn)動(dòng)，連接PD，以PD為邊，在PD的右側(cè)按如圖所示的方式作等邊△DPF，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是8．【分析】連接DE，作FH⊥BC于H，如圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠B＝60°，過D點(diǎn)作DE′⊥AB，則BE′＝BD＝2，則點(diǎn)E′與點(diǎn)E重合，所以∠BDE＝30°，DE＝BE＝2，接著證明△DPE≌△FDH得到FH＝DE＝2，于是可判斷點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑為一條線段，此線段到BC的距離為2，當(dāng)點(diǎn)P在E點(diǎn)時(shí)，作等邊三角形DEF1，則DF1⊥BC，當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)時(shí)，作等邊三角形DAF2，作F2Q⊥BC于Q，則△DF2Q≌△ADE，所以DQ＝AE＝8，所以F1F2＝DQ＝8，于是得到當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為8．【解答】解：如圖，∵△ABC為等邊三角形，∴∠B＝60°，過D點(diǎn)作DE′⊥AB，則BE′＝BD＝2，∴點(diǎn)E′與點(diǎn)E重合，∴∠BDE＝30°，DE＝BE＝2，∵△DPF為等邊三角形，∴∠PDF＝60°，DP＝DF，∴∠EDP+∠HDF＝90°∵∠HDF+∠DFH＝90°，∴∠EDP＝∠DFH，在△DPE和△FDH中，，∴△DPE≌△FDH，∴FH＝DE＝2，∴點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑為一條線段，此線段到BC的距離為2，當(dāng)點(diǎn)P在E點(diǎn)時(shí)，作等邊三角形DEF1，∠BDF1＝30°+60°＝90°，則DF1⊥BC，當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)時(shí)，作等邊三角形DAF2，作F2Q⊥BC于Q，則△DF2Q≌△ADE，所以DQ＝AE＝10﹣2＝8，∴F1F2＝DQ＝8，∴當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，軌跡：點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑叫點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，利用代數(shù)或幾何方法確定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律．也考查了等邊三角形的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)．8．如圖，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為的一個(gè)定點(diǎn)，AC⊥x軸于點(diǎn)M，交直線y＝﹣x于點(diǎn)N．若點(diǎn)P是線段ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠APB＝30°，BA⊥PA，則點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A點(diǎn)不變，B點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng)．求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是．【分析】首先，需要證明線段B1B2就是點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑（或軌跡），如圖1所示．利用相似三角形可以證明；其次，證明△APN∽△AB1B2，列比例式可得B1B2的長(zhǎng)．【解答】解：如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至ON上的任一點(diǎn)時(shí)，設(shè)其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B為Bi，連接AP，ABi，BBi，∵AO⊥AB1，AP⊥ABi，∴∠OAP＝∠B1ABi，又∵AB1＝AO?tan30°，ABi＝AP?tan30°，∴AB1：AO＝ABi：AP，∴△AB1Bi∽△AOP，∴∠AB1Bi＝∠AOP．同理得△AB1B2∽△AON，∴∠AB1B2＝∠AOP，∴∠AB1Bi＝∠AB1B2，∴點(diǎn)Bi在線段B1B2上，即線段B1B2就是點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑（或軌跡）．由圖形2可知：Rt△APB1中，∠APB1＝30°，∴，Rt△AB2N中，∠ANB2＝30°，∴＝，∴，∵∠PAB1＝∠NAB2＝90°，∴∠PAN＝∠B1AB2，∴△APN∽△AB1B2，∴＝＝，∵ON的解析式為：y＝﹣x，∴△OMN是等腰直角三角形，∴OM＝MN＝，∴PN＝，∴B1B2＝，綜上所述，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑（或軌跡）是線段B1B2，其長(zhǎng)度為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了30°的直角三角形的性質(zhì)和點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，本題的關(guān)鍵是證明△APN∽△AB1B2，根據(jù)比例式解決問題，并利用了數(shù)形結(jié)合的思想，有難度．9．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為BC上一點(diǎn)，且BE＝1，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為．【分析】由題意分析可知，點(diǎn)F為主動(dòng)點(diǎn)，G為從動(dòng)點(diǎn)，所以以點(diǎn)E為旋轉(zhuǎn)中心構(gòu)造全等關(guān)系，得到點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡，之后通過垂線段最短構(gòu)造直角三角形獲得CG最小值．【解答】解：由題意可知，點(diǎn)F是主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G是從動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G也一定在直線軌跡上運(yùn)動(dòng)將△EFB繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)60°，使EF與EG重合，得到△EFB≌△EHG從而可知△EBH為等邊三角形，點(diǎn)G在垂直于HE的直線HN上作CM⊥HN，則CM即為CG的最小值作EP⊥CM，可知四邊形HEPM為矩形，則CM＝MP+CP＝HE+EC＝1+＝故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段極值問題，分清主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)，通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等，從而判斷出點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡，是本題的關(guān)鍵，之后運(yùn)用垂線段最短，構(gòu)造圖形計(jì)算，是極值問題中比較典型的類型．10．如圖，△ABC是等邊三角形，AB＝4，E是AC的中點(diǎn)，D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，線段ED繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段EF，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)，AF的最小值是+1．【分析】作DM⊥AC于M，F(xiàn)N⊥AC于N，如圖，設(shè)DM＝x，則CM＝x，可計(jì)算出EM＝﹣x+2，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到ED＝EF，∠DEF＝90°，證明△EDM≌△FEN，當(dāng)D在BC上時(shí)，DM＝EN＝x，EM＝NF＝﹣x+2，接著利用勾股定理得到AF2＝（﹣x+2）2+（2+x）2，配方得到AF2＝（x+）2+4+2，此時(shí)AF2沒有最小值，當(dāng)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，DM＝EN＝x，EM＝NF＝x+2，在Rt△AFN中，AF2＝（x+2）2+（2﹣x）2＝（x﹣）2+4+2，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到AF的最小值．【解答】解：作DM⊥AC于M，F(xiàn)N⊥AC于N，如圖，設(shè)DM＝x，在Rt△CDM中，CM＝DM＝x，而EM+x＝2，∴EM＝﹣x+2，∵線段ED繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段EF，∴ED＝EF，∠DEF＝90°，易得△EDM≌△FEN，當(dāng)D在BC上時(shí)，∴DM＝EN＝x，EM＝NF＝﹣x+2，在Rt△AFN中，AF2＝（﹣x+2）2+（2+x）2＝（x+）2+4+2，此時(shí)AF2沒有最小值，當(dāng)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，∴DM＝EN＝x，EM＝NF＝x+2，在Rt△AFN中，AF2＝（x+2）2+（2﹣x）2＝（x﹣）2+4+2，當(dāng)x＝時(shí)，AF2有最小值4+2，∴AF的最小值為＝+1．故答案為+1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．11．如圖，PA＝，PB＝2，以AB為一邊作正方形ABCD，使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè)，當(dāng)P與D的距離最大時(shí)，正方形ABCD的面積為30．【分析】將△PAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△P'AB，PD的最大值即為P'B的最大值，過A作AH⊥P′B于H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AH＝PH＝P′P＝，根據(jù)勾股定理得到AB＝＝，于是得到結(jié)論．【解答】解：如圖所示，將△PAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△P'AB，PD的最大值即為P'B的最大值，∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′＝PA＝2，PB＝2，且P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè)，∴當(dāng)P'、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，P'B取得最大值（如圖）此時(shí)P'B＝PP'+PB＝4，即P'B的最大值為4，過A作AH⊥P′B于H，∴AH＝PH＝P′P＝，∴BH＝3，∴AB＝＝，∴正方形ABCD的面積為30，故答案為：30．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，正方形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．12．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿DB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，至點(diǎn)B停止運(yùn)動(dòng)，連接AP，過點(diǎn)B作BH垂直于直線AP于點(diǎn)H，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)H所走過的路徑長(zhǎng)是π．【分析】由題意點(diǎn)H在以AB為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式即可解決問題．【解答】解：如圖，∵BH⊥AP，∴∠AHB＝90°，∴點(diǎn)H在以AB為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，由題意∵OA＝OB＝1，∴點(diǎn)H所走過的路徑長(zhǎng)＝×2π?1＝π，故答案為：π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡、正方形的性質(zhì)，圓的周長(zhǎng)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)條件點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡．13．已知線段AB＝12，C、D是AB上兩點(diǎn)，且AC＝DB＝2，P是線段CD上一動(dòng)點(diǎn)，在AB同側(cè)分別作等邊三角形APE和等邊三角形PBF，G為線段EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P由點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，G點(diǎn)移動(dòng)的路徑長(zhǎng)度為4【分析】分別延長(zhǎng)AE、BF交于點(diǎn)M，易證四邊形PEMF為平行四邊形，得出G為PM中點(diǎn)，則G的運(yùn)行軌跡△MCD的中位線，運(yùn)用中位線的性質(zhì)求出HI的長(zhǎng)度即可．【解答】解：如圖，分別延長(zhǎng)AE、BF交于點(diǎn)M，∵∠A＝∠DPF＝60°，∴AM∥PF，∵∠B＝∠EPA＝60°，∴BM∥PE，∴四邊形PEMF為平行四邊形，∴EF與MP互相平分．∵G為EF的中點(diǎn)，∴G正好為PM的中點(diǎn)，即在P的運(yùn)動(dòng)過程中，G始終為PM的中點(diǎn)，∴G的運(yùn)行軌跡為△MCD的中位線HI，∵HI＝CD＝×（12﹣2﹣2）＝4，∴G點(diǎn)移動(dòng)的路徑長(zhǎng)度為4．故答案為：4【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線定理及等邊三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，找到點(diǎn)G移動(dòng)的規(guī)律，判斷出其運(yùn)動(dòng)路徑，綜合性較強(qiáng)．14．如圖，等腰Rt△ABC中，斜邊AB的長(zhǎng)為2，O為AB的中點(diǎn)，P為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，OQ⊥OP交BC于點(diǎn)Q，M為PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M所經(jīng)過的路線長(zhǎng)為1．【分析】連接OC，OM、CM，如圖，利用斜邊上的中線性質(zhì)得到OM＝PQ，CM＝PQ，則OM＝CM，于是可判斷點(diǎn)M在OC的垂直平分線上，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的軌跡為△ABC的中位線，然后根據(jù)三角形中位線性質(zhì)求解．【解答】解：連接OC，OM、CM，如圖，∵M(jìn)為PQ的中點(diǎn)，∴OM＝PQ，CM＝PQ，∴OM＝CM，∴點(diǎn)M在OC的垂直平分線上，∴點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的軌跡為△ABC的中位線，∴點(diǎn)M所經(jīng)過的路線長(zhǎng)＝AB＝1．故答案為1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軌跡：通過計(jì)算確定動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中不變的量，從而得到運(yùn)動(dòng)的軌跡．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．15．如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的半徑為2，點(diǎn)A是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上一動(dòng)點(diǎn)，以AB為斜邊作等腰直角△ABC，連接OC，則OC的最小值為2﹣．【分析】如圖，以O(shè)B為底邊向上作等腰直角三角形OBF，連接CF．證明△OBA∽△FBC，可得＝＝，推出CF＝＝，因?yàn)镺C≥OF﹣CF，推出當(dāng)OF的值最小時(shí)，OC的值最小，求出OF的最小值即可解決問題．【解答】解：如圖，以O(shè)B為底邊向上作等腰直角三角形OBF，連接CF．∵△OBF，△ABC都是等腰直角三角形，∴∠OBF＝∠ABC＝45°，OB＝BF，BA＝BC，∴＝＝，∠OBA＝∠FBC，∴△OBA∽△FBC，∴＝＝，∴CF＝＝，∵OC≥OF﹣CF，∴當(dāng)OF的值最小時(shí)，OC的值最小，∵△OBF是等腰直角三角形，∴當(dāng)OB最小時(shí)，OF的值最小，∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴當(dāng)B（2，2）時(shí)，OB的值最小，此時(shí)OB＝2，OF＝2，∴OC的最小值為2﹣．故答案為：2﹣．【點(diǎn)評(píng)】考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、以及勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題．三．解答題（共11小題）16．△ABC為等邊三角形，AB＝8，AD⊥BC于點(diǎn)D，E為線段AD上一點(diǎn)，AE＝2．以AE為邊在直線AD右側(cè)構(gòu)造等邊三角形AEF，連接CE，N為CE的中點(diǎn)．（1）如圖1，EF與AC交于點(diǎn)G，連接NG，求線段NG的長(zhǎng)；（2）如圖2，將△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，M為線段EF的中點(diǎn)，連接DN，MN．當(dāng)30°＜α＜120°時(shí)，猜想∠DNM的大小是否為定值，并證明你的結(jié)論；（3）連接BN，在△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，求線段BN的取值范圍．【分析】（1）如圖1中，連接BE，CF．解直角三角形求出BE，再利用全等三角形的性質(zhì)證明CF＝BE，利用三角形的中位線定理即可解決問題．（2）結(jié)論：∠DNM＝120°是定值．利用全等三角形的性質(zhì)證明∠EBC+∠BCF＝120°，再利用三角形的中位線定理，三角形的外角的性質(zhì)證明∠DNM＝∠EBC+∠BCF即可．（3）如圖3﹣1中，取AC的中點(diǎn)J，連接BJ，求出BJ，JN，可得結(jié)論．【解答】解：（1）如圖1中，連接BE，CF．∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴AB＝BC＝AC＝8，BD＝CD＝4，∠BAD＝∠CAD＝30°，∴AD＝BD＝4，∵△AEF是等邊三角形，∴∠EAF＝60°，∴∠EAG＝∠GAF＝30°，∴EG＝GF，∵AE＝2，∴DE＝AE＝2，∴BE＝＝＝2，∵△ABC，△AEF是等邊三角形，∴AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∴△BAE≌△CAF（SAS），∴CF＝BE＝2，∵EN＝CN，EG＝FG，∴GN＝CF＝．（2）結(jié)論：∠DNM＝120°是定值．理由：連接BE，CF．同法可證△BAE≌△CAF（SAS），∴∠ABE＝∠ACF，∵∠ABC+∠ACB＝60°+60°＝120°，∴∠EBC+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABE+∠ACB+∠ACF＝120°，∵EN＝NC，EM＝MF，∴MN∥CF，∴∠ENM＝∠ECF，∵BD＝DC，EN＝NC，∴DN∥BE，∴∠CDN＝∠EBC，∵∠END＝∠NDC+∠NCD，∴∠DNM＝∠DNE+∠ENM＝∠NDC+∠ACB+∠ACN+∠ECF＝∠EBC+∠ACB+∠ACF＝∠EBC+∠BCF＝120°．（3）如圖3﹣1中，取AC的中點(diǎn)J，連接BJ，BN．∵AJ＝CJ，EN＝NC，∴JN＝AE＝，∵BJ＝AD＝4，∴BJ﹣JN≤BN≤BJ+JN，∴3≤BN≤5，【點(diǎn)評(píng)】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．17．[問題探究]（1）如圖1，△ABC為等邊三角形，邊長(zhǎng)為6，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是線段和AD和AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CE，EF．則CE+EF的最小值為3；（2）如圖2，⊙O為△ABC的外接圓，AB是直徑，AC＝BC，點(diǎn)D是直徑AB左側(cè)的圓上一點(diǎn)，連接DA，DB，DC．將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△BCE．若CD＝4，求四邊形ADBC的面積；[問題解決]（3）如圖3，⊙O為等邊△ABC的外接圓，半徑為2，點(diǎn)D在劣弧上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A，B重合），連接DA．DB，DC．設(shè)線段DC的長(zhǎng)為x．四邊形ADBC的面積為S．①求S與x的函數(shù)關(guān)系式；②若點(diǎn)M，N分別在線段CA，CB上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到每一個(gè)確定的位置．△DMN的周長(zhǎng)有最小值t，隨著點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)，t的值會(huì)發(fā)生變化．求所有t值中的最大值，并求此時(shí)四邊形ADBC的面積S．【分析】（1）根據(jù)最短路徑及勾股定理即可解決問題；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)可得答案；（3）①將△ADC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BHC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及面積公式可得答案；②作點(diǎn)D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)E，作點(diǎn)D關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E、M、N、F四點(diǎn)共線時(shí)，△DMN的周長(zhǎng)不最小值，則連接EF交AC于點(diǎn)M，交BC于N，連接CE，CF，DE，DF，作CP⊥EF于P，由對(duì)稱性質(zhì)、勾股定理、最值問題可得答案．【解答】解：（1）當(dāng)C，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，且CF⊥AB時(shí)，CE+EF最小，最小值為，（2）∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∵△ACD旋轉(zhuǎn)得到△BCE，∴△ACD≌△BCE，∴CD＝CE＝4，∠ACD＝∠BCE，∴∠DCE＝∠DCB+∠BCE＝∠DCB+∠ACD＝90°，∴四邊形ADBC的面積＝S△ACD+S△BCD＝S△OCE+S△BCD＝S△OCE＝DC×CE＝＝8．（3）①如圖，將△ADC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BHC，∴CD＝CH，∠DAC＝∠HBC，∵四邊形ACBD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠DAC+∠DBC＝180°，∠DBC+∠HBC＝180°，∴點(diǎn)D，B，H三點(diǎn)共線，∵DC＝CH，∴∠CDH＝60°，∴△DCH是等腰三角形，∴四邊形ADBC的面積＝S△ACD+S△BDC＝S△COH＝CD2，∴S＝x2（2），②如圖4，作點(diǎn)D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)E，作點(diǎn)D關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)F，∵點(diǎn)D、E關(guān)于直線AC對(duì)稱，∴EM＝DM，同理，DN＝NF，∴△DMN的周長(zhǎng)＝DM+DN+MN＝FN+EM+MN，當(dāng)點(diǎn)E、M、N、F四點(diǎn)共線時(shí)，△DMN的周長(zhǎng)不最小值，則連接EF交AC于點(diǎn)M，交BC于N，連接CE，CF，DE，DF，作CP⊥EF于P，∴△DMN的周長(zhǎng)最小值為EF＝t，∵點(diǎn)D、E關(guān)于直線AC對(duì)稱，∴CE＝CO，∠ACE＝∠ACD，∵點(diǎn)D、F關(guān)于直線BC對(duì)稱，∴CF＝CD，∠DCB＝∠FCB，∴CO＝CE＝CF，∠ECF＝∠ACD+∠DCB+∠FCB＝2∠ACB＝120°，∵CP⊥EF，CE⊥CF，∠ECF＝120°，∴EP＝PF，∠CEP＝30°，∴PC＝EC，PE＝PC＝EC，∴EF＝2PE＝EC＝，∴當(dāng)CD有最大值時(shí)，EF有最大值，即t有最大值，∵CD為⊙O的弦，∴CD為直徑時(shí)，CD有最大值4，∴t的最大值為4，此時(shí)，S＝x2＝＝4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓的綜合運(yùn)用，涉及到圓的有關(guān)性質(zhì)、最值問題，掌握其性質(zhì)定理是解決此題關(guān)鍵．18．某中學(xué)決定在本校學(xué)生中，開展足球、籃球、羽毛球、乒乓球四種活動(dòng)，為了了解學(xué)生對(duì)這四種活動(dòng)的喜愛情況，學(xué)校隨機(jī)調(diào)查了該校m名學(xué)生，看他們喜愛哪一種活動(dòng)（每名學(xué)生必選一種且只能從這四種活動(dòng)中選擇一種），現(xiàn)將調(diào)查的結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖．（1）m＝100，n＝15；（2）請(qǐng)補(bǔ)全圖中的條形圖；（3）在抽查的m名學(xué)生中，喜愛打乒乓球的有10名同學(xué)（其中有4名女生，包括小紅、小梅），現(xiàn)將喜愛打乒乓球的同學(xué)平均分成兩組進(jìn)行訓(xùn)練，且女生每組分兩人，求小紅、小梅能分在同一組的概率．【分析】（1）根據(jù)喜愛乒乓球的有10人，占10%可以求得m的值，從而可以求得n的值；（2）根據(jù)題意和m的值可以求得喜愛籃球的人數(shù)，從而可以將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（3）根據(jù)題意可以寫出所有的可能性，注意（C，D）和（D，C）在一起都是暗含著（A，B）在一起．【解答】解：（1）由題意可得，m＝10÷10%＝100，n%＝15÷100＝15%，故答案為：100，15．（2）喜愛籃球的有：100×35%＝35（人），補(bǔ)全的條形統(tǒng)計(jì)圖，如右圖所示：（3）設(shè)四名女生分別為：A（小紅）、B（小梅）、C、D，分組情況列舉如下：AB﹣﹣CD，AC﹣BD，AD﹣BC．共有3種等可能的結(jié)果，其中小紅、小梅能分在同一組的有1種，∴小紅、小梅能分在同一組的概率是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹狀圖法、扇形統(tǒng)計(jì)圖、條形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估計(jì)總體，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．19．某社區(qū)擬建A，B兩類攤位以搞活“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”，每個(gè)A類攤位的占地面積比每個(gè)B類攤位的占地面積多2平方米，建A類攤位每平方米的費(fèi)用為40元，建B類攤位每平方米的費(fèi)用為30元，用60平方米建A類攤位的個(gè)數(shù)恰好是用同樣面積建B類攤位個(gè)數(shù)的．（1）求每個(gè)A，B類攤位占地面積各為多少平方米？（2）該社區(qū)擬建A，B兩類攤位共90個(gè)，且B類攤位的數(shù)量不大于A類攤位數(shù)量的3倍，建造這90個(gè)攤位的總費(fèi)用不超過10850元．則共有哪幾種建造方案？（3）在（2）的條件下，哪種方案的總費(fèi)用最少？最少費(fèi)用是多少？【分析】（1）設(shè)每個(gè)B類攤位的占地面積為x平方米，則每個(gè)A類攤位的占地面積為（x+2）平方米，根據(jù)用60平方米建A類攤位的個(gè)數(shù)恰好是用同樣面積建B類攤位個(gè)數(shù)的，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；（2）設(shè)建造m個(gè)A類攤位，則建造（90﹣m）個(gè)B類攤位，根據(jù)“B類攤位的數(shù)量不大于A類攤位數(shù)量的3倍，建造這90個(gè)攤位的總費(fèi)用不超過10850元”，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，再結(jié)合m為整數(shù)，即可得出各建造方案；（3）利用總費(fèi)用＝建造每個(gè)攤位的費(fèi)用×建造攤位的個(gè)數(shù)，即可分別求出3個(gè)建造方案所需費(fèi)用，比較后即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)每個(gè)B類攤位的占地面積為x平方米，則每個(gè)A類攤位的占地面積為（x+2）平方米，依題意得：＝×，解得：x＝3，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝3是原方程的解，且符合題意，∴x+2＝5．答：每個(gè)A類攤位的占地面積為5平方米，每個(gè)B類攤位的占地面積為3平方米．（2）設(shè)建造m個(gè)A類攤位，則建造（90﹣m）個(gè)B類攤位，依題意得：，解得：≤m≤25．又∵m為整數(shù)，∴m可以取23，24，25，∴共有3種建造方案，方案1：建造23個(gè)A類攤位，67個(gè)B類攤位；方案2：建造24個(gè)A類攤位，66個(gè)B類攤位；方案1：建造25個(gè)A類攤位，65個(gè)B類攤位．（3）方案1所需總費(fèi)用為40×5×23+30×3×67＝10630（元），方案2所需總費(fèi)用為40×5×24+30×3×66＝10740（元），方案3所需總費(fèi)用為40×5×25+30×3×65＝10850（元）．∵10630＜10740＜10850，∴方案1的總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用是10630元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組；（3）利用總費(fèi)用＝建造每個(gè)攤位的費(fèi)用×建造攤位的個(gè)數(shù)，分別求出3個(gè)建造方案所需費(fèi)用．20．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，點(diǎn)P是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B，C不重合），連接AP并延長(zhǎng)AP交拋物線于點(diǎn)Q，連接CQ，BQ，設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m．（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）當(dāng)△BCQ的面積等于2時(shí)，求m的值；（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，求解即可；（2）連接OQ，得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)，利用S＝S△OCQ+S△OBQ﹣S△OBC得出△BCQ的面積，再令S＝2，即可解出m的值；（3）證明△APC∽△QPH，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得，根據(jù)三角形的面積，可得QH＝，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．【解答】解：（1）∵拋物線A（﹣1，0），B（4，0），可得：，解得：，∴拋物線的解析式為：，令x＝0，則y＝2，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2）；（2）連接OQ，∵點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m，∴Q（m，），∴S＝S△OCQ+S△OBQ﹣S△OBC＝﹣＝﹣m2+4m，令S＝2，解得：m＝或，（3）如圖，過點(diǎn)Q作QH⊥BC于H，連接AC，∵AC＝，BC＝，AB＝5，滿足AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，又∠QHC＝90°，∠APC＝∠QPH，∴△APC∽△QPH，∴，∵S△BCQ＝BC?QH＝QH，∴QH＝，∴＝，∴當(dāng)m＝2時(shí)，存在最大值．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積求法，待定系數(shù)法，勾股定理，綜合性強(qiáng)，有一定難度，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合．21．已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC，BC，在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D，連接CD，使CD＝CB．（1）如圖1，若AC＝AD，求證：CD是⊙O的切線；（2）如圖2，延長(zhǎng)DC交⊙O于點(diǎn)E，連接AE．i）若⊙O的直徑為，sinB＝，求AD的長(zhǎng)；ii）若CD＝2CE，求cosB的值．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)得出∠B＝∠D，∠D＝∠ACD，則∠B＝∠ACD，由圓周角定理得出∠ACB＝90°，得出∠DCO＝90°，則可得出結(jié)論；（2）i）連接OC，由勾股定理求出BC＝3，證明△COB∽△DCB，由相似三角形的性質(zhì)得出，求出BD的長(zhǎng)，則可得出答案；ii）連接OC，設(shè)CE＝k，得出CD＝BC＝2k，DE＝3k，證明△DAE∽△COB和△COB∽△DCB，由相似三角形的性質(zhì)可得出BC的長(zhǎng)，由銳角三角函數(shù)的定義可得出答案．【解答】（1）證明：連接OC，∵CD＝BC，∴∠B＝∠D，∵AC＝AD，∴∠D＝∠ACD，∴∠B＝∠ACD，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∴∠ACD+∠OCA＝90°，∴∠DCO＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線；解：（2）i）連接OC，∵∠ACB＝90°，AB＝，sinB＝，在Rt△ACB中，AC＝AB?sinB，∴AC＝＝1，在Rt△ACB中，BC＝＝＝3，∵OB＝CO，∴∠OCB＝∠B，∵∠B＝∠D，∴∠OCB＝∠D，∵∠CBO＝∠DBC，∴△COB∽△DCB，∴，∴CB2＝OB?BD，∵AB＝，∴OA＝OB＝，∴BD＝32×＝，∴AD＝BD﹣AB＝；ii）連接CO，∵CD＝2CE，設(shè)CE＝k，∴CD＝BC＝2k，∴DE＝3k，∵∠E＝∠B，∠OCB＝∠B＝∠D，∴△DAE∽△COB，∴，設(shè)⊙O的半徑為r，∴AD＝r，∴BD＝AD+AB＝r+2r＝r，∵△COB∽△DCB，∴，∴BC2＝OB?BD，∴（2k）2＝r×r，∴k＝r，∴BC＝2k＝r，∴cosB＝．【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題目，考查了切線的判定、圓周角定理、相似三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)定義等知識(shí)；熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣3，0），點(diǎn)B是y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊在AB的下方作等邊△ABP，點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接OP，求OP的最小值．【分析】以O(shè)A為對(duì)稱軸作等邊△ADE，連接EP，并延長(zhǎng)EP交x軸于點(diǎn)F．由“SAS”可證△AEP≌△ADB，可得∠AEP＝∠ADB＝120°，進(jìn)而可得點(diǎn)P在直線EF上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)垂線段最短解答．【解答】解：如圖，以O(shè)A為對(duì)稱軸作等邊△ADE，連接EP，并延長(zhǎng)EP交x軸于點(diǎn)F，∴∠AED＝60°，∴AO＝OE＝3，∴OE＝，∵△ADE和△ABP是等邊三角形，∴AB＝AP，AD＝AE，∠BAP＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠PAE，在△ADB和△AEP中，∴△AEP≌△ADB（SAS），∴∠AEP＝∠ADB＝120°，∴∠OEF＝60°，∴OF＝OE＝3，∠OFE＝30°，∴點(diǎn)P在直線EF上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)OP⊥EF時(shí)，OP最小，∴OP＝OF＝，則OP的最小值為，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．23．（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖①，正方形AEFG的兩邊分別在正方形ABCD的邊AB和AD上，連接CF．填空：①線段CF與DG的數(shù)量關(guān)系為CF＝DG；②直線CF與DG所夾銳角的度數(shù)為45°．（2）【拓展探究】如圖②，將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)利用圖②進(jìn)行說明．（3【解決問題】如圖③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，O為AC的中點(diǎn)．若點(diǎn)D在直線B