初中數(shù)學(xué)人教八年級(jí)上冊(cè)第十三章軸對(duì)稱全等小專題-半角模型XGPPT

★★全等三角形的構(gòu)造---小專題探究★★學(xué)習(xí)目標(biāo)：用‘截長(zhǎng)補(bǔ)短’構(gòu)造全等三角形的方法來解決半角模型中的線段和差問題。（一）溫故知新：1.已知：如圖，∠BAD=90°

∠EAF=45°,則∠BAE+∠DAF=

度.

452.已知：如圖，AB⊥BD，AC⊥CD

∠BAC=60°,(1)∠BDC=

度.(2)若∠MDN=60°,則∠BDM+∠CDN=

度.

（一）溫故知新：12060已知：在正方形ABCD中，M、N在BC、CD上,且滿足∠MAN=45°，求證：DN+BM=MN（二）合作探究：1、“正方形內(nèi)半角”模型：證明方法：內(nèi)半角，外補(bǔ)短證明！倒兩組全等換線換角！證明：延長(zhǎng)CB到N',使得BN'=DN,連結(jié)AN'∵四邊形ABCD是正方形∴AB=AD(正方形的四條邊都相等)AD⊥CDAB⊥BCAB⊥AD(正方形的鄰邊相互垂直)∵AB=AD∠ADN=∠ABN'DN=BN'∴△ADN≌△ABN'(SAS)∴AN'=AN(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)∵△ADN≌△ABN'∴∠N'AB=∠NAD(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)∵∠MAN=45°AB⊥AD∴∠BAM+∠NAD=45°∵∠BAM+∠NAD=45°∠N'AB=∠NAD∴∠BAM+∠N'AB=45°即∠N'AM=45°

∵AN'=AN∠N'AM=∠MAN=45°AM=AM∴△AN'M≌△ANM(SAS)∴MN=N'M(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)∵M(jìn)N=N'MEM=BN'+BMBN'=DN∴MN=BM+DN如圖：在正方形ABCD中，M、N在直線BC、CD上,且滿足∠MAN=45°，探究：BM,DN,MN之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系。（二）合作探究：2、“正方形外半角”模型：小組討論交流解答思路

然后整理證明過程

（猜想：MN=DN-BM）

如圖：在正方形ABCD中，M、N在直線BC、CD上,且滿足∠MAN=45°，探究：BM,DN,MN之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系。（二）合作探究：2、“正方形外半角”模型：證明思路總結(jié)：1.猜想：MN=DN-BM2.半角在外，截長(zhǎng)的方法轉(zhuǎn)化已知線段.3.類比“內(nèi)半角模型”構(gòu)造全等三角形.如圖：在等腰△BCD中，BD=CD,∠BDC=120°，∠MDN=60°

M、N在△ABC邊AB、AC上,且滿足∠A=60°，求證：BM+CN=MN（二）合作探究：3、“120°等腰△內(nèi)半角”模型規(guī)律：“對(duì)角互補(bǔ)型，四邊形外半角”模型

課后作業(yè)中自主探究?。ㄈw納小結(jié)：“半角”模型的使用條件四邊形滿足下面兩個(gè)條件，可以將“半角模型”---用截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法構(gòu)造全等來破題：①“半角”的倍角兩邊相等；（等線段，共端點(diǎn)；）②半角”的倍角兩相鄰角互補(bǔ)。（互補(bǔ)角,在兩邊?。┱?qǐng)大家課外探究并歸納一下半角模型中的其他一些結(jié)論。

鞏固練習(xí).如圖所示，

△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，

△BCD是頂角為120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)正三角形△DMN，點(diǎn)M、N分別在AB、AC上，求

△AMN的周長(zhǎng)．思路分析：證明結(jié)論：BM+CN=MN把線段MN轉(zhuǎn)化,即可輕松解決。作業(yè)：已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC,∠ABC=120°，∠MBN=60°，它繞B旋轉(zhuǎn),兩邊分別交AD、DC（或延長(zhǎng)線）于E、F(1).當(dāng)∠MBN繞B旋轉(zhuǎn)到AE=CF時(shí)（如圖1）,求證：AE+CF=EF(2).當(dāng)∠MBN繞B旋轉(zhuǎn)到AE≠CF時(shí)（如圖2，圖3這兩種情況）,這兩種情況（1）中結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)你予以說明。（四）達(dá)標(biāo)檢測(cè)1、有三對(duì)全等三角形;2、有三個(gè)等邊三角形;3、AE=BD;4、MN∥BE;5、CP為∠BPE角平分線;（雙垂法+面積法）6、圖中有13個(gè)60°角。7、三條和差線段：PA+PC=PB，PC+PD=PE，PM+MN=PC（構(gòu)造全等法或借60°構(gòu)造等邊△法）8、三條角分線線段：PB平分∠APC，PE平分∠CPD，PC平分∠BPE，

9、S四邊形PABC=S以PB為邊等邊△;S四邊形PDEC=S以PE為邊等邊△;S四邊形PMCN=S以PC