函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)

關(guān)于函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)第一頁，共三十二頁，2022年，8月28日aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0復(fù)習(xí):函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有,則為常數(shù).設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，f(x)增加f(x)減少上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁第二頁，共三十二頁，2022年，8月28日鞏固：定義域R,f′(x)=x2-x=x(x-1)

令x(x-1)>0,得x<0或x>1，則f(x)單增區(qū)間（－∞，0）,（1，+∞）令x(x-1)<0,得0<x<1,f(x)單減區(qū)(0,2).注意:求單調(diào)區(qū)間:1:首先注意定義域,

2:其次區(qū)間不能用

U連接（第一步）解：（第二步）（第三步）上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁第三頁，共三十二頁，2022年，8月28日yxOaby=f(x)x1f(x1)x2f(x2)x3f(x3)x4f(x4)在x1

、x3處函數(shù)值f(x1)、f(x3)與x1

、x3左右近旁各點(diǎn)處的函數(shù)值相比,有什么特點(diǎn)?f(x2)、f(x4)比x2

、x4左右近旁各點(diǎn)處的函數(shù)值相比呢?觀察圖像：上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁第四頁，共三十二頁，2022年，8月28日函數(shù)的極值定義設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，如果對(duì)X0附近的所有點(diǎn)，都有f(x)<f(x0),

則f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值，記作y極大值=f(x0)；如果對(duì)X0附近的所有點(diǎn)，都有f(x)>f(x0),

則f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值，記作y極小值=f(x0)；◆函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.(極值即峰谷處的函數(shù)值值）使函數(shù)取得極值的點(diǎn)x0稱為極值點(diǎn)上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁第五頁，共三十二頁，2022年，8月28日（1）函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間而言的，在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi)可能有多個(gè)極大值或極小值（2）極大值不一定比極小值大（3）可導(dǎo)函數(shù)f(x),點(diǎn)是極值點(diǎn)的必要條件是在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0或者不存在例：y=x2上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁第六頁，共三十二頁，2022年，8月28日1．理解極值概念時(shí)需注意的幾點(diǎn)(1)函數(shù)的極值是一個(gè)局部性的概念，是僅對(duì)某一點(diǎn)的左右兩側(cè)附近的點(diǎn)而言的．(2)極值點(diǎn)是函數(shù)定義域內(nèi)的點(diǎn)，而函數(shù)定義域的端點(diǎn)絕不是函數(shù)的極值點(diǎn)．(3)若f(x)在[a，b]內(nèi)有極值，那么f(x)在[a，b]內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在定義域上單調(diào)的函數(shù)沒有極值．總結(jié)上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁第七頁，共三十二頁，2022年，8月28日

(4)極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系．一個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)可以有許多個(gè)極小值和極大值，在某一點(diǎn)的極小值可能大于另一點(diǎn)的極大值．(如圖(1))(5)若函數(shù)f(x)在[a，b]上有極值，它的極值點(diǎn)的分布是有規(guī)律的(如圖(2)所示)，相鄰兩個(gè)極大值點(diǎn)之間必有一個(gè)極小值點(diǎn)，同樣相鄰兩個(gè)極小值點(diǎn)之間必有一個(gè)極大值點(diǎn)．上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁第八頁，共三十二頁，2022年，8月28日練習(xí)：

下圖是導(dǎo)函數(shù)的圖象,試找出函數(shù)的極值點(diǎn),并指出哪些是極大值點(diǎn),哪些是極小值點(diǎn).abxyx1Ox2x3x4x5x6上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁第九頁，共三十二頁，2022年，8月28日yxO探究：極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值(即切線斜率）有何特點(diǎn)？結(jié)論:極值點(diǎn)處，如果有切線，切線水平即:k切=f(x)=0aby=f(x)x1

x2x3f(x1)=0

f(x2)=0

f(x3)=0

思考;若f(x0)=0，則x0是否為極值點(diǎn)？結(jié)論：導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，但都叫駐點(diǎn)。xyO分析yx3上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁第十頁，共三十二頁，2022年，8月28日進(jìn)一步探究:極值點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)圖像單調(diào)性有何特點(diǎn)?極大值極小值即:極值點(diǎn)兩側(cè)單調(diào)性互異上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁第十一頁，共三十二頁，2022年，8月28日f

(x)<0yxOx1aby=f(x)極大值點(diǎn)兩側(cè)極小值點(diǎn)兩側(cè)f

(x)<0f

(x)>0f

(x)>0探究:極值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)正負(fù)符號(hào)有何規(guī)律?x2

xX<x2

x2X>x2

f(x)

f(x)

xX<x1

x1X>x1

f(x)

f(x)增f(x)>0f(x)=0f(x)<0極大值減f(x)<0f(x)=0增減極小值f(x)>0注意:(1)

f(x0)=0，x0不一定是極值點(diǎn)(2)只有f(x0)=0且x0兩側(cè)單調(diào)性不同

，

x0才是極值點(diǎn).(3)求極值點(diǎn)，可以先求f(x0)=0的點(diǎn)，再列表判斷單調(diào)性結(jié)論：極值點(diǎn)處，f(x)=0上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁第十二頁，共三十二頁，2022年，8月28日因?yàn)樗岳?

求函數(shù)的極值.解:令解得或當(dāng),即,或;當(dāng),即.當(dāng)x變化時(shí),f(x)的變化情況如下表:x(–∞,

–2)–2(–2,2)2(2,+∞)00f(x)–++單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以,當(dāng)x=–2時(shí),f(x)有極大值28/3;當(dāng)x=2時(shí),f(x)有極小值–4/3.上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁第十三頁，共三十二頁，2022年，8月28日變式求下列函數(shù)的極值:解:

令解得列表:x0f(x)+單調(diào)遞增單調(diào)遞減–所以,當(dāng)時(shí),f(x)有極小值上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁第十四頁，共三十二頁，2022年，8月28日求下列函數(shù)的極值:解:解得列表:x(–∞,

–3)–3(–3,3)3(3,+∞)00f(x)–++單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以,當(dāng)x=–3時(shí),f(x)有極大值54;當(dāng)x=3時(shí),f(x)有極小值–54.上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁第十五頁，共三十二頁，2022年，8月28日求下列函數(shù)的極值:解:

解得所以,當(dāng)x=–2時(shí),f(x)有極小值–10;當(dāng)x=2時(shí),f(x)有極大值22

.解得所以,當(dāng)x=–1時(shí),f(x)有極小值–2;當(dāng)x=1時(shí),f(x)有極大值2

.上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁第十六頁，共三十二頁，2022年，8月28日小結(jié)：極值定義關(guān)鍵：

①可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在極值點(diǎn)處的f’(x)=0或者不存在

。

②極值點(diǎn)左右兩邊的導(dǎo)數(shù)必須異號(hào)。3個(gè)步驟：①確定定義域②求f’(x)=0的根③并列成表格④判斷極值：用方程f’(x)=0的根x0，x1,...,順次將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)開區(qū)間，如果xn左側(cè)緊鄰區(qū)間導(dǎo)函數(shù)f'(x)都小于0，右側(cè)緊鄰區(qū)間導(dǎo)函數(shù)f'(x)都大于0，則f(x)在xn左邊減少，右邊增加,xn是極小值點(diǎn)，f(xn)是極小值。如果xn左側(cè)緊鄰區(qū)間導(dǎo)函數(shù)f'(x)都大于0，右側(cè)緊鄰區(qū)間導(dǎo)函數(shù)f'(x)都小于0，則f(x)在xn左邊增加，右邊減少,xn是極大值點(diǎn)，f(xn)是極大值。上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁第十七頁，共三十二頁，2022年，8月28日例2求函數(shù)f(x)＝x3－2x2＋1在區(qū)間[－1,2]上的最大值與最小值．[分析]

首先求f(x)在(－1,2)內(nèi)的極值．然后將f(x)的各極值與f(－1)，f(2)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．[解析]

f′(x)＝3x2－4x.上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁第十八頁，共三十二頁，2022年，8月28日故f(x)最大值＝1，f(x)最小值＝－2.[點(diǎn)評(píng)]

利用求最值的步驟求解．1、函數(shù)最大值及最小值點(diǎn)必在下面各種點(diǎn)之中：導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)或區(qū)間的端點(diǎn)．2、函數(shù)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)是f(x)在[a，b]上存在最值的充分而非必要條件．上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁第十九頁，共三十二頁，2022年，8月28日變式：求函數(shù)f(x)=x2-4x+6在區(qū)間[1，5]內(nèi)的最大值和最小值

上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁第二十頁，共三十二頁，2022年，8月28日

故函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，5]內(nèi)的極小值為3，最大值為11，最小值為2

法二、解、f’(x)=2x-4令f’(x)=0，即2x-4=0，得x=2x1（1，2）2（2，5）50y-+3112上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁第二十一頁，共三十二頁，2022年，8月28日例3

已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1時(shí)取得極值，且f(1)＝－1，(1)試求常數(shù)a、b、c的值；(2)試判斷x＝±1時(shí)函數(shù)取得極小值還是極大值，并說明理由．[解析]

(1)由f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0.又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁第二十二頁，共三十二頁，2022年，8月28日[點(diǎn)評(píng)]若函數(shù)f(x)在x0處取得極值，則一定有f′(x0)＝0，因此我們可根據(jù)極值得到一個(gè)方程，來解決參數(shù)．上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁第二十三頁，共三十二頁，2022年，8月28日注意：函數(shù)極值是在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間內(nèi)定義的，是局部性質(zhì)。因此一個(gè)函數(shù)在其整個(gè)定義區(qū)間上可能有多個(gè)極大值或極小值，并對(duì)同一個(gè)函數(shù)來說，在某一點(diǎn)的極大值也可能小于另一點(diǎn)的極小值。思考1.判斷下面4個(gè)命題，其中是真命題序號(hào)為

。①f(x0)=0,則f(x0)必為極值；②

f(x)=在x=0

處取極大值0，③函數(shù)的極小值一定小于極大值④函數(shù)的極小值（或極大值）不會(huì)多于一個(gè)。⑤函數(shù)的極值即為最值上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁第二十四頁，共三十二頁，2022年，8月28日有極大值和極小值,求a范圍?思考2解析:f(x)有極大值和極小值f’(x)=0有2實(shí)根,