2022年四川省內江市中考數學試卷（含解析）

PAGE1PAGE352022年四川省內江市中考數學試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．﹣6的相反數是（）A．6 B．﹣6 C． D．2．某4S店今年1～5月新能源汽車的銷量（輛數）分別如下：25，33，36，31，40，這組數據的平均數是（）A．34 B．33 C．32.5 D．313．下列運算正確的是（）A．a2+a3＝a5 B．（a3）2＝a6 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．x6÷x3＝x24．2022年2月第24屆冬季奧林匹克運動會在我國北京成功舉辦，以下是參選的冬奧會會徽設計的部分圖形，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．5．下列說法錯誤的是（）A．打開電視機，中央臺正在播放發(fā)射神舟十四號載人飛船的新聞，這是隨機事件 B．要了解小王一家三口的身體健康狀況，適合采用抽樣調查 C．一組數據的方差越小，它的波動越小 D．樣本中個體的數目稱為樣本容量6．如圖是正方體的表面展開圖，則與“話”字相對的字是（）A．跟 B．黨 C．走 D．聽7．如圖，在?ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分線BM交CD邊于點M，則DM的長為（）A．2 B．4 C．6 D．88．如圖，數軸上的兩點A、B對應的實數分別是a、b，則下列式子中成立的是（）A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞09．如圖，在平面直角坐標系中，點B、C、E在y軸上，點C的坐標為（0，1），AC＝2，Rt△ODE是Rt△ABC經過某些變換得到的，則正確的變換是（）A．△ABC繞點C逆時針旋轉90°，再向下平移1個單位 B．△ABC繞點C順時針旋轉90°，再向下平移1個單位 C．△ABC繞點C逆時針旋轉90°，再向下平移3個單位 D．△ABC繞點C順時針旋轉90°，再向下平移3個單位10．如圖，在平面直角坐標系中，點M為x軸正半軸上一點，過點M的直線l∥y軸，且直線l分別與反比例函數y＝和y＝的圖象交于P、Q兩點．若S△POQ＝15，則k的值為（）A．38 B．22 C．﹣7 D．﹣2211．如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，半徑為6，則這個正六邊形的邊心距OM和的長分別為（）A．4， B．3，π C．2， D．3，2π12．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于兩點（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1．下列四個結論：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c＞0；④不等式ax2+bx+c＞﹣x+c的解集為0＜x＜x1．其中正確結論的個數是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13．（5分）函數的自變量x的取值范圍是．14．（5分）如圖，在⊙O中，∠ABC＝50°，則∠AOC等于．15．（5分）對于非零實數a，b，規(guī)定a⊕b＝﹣．若（2x﹣1）⊕2＝1，則x的值為．16．（5分）勾股定理被記載于我國古代的數學著作《周髀算經》中，漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．圖②由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成．記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3．若正方形EFGH的邊長為4，則S1+S2+S3＝．三、解答題（本大題共5小題，共44分．解答應寫出必要的文字說明或推演步驟．）17．（8分）（1）計算：+|（﹣）﹣1|﹣2cos45°；（2）先化簡，再求值：（+）÷，其中a＝﹣，b＝+4．18．（8分）如圖，在?ABCD中，點E、F在對角線BD上，且BE＝DF．求證：（1）△ABE≌△CDF；（2）四邊形AECF是平行四邊形．19．（9分）為讓同學們了解新冠病毒的危害及預防措施，某中學舉行了“新冠病毒預防”知識競賽．數學課外活動小組將八（1）班參加本校知識競賽的40名同學的成績（滿分為100分，得分為正整數且無滿分，最低為75分）分成五組進行統計，并繪制了下列不完整的統計圖表：分數段頻數頻率74.5﹣79.520.0579.5﹣84.58n84.5﹣89.5120.389.5﹣94.5m0.3594.5﹣99.540.1（1）表中m＝，n＝；（2）請補全頻數分布直方圖；（3）本次知識競賽中，成績在94.5分以上的選手，男生和女生各占一半，從中隨機確定2名學生參加頒獎，請用列表法或樹狀圖法求恰好是一名男生和一名女生的概率．20．（9分）如圖所示，九（1）班數學興趣小組為了測量河對岸的古樹A、B之間的距離，他們在河邊與AB平行的直線l上取相距60m的C、D兩點，測得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．（1）求河的寬度；（2）求古樹A、B之間的距離．（結果保留根號）21．（10分）如圖，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，⊙O的切線PC交BA的延長線于點P，OF∥BC交AC于點E，交PC于點F，連接AF．（1）判斷直線AF與⊙O的位置關系并說明理由；（2）若⊙O的半徑為6，AF＝2，求AC的長；（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積．四、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分．）22．（6分）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝．23．（6分）如圖，已知一次函數y＝kx+b的圖象經過點P（2，3），與反比例函數y＝的圖象在第一象限交于點Q（m，n）．若一次函數y的值隨x值的增大而增大，則m的取值范圍是．24．（6分）已知x1、x2是關于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的兩實數根，且+＝x12+2x2﹣1，則k的值為．25．（6分）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點E、F分別是AB、DC上的動點，EF∥BC，則AF+CE的最小值是．五、解答題（本大題共3小題，每小題12分，共36分．）26．（12分）為貫徹執(zhí)行“德、智、體、美、勞”五育并舉的教育方針，內江市某中學組織全體學生前往某勞動實踐基地開展勞動實踐活動．在此次活動中，若每位老師帶隊30名學生，則還剩7名學生沒老師帶；若每位老師帶隊31名學生，就有一位老師少帶1名學生．現有甲、乙兩型客車，它們的載客量和租金如表所示：甲型客車乙型客車載客量（人/輛）3530租金（元/輛）400320學校計劃此次勞動實踐活動的租金總費用不超過3000元．（1）參加此次勞動實踐活動的老師和學生各有多少人？（2）每位老師負責一輛車的組織工作，請問有哪幾種租車方案？（3）學校租車總費用最少是多少元？27．（12分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，點M、N分別在AB、AD上，且MN⊥MC，點E為CD的中點，連接BE交MC于點F．（1）當F為BE的中點時，求證：AM＝CE；（2）若＝2，求的值；（3）若MN∥BE，求的值．28．（12分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點C（0，2）．（1）求這條拋物線所對應的函數的表達式；（2）若點D為該拋物線上的一個動點，且在直線AC上方，求點D到直線AC的距離的最大值及此時點D的坐標；（3）點P為拋物線上一點，連接CP，直線CP把四邊形CBPA的面積分為1：5兩部分，求點P的坐標．一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．﹣6的相反數是（）A．6 B．﹣6 C． D．【分析】根據相反數的定義，即可解答．【解答】解：﹣6的相反數是6，故選：A．【點評】本題考查了相反數，解決本題的關鍵是熟記相反數的定義．2．某4S店今年1～5月新能源汽車的銷量（輛數）分別如下：25，33，36，31，40，這組數據的平均數是（）A．34 B．33 C．32.5 D．31【分析】根據算術平均數的計算方法進行計算即可．【解答】解：這組數據的平均數為：＝33（輛），故選：B．【點評】本題考查實數平均數，掌握算術平均數的計算方法是正確計算的關鍵．3．下列運算正確的是（）A．a2+a3＝a5 B．（a3）2＝a6 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．x6÷x3＝x2【分析】根據合并同類項的法則，冪的乘方的運算法則以及同底數冪除法的運算法則計算并作出判斷即可．【解答】解：A．a2和a3不是同類項，不能合并，故不符合題意；B．（a3）2＝a6，故符合題意；C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故不符合題意；D．x6÷x3＝x6﹣3＝x3，故不符合題意．故選：B．【點評】本題綜合考查了整式的運算，熟練掌握整式的運算法則是解題的關鍵，屬于基礎題型．4．2022年2月第24屆冬季奧林匹克運動會在我國北京成功舉辦，以下是參選的冬奧會會徽設計的部分圖形，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義解答即可．【解答】解：根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義可知，C選項既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故選：C．【點評】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，熟練掌握它們的定義是解答本題的關鍵．5．下列說法錯誤的是（）A．打開電視機，中央臺正在播放發(fā)射神舟十四號載人飛船的新聞，這是隨機事件 B．要了解小王一家三口的身體健康狀況，適合采用抽樣調查 C．一組數據的方差越小，它的波動越小 D．樣本中個體的數目稱為樣本容量【分析】根據隨機事件的定義，抽樣調查和全面調查的特點，方差的特點，樣本容量的定義解答即可．【解答】解：A．打開電視機，中央臺正在播放發(fā)射神舟十四號載人飛船的新聞，這是隨機事件，故A選項不符合題意；B．要了解小王一家三口的身體健康狀況，適合采用全面調查調查，故B選項符合題意；C．一組數據的方差越小，它的波動越小，故C選項不符合題意；D．樣本中個體的數目稱為樣本容量，故D選項不符合題意．故選：B．【點評】本題主要考查了隨機事件，抽樣調查和全面調查，方差的，樣本容量，熟練掌握相關的定義和特點是解答本題的關鍵．6．如圖是正方體的表面展開圖，則與“話”字相對的字是（）A．跟 B．黨 C．走 D．聽【分析】根據正方體表面展開圖的特征進行判斷即可．【解答】解：由正方體表面展開圖的“相間、Z端是對面”可知，“話”與“走”是對面，故答案為：C．【點評】本題考查正方體相對兩個面上的文字，掌握正方體表面展開圖的特征是正確判斷的前提．7．如圖，在?ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分線BM交CD邊于點M，則DM的長為（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】由平行四邊形的得CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，再證∠CBM＝∠CMB，則MC＝BC＝8，即可得出結論．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，∴∠ABM＝∠CMB，∵BM是∠ABC的平分線，∴∠ABM＝∠CBM，∴∠CBM＝∠CMB，∴MC＝BC＝8，∴DM＝CD﹣MC＝12﹣8＝4，故選：B．【點評】本題考查了平行四邊形的性質、等腰三角形的判定以及平行線的性質等知識，熟練掌握平行四邊形的性質，證明MC＝BC是解題的關鍵．8．如圖，數軸上的兩點A、B對應的實數分別是a、b，則下列式子中成立的是（）A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0【分析】依據點在數軸上的位置，不等式的性質，絕對值的意義，有理數大小的比較法則對每個選項進行逐一判斷即可得出結論．【解答】解：由題意得：a＜b，∴﹣2a＞﹣2b，∴1﹣2a＞1﹣2b，∴A選項的結論成立；∵a＜b，∴﹣a＞﹣b，∴B選項的結論不成立；∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，∴|a|＜|b|，∴a+b＞0，∴C選項的結論不成立；∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，∴|a|＜|b|，∴|a|﹣|b|＜0，∴D選項的結論不成立．故選：A．【點評】本題主要考查了不等式的性質，絕對值的意義，有理數大小的比較法則，利用點在數軸上的位置確定出a，b的取值范圍是解題的關鍵．9．如圖，在平面直角坐標系中，點B、C、E在y軸上，點C的坐標為（0，1），AC＝2，Rt△ODE是Rt△ABC經過某些變換得到的，則正確的變換是（）A．△ABC繞點C逆時針旋轉90°，再向下平移1個單位 B．△ABC繞點C順時針旋轉90°，再向下平移1個單位 C．△ABC繞點C逆時針旋轉90°，再向下平移3個單位 D．△ABC繞點C順時針旋轉90°，再向下平移3個單位【分析】觀察圖形可以看出，Rt△ABC通過變換得到Rt△ODE，應先旋轉然后平移即可．【解答】解：根據圖形可以看出，△ABC繞點C順時針旋轉90°，再向下平移3個單位可以得到△ODE．故選：D．【點評】本題考查的是坐標與圖形變化，旋轉和平移的知識，掌握旋轉和平移的概念和性質是解題的關鍵．10．如圖，在平面直角坐標系中，點M為x軸正半軸上一點，過點M的直線l∥y軸，且直線l分別與反比例函數y＝和y＝的圖象交于P、Q兩點．若S△POQ＝15，則k的值為（）A．38 B．22 C．﹣7 D．﹣22【分析】設點P（a，b），則Q（a，），依據已知條件利用待定系數法解答即可．【解答】解：設點P（a，b），Q（a，），則OM＝a，PM＝b，MQ＝﹣，∴PQ＝PM+MQ＝b﹣．∵點P在反比例函數y＝的圖象上，∴ab＝8．∵S△POQ＝15，∴PQ?OM＝15，∴×a（b﹣）＝15．∴ab﹣k＝30．∴8﹣k＝30，解得：k＝﹣22．故選：D．【點評】本題主要考查了反比例函數圖象的性質，反比例函數圖象上點的坐標的特征，利用點的坐標表示出相應線段的長度是解題的關鍵．11．如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，半徑為6，則這個正六邊形的邊心距OM和的長分別為（）A．4， B．3，π C．2， D．3，2π【分析】連接OB、OC，根據正六邊形的性質求出∠BOC，根據等邊三角形的判定定理得到△BOC為等邊三角形，根據垂徑定理求出BM，根據勾股定理求出OM，根據弧長公式求出的長．【解答】解：連接OB、OC，∵六邊形ABCDEF為正六邊形，∴∠BOC＝＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC為等邊三角形，∴BC＝OB＝6，∵OM⊥BC，∴BM＝BC＝3，∴OM＝＝＝3，的長為：＝2π，故選：D．【點評】本題考查的是正多邊形和圓、弧長的計算，正確求出正六邊形的中心角是解題的關鍵．12．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于兩點（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1．下列四個結論：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c＞0；④不等式ax2+bx+c＞﹣x+c的解集為0＜x＜x1．其中正確結論的個數是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】利用二次函數的圖象和性質依次判斷即可．【解答】解：∵拋物線開口向上，對稱軸在y軸右邊，與y軸交于正半軸，∴a＞0，b＜0，c＞0，∴abc＜0，∴①正確．∵當x＝1時，y＜0，∴a+b+c＜0，∴②錯誤．∵拋物線對稱軸x＝﹣＞1，a＞0，∴b＜﹣2a，∵a+b+c＜0，∴a﹣2a+c＜0，∴2a﹣c＞a＞0，∴③正確．如圖：設y1＝ax2+bx+c，y2＝﹣x+c，由圖值，y1＞y2時，x＜0或x＞x1，故④錯誤．故選：C．【點評】本題考查二次函數的圖象和性質，掌握二次函數的圖象和性質是求解本題的關鍵．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13．（5分）函數的自變量x的取值范圍是x≥3．【分析】根據被開方數非負列式求解即可．【解答】解：根據題意得，x﹣3≥0，解得x≥3．故答案為：x≥3．【點評】本題考查了函數自變量的范圍，一般從三個方面考慮：（1）當函數表達式是整式時，自變量可取全體實數；（2）當函數表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；（3）當函數表達式是二次根式時，被開方數非負．14．（5分）如圖，在⊙O中，∠ABC＝50°，則∠AOC等于100°．【分析】根據圓周角定理解答即可．【解答】解：由圓周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，∵∠ABC＝50°，∴∠AOC＝100°，故答案為：100°．【點評】本題考查的是圓周角定理，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．15．（5分）對于非零實數a，b，規(guī)定a⊕b＝﹣．若（2x﹣1）⊕2＝1，則x的值為．【分析】利用新規(guī)定對計算的式子變形，解分式方程即可求得結論．【解答】解：由題意得：＝1，解得：x＝．經檢驗，x＝是原方程的根，∴x＝．故答案為：．【點評】本題主要考查了解分式方程，本題是新定義型題目，準確理解新規(guī)定并熟練應用是解題的關鍵．16．（5分）勾股定理被記載于我國古代的數學著作《周髀算經》中，漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．圖②由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成．記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3．若正方形EFGH的邊長為4，則S1+S2+S3＝48．【分析】由勾股定理和乘法公式完成計算即可．【解答】解：設八個全等的直角三角形的長直角邊為a，短直角邊是b，則：S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，且：a2+b2＝EF2＝16，∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16＝2×16+16＝48．故答案為：48．【點評】本題考查勾股定理的應用，應用勾股定理和乘法公式表示三個正方形的面積是求解本題的關鍵．三、解答題（本大題共5小題，共44分．解答應寫出必要的文字說明或推演步驟．）17．（8分）（1）計算：+|（﹣）﹣1|﹣2cos45°；（2）先化簡，再求值：（+）÷，其中a＝﹣，b＝+4．【分析】（1）直接利用特殊角的三角函數值以及負整數指數冪的性質、二次根式的性質分別化簡，進而得出答案；（2）先根據分式的運算法則化簡分式，再代入求值．【解答】解：（1）原式＝×2+2﹣2×＝+2﹣＝2．（2）原式＝[+]?＝?＝．當a＝﹣，b＝+4時，原式＝．【點評】本題考查了二次根式的運算，特殊角的函數值，負指數次冪的運算，以及分式的化簡求值，正確熟練的運算是解題的關鍵．18．（8分）如圖，在?ABCD中，點E、F在對角線BD上，且BE＝DF．求證：（1）△ABE≌△CDF；（2）四邊形AECF是平行四邊形．【分析】（1）根據平行四邊形的性質得到AB＝CD，AB∥CD，根據平行線的性質得到∠ABD＝∠CDB，利用SAS定理證明△ABE≌△CDF；（2）根據全等三角形的性質得到AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，根據平行線的判定定理證明AE∥CF，再根據平行四邊形的判定定理證明結論．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）由（1）可知，△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，即∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∵AE＝CF，AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形．【點評】本題考查的是平行四邊形的判定和性質、全等三角形的判定和性質，掌握平行四邊形的對邊平行且相等、平行且相等的四邊形是平行四邊形是解題的關鍵．19．（9分）為讓同學們了解新冠病毒的危害及預防措施，某中學舉行了“新冠病毒預防”知識競賽．數學課外活動小組將八（1）班參加本校知識競賽的40名同學的成績（滿分為100分，得分為正整數且無滿分，最低為75分）分成五組進行統計，并繪制了下列不完整的統計圖表：分數段頻數頻率74.5﹣79.520.0579.5﹣84.58n84.5﹣89.5120.389.5﹣94.5m0.3594.5﹣99.540.1（1）表中m＝14，n＝0.2；（2）請補全頻數分布直方圖；（3）本次知識競賽中，成績在94.5分以上的選手，男生和女生各占一半，從中隨機確定2名學生參加頒獎，請用列表法或樹狀圖法求恰好是一名男生和一名女生的概率．【分析】（1）由樣本容量乘以頻率得出m的值，再由頻率的定義求出n的值即可；（2）由（1）的結果，補全頻數分布直方圖即可；（3）畫樹狀圖，共有12種等可能的結果，其中確定的2名學生恰好是一名男生和一名女生的結果有8種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）m＝40×35%＝14，n＝8÷40＝0.2，故答案為：14，0.2；（2）補全頻數分布直方圖如下：（3）∵成績在94.5分以上的選手有4人，男生和女生各占一半，∴2名是男生，2名是女生，畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結果，其中確定的2名學生恰好是一名男生和一名女生的結果有8種，∴確定的2名學生恰好是一名男生和一名女生的概率為＝．【點評】此題考查了樹狀圖法求概率、頻數分布表和頻數分布直方圖等知識．正確畫出樹狀圖是解題的關鍵，用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．20．（9分）如圖所示，九（1）班數學興趣小組為了測量河對岸的古樹A、B之間的距離，他們在河邊與AB平行的直線l上取相距60m的C、D兩點，測得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．（1）求河的寬度；（2）求古樹A、B之間的距離．（結果保留根號）【分析】（1）過點A作AE⊥l，垂足為E，設CE＝x米，則DE＝（x+60）米，先利用平角定義求出∠ACE＝45°，然后在Rt△AEC中，利用銳角三角函數的定義求出AE的長，再在Rt△ADE中，利用銳角三角函數的定義列出關于x的方程，進行計算即可解答；（2）過點B作BF⊥l，垂足為F，CE＝AE＝BF＝（30+30）米，AB＝EF，先利用平角定義求出∠BCF＝60°，然后在Rt△BCF中，利用銳角三角函數的定義求出CF的長，進行計算即可解答．【解答】解：（1）過點A作AE⊥l，垂足為E，設CE＝x米，∵CD＝60米，∴DE＝CE+CD＝（x+60）米，∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝45°，在Rt△AEC中，AE＝CE?tan45°＝x（米），在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴tan30°＝＝＝，∴x＝30+30，經檢驗：x＝30+30是原方程的根，∴AE＝（30+30）米，∴河的寬度為（30+30）米；（2）過點B作BF⊥l，垂足為F，則CE＝AE＝BF＝（30+30）米，AB＝EF，∵∠BCD＝120°，∴∠BCF＝180°﹣∠BCD＝60°，在Rt△BCF中，CF＝＝＝（30+10）米，∴AB＝EF＝CE﹣CF＝30+30﹣（30+10）＝20（米），∴古樹A、B之間的距離為20米．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．21．（10分）如圖，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，⊙O的切線PC交BA的延長線于點P，OF∥BC交AC于點E，交PC于點F，連接AF．（1）判斷直線AF與⊙O的位置關系并說明理由；（2）若⊙O的半徑為6，AF＝2，求AC的長；（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積．【分析】（1）連接OC，證明△AOF≌△COF（SAS），由全等三角形的判定與性質得出∠OAF＝∠OCF＝90°，由切線的判定可得出結論；（2）由直角三角形的性質求出∠AOF＝30°，可得出AE＝OA＝3，則可求出答案；（3）證明△AOC是等邊三角形，求出∠AOC＝60°，OC＝6，由三角形面積公式和扇形的面積公式可得出答案．【解答】解：（1）直線AF與⊙O相切．理由如下：連接OC，∵PC為圓O切線，∴CP⊥OC，∴∠OCP＝90°，∵OF∥BC，∴∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∴∠AOF＝∠COF，∵在△AOF和△COF中，，∴△AOF≌△COF（SAS），∴∠OAF＝∠OCF＝90°，∴AF⊥OA，又∵OA為圓O的半徑，∴AF為圓O的切線；（2）∵△AOF≌△COF，∴∠AOF＝∠COF，∵OA＝OC，∴E為AC中點，即AE＝CE＝AC，OE⊥AC，∵∠OAF＝90°，OA＝6，AF＝2，∴tan∠AOF＝，∴∠AOF＝30°，∴AE＝OA＝3，∴AC＝2AE＝6；（3）∵AC＝OA＝6，OC＝OA，∴△AOC是等邊三角形，∴∠AOC＝60°，OC＝6，∵∠OCP＝90°，∴CP＝OC＝6，∴S△OCP＝OC?CP＝＝18，S扇形AOC＝＝6π，∴陰影部分的面積為S△OCP﹣S扇形AOC＝18﹣6π．【點評】此題是圓的綜合題，考查了切線的判定與性質，全等三角形的判定與性質，平行線的性質，等腰三角形的性質，解直角三角形，三角形的面積求法，等邊三角形的判定與性質，扇形的面積公式，熟練掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵．四、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分．）22．（6分）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝（a2+1）（a+2）（a﹣2）．【分析】先利用十字相乘法因式分解，在利用平方差公式進行因式分解．【解答】解：a4﹣3a2﹣4＝（a2+1）（a2﹣4）＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），故答案為：（a2+1）（a+2）（a﹣2）．【點評】本題考查的是十字相乘法因式分解，掌握十字相乘法、平方差公式因式分解是解題的關鍵．23．（6分）如圖，已知一次函數y＝kx+b的圖象經過點P（2，3），與反比例函數y＝的圖象在第一象限交于點Q（m，n）．若一次函數y的值隨x值的增大而增大，則m的取值范圍是＜m＜2．【分析】過點P分別作x軸，y軸的平行線，與雙曲線分別交于點A，B，利用解析式分別求得A，B坐標，依據題意確定點Q的移動范圍，從而得出結論．【解答】解：過點P作PA∥x軸，交雙曲線與點A，過點P作PB∥y軸，交雙曲線與點B，如圖，∵P（2，3），反比例函數y＝，∴A（，3），B（2，1）．∵一次函數y的值隨x值的增大而增大，∴點Q（m，n）在A，B之間，∴＜m＜2．故答案為：＜m＜2．【點評】本題主要考查了反比例函數與一次函數圖象的交點問題，待定系數法，反比例函數的性質，一次函數的性質，一次函數圖象上點的坐標的特征，確定點Q的移動范圍是解題的關鍵．24．（6分）已知x1、x2是關于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的兩實數根，且+＝x12+2x2﹣1，則k的值為2．【分析】根據x1、x2是關于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的兩實數根，可得x1+x2＝2，x1?x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，把+＝x12+2x2﹣1變形再整體代入可得＝4﹣k，解出k的值，并檢驗即可得k＝2．【解答】解：∵x1、x2是關于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的兩實數根，∴x1+x2＝2，x1?x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，∴x12＝2x1﹣k+1，∵+＝x12+2x2﹣1，∴＝2（x1+x2）﹣k，∴＝4﹣k，解得k＝2或k＝5，當k＝2時，關于x的方程為x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合題意；當k＝5時，關于x的方程為x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程無實數解，不符合題意；∴k＝2，故答案為：2．【點評】本題考查一元二次方程根與系數的關系，解題的關鍵是掌握一元二次方程根與系數的關系得出x1+x2＝2，x1?x2＝k﹣1，從而根據已知得到關于k的方程，注意最后要由求得的k值檢驗原方程是否有實數根．25．（6分）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點E、F分別是AB、DC上的動點，EF∥BC，則AF+CE的最小值是10．【分析】延長BC到G，使CG＝EF，連接FG，則四邊形EFGC是平行四邊形，得CE＝FG，則AF+CE＝AF+FG，可知當點A、F、G三點共線時，AF+CE的值最小為AG，利用勾股定理求出AG的長即可．【解答】解：延長BC到G，使CG＝EF，連接FG，∵EF∥CG，EF＝CG，∴四邊形EFGC是平行四邊形，∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，∴當點A、F、G三點共線時，AF+CE的值最小為AG，由勾股定理得，AG＝＝＝10，∴AF+CE的最小值為10，故答案為：10．【點評】本題主要考查了矩形的性質，平行四邊形的判定與性質，勾股定理等知識，作輔助線將AF+CE的最小值轉化為AG的長是解題的關鍵．五、解答題（本大題共3小題，每小題12分，共36分．）26．（12分）為貫徹執(zhí)行“德、智、體、美、勞”五育并舉的教育方針，內江市某中學組織全體學生前往某勞動實踐基地開展勞動實踐活動．在此次活動中，若每位老師帶隊30名學生，則還剩7名學生沒老師帶；若每位老師帶隊31名學生，就有一位老師少帶1名學生．現有甲、乙兩型客車，它們的載客量和租金如表所示：甲型客車乙型客車載客量（人/輛）3530租金（元/輛）400320學校計劃此次勞動實踐活動的租金總費用不超過3000元．（1）參加此次勞動實踐活動的老師和學生各有多少人？（2）每位老師負責一輛車的組織工作，請問有哪幾種租車方案？（3）學校租車總費用最少是多少元？【分析】（1）設參加此次勞動實踐活動的老師有x人，可得：30x+7＝31x﹣1，即可解得參加此次勞動實踐活動的老師有8人，參加此次勞動實踐活動的學生有247人；（2）根據每位老師負責一輛車的組織工作，知一共租8輛車，設租甲型客車m輛，可得：，解得m的范圍，解得一共有3種租車方案：租甲型客車3輛，租乙型客車5輛或租甲型客車4輛，租乙型客車4輛或租甲型客車5輛，租乙型客車3輛；（3）設學校租車總費用是w元，w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，由一次函數性質得學校租車總費用最少是2800元．【解答】解：（1）設參加此次勞動實踐活動的老師有x人，參加此次勞動實踐活動的學生有（30x+7）人，根據題意得：30x+7＝31x﹣1，解得x＝8，∴30x+7＝30×8+7＝247，答：參加此次勞動實踐活動的老師有8人，參加此次勞動實踐活動的學生有247人；（2）師生總數為247+8＝255（人），∵每位老師負責一輛車的組織工作，∴一共租8輛車，設租甲型客車m輛，則租乙型客車（8﹣m）輛，根據題意得：，解得3≤m≤5.5，∵m為整數，∴m可取3、4、5，∴一共有3種租車方案：租甲型客車3輛，租乙型客車5輛或租甲型客車4輛，租乙型客車4輛或租甲型客車5輛，租乙型客車3輛；（3）設租甲型客車m輛，則租乙型客車（8﹣m）輛，由（2）知：3≤m≤5.5，設學校租車總費用是w元，w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，∵80＞0，∴w隨m的增大而增大，∴m＝3時，w取最小值，最小值為80×3+2560＝2800（元），答：學校租車總費用最少是2800元．【點評】本題考查一元一次方程，一元一次不等式組及一次函數的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出方程，不等式和函數關系式．27．（12分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，點M、N分別在AB、AD上，且MN⊥MC，點E為CD的中點，連接BE交MC于點F．（1）當F為BE的中點時，求證：AM＝CE；（2）若＝2，求的值；（3）若MN∥BE，求的值．【分析】（1）根據矩形的性質，利用AAS證明△BMF≌△ECF，得BM＝CE，再利用點E為CD的中點，即可證明結論；（2）利用△BMF∽△ECF，得，從而求出BM的長，再利用△ANM∽△BMC，得，求出AN的長，可得答案；（3）首先利用同角的余角相等得∠CBF＝∠CMB，則tan∠CBF＝tan∠CMB，得，可得BM的長，由（2）同理可得答案．【解答】（1）證明：∵F為BE的中點，∴BF＝EF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD∴∠BMF＝∠ECF，∵∠BFM＝∠EFC，∴△BMF≌△ECF（AAS），∴BM＝CE，∵點E為CD的中點，∴CE＝DE，∴