高數(shù)下-課件偏導(dǎo)數(shù)

第一節(jié)1

設(shè)D為數(shù)對x,y)的集合若對集合D中的每對數(shù)值xy變量z按照一定的法則總有唯一確定與之對應(yīng),則稱z是變量x,y的函數(shù),記為z f(x,yf(zg(x,uh(x,y,

uf(P P9(9(x2y2

33D{(x,y)|x2y2331(x21(x2y211D{(x,y)|x2y211例3.zlnxD{(x,y)|xysin(xsin(xO(2k1)sin(xy)D{(x,y)|2kxy例5fx,y

x2y2x2x2y2 1

x2y21 x2y2D{(x,y)|1x2y2x1x2例6.zx1x2xxx

y23鄰域設(shè)P0x0y0是xoy平面上的一個點，是某一正數(shù)，與點P0x0y0距離小于的點Px,y)的全體，稱為點P0的鄰域，記為UP0)，P0.U(P0,)P|PP0|P0.(xx)2(y(xx)2(yy00設(shè)E是平面上的一個點集 P是平面上則稱P為E的內(nèi)點

P的某一鄰 U(P)EE的內(nèi)點屬于EPE如果點集E的點都是內(nèi)點則稱E為開集.PE設(shè)E是平面上的一個點集，P是平面上的一個點，如果存在點P的一個鄰域 N(P;)，使得EEN(P; 則稱P為E的外點EPP(4)邊界點: PEPEPPE如果對于D內(nèi)的任何兩點P和Q都可以用D內(nèi)的一條折線將P和Q相連接,則稱D 通集Q pppy{(x,y)|1x2y2 yo開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域yo{(x,y)|1x2y2x有界集：對于點集E如果存在正數(shù)R，使EN(0,R)，則稱E為有界點集，否則稱 點{(x,y)|1x2y2 {(x,y)|xy 設(shè)n為取定的一個自然數(shù)，我們稱n元數(shù)組(x1,x2,,xn)的全體為n ，而每個n(x1,x2,,xn)稱為n 中的一個點數(shù)xi稱為該點的第i個坐標(biāo).說明： 的記號為Rn 設(shè)兩點為P(x1,x2 Q( ,|PQ (yx

(yx

( n1,2,3時，便為數(shù)軸、平面、空 鄰域：U(P,|PP|PR 4、二元函數(shù)zfxy的圖xyz|zfx,yxyD}x

y例如

zsinzoyx例如,x2y2z2zoyxD{(x,y)x2y2a2a2xa2x2a2x2a2x2y25、多元定 設(shè)函數(shù)zf(x,y)在點P0(x0,y0的某去心鄰域內(nèi)意義，若對0使得對PN(P0, (即0|PP0|都有|fx,yA|則稱A為函數(shù)zfxy)當(dāng)PP0時的極限 f(x,y)xxyylimf(x) x U(x0,(x,x0y0 (x,x0y0xxyyU(P0,

。z=f(x,

limf(x,y)xy（1）極限的表示法mfx,yP f(x,y)（2）定義 的方式是任意的（2）PP0(x,（2）定義 的方式是任意的（2）PP0

limf(x,y)xy limf(x,xy例 求lim(x2y2

x2 (x2y2

1x2x21x2x2

x2 (x(x0)2(y

(x2y2

0

x2例

x2

0xy

x2yx2

|x2y 證 0|

y2|2|x||y|2|xx0

|x|

x2 定理，即

xy

x2y

0例3

limsin( x limsin(xy)limsin(xy)ylimsin(xy)limx

x0

y22x2y2x2y2

x2 (x(x2y2)(2x2y2

2x22x2y2(x2y22x2y2x2y2

4例 f(x,y)

， limf(x,(y(yx)x2 令xr yr (r 則x2(rcos)2(rsinlimf(x,y)lim(yx2(rcos)2(rsin

r2(sincosr

limr(sincos 注 設(shè)xr yr (r則 (x,y)(0, r例 xx0x2 令xr

yr (r 則有l(wèi)im x

r2cos

cos

x2

r極限值與 有關(guān)，說明此極限不存在注.(1)二重極限 f(x,y)A是指(x,y)以任何方式趨xy點(x0,y0) f(x,y)若動點Px,y)沿某兩條不同的曲線無限趨于P0x0y0時,zfx,y)則zfx,y)在P0x0y0不存在極限．令Px,y)ykx趨向于P0x0y0，若極限值與k有關(guān)，則可斷言極限不存在；找兩種不同趨近方式，使limfxy)xyP0x0y0處極限不存在．例7討論函數(shù)

,x2y2f(x,y)

x2

x2y2

y

x0

x0

ykx

k

1例 f(x,y)

x2

,x2y2

x2y2當(dāng)P(x,y)沿x軸趨于(0,0)時,f(x,y)=f(x,0)=0,f(x,y)趨于0當(dāng)P(x,y)沿y=x趨于(0,0)時,x2f(x,y)=f(x,x)

2

limfx,y)xy思 若點(x,y)沿著無數(shù)多條平面曲線趨向點x0y0fx,y)都趨向于A斷 f(x,y)(x,y)(x0,y0不能

f(x,y)

x3y2 (x2y4)2(x,y) yf(x,kx)

x3k2x2 k2

(x2k4x4 (1k4x2 (x,y

fxy)不存在原因是若取xy2

f(y2,y)

y6(y4y4

146、多元函數(shù) 設(shè)函數(shù)f(x,y)在開區(qū)域(或閉區(qū)域內(nèi)有義,p0x0y0是D的內(nèi)點或邊界點,且p0如 limf(x,y)f(x0,y0xy則稱函數(shù)fx,y)在點p0x0y0連續(xù)fx,y)在開區(qū)域(或閉區(qū)域D內(nèi)的每一點都連續(xù)那么就稱函數(shù)fx,y)在D內(nèi)連續(xù),或稱fx,y)是D內(nèi)的連續(xù)函數(shù)limf(x,y)f(x0,y0xylim[f(x,y)f(x0,y0)]xy記xx0 yy0zfx0x,y0yfx0y0limzx0值就等于函數(shù)值，即limfpfp0p 求limx f(x,y) x limx f2xy1xy1

xy1

x0y0x0y02

xyxyxyxyfx,y) 除xx

f(x,y)

x2

,x2y2

x2y2f(x,y)

sin2xsin2sin2xsin2y{(m,n}|m,nZ7、有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的在有界限閉區(qū) D上的多元連續(xù)函 ,在上一定有最大值和最 值在有界閉區(qū)域D上多元連續(xù)函數(shù)fp在D上取得兩個不同的函數(shù)值fp1fp2fp1與fp2之間的任意數(shù)值,則至少存D,使得f().令Px,y)ykx趨向于P0x0y0，若極限值與k有關(guān)，則可斷言極限不存在；找兩種不同趨近方式，使limfxy)xyP0x0y0處極限不存在． 1.偏導(dǎo) 設(shè)z=f(x,y)在點(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有定義 y0時,得一元函數(shù)f(x,y0limf(x0x,y0)f(x0,y0)

(x,yx0

z=f(x,y)在點xz=f(x,y)在點x0,y0處對x

(x0,y0(x0,y0 zf(x,y)在點(x0,y0)處 y的偏導(dǎo)數(shù)，為

f(x0,y0y)f(x0,y0

f

(

,y0(x0,y(x0,y0注 則此偏導(dǎo)數(shù)也是x,y的函 fx,fy,zx,zy

z,f,z,f 例如:u=f(x,y,z)f(x,y,z)

f(

x,y0,z0)f(x0,y0,z0

例如:求f 時,只要將y視為常數(shù),求f(x,y)關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)2、偏導(dǎo)數(shù)的zf(x,0 y0zf(x,y0fx(x0,y0yy0的交線在點M0x0y0fx0

y0處的切線M 對x軸的斜 偏導(dǎo) fy(x0,y0 就是曲面被xx0M0Ty

所截得的曲線在面0 y軸的斜率0

處的切例 求zx23xyy2在點(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù) z2x3

z3x2y

xyxy

2132831227 例2求

exy)在點(0,1)處對x與y的偏 z(x,1)arctan(ex21exzx(x,1)

ex1.2xe21(ex21ex2

1(ez(x,y)

exy.2 xe

z(0,1)

e1 1(ex2y

exy

1(e1e0例 設(shè)zxy(x0,x z,z zyxy1

zxylnzxa zax2y2x2y2vu ,vx2y2z2vu11.2yv v例 已知理想氣體的狀態(tài)方程pV （R為常數(shù)求證：VTp pRTpRT VVRTVR

TpVTV pVTRTRVRT V 有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點說明偏導(dǎo)數(shù)u是一個整體記號，不能拆分求分段點、不連續(xù)點處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義例如設(shè)zfx,y)

求fx(0,

fy(0,例如,設(shè)zf(x,y) ,求fx(0, fy(0,解：f(0,0)limf(x,0)f(0,0) 0

x0f(0,0)limf(0,y)f(0,0)lim0

y0例 設(shè)f(x,y)

x2

y

(x,y)求fx,y)在(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù)

(x,y)f(0,0)limf(x,0)f(0,0) 0 x0

x0f(0,0)limf(0,y)f(0,0)lim0 y0一元函數(shù)中在某點可 連續(xù) 例如,fx,y)

x

x2y2,x2y2依定義知在(0,0)處，fx(0,0fy(0,0) 偏導(dǎo)數(shù)存 連續(xù)反之，若函 f(x, 在P0(x0,y0)連續(xù)能否斷