實驗13　用單擺測量重力加速度的大小高考物理總復習新教材版

實驗用單擺測量重力加速度的大小用單擺測量重力加速度的大小。由單擺的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，可得出g＝eq\f(4π2,T2)l，測出單擺的擺長l和振動周期T，就可求出當?shù)氐闹亓铀俣萭。帶中心孔的小鋼球、約1m長的細線、帶有鐵夾的鐵架臺、游標卡尺、毫米刻度尺、停表。1．測擺長用毫米刻度尺量出擺線長L(精確到毫米)，用游標卡尺測出小球直徑D，則單擺的擺長l＝L＋eq\f(D,2)。2．測周期將單擺從平衡位置拉開一個角度(不超過5°)，然后釋放小球，記下單擺擺動30次或50次全振動的總時間，算出平均每擺動一次全振動的時間，即為單擺的振動周期T。數(shù)據(jù)處理的兩種方法：方法一：公式法。根據(jù)公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，g＝eq\f(4π2l,T2)。將測得的幾組周期T和擺長l分別代入公式g＝eq\f(4π2l,T2)中算出多組重力加速度g的值，再求出g的平均值，即為當?shù)刂亓铀俣鹊闹?。方法二：圖像法。由單擺的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))可得l＝eq\f(g,4π2)T2，因此以擺長l為縱軸，以T2為橫軸描點作圖，作出的l-T2圖像理論上是一條過原點的直線，如圖所示，求出圖像的斜率k，即可求出g值。g＝4π2k，k＝eq\f(l,T2)＝eq\f(Δl,ΔT2)。1．本實驗的系統(tǒng)誤差主要來源于單擺模型本身是否符合要求，即：懸點固定，小球質(zhì)量大、體積小，細線輕質(zhì)非彈性，振動是在同一豎直平面內(nèi)的振動，這些要求是否符合。2．本實驗的偶然誤差主要來自時間的測量和擺線長度的測量，因此，要從擺球通過平衡位置時開始計時，不能多計或漏計擺球全振動次數(shù)。使用刻度尺測量擺線長度時，要多次測量取平均值以減小誤差。3．利用圖像法處理數(shù)據(jù)具有形象、直觀的特點，同時也能減小實驗誤差。利用圖像法分析處理時要特別注意圖像的斜率及截距的物理意義。1．小球選用密度大的鋼球。2．選用1m左右難以伸縮，且盡量輕的細線。3．懸線頂端不能晃動，需用夾子夾住，保證懸點固定。4．單擺必須在同一平面內(nèi)振動，且擺角小于5°。5．選擇在擺球擺到平衡位置處時開始計時，并數(shù)準全振動的次數(shù)。考點1教材原型實驗例1(2021·天津市十二區(qū)縣重點學校一模)某實驗小組在進行“用單擺測定重力加速度”的實驗中，已知單擺在擺動過程中的擺角小于5°；在測量單擺的周期時，從單擺運動到最低點開始計時且記數(shù)為1，到第n次經(jīng)過最低點所用的時間為t；在測量單擺的擺長時，先用毫米刻度尺測得懸掛后的擺線長(從懸點到擺球的最上端)為L，再用螺旋測微器測得擺球的直徑為d(讀數(shù)如圖)。(1)該單擺在擺動過程中的周期為________。(2)用上述物理量的符號寫出求重力加速度的一般表達式g＝________。(3)從圖可知，擺球的直徑為________mm。(4)實驗結(jié)束后，某同學發(fā)現(xiàn)他測得的重力加速度的值總是偏大，其原因可能是下述原因中的________。A．單擺的懸點未固定緊，振動中出現(xiàn)松動，使擺線增長了B．把n次擺動的時間誤記為(n＋1)次擺動的時間C．以擺線長作為擺長來計算D．以擺線長與擺球的直徑之和作為擺長來計算[答案](1)eq\f(2t,n－1)(2)eq\f(π2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(L＋\f(d,2)))n－12,t2)(3)5.980(4)BD[解析](1)單擺在擺動過程中從第1次到第n次經(jīng)過最低點，經(jīng)歷的周期數(shù)是eq\f(n－1,2)個，周期為T＝eq\f(t,\f(n－1,2))＝eq\f(2t,n－1)。(2)根據(jù)T＝2πeq\r(\f(l,g))，l＝L＋eq\f(d,2)，T＝eq\f(2t,n－1)，解得g＝eq\f(4π2l,T2)＝eq\f(π2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(L＋\f(d,2)))n－12,t2)。(3)螺旋測微器的主尺讀數(shù)為5.5mm，可動刻度讀數(shù)為48.0×0.01mm＝0.480mm，則擺球的直徑為5.980mm。(4)單擺的懸點未固定緊，振動中出現(xiàn)松動，使擺線增長了，擺長的測量值偏小，根據(jù)g的表達式，重力加速度的測量值偏小，故A錯誤。把n次擺動的時間誤記為(n＋1)次擺動的時間，根據(jù)g的表達式，重力加速度的測量值偏大，故B正確。以擺線長作為擺長計算，擺長的測量值偏小，根據(jù)g的表達式，重力加速度的測量值偏小，故C錯誤。以擺線長與擺球的直徑之和作為擺長計算，擺長的測量值偏大，根據(jù)g的表達式，重力加速度的測量值偏大，故D正確。[對點跟進訓練](2020·浙江7月選考)某同學用單擺測量重力加速度，(1)為了減少測量誤差，下列做法正確的是________(多選)；A．擺的振幅越大越好B．擺球質(zhì)量大些、體積小些C．擺線盡量細些、長些、伸縮性小些D．計時的起、止位置選在擺球達到的最高點處(2)改變擺長，多次測量，得到周期平方與擺長的關(guān)系圖象如圖所示，所得結(jié)果與當?shù)刂亓铀俣戎迪喾?，但發(fā)現(xiàn)其延長線沒有過原點，其原因可能是________。A．測周期時多數(shù)了一個周期B．測周期時少數(shù)了一個周期C．測擺長時直接將擺線的長度作為擺長D．測擺長時將擺線的長度加上擺球的直徑作為擺長答案(1)BC(2)C解析(1)單擺在擺角很小的情況下才做簡諧運動，故單擺的擺角不能太大，一般應(yīng)小于5°，則擺的振幅也不能太大，故A錯誤；實驗時應(yīng)盡量選擇質(zhì)量大些、體積小些的擺球，以減小空氣阻力對實驗的影響，故B正確；為了減小實驗誤差，擺線應(yīng)選擇細些、長些、伸縮性小些的繩子，故C正確；擺球經(jīng)過平衡位置(最低點)時速度最大，選此位置計時較準確，故D錯誤。(2)根據(jù)單擺的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，有T2＝eq\f(4π2,g)·l。實驗測得的結(jié)果與當?shù)刂亓铀俣戎迪喾瑒tT2-l圖線斜率為理論值eq\f(4π2,g)；所得T2-l圖線沒有過原點，圖線在T2軸的截距為正，則T2＝eq\f(4π2,g)·(l＋l0)，故原因可能是測量擺長時直接將擺線的長度作為擺長，故選C?？键c2實驗拓展與創(chuàng)新例2(2021·山東省臨沂市高三下二模)班里同學組織春游爬山，在山頂發(fā)現(xiàn)一棵合抱古樹，他們想知道這顆古樹的樹圍。由于未帶卷尺，只備有救生繩(質(zhì)量不計且不可伸長)，于是他們利用單擺原理對古樹的樹圍進行粗略測量。他們用救生繩繞樹一周，截取長度等于樹干周長的一段(已預(yù)留出打結(jié)部分的長度)，然后在這段救生繩的一端系一個小石塊。接下來的操作步驟為：Ⅰ.將截下的救生繩的另一端固定在一根離地足夠高的樹枝上；Ⅱ.移動小石塊，使伸直的救生繩偏離豎直方向一個小于5°的角度，然后由靜止釋放，使小石塊在同一豎直面內(nèi)擺動；Ⅲ.從小石塊經(jīng)過平衡位置(已經(jīng)選定參考位置)開始，用手機中的“秒表”軟件計時(記為第1次經(jīng)過平衡位置)，至小石塊第41次經(jīng)過平衡位置，測出這一過程所用的總時間為94.20s。(1)根據(jù)步驟Ⅲ，可得小石塊擺動的周期T＝________s。(2)經(jīng)百度查得該地區(qū)的重力加速度為9.79m/s2，可估得該古樹的樹圍C＝________m。(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)(3)若空氣阻力的影響可不計，同時小石塊擺動的周期T測量結(jié)果準確，考慮到該山的海拔較高，則該古樹樹圍的測量值________(填“>”“<”或“＝”)真實值。[答案](1)4.71(2)5.5(3)>[解析](1)從小石塊經(jīng)過平衡位置(已經(jīng)選定參考位置)開始，用手機中的“秒表”軟件計時(記為第1次經(jīng)過平衡位置)，至小石塊第41次經(jīng)過平衡位置，共經(jīng)歷n＝eq\f(41－1,2)＝20個周期，總時間為n·T＝t，解得T＝eq\f(t,n)＝4.71s。(2)根據(jù)單擺的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，解得擺長為l＝eq\f(T2g,4π2)＝eq\f(4.712×9.79,4×3.142)m＝5.5m，擺長即為古樹的樹圍，即C＝l＝5.5m。(3)山頂?shù)暮０屋^高，所以實際重力加速度較小，而計算所使用的重力加速度偏大，所以該古樹樹圍的測量值>真實值。[對點跟進訓練]一同學為了測量當?shù)氐闹亓铀俣?，選用電動機、長條白紙、毫米刻度尺、長木板以及由裝滿顏料的帶孔小球和細線構(gòu)成的單擺等組成如圖甲所示裝置。把白紙固定在長木板上，實驗中，電動機以0.1m/s的速度勻速拖動長木板帶動紙帶運動，同時讓小球在垂直于紙帶運動方向做小擺幅擺動，小球可以漏出很細的有色液體，在紙帶上留下的痕跡記錄了小球在不同時刻的位置，如圖乙所示。實驗中該同學測出了細線懸掛點到小球下邊緣的距離L，如圖丙所示，同時測出白紙上得到的圖像A、B間的距離為x。通過改變L，測出對應(yīng)的A、B間的距離x，獲得多組x與L數(shù)據(jù)，再以x2為縱軸、L為橫軸畫出函數(shù)關(guān)系圖像，如圖丁所示。由圖像可知，擺球的半徑r＝________m，當?shù)刂亓铀俣萭＝________m/s2(結(jié)果保留三位有效數(shù)字)；該同學測得的重力加速度值與實際的重力加速度值相比________(選填“偏大”“偏小”或“一樣”)。(假設(shè)整個過程中小球的重心位置不變，取π＝3.14)答案0.019.86一樣解析由圖乙可知，小球從A到B運動了5個周期，則有x＝5vT；根據(jù)單擺的周期公式可得T＝2πeq\r(\f(L－r,g))，則T2＝eq\f(4π2,g)(L－r)，聯(lián)立兩式可得x2＝eq\f(100v2π2,g)(L－r)；結(jié)合圖丁可知，圖像的縱截距為：－eq\f(100v2π2,g)r＝－0.01m2，圖像的斜率k＝eq\f(100v2π2,g)＝eq\f(0.01,1×0.01)m＝1m，可解得重力加速度g＝π2m/s2＝9.86m/s2，擺球的半徑r＝0.01m。根據(jù)上述分析可知，由x2-L圖線的斜率求得當?shù)氐闹亓铀俣葲]有系統(tǒng)誤差，則測得的重力加速度值與實際的重力加速度值相比一樣。1．(2021·福建省龍巖市高三下三模)在“用單擺測重力加速度”實驗中：(1)用毫米刻度尺測出擺線長L，用游標卡尺測出擺球的直徑D。在下面進行的操作中，正確的是________(選填選項前的字母)；A．把單擺從平衡位置拉開一個較大的角度釋放B．擺球經(jīng)過平衡位置時開始計時C．用停表測量單擺完成1次全振動所用時間作為單擺的周期(2)當單擺擺動穩(wěn)定后，用停表測量單擺n次全振動的時間t，停表的示數(shù)如圖所示，則t＝______s；(3)用上述實驗過程中測出的物理量(擺線長為L，擺球直徑為D，全振動n次所用時間為t)寫出重力加速度計算式g＝________。答案(1)B(2)75.2(3)eq\f(4π2n2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(L＋\f(D,2))),t2)解析(1)單擺在擺角小于5°的情況下才做簡諧振動，故A錯誤；為減小計時誤差，應(yīng)在單擺經(jīng)過平衡位置時開始計時，且測出多個周期的總時間然后求出平均值作為單擺的周期，故B正確，C錯誤。(2)停表的示數(shù)t＝60s＋15.2s＝75.2s。(3)周期T＝eq\f(t,n)，根據(jù)T＝2πeq\r(\f(L＋\f(D,2),g))，解得：g＝eq\f(4π2n2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(L＋\f(D,2))),t2)。2．物理實驗小組的同學做“用單擺測重力加速度”的實驗。(1)下列振動圖像真實地描述了對擺長約為1m的單擺進行周期測量的四種操作過程，圖中橫坐標原點O為計時起點，A、B、C均為30次全振動的圖像，已知sin5°＝0.087，sin15°＝0.26，這四種操作過程合乎實驗要求且誤差最小的是________(填字母代號)。(2)某同學利用單擺測重力加速度，測得的g值與真實值相比偏大，可能的原因是________。A．測擺長時記錄的是擺線的長度B．開始計時時，停表過早按下C．擺線上端未牢固地系于懸點，擺動中出現(xiàn)松動，使擺線長度增加了D．實驗中誤將29次全振動數(shù)記為30次答案(1)A(2)D解析(1)單擺振動的擺角θ≤5°，當θ＝5°時單擺振動的振幅A＝lsin5°＝0.087m＝8.7cm，為計時準確，在擺球擺至平衡位置時開始計時，故四種操作過程合乎實驗要求且誤差最小的是選項A。(2)根據(jù)單擺的周期公式推導出重力加速度的表達式g＝eq\f(4π2L,T2)。將擺線的長誤認為擺長，即測量值偏小，所以重力加速度的測量值偏小，故A錯誤；開始計時時，停表過早按下，周期的測量值大于真實值，所以重力加速度的測量值偏小，故B錯誤；擺線上端未牢固地系于懸點，振動中出現(xiàn)松動，使擺線長度增加了，即擺長L的測量值偏小，所以重力加速度的測量值就偏小，故C錯誤；設(shè)單擺29次全振動的時間為t，則單擺的周期T＝eq\f(t,29)，若誤計為30次，則T測＝eq\f(t,30)<eq\f(t,29)，即周期的測量值小于真實值，所以重力加速度的測量值偏大，故D正確。3.(2015·北京高考)用單擺測定重力加速度的實驗裝置如圖1所示。(1)組裝單擺時，應(yīng)在下列器材中選用______(選填選項前的字母)。A．長度為1m左右的細線B．長度為30cm左右的細線C．直徑為1.8cm的塑料球D．直徑為1.8cm的鐵球(2)測出懸點O到小球球心的距離(擺長)L及單擺完成n次全振動所用的時間t，則重力加速度g＝________(用L、n、t表示)。(3)下表是某同學記錄的3組實驗數(shù)據(jù)，并做了部分計算處理。組次123擺長L/cm80.0090.00100.0050次全振動時間t/s90.095.5100.5振動周期T/s1.801.91重力加速度g/(m·s－2)9.749.73請計算出第3組實驗中的T＝________s，g＝________m/s2。(4)用多組實驗數(shù)據(jù)作出T2-L圖象，也可以求出重力加速度g。已知三位同學作出的T2-L圖線的示意圖如圖2中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都過原點，圖線b對應(yīng)的g值最接近當?shù)刂亓铀俣鹊闹怠t相對于圖線b，下列分析正確的是________(選填選項前的字母)。A．出現(xiàn)圖線a的原因可能是誤將懸點到小球下端的距離記為擺長LB．出現(xiàn)圖線c的原因可能是誤將49次全振動記為50次C．圖線c對應(yīng)的g值小于圖線b對應(yīng)的g值(5)某同學在家里測重力加速度。他找到細線和鐵鎖，制成一個單擺，如圖3所示。由于家里只有一根量程為30cm的刻度尺。于是他在細線上的A點做了一個標記，使得懸點O到A點間的細線長度小于刻度尺量程。保持該標記以下的細線長度不變，通過改變O、A間細線長度