人教版初三數(shù)學：中心對稱與中心對稱圖形-知識講解

中心對稱與中心對稱圖形--知識講解【學習目標】1、理解中心對稱和中心對稱圖形的定義和性質，掌握他們之間的區(qū)別和聯(lián)系；2、掌握關于原點對稱的點的坐標特征，以及如何求對稱點的坐標；3、探索圖形之間的變化關系（軸對稱、平移、旋轉及其組合合進行圖案設計．【要點梳理】要點一、中心對稱和中心對稱圖形中心對稱：個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心．這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點．（）有兩個圖形，能夠完全重合，即形狀大小都相同；（2）位置必須滿足一個條件：將其中一個圖形繞著某一個點旋轉180°能夠與另一個圖形重合(全等圖形不一定是中心對稱的，而中心對稱的兩個圖形一定是全等的).中心對稱圖形：把一個圖形繞著某一個點旋轉18那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．要點詮釋：(1)中心對稱圖形指的是一個圖形；（2）線段，平行四邊形，圓等等都是中心對稱圖形.中心對稱與中心對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系：中心對稱①指兩個全等圖形之間的相互區(qū)位置關系．別②對稱中心不定．如果將中心對稱的兩個圖形看聯(lián)（一個圖形系這個圖形就是中心對稱圖形．

中心對稱圖形①指一個圖形本身成中心對稱．②對稱中心是圖形自身或內部的點．如果把中心對稱圖形對稱的部關于中心對稱．要點二、關于原點對稱的點的坐標特征關于原點對稱的兩個點的橫、縱坐標均互為相反數(shù).即點 關于原點的對稱點 坐標為，反之也成立.要點三、中心對稱、軸對稱、旋轉對稱【高清課堂：高清ID號：388635關聯(lián)的位置名稱（播放點名稱1.中心對稱圖形與旋轉對稱圖形的比較：中心對稱圖形與軸對稱圖形比較：要點詮釋：中心對稱圖形是特殊的旋轉對稱圖形；掌握三種圖形的不同點和共同點是靈活運用的前提.【典型例題】類型一、中心對稱和中心對稱圖形【高清課堂：高清ID號：388635關聯(lián)的位置名稱（播放點名稱：例3及練習】1.（2015春?鄄城縣期末）如圖，△ABC與△A1B1C1關于點O成中心對稱，下列說法：①∠BAC=∠B1A1C1；②AC=A1C1； ③OA=OA1；④△ABC與△A1B1C1的面積相等，其中正確的有（ ）A．1個B．2個C．3個D．4個【答案】D【解析】中心對稱的兩個圖形全等，則①②④正確；對稱點到對稱中心的距離相等，故③正確；故①②③④都正確．故選D．中心對稱的關鍵是：旋轉180舉一反三【變式】如圖，若正方形EFGH由正方形ABCD繞某點旋轉得到，則可以作為旋轉中心的是（ ）A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C【答案】A【高清課堂：高清ID號：388635關聯(lián)的位置名稱（播放點名稱：經典例題】菱形、正方形中，有哪些是中心對稱圖形？哪些是軸對稱圖形？中心對稱圖形指出對稱中心，軸【答案與解析】【總結升華】線段、角、等腰三角形、等邊三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形是重要的幾種對稱幾何圖形，要了解其性質特點更要熟記.類型二、作圖已知：如圖甲，試用一條直線把圖形分成面積相等的兩部分（至少三種方法【答案與解析】解決這類問題時，關鍵是將圖形轉化成兩個中心對稱圖形（中心對稱圖形，則直接過對稱中心作直線即可，再由兩點確定一條直線，過兩個對稱中心畫舉一反三【高清課堂：高清ID號：388635關聯(lián)的位置名稱（播放點名稱：例5及練習】OO，O1 2 3

O為切點，請你在圖中畫出4一條直線，將這四個圓分成面積相等的兩部分，并說明這條直線經過的兩個點是 ；OOO1 2

，O，O4

為五個等圓的圓心，A，B，C，D，E為切點，請你在圖中畫出一條直線，將這分成面積相等的兩部分，并說明這條直線經過的兩個點是 ．C E Co oD 4 3 B

o o oB5 4 3BDo o1 A 2

o o1 A 2圖① 圖②【答案】OO或OOACBDOM或OA1 3 2 4 5 4類型三、利用圖形變換的性質進行計算或證明（2014春青神縣校級月考）已知：如圖，三角形ABM與三角形ACM關于直線AF三角形ABE與三角形DCE關于點E成中心對稱，點DM都在線段AF的延長線交CF于點P．∠BAC=2∠MPC∠F與∠MCD的數(shù)量關系，并說明理由．【解題思路利用中心對稱圖形的性質以及軸對稱圖形的性質得出全等三角形進而得出對應線段相等；（2）利用（1）中所求，進而得出對應角相等，進而得出答案．【答案與解析】（1）證明：∵△ABM與△ACM關于直線AF成軸對稱，∴△ABM≌△ACM，∴AB=AC，又∵△ABE與△DCE關于點E成中心對稱，∴△ABE≌△DCE，∴AB=CD，∴AC=CD；（2）解：∠F=∠MCD．理由：由（1）可得∠BAE=∠CAE=∠CDE，∠CMA=∠BMA，∵∠BAC=2∠MPC，∠BMA=∠PMF，∴設∠MPC=α，則∠BAE=∠CAE=∠CDE=α，設∠BMA=β，則∠PMF=∠CMA=β，∴∠F=∠CPM﹣∠PMF=α﹣β，∠MCD=∠CDE﹣∠DMC=α﹣β，∴∠F=∠MCD．【總結升華】應角相等進而得出是解題關鍵．舉一反三【高清課堂：高清ID號：388635關聯(lián)的位置名稱（播放點名稱：例4及練習】【變式】如圖，三個圓是同心圓，則圖中陰影部分的面積為 ．附錄資料：4.弧長和扇形面積、圓錐的側面展開圖—知識講解（基礎）【學習目標】通過復習圓的周長、圓的面積公式，探索n°的圓心角所對的弧長 和扇形面的計算公式，并應用這些公式解決問題；了解圓錐母線的概念，理解圓錐側面積計算公式，理解圓錐全面積的計算方法，會應用公式解決問題；【要點梳理】要點一、弧長公式半徑為R360°的圓心角所對的弧長(圓的周長)公式：n°的圓心角所對的圓的弧長公式：要點詮釋：

(弧是圓的一部分)對于弧長公式，關鍵是要理解1°的圓心角所對的弧長是圓周長的 ，即 ；公式中的ｎ1°圓心角的倍數(shù)，故ｎ180要點二、扇形面積公式1.扇形的定義由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形.扇形面積公式半徑為R的圓中360°的圓心角所對的扇形面積(圓面積)公式：n°的圓心角所對的扇形面積公式：要點詮釋：對于扇形面積公式，關鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的 ，即 ；在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R類似，可類比記憶；

，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式 有點扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系： .要點三、圓錐的側面積和全面積連接圓錐頂點和底面圓上任意一點的線段叫做圓錐的母線.圓錐的母線長為，底面半徑為r，側面展開圖中的扇形圓心角為n°，則

=l2rl，扇 360，圓錐的全面積 .要點詮釋：【典型例題】類型一、弧長和扇形的有關計算如圖，AB切⊙O于點OA=2 3，AB=，弦BC∥OA，則劣弧BC的弧長為（ ．3 3 33

2

C． D．2C BO A圖（1）【答案】A.【解析】連結OB、OC，如圖（2）則，OB=3，BC∥OA60，所以△OBC.則劣弧BC的弧長為3= 3π，故選A. 圖180 3【總結升華主要考查弧長公式： .舉一反三：【變式】制作彎形管道時，需要先按中心線計算“展直長度”再下料，?試計算如圖所示的管道的展直度，即 的(結果精確到0.1mm)【答案】R=40mm，n=110∴ 的= = 因此，管道的展直長度約為76.8mm．【高清ID號：359387 高清課程名稱：弧長扇形圓柱圓關聯(lián)的位置名稱（播放點名稱：經典例題1-】1，弦AB和半徑OC互相平分于點M.求扇形OACB（結果保留π）【答案與解析】∵弦AB和半徑OC互相平分，∴OC⊥AB，OM=MC=OC=∴∠B=∠A=30°，∴∠AOB=120°∴S = ．扇形【總結升華】運用了垂徑定理的推論，考查扇形面積計算公式.舉一反三：【高清ID號：359387 高清課程名稱弧長扇形圓柱圓關聯(lián)的位置名稱（播放點名稱：經典例題1-】變式】如圖1ABCBC=，以點A2A與BC相切于點，交AB于E，交AC于，點P是A上的一點，且EPF=4°，則圖中陰影部分的面積是（ ．44 84A．9 B．49

C．

4 89 D．89A PE FB D C圖（1）【答案】連結AD，則AD⊥BC，△ABC的面積是：BC?AD=×4×2=4， ∠A=2∠EPF=80°． 則扇形EAF的面積是：22=8. 故陰360 98影部分的面=△ABC的面-扇形EAF的面=4- ． 圖9故選B．類型二、圓錐面積的計算32014秋?廣東期末）如圖，一個圓錐的高為圓錐的底面半徑r與母線R之比；圓錐的全面積．

cm，側面展開圖是半圓，求：（1）底面的半徑之比即可；（2）首先求得圓錐的底面半徑和圓錐的母線長，然后利用圓錐的側面積的計算方法求得其側面積即可．【答案與解析】（）由題意可知∴ ，R=2r（3分）r：R=r：2r=1：2；（2）在Rt△AOC中，∵R2=r2+h2∴ ，4r2=r2+27r2=9，r=±3∵r＞0∴r=3，R=6.∴S=πRr=18π（cm2） （cm2）∴S=S+S=1+9=2π（c2．【總結升華】本題考查了圓錐的計算，解題的關鍵是牢記有關的公式．類型三、組合圖形面積的計算4201槐蔭區(qū)三模）如圖AB⊙O的直徑，弦C⊥A，垂足為E∠CDB=3，CD=2