2023屆山東省鄒城市實驗中學高一數學第一學期期末綜合測試試題含解析

2022-2023學年高一上數學期末模擬試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．函數，則f（log23）=（）A.3 B.6C.12 D.242．已知是上的奇函數，且當時，，則當時，（）A. B.C. D.3．下面各組函數中表示同一個函數的是（）A.， B.，C.， D.，4．若點、、在同一直線上，則（）A. B.C. D.5．命題“x0，x2x0”的否定是（）A.x0，x2x0 B.x0，x2x0C.x0，x2x0 D.x0，x2x06．已知是減函數，則a的取值范圍是（）A. B.C. D.7．如圖，是全集，是子集，則陰影部分表示的集合是（）A. B.C. D.8．下列函數中為奇函數，且在定義域上為增函數的有（）A. B.C. D.9．福州新港江陰港區(qū)地處福建最大海灣興化灣西北岸，全年全日船泊進出港不受航道及潮水的限制，是迄今為止“我國少有、福建最佳”的天然良港.如圖，是港區(qū)某個泊位一天中6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數，據此可知，這段時間水深（單位：m）的最大值為（）A.5 B.6C.8 D.1010．已知冪函數是偶函數，則函數恒過定點A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為0.618，這一數值也可以表示為.若，則_________.12．若冪函數是偶函數，則___________.13．函數在上是x的減函數，則實數a的取值范圍是______14．將函數的圖象先向下平移1個單位長度，在作關于直線對稱的圖象，得到函數，則__________.15．如圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它由四個全等的直角三角形圍成，其中，現(xiàn)將每個直角三角形的較長的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖2的數學風車，則圖2“趙爽弦圖”外面（圖中陰影部分）的面積與大正方形面積之比為_______________16．已知函數則不等式的解集是_____________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在正方體中，為棱、的三等分點（靠近A點）.求證：（1）平面；（2）求證：平面平面.18．設n是不小于3的正整數，集合，對于集合Sn中任意兩個元素．定義．若，則稱A，B互為相反元素，記作或（1）若n=3，A=（0，1，0），B=（1，1，0），試寫出，，以及A·B的值；（2）若，證明：；（3）設k是小于n的正奇數，至少含有兩個元素的集合，且對于集合M中任意兩個不同的元素，都有，試求集合M中元素個數的所有可能的取值19．已知函數.（1）求函數的定義域；（2）若實數，且，求的取值范圍.20．已知A，B，C是三角形三內角，向量，，且（1）求角A；（2）若，求21．設是常數，函數.(1)用定義證明函數是增函數；(2)試確定的值，使是奇函數；(3)當是奇函數時，求的值域.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】由對數函數的性質可得，再代入分段函數解析式運算即可得解.【詳解】由題意，，所以.故選：B.2、B【解析】設，則，求出的解析式，根據函數為上的奇函數，即可求得時，函數的解析式，得到答案.【詳解】由題意，設，則，則，因為函數為上的奇函數，則，得，即當時，.故選：B.【點睛】本題主要考查了利用函數的奇偶性求解函數的解析式，其中解答中熟記函數的奇偶性，合理計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.3、B【解析】根據兩個函數的定義域相同，且對應關系相同分析判斷即可【詳解】對于A，的定義域為R，而的定義域為，兩函數的定義域不相同，所以不是同一個函數；對于B，兩個函數的定義域都為R，定義域相同，，這兩個函數是同一個函數；對于C，的定義域為，而的定義域是R，兩個函數的定義城不相同，所以不是同一個函數；對于D，的定義域為，而的定義域是R，兩個的數的定義域不相同，所以不是同一個函數.故選：B.4、A【解析】利用結合斜率公式可求得實數的值.【詳解】因為、、在同一直線上，則，即，解得.故選：A.5、B【解析】根據含有一個量詞命題否定的定義，即可得答案.【詳解】命題“x0，x2x0”的否定是：“x0，x2x0”.故選：B6、D【解析】利用分段函數在上單調遞減的特征直接列出不等式組求解即得.【詳解】因函數是定義在上的減函數，則有，解得，所以的取值范圍是.故選：D7、C【解析】利用陰影部分所屬的集合寫出陰影部分所表示的集合【詳解】解：由圖知，陰影部分在集合中，在集合中，但不在集合中，故陰影部分所表示的集合是.故選：C.8、C【解析】根據函數的奇偶性，可排除A,B;說明的奇偶性以及單調性，可判斷C;根據的單調性，判斷D.【詳解】函數為非奇非偶函數，故A錯；函數為偶函數，故B錯；函數，滿足，故是奇函數，在定義域R上，是單調遞增函數，故C正確；函數在上是增函數，在上是增函數，在定義域上不單調，故D錯，故選：C9、C【解析】從圖象中的最小值入手，求出，進而求出函數的最大值，即為答案.【詳解】從圖象可以看出，函數最小值為-2，即當時，函數取得最小值，即，解得：，所以，當時，函數取得最大值，，這段時間水深（單位：m）的最大值為8m.故選：C10、D【解析】根據冪函數和偶函數的定義可得的值，進而可求得過的定點.【詳解】因為是冪函數，所以得或，又偶函數，所以，函數恒過定點.故選：.【點睛】本題主要考查的是冪函數和偶函數的定義，以及對數函數性質的應用，是基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】利用同角的基本關系式，可得，代入所求，結合輔助角公式，即可求解【詳解】因為，，所以，所以，故答案為【點睛】本題考查同角三角函數的基本關系式，輔助角公式，考查計算化簡的能力，屬基礎題12、【解析】根據冪函數的定義得，解得或，再結合偶函數性質得.【詳解】解：因為函數是冪函數，所以，解得或，當時，，為奇函數，不滿足，舍；當時，，為偶函數，滿足條件.所以.故答案為：13、【解析】首先保證真數位置在上恒成立，得到的范圍要求，再分和進行討論，由復合函數的單調性，得到關于的不等式，得到答案.【詳解】函數，所以真數位置上的在上恒成立，由一次函數保號性可知，，當時，外層函數為減函數，要使為減函數，則為增函數，所以，即，所以，當時，外層函數為增函數，要使為減函數，則為減函數，所以，即，所以，綜上可得的范圍為.故答案為.【點睛】本題考查由復合函數的單調性，求參數的范圍，屬于中檔題.14、5【解析】利用平移變換和反函數的定義得到的解析式，進而得解.【詳解】函數的圖象先向下平移1個單位長度得到作關于直線對稱的圖象，即的反函數，則，，即，故答案為：5【點睛】關鍵點點睛：本題考查圖像的平移變換和反函數的應用，利用反函數的性質求出的解析式是解題的關鍵，屬于基礎題.15、24:25【解析】設三角形三邊的邊長分別為，分別求出陰影部分面積和大正方形面積即可求解.【詳解】解：由題意，“趙爽弦圖”由四個全等的直角三角形圍成，其中，設三角形三邊的邊長分別為，則大正方形的邊長為5，所以大正方形的面積，如圖，將延長到，則，所以，又到的距離即為到的距離，所以三角形的面積等于三角形的面積，即，所以“趙爽弦圖”外面（圖中陰影部分）的面積，所以“趙爽弦圖”外面（圖中陰影部分）的面積與大正方形面積之比為.故答案為：24:25.16、【解析】分和0的大小關系分別代入對應的解析式即可求解結論.【詳解】∵函數，∴當，即時，，故；當，即時，，故；∴不等式的解集是：.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）見解析.【解析】（1）欲證：平面，根據直線與平面平行的判定定理可知，只需證與平面內一條直線平行，連接，可知，則，又平面，平面，滿足定理所需條件；（2）欲證：平面平面，根據面面垂直的判定定理可知，在平面內一條直線與平面垂直，而平面，平面，則，，滿足線面垂直的判定定理則平面，而平面，滿足定理所需條件【詳解】（1）證明：連接，在正方體中，對角線，又因為、為棱、的三等分點，所以，則，又平面，平面，所以平面（2）因為在正方體中，因為平面，而平面，所以，又因為在正方形中，，而，平面，平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面【點睛】本題主要考查線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理，以及考查對基礎知識的綜合應用能力和基本定理的掌握能力18、（1）（2）證明見解析（3）集合M中元素的個數只可能是2【解析】（1）根據定義直接求解即可；（2）設，進而結合題意得，，再計算即可；（3）假設為集合M中的三個不相同的元素，進而結合題意，推出矛盾，得出假設不成立，即集合M中至多有兩個元素，且時符合題意，故集合M中元素的個數只可能是2【小問1詳解】解：因為若，則稱A，B互為相反元素，記作或，所以，所以.【小問2詳解】解：設，由，可得所以，當且僅當，即時上式“=”成立由題意可知即所以【小問3詳解】解：解法1：假設為集合M中的三個不相同的元素則即又由題意可知或1，i=1，2，，n恰有k個1，與n－k個0設其中k個等于1項依次為n－k個等于0的項依次為由題意可知所以，同理所以即因為由（2）可知因為所以，設，由題意可知.所以，得與為奇數矛盾所以假設不成立，即集合M中至多有兩個元素當時符合題意所以集合M中元素的個數只可能是2解法2：假設為集合M中的三個不相同的元素則即又由題意可知恰有k個1，與n－k個0設其中k個等于1的項依次為n－k個等于0的項依次由題意可知所以①同理②因為所以，①—②得又因為為奇數與矛盾所以假設不成立，即集合M中至多有兩個元素當時符合題意所以集合M中元素的個數只可能是2【點睛】關鍵點點睛：本題第三問解題的關鍵在于利用反證法證明當為集合M中的三個不相同的元素時，結合題意推出與為奇數矛盾，進而得集合M中至多有兩個元素，再舉例當時符合題意即可.19、(1)；(2).【解析】（1）要使有意義，則即，要使有意義，則即求交集即可求函數的定義域；（2）實數，且，所以即可得出的取值范圍.試題解析：（1）要使有意義，則即要使有意義，則即所以的定義域.（2）由（1）可得：即所以，故的取值范圍是20、（1）（2）【解析】（1）用數量積的坐標運算表示出，有，再由兩角差的正弦公式化為一個三角函數式，最終求得；（2）化簡，可直接去分母，注意求得結果后檢驗分母是否為0（本題解法），也可先化簡已知式為，再變形得，由可得結論試題解析：（1）∵，∴，即，，，∵，，∴，∴（2）由題知：，整理得，∴，∴，∴或，