2023年高考數(shù)學(理數(shù))一輪復(fù)習課時33《基本不等式》達標練習（教師版）

2023年高考數(shù)學(理數(shù))一輪復(fù)習課時33《基本不等式》達標練習一 、選擇題LISTNUMOutlineDefault\l3已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(a,x)＋2的值域為(－∞，0]∪[4，＋∞)，則a的值是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(3,2)C.1D.2【答案解析】答案為：C解析：由題意可得a>0，①當x>0時，f(x)＝x＋eq\f(a,x)＋2≥2eq\r(a)＋2，當且僅當x＝eq\r(a)時取等號；②當x<0時，f(x)＝x＋eq\f(a,x)＋2≤－2eq\r(a)＋2，當且僅當x＝－eq\r(a)時取等號.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－2\r(a)＝0，,2\r(a)＋2＝4，))解得a＝1.故選C.LISTNUMOutlineDefault\l3若a＞0，b＞0，且a＋b=4，則下列不等式恒成立的是()A.eq\f(1,ab)≤eq\f(1,4)B.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≤1C.eq\r(ab)≥2D.a2＋b2≥8【答案解析】答案為：D；解析：4=a＋b≥2eq\r(ab)(當且僅當a=b時，等號成立)，即eq\r(ab)≤2，ab≤4，eq\f(1,ab)≥eq\f(1,4)，選項A，C不成立；eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)=eq\f(a＋b,ab)=eq\f(4,ab)≥1，選項B不成立；a2＋b2=(a＋b)2－2ab=16－2ab≥8，選項D成立.LISTNUMOutlineDefault\l3已知a＞0，b＞0，a＋b=2，則y=eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是()A.eq\f(7,2)B.4C.eq\f(9,2)D.5【答案解析】答案為：C.解析：由a＞0，b＞0，a＋b=2知eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)=eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b))(eq\f(1,a)＋eq\f(4,b))=eq\f(1,2)(5+eq\f(b,a)+eq\f(4a,b))≥eq\f(9,2)，當且僅當eq\f(b,a)=eq\f(4a,b)，即b=2a=eq\f(4,3)時等號成立，故選C.]LISTNUMOutlineDefault\l3已知f(x)=eq\f(x2－2x＋1,x)，則f(x)在[eq\f(1,2),3]上的最小值為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(4,3)C.－1D.0【答案解析】答案為：D.解析：f(x)=eq\f(x2－2x＋1,x)=x＋eq\f(1,x)－2≥2－2=0，當且僅當x=eq\f(1,x)，即x=1時取等號.又1∈[eq\f(1,2),3]，所以f(x)在[eq\f(1,2),3]上的最小值是0.LISTNUMOutlineDefault\l3若函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)(x＞2)在x＝a處取最小值，則a等于()A.1＋eq\r(2)B.1＋eq\r(3)C.3D.4【答案解析】答案為：C解析：當x>2時，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋eq\f(1,x－2)＋2≥2eq\r(x－2×\f(1,x－2))＋2＝4，當且僅當x－2＝eq\f(1,x－2)(x＞2)，即x＝3時取等號，即當f(x)取得最小值時，即a＝3.故選C.LISTNUMOutlineDefault\l3已知a＞0，b＞0，a＋b=eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)，則eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值為()A.4B.2eq\r(2)C.8【答案解析】答案為：B；解析：由a＞0，b＞0，a＋b=eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)=eq\f(a＋b,ab)，得ab=1，則eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)≥2eq\r(\f(1,a)·\f(2,b))=2eq\r(2).當且僅當eq\f(1,a)=eq\f(2,b)，即a=eq\f(\r(2),2)，b=eq\r(2)時等號成立，故選B.LISTNUMOutlineDefault\l3對一切實數(shù)x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(－∞，－2)B.[－2，＋∞)C.[－2,2]D.[0，＋∞)【答案解析】答案為：B解析：當x＝0時，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，此時a∈R，當x≠0時，則有a≥eq\f(－1－|x|2,|x|)＝－(|x|＋eq\f(1,|x|))，設(shè)f(x)＝－(|x|＋eq\f(1,|x|))，則a≥f(x)max，由基本不等式得|x|＋eq\f(1,|x|)≥2(當且僅當|x|＝1時取等號)，則f(x)max＝－2，故a≥－2.故選B.LISTNUMOutlineDefault\l3設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的導(dǎo)函數(shù)為f′(x).若?x∈R，不等式f(x)≥f′(x)恒成立，則eq\f(b2,a2＋2c2)的最大值為()A.eq\r(6)＋2B.eq\r(6)－2C.2eq\r(2)＋2D.2eq\r(2)－2【答案解析】答案為：B解析：由題意得f′(x)＝2ax＋b，由f(x)≥f′(x)在R上恒成立得ax2＋(b－2a)x＋c－b≥0在R上恒成立，則a>0且Δ≤0，可得b2≤4ac－4a2，則eq\f(b2,a2＋2c2)≤eq\f(4ac－4a2,a2＋2c2)＝eq\f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)－1)),2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2＋1)，且4ac－4a2≥0，∴4·eq\f(c,a)－4≥0，∴eq\f(c,a)－1≥0，令t＝eq\f(c,a)－1，則t≥0.當t＞0時，eq\f(b2,a2＋2c2)≤eq\f(4t,2t2＋4t＋3)＝eq\f(4,2t＋\f(3,t)＋4)≤eq\f(4,2\r(6)＋4)＝eq\r(6)－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當且僅當t＝\f(\r(6),2)時等號成立))，當t＝0時，eq\f(b2,a2＋2c2)＝0，故eq\f(b2,a2＋2c2)的最大值為eq\r(6)－2.故選B.LISTNUMOutlineDefault\l3設(shè)a＞0，b＞1，若a＋b=2，則eq\f(2,a)＋eq\f(1,b－1)的最小值為()A.3＋2eq\r(2)B.6C.4eq\r(2)D.2eq\r(2)【答案解析】答案為：A解析：∵a＋b=2，∴a＋b－1=1，∴eq\f(2,a)＋eq\f(1,b－1)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b－1)))(a＋b－1)=2＋eq\f(2b－1,a)＋eq\f(a,b－1)＋1≥3＋2eq\r(2)，當且僅當eq\f(2b－1,a)=eq\f(a,b－1)，即a=2－eq\r(2)，b=eq\r(2)時取等號.LISTNUMOutlineDefault\l3不等式x2＋2x＜eq\f(a,b)＋eq\f(16b,a)對任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，則實數(shù)x的取值范圍是()A.(－2,0)B.(－∞，－2)∪(0，＋∞)C.(－4,2)D.(－∞，－4)∪(2，＋∞)【答案解析】答案為：C解析：不等式x2＋2x＜eq\f(a,b)＋eq\f(16b,a)對任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，等價于x2＋2x＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＋\f(16b,a)))min，由于eq\f(a,b)＋eq\f(16b,a)≥2eq\r(\f(a,b)·\f(16b,a))=8(當且僅當a=4b時等號成立)，∴x2＋2x＜8，解得－4＜x＜2.故選C.LISTNUMOutlineDefault\l3若對任意x>0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，則a的取值范圍是()A.a≥eq\f(1,5)B.a＞eq\f(1,5)C.a＜eq\f(1,5)D.a≤eq\f(1,5)【答案解析】答案為：A解析：因為對任意x>0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，所以對x∈(0，＋∞)，a≥(eq\f(x,x2＋3x＋1))max，而對x∈(0，＋∞)，eq\f(x,x2＋3x＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x)＋3)≤eq\f(1,2\r(x·\f(1,x))＋3)＝eq\f(1,5)，當且僅當x＝1時等號成立，∴a≥eq\f(1,5).故選A.LISTNUMOutlineDefault\l3若正數(shù)a，b滿足a＋b=2，則eq\f(1,a＋1)＋eq\f(4,b＋1)的最小值是()A.1B.eq\f(9,4)C.9D.16【答案解析】答案為：B解析：eq\f(1,a＋1)＋eq\f(4,b＋1)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a＋1)＋\f(4,b＋1)))·eq\f(a＋1＋b＋1,4)=eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋4＋\f(b＋1,a＋1)＋\f(4a＋1,b＋1)))≥eq\f(1,4)(5＋2eq\r(4))=eq\f(9,4)，當且僅當eq\f(b＋1,a＋1)=eq\f(4a＋1,b＋1)，即a=eq\f(1,3)，b=eq\f(5,3)時取等號.故選B.二 、填空題LISTNUMOutlineDefault\l3已知a>0，b>0，a＋b=2，則y=eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是________.【答案解析】答案為：eq\f(9,2).解析：依題意，得eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)=eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(4,b)))·(a＋b)=eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(4a,b)))))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(b,a)·\f(4a,b))))=eq\f(9,2)，當且僅當eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2，,\f(b,a)＝\f(4a,b)，,a>0，b>0，))即a=eq\f(2,3)，b=eq\f(4,3)時取等號，即eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是eq\f(9,2).LISTNUMOutlineDefault\l3若正數(shù)x，y滿足x＋3y=5xy，則3x＋4y的最小值為.【答案解析】答案為：5；解析：法一由x＋3y=5xy可得eq\f(1,5y)＋eq\f(3,5x)=1，∴3x＋4y=(3x＋4y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5y)＋\f(3,5x)))=eq\f(9,5)＋eq\f(4,5)＋eq\f(3x,5y)＋eq\f(12y,5x)≥eq\f(13,5)＋eq\f(12,5)=5(當且僅當eq\f(3x,5y)=eq\f(12y,5x)，即x=1，y=eq\f(1,2)時，等號成立)，∴3x＋4y的最小值是5.法二由x＋3y=5xy，得x=eq\f(3y,5y－1)，∵x＞0，y＞0，∴y＞eq\f(1,5)，∴3x＋4y=eq\f(9y,5y－1)＋4y=eq\f(13\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,5)))＋\f(9,5)＋\f(4,5)－4y,5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,5))))＋4y=eq\f(13,5)＋eq\f(9,5)·eq\f(\f(1,5),y－\f(1,5))＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,5)))≥eq\f(13,5)＋2eq\r(\f(36,25))=5，當且僅當y=eq\f(1,2)時等號成立，∴(3x＋4y)min=5.LISTNUMOutlineDefault\l3設(shè)函數(shù)f(x)=eq\f(9,8cos2x＋16)－sin2x最小值為m，且與m對應(yīng)的x最小正值為n，則m＋n=.【答案解析】答案為：eq\f(π,3)；解析：f(x)=eq\f(9,8cos2x＋16)＋eq\f(cos2x－1,2)=eq\f(\f(9,8),cos2x＋2)＋eq\f(cos2x＋2,2)－eq\f(3,2)，因為cos2x＋2＞0，所以f(x)≥2×eq\f(3,4)－eq\f(3,2)=0，當且僅當eq\f(\f(9,8),cos2x＋2)=eq\f(cos2x＋2,2)，即co