2023年新高考數學一輪復習課時3.8《函數與方程》達標練習（教師版）

2023年新高考數學一輪復習課時3.8《函數與方程》達標練習一 、選擇題LISTNUMOutlineDefault\l3已知函數f(x)=3e|x－1|－a(2x－1＋21－x)－a2有唯一零點，則負實數a=()A.－eq\f(1,3)B.－eq\f(1,2)C.－3D.－2【答案解析】答案為：C解析：根據函數解析式可知，直線x=1是y=3e|x－1|和y=2x－1＋21－x圖象的對稱軸，故直線x=1是函數f(x)圖象的對稱軸.若函數f(x)有唯一零點，則零點必為1，即f(1)=3－2a－a2=0，又a<0，所以a=－3.故選C.LISTNUMOutlineDefault\l3已知函數f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3|x－1|，x＞0，,－x2－2x＋1，x≤0，))若關于x的方程[f(x)]2＋(a－1)f(x)－a=0有7個不等的實數根，則實數a的取值范圍是()A.[1,2]B.(1,2)C.(－2，－1)D.[－2，－1]【答案解析】答案為：C；解析：函數f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3|x－1|，x＞0，,－x2－2x＋1，x≤0))的圖象如圖：關于x的方程[f(x)]2＋(a－1)f(x)－a=0有7個不等的實數根，即[f(x)＋a][f(x)－1]=0有7個不等的實數根，易知f(x)=1有3個不等的實數根，∴f(x)=－a必須有4個不相等的實數根，由函數f(x)的圖象可知－a∈(1,2)，∴a∈(－2，－1).故選C.LISTNUMOutlineDefault\l3若函數f(x)=ax＋1在區(qū)間(－1，1)上存在一個零點，則實數a的取值范圍是()A.(1，＋∞)B.(－∞，1)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.(－1，1)【答案解析】答案為：C；解析：由題意知，f(－1)·f(1)＜0，即(1－a)(1＋a)＜0，解得a＜－1或a＞1.LISTNUMOutlineDefault\l3函數f(x)=2x－eq\f(2,x)－a的一個零點在區(qū)間(1,2)內，則實數a的取值范圍是()A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)【答案解析】答案為：C解析：由函數f(x)=2x－eq\f(2,x)－a的一個零點在區(qū)間(1,2)內，則有f(1)·f(2)<0，所以(－a)·(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，所以0<a<3.LISTNUMOutlineDefault\l3函數f(x)=SKIPIF1<0的零點個數是()A.0B.1C.2D.3【答案解析】答案為：D.解析：當x>0時，令f(x)=0可得x=1；當x≤0時，令f(x)=0可得x=－2或x=0.因此函數的零點個數為3.故選D.LISTNUMOutlineDefault\l3函數f(x)=3x|lnx|－1的零點個數為()A.1B.2C.3D.4【答案解析】答案為：B；解析：函數f(x)=3x|lnx|－1的零點即3x|lnx|－1=0的解，即|lnx|=(eq\f(1,3))x的解，作出函數g(x)=|lnx|和函數h(x)=(eq\f(1,3))x的圖象，由圖象可知，兩函數圖象有兩個公共點，故函數f(x)=3x|lnx|－1有2個零點.LISTNUMOutlineDefault\l3若函數f(x)=2x＋a2x－2a的零點在區(qū)間(0,1)上，則實數a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))B.(－∞，1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))D.(1，＋∞)【答案解析】答案為：C.解析：易知函數f(x)的圖象連續(xù)，且在(0,1)上單調遞增.∴f(0)f(1)=(1－2a)(2＋a2－2a)<0，解得a>eq\f(1,2).LISTNUMOutlineDefault\l3設函數f(x)=eq\f(1,3)x－lnx(x>0)，則y=f(x)()A.在區(qū)間(SKIPIF1<0，1)，(1，e)內均有零點B.在區(qū)間(SKIPIF1<0，1)，(1，e)內均無零點C.在區(qū)間(SKIPIF1<0，1)內有零點，在區(qū)間(1，e)內無零點D.在區(qū)間(SKIPIF1<0，1)內無零點，在區(qū)間(1，e)內有零點【答案解析】答案為：D解析：由f(x)=eq\f(1,3)x－lnx(x>0)得f′(x)=eq\f(x－3,3x)，令f′(x)>0得x>3，令f′(x)<0得0<x<3，令f′(x)=0得x=3，所以函數f(x)在區(qū)間(0,3)上為減函數，在區(qū)間(3，＋∞)上為增函數，在點x=3處有極小值1－ln3<0，又f(1)=eq\f(1,3)>0，f(e)=eq\f(e,3)－1<0，f（SKIPIF1<0）=eq\f(1,3e)＋1>0，所以f(x)在區(qū)間(SKIPIF1<0，1)內無零點，在區(qū)間(1，e)內有零點.故選D.LISTNUMOutlineDefault\l3函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x>0時，f(x)=SKIPIF1<0，則函數g(x)=xf(x)－1在[－6，＋∞)上的所有零點之和為()A.8B.32C.eq\f(1,2)D.0【答案解析】答案為：A.解析：令g(x)=xf(x)－1=0，則x≠0，所以函數g(x)的零點之和等價于函數y=f(x)的圖象和y=eq\f(1,x)的圖象的交點的橫坐標之和，分別作出x>0時，y=f(x)和y=eq\f(1,x)的大致圖象，如圖所示，由于y=f(x)和y=eq\f(1,x)的圖象都關于原點對稱，因此函數g(x)在[－6,6]上的所有零點之和為0，而當x=8時，f(x)=eq\f(1,8)，即兩函數的圖象剛好有1個交點，且當x∈(8，＋∞)時，y=eq\f(1,x)的圖象都在y=f(x)的圖象的上方，因此g(x)在[－6，＋∞)上的所有零點之和為8.故選A.LISTNUMOutlineDefault\l3已知e是自然對數的底數，函數f(x)=ex＋x－2的零點為a，函數g(x)=lnx＋x－2的零點為b，則下列不等式成立的是()A.f(a)＜f(1)＜f(b)B.f(a)＜f(b)＜f(1)C.f(1)＜f(a)＜f(b)D.f(b)＜f(1)＜f(a)【答案解析】答案為：A；解析：函數f(x)，g(x)均為定義域上的單調遞增函數，且f(0)=－1＜0，f(1)=e－1＞0，g(1)=－1＜0，g(e)=e－1＞0，所以a∈(0，1)，b∈(1，e)，即a＜1＜b，所以f(a)＜f(1)＜f(b).LISTNUMOutlineDefault\l3函數y＝eq\f(1,1－x)的圖象與函數y＝2sinπx(－2≤x≤4)的圖象所有交點的橫坐標之和等于()A.2B.4C.6D.8【答案解析】答案為：D解析：圖象法求解.在同一坐標系中，分別作出函數y＝eq\f(1,1－x)與y＝2sinπx(－2≤x≤4)的圖象，y＝eq\f(－1,x－1)的對稱中心是(1,0)，也是y＝2sinπx(－2≤x≤4)的中心，當－2≤x≤4它們的圖象在x＝1的左側有4個交點，則x＝1右側必有4個交點.不妨把它們的橫坐標由小到大設為x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，則x1＋x8＝x2＋x7＝x3＋x6＝x4＋x5＝2，所以選D.LISTNUMOutlineDefault\l3已知函數f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx＋3，x≥0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，x＜0，))若方程f(f(x))－2=0恰有三個實數根，則實數k的取值范圍是()A.[0，＋∞)B.[1,3]C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,3)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,3)))【答案解析】答案為：C；解析：∵f(f(x))－2=0，∴f(f(x))=2，∴f(x)=－1或f(x)=－eq\f(1,k)(k≠0).(1)當k=0時，作出函數f(x)的圖象如圖①所示，由圖象可知f(x)=－1無解，∴k=0不符合題意；(2)當k＞0時，作出函數f(x)的圖象如圖②所示，由圖象可知f(x)=－1無解且f(x)=－eq\f(1,k)無解，即f(f(x))－2=0無解，不符合題意；(3)當k＜0時，作出函數f(x)的圖象如圖③所示，由圖象可知f(x)=－1有1個實根，∵f(f(x))－2=0有3個實根，∴f(x)=－eq\f(1,k)有2個實根，∴1＜－eq\f(1,k)≤3，解得－1＜k≤－eq\f(1,3).綜上，k的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,3)))，故選C.二 、填空題LISTNUMOutlineDefault\l3已知a＞0，函數f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2ax＋a，x≤0，,－x2＋2ax－2a，x＞0.))若關于x的方程f(x)=ax恰有2個互異的實數解，則a的取值范圍是________.【答案解析】答案為：(4，8)解析：當x≤0時，由x2＋2ax＋a=ax，得a=－x2－ax；當x＞0時，由－x2＋2ax－2a=ax，得2a=－x2＋ax.令g(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－ax，x≤0，,－x2＋ax，x＞0.))作出直線y=a，y=2a，函數g(x)的圖象如圖所示，g(x)的最大值為－eq\f(a2,4)＋eq\f(a2,2)=eq\f(a2,4)，由圖象可知，若f(x)=ax恰有2個互異的實數解，則a＜eq\f(a2,4)＜2a，得4＜a＜8.LISTNUMOutlineDefault\l3已知a是實數，函數f(x)＝2a|x|＋2x－a，若函數y＝f(x)有且僅有兩個零點，則實數a的取值范圍是________.【答案解析】答案為：(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：由題意易知a≠0，令f(x)＝0，即2a|x|＋2x－a＝0，變形得|x|－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,a)x，分別作出函數y1＝|x|－eq\f(1,2)，y2＝－eq\f(1,a)x的圖象，如圖所示.由圖易知，當0<－eq\f(1,a)<1或－1<－eq\f(1,a)<0，即a<－1或a>1時，y1和y2的圖象有兩個不同的交點，所以當a<－1或a>1時，函數y＝f(x)有且僅有兩個零點，即實數a的取值范圍是(－∞，－1)∪(1，＋∞).LISTNUMOutlineDefault\l3設函數f(x)對任意實數x滿足f(x)＝－f(x＋1)，且當0≤x≤1時，f(x)＝x(1－x)，若關于x的方程f(x)＝kx有3個不同的實數根，則k的取值范圍是________.【答案解析】答案為：(5－2eq\r(6)，1)∪{－3＋2eq\r(2)}.解析：因f(x)＝－f(x＋1)，故f(x＋2)＝f(x)，即函數f(x)是周期為2的周期函數，畫出函數y＝f(x)，x∈[0,1]的圖象，再借助函數滿足的條件f(x)＝－f(x＋1)及周期性，畫出函數y＝f(x)的圖象如圖，易知僅當直線y＝kx位于l1與l2之間(不包括l1，l2)或與l3重合時滿足題意，對y＝x(1－x)求導得y′＝1－2x，y′|x＝0＝1，∴l(xiāng)2的斜率為1.以下求l3的斜率：當1≤x≤2時，易得f(x)＝－f(x－1)＝－(