32兩因素方差分析課件

第三節(jié)兩因素試驗的

方差分析考查兩個因素對試驗指標的影響情況第三節(jié)兩因素試驗的

方差分析考查兩個因素對試驗指標的影響13.1交叉分組資料（cross－overclassification）的方差分析

設試驗考察A、B兩個因素，A因素分a個水平，B因素分b個水平。所謂交叉分組是指A因素每個水平與B因素的每個水平都要搭配，兩者交叉搭配形成ab個水平組合即處理，試驗因素A、B在試驗中處于平等地位

。如果將試驗單元分成ab個組，每組隨機接受一種處理，因而試驗數(shù)據(jù)也按兩因素兩方向分組，這種試驗數(shù)據(jù)資料稱為兩向分組資料，也叫交叉分組資料。分無重復觀測值和重復觀測值兩種類型。3.1交叉分組資料（cross－overclassif2對于A、B兩個試驗因素的全部ab個水平組合，每個水平組合只有一個觀測值（無重復），全試驗共有ab個觀測值，其數(shù)據(jù)模式如下表所示。3.1.1兩因素無重復試驗資料的方差分析對于A、B兩個試驗因素的全部ab個水平組合，每個水平組合只有3

表兩因素無重復觀測值的試驗數(shù)據(jù)模式注：A因素有a個水平，B因素有b個水平，共計有ab個水平組合，每一組合觀測一次，有ab個觀測值（表5），xij為A的第i水平與B的第j水平組合觀測值。表兩因素無重復觀測值的試驗數(shù)據(jù)模式注：A因素有a4A的第i水平b個觀測值之和A的第i水平b個觀測值的平均數(shù)B的第j水平a個觀測值之和B的第j水平a個觀測值的平均數(shù)ab個觀測值的總和ab個觀測值的總平均數(shù)A的第i水平b個觀測值之和A的第i水平b個觀測值的平均數(shù)B的5

兩因素無重復觀測值試驗資料的數(shù)學模型為：

式中，μ為總平均數(shù)；(5-26)αi，βj分別為Ai、Bj的效應；αi=μi-μ，βj=μj-μ，μi、μj分別為Ai、Bj觀測值總體平均數(shù)，且Σαi=0，Σβj=0；εij為隨機誤差，相互獨立，且服從N(0，σ2)兩因素無重復觀測值試驗資料的數(shù)學模型為：(5-26)6A因素的每個水平有b次重復，B因素的每個水平有a次重復，每個觀測值同時受到A、B兩因素及隨機誤差的作用。因此全部ab個觀測值的總變異可以分解為A因素水平間變異、B因素水平間變異及試驗誤差三部分；自由度也相應分解。離差平方和與自由度的分解如下：A因素的每個水平有b次重復，B因素的每個水平有a次重復，7矯正數(shù)總平方和A因素離差平方和B因素離差平方和各項離差平方和與自由度的計算公式為:誤差平方和SSe=SST-SSA-SSB總自由度dfT=ab-1A因素自由度dfA=a-1B因素自由度dfB=b-1誤差自由度dfe=dfT

-dfA–dfB

=(a-1)(b-1)矯正數(shù)各項離差平方和與自由度的計算公式為8相應均方為相應均方為9【例1】某廠現(xiàn)有化驗員3人，擔任該廠牛奶酸度（°T）的檢驗。每天從牛奶中抽樣一次進行檢驗，連續(xù)10天的檢驗分析結果見表6。試分析3名化驗員的化驗技術有無差異，以及每天的原料牛奶酸度有無差異（新鮮牛奶的酸度不超過20°T

）。化驗員B1B2B3B4B5B6B7B8B9B10xi.xi.A111.7110.8112.3912.5610.6413.2613.3412.6711.2712.68121.3312.13A211.7810.712.512.3510.3212.9313.8112.4811.612.65121.1212.11A311.6110.7512.412.4110.7213.113.5812.8811.4612.94121.8512.19x.j35.1032.2637.2937.3231.6839.2940.7338.0334.3338.27364.3x.j11.7010.7512.4312.4410.5613.1013.5812.6811.4412.76表1牛奶酸度測定結果【例1】某廠現(xiàn)有化驗員3人，擔任該廠牛奶酸度（°T）的檢驗。10A因素（化驗員）有3個水平，即a=3；B因素（天數(shù)）有10個水平，即b=10，共有a×b=3×10=30個觀測值。1計算各項離差平方和與自由度A因素（化驗員）有3個水平，即a=3；B因素（天數(shù)）有101132兩因素方差分析課件1232兩因素方差分析課件132列出方差分析表，進行F檢驗

表2資料的方差分析表變異來源SSdfMSF值顯著性化驗員間0.028320.01420.550日期間26.759192.9732115.240**誤差0.4635180.0258合計27.250929

結果表明，3個化驗員的化驗技術沒有顯著差異，不同日期牛奶的酸度有極顯著差異。注：F0.01(9,18）=3.602列出方差分析表，進行F檢驗表2資料的方143多重比較在兩因素無重復觀測值試驗中，A因素每一水平的重復數(shù)恰為B因素的水平數(shù)b，故A因素的標準誤為；同理，B因素的標準誤對例1分析，a=3，MSe=0.0258。故根據(jù)dfe=18，秩次距k=2，3，…，10，查臨界q值，計算最小顯著極差LSR，見表3。3多重比較對例1分析，a=3，MSe=0.0258。故根15

表3q值與LSR值dfe秩次距kq0.05q0.01LSR0.05LSR0.011822.974.070.280.3833.614.70.340.4444.005.090.370.4754.285.380.400.5064.495.60.420.5274.675.790.430.5484.825.940.450.5594.966.080.460.57105.076.20.470.58表3q值與LSR值dfe秩次距kq0.05q0.0116B因素各水平均值多重比較結果見表4測定日期x.jx.j-10.56x.j-10.7511.4411.7012.4312.4412.6812.7613.10B713.583.02**2.832.141.881.151.140.900.820.48B613.102.542.351.661.400.670.660.420.34B1012.762.202.011.321.060.330.320.08B812.682.121.931.240.980.250.24B412.441.881.691.000.740.01B312.431.871.680.990.73B111.701.140.950.26B911.440.880.69B210.750.19B510.56表4不同測定日牛奶酸度多重比較結果（q法）B因素各水平均值多重比較結果見表4測定日期x.jx.j-1017處理均值5%顯著水平1%極顯著水平B713.58a

AB613.10b

ABB1012.76bc

BCB812.68bc

BCB412.44c

CB312.43c

CB111.70d

DB911.44d

DB210.75e

EB510.56e

E附表：多重比較結果字母表示處理均值5%顯著水平1%極顯著水平B713.5818結果表明，除B2與B5，B1與B9，B4與B3，B8與B3、B4，B10與B3、B4、B8差異不顯著外，其余不同測定日間牛奶酸度均差異極顯著或顯著。酸度最高的是B7，最低的是B5和B2。從牛奶質(zhì)量要求看，連續(xù)10d的牛奶酸度均在鮮奶范圍內(nèi)。結果表明，除B2與B5，B1與B9，B4與B3，B19在進行兩個因素或多個因素的試驗時，除了要研究每一個因素對試驗指標的影響外，往往更希望知道因素之間的交互作用對試驗指標的影響情況。通過研究環(huán)境溫度、濕度、光照、氣體成分等環(huán)境條件對導致食品腐爛變質(zhì)的酶和微生物的活動的影響有無交互作用，對有效控制酶和微生物活動，保持食品質(zhì)量有著重要意義。在進行兩個因素或多個因素的試驗時，除了要研究每一20兩個因素無重復觀測值試驗只適用于兩個因素間無交互作用的情況；若兩因素間有交互作用，則每個水平組合中只設一個試驗單位(觀察單位)的試驗設計是不正確的或不完善的。這是因為：

(1)在這種情況下，SSe,dfe實際上是A、B兩因素交互作用平方和與自由度，所算得的MSe是交互作用均方，主要反映由交互作用引起的變異。(2)這時若仍按前述方法進行方差分析，由于誤差均方值大（包含交互作用在內(nèi)），有可能掩蓋試驗因素的顯著性，從而增大犯Ⅱ型錯誤的概率。(3)每個水平組合只有一個觀測值，無法估計真正的試驗誤差，因而不可能對因素的交互作用進行研究。兩個因素無重復觀測值試驗只適用于兩個因素間無交互21交互作用交互作用：在多因素試驗中一個因素對試驗結果的影響依賴于另一因素所取的水平時，稱兩因素有交互作用。在多因素對比試驗中，某些因素對指標的影響往往是互相制約、互相聯(lián)系的。即在試驗中不僅因素起作用，而且因素間有時聯(lián)合起來起作用，這種聯(lián)合作用并不等于各因素單獨作用所產(chǎn)生的影響之和，稱這種聯(lián)合作用為交互作用。例：某農(nóng)場對四塊大豆試驗田作施肥試驗。每塊田以不同的方式施以磷肥和氮肥，其產(chǎn)量如下：可以看出當施氮肥和不施氮肥時，施以4公斤磷肥后的增產(chǎn)數(shù)量是不同的當施磷肥和不施磷肥時，施以6公斤氮肥后的增產(chǎn)數(shù)量是不同的若N,P分別起作用時增產(chǎn)為50,30kg。但同時施時其效果并不是50+30=80kg，而是增產(chǎn)560-400=160kg，增加的80公斤則為交互作用的效果。P1=0P2=4P2-P1N1=040045050N1=6430560130N2-N130110交互作用可以看出P1=0P2=4P2-P1N1=04004522

對兩因素和多因素等重復試驗結果進行分析，可以研究因素的簡單效應、主效應和因素間的交互作用（互作效應）。3.1.2交叉分組兩因素等重復試驗的方差分析對兩因素和多因素等重復試驗結果進行分析，可以研23三種效應1．簡單效應（simpleeffect）是指在某一因素同一個水平上，比較另一因素不同水平對試驗指標的影響。三種效應1．簡單效應（simpleeffect）24三種效應2．主效應（maineffect）是指某一因素各水平間的平均差別。它與簡單效應的區(qū)別是，主效應指的是某一因素各水平間的平均差別是綜合了另一因素各水平與該因素每一水平所有組合的情況。三種效應2．主效應（maineffect）是指某一25三種效應3.互作效應（interactioneffect）如果某一因素的各簡單效應隨另一因素的水平變化而變化，而且變化的幅度超出隨機波動的程度，則稱兩個因素間存在互作效應。三種效應3.互作效應（interactioneff26設A、B兩因素，A因素有a個水平，B因素有b個水平，共有ab個水平組合，每個水平組合有n次重復試驗，則全試驗共有abn個觀測值。試驗結果的數(shù)據(jù)模式如表5所示。兩因素等重復試驗的方差分析設A、B兩因素，A因素有a個水平，B因素有b個水27表5兩因素等重復觀測值試驗數(shù)據(jù)模式

表5兩因素等重復觀測值試驗數(shù)據(jù)模式28A因素B因素Ai合計xi..B1B2…BbA1x1jlx111x121…x1b1x112x122…x1b2x1..x113x123…x1b3…………x11nx12n…x1bnx1j.x11.x12.x1b.x1j.x11.x12.x1b.A2………………………………兩因素等重復試驗數(shù)據(jù)模式（部分）A因素B因素Ai合計xi..B1B2…BbA1x1jlx1129表5中每個組合處理n次重復之和B因素第j水平an個數(shù)據(jù)之和abn個數(shù)據(jù)總和A因素第i水平bn個數(shù)據(jù)之和表5中每個組合處理n次重復之和B因素第j水平an個數(shù)據(jù)之30其中，為總平均數(shù)；αi為Ai的效應；βj為Bj的效應；(αβ)ij為Ai與Bj的互作效應。(5-32)兩因素等重復試驗資料的數(shù)學模型為:分別為Ai、Bj、AiBj觀測值總體平均數(shù)；且其中，為總平均數(shù)；(5-32)兩因素等重復試313.1.2.1離差平方和與自由度分解其中，SSA×B，dfA×B為A因素與B因素交互作用平方和與自由度。

為隨機誤差，相互獨立，且服從N（0，σ2）。3.1.2.1離差平方和與自由度分解其中，SSA×B，d32若用SSAB，dfAB表示A、B水平組合間的平方和與自由度，即處理間平方和與自由度，則處理引起的變異可進一步剖分為A因素、B因素及A、B交互作用三部分，于是SSAB、dfAB可分解為：

若用SSAB，dfAB表示A、B水平組合間的平方33矯正數(shù)

總平方和與自由度因素水平組合平方和與自由度A因素平方和與自由度各項平方和、自由度及均方的計算公式如下：B因素平方和與自由度矯正數(shù)總平方和與自由度因素水平組合平方和與自由度A因素平方和34

交互作用平方和與自由度誤差平方和與自由度所以，相應均方為因素A的方差因素B的方差A、B互作的方差誤差方差交互作用平方和與自由度誤差平方和與自由度所以，相應353.1.2.2列方差分析表，進行F檢驗3.1.2.2列方差分析表，進行F檢驗36FA顯著，應對A因素各水平的平均數(shù)作多重比較，其平均數(shù)標準誤為：FB顯著，應對B因素各水平的平均數(shù)作多重比較，其平均數(shù)標準誤為：FAB顯著，應對各組合的平均數(shù)作多重比較，其平均數(shù)標準誤為：

3.1.2.3多重比較FA顯著，應對A因素各水平的平均數(shù)作多重比較，其平均數(shù)標準誤37溫度（A）pH值（B）B1B2B3A1876875866A2978997866A37810779689表63種溫度對3種pH值對酶活性的影響【例2】現(xiàn)有3種溫度3種pH值對酶活性的影響試驗結果，試作方差分析溫度（A）pH值（B）B1B2B3A1876875866A238A因素（溫度）有3個水平，即a=3；B因素（pH值）有3個水平，即b=3；共有ab=3×3=9個水平組合；每個水平組合重復數(shù)n=3；全試驗共有=3×3×3=27個觀測值。

（1）計算各項平方和與自由度

A因素（溫度）有3個水平，即a=3；B因素（pH值3932兩因素方差分析課件4032兩因素方差分析課件41變異來源平方和自由度均方F值顯著性A因素間6.2323.125.29*B因素間1.5620.781.32AxB22.2145.559.41**誤差10.67180.59總變異40.6726表7方差分析表（2）列出方差分析表，進行F檢驗查臨界F值：F0.05（2,18）=3.55，F(xiàn)0.01（2,18）=6.01；

F0.01（4,18）=4.58。因為，F(xiàn)A＞F0.05(2,18）；FB<F0.05(2,18）；FA×B＞F0.01（4,18），表明不同溫度、pH值與溫度之間的互作對酶活性有顯著或極顯著影響，而pH間的差異不顯著。因此，應進一步進行不同溫度處理均數(shù)間、各水平均數(shù)間的多重比較。變異來源平方和自由度均方F值顯著性A因素間42

①溫度因為A因素各水平的重復數(shù)為bn，故A因素各水平的標準誤為：對本例而言，（3）多重比較由dfe=18，秩次距k=2,3，從附表5中查出SSR0.05與SSR0.01的臨界值，計算LSR值，結果列于表8。①溫度（3）多重比較由dfe=18，秩次距k43

表8配方各水平均數(shù)比較SSR值與LSR值dfe秩次距SSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.011822.974.070.761.0433.124.270.801.09處理均值5%顯著水平1%極顯著水平A3

7.9a

AA2

7.7a

ABA1

6.8b

B表9配方間平均數(shù)多重比較結果（SSR法）因素A主效應分析，結果表明溫度A3與A1之間差異極顯著，A2與A1差異顯著，A2與A3差異不顯著。

表8配方各水平均數(shù)比較SSR值與LSR值dfe秩次距S44因B因素各水平的重復數(shù)為an，故B因素各水平的標準誤為：在本例，B因素的影響不顯著，不必進行多重比較。以上所進行的多重比較，實際上是A、B兩因素主效應的檢驗。若A、B因素交互作用不顯著，則可從主效應檢驗中分別選出A、B因素的最優(yōu)水平，得到最優(yōu)水平組合；若A、B因素交互作用顯著，則應進行水平組合平均數(shù)間的多重比較，以選出最優(yōu)水平組合，同時可進行簡單效應的檢驗。

因B因素各水平的重復數(shù)為an，故B因素各水平的標準誤為45

因為水平組合數(shù)通常較大(本例ab=3×3=9)，采用最小顯著極差法進行各水平組合平均數(shù)的比較，計算較麻煩。為了簡便起見，常采用LSD法。

46

因為水平組合的重復數(shù)為n，故水平組合的標準誤為：本例

②各水平組合平均數(shù)間的比較因為水平組合的重復數(shù)為n，故水平組合的標準誤為：47水平組合均值5%顯著水平1%極顯著水平A3B39.3aAA2B18.7abABA1B18.0abcABA3B27.7bcABCA2B27.3bcBCA2B37.0cdBCA1B26.7cdBCA3B16.7cdBCA1B35.7dC表15個水平組合平均數(shù)多重比較結果（SSR法）分析結果表明，A3B3，A2B1，A1B1為優(yōu)組合，按此組合選用溫度和pH值可望得到較好的酶活性。水平組合均值5%顯著水平1%極顯著水平A3B39.348以上的比較結果可以看出，當A、B因素的交互作用顯著時，一般不必進行兩個因素主效應的顯著性檢驗（因為這時主效應的顯著性在實用意義上并不重要），而直接進行各水平組合平均數(shù)的多重比較，選出最優(yōu)水平組合。以上的比較結果可以看出，當A、B因素的交互作用顯49簡單效應的檢驗

簡單效應實際上是特定水平組合平均數(shù)間的差數(shù)。檢驗尺度仍為互作效應檢驗中的LSD簡單效應的檢驗

簡單效應實際上是特定水平組合平均數(shù)間的差數(shù)。50有人設計3個羅非魚品種A1、A2、A3和A4不同蛋白質(zhì)水平餌料B1、B2、B3，每個處理配置兩個魚池進行試驗。試驗期內(nèi)每池的產(chǎn)魚量（kg）如下表。試作方差分析。有人設計3個羅非魚品種A1、A2、A3和A4不同蛋白質(zhì)水平餌51試驗期內(nèi)的產(chǎn)魚量（kg）品種蛋白質(zhì)水平B1B2B3B4A1134.0130.1129.8129.0132.7132.8126.7128.9A2132.0130.2128.7127.6133.2129.8128.1127.8A3128.4127.3129.7128.8129.3128.9127.3129.1試驗期內(nèi)的產(chǎn)魚量（kg）品種蛋白質(zhì)水平B1B252解:1、提出假設,2、平方和、自由度的分解解:1、提出假設,5332兩因素方差分析課件5432兩因素方差分析課件5532兩因素方差分析課件5632兩因素方差分析課件5732兩因素方差分析課件58

(2)、方差分析表(2)、方差分析表59因為互作不顯著，則將互作合并到誤差項中因為互作不顯著，則將互作合并到誤差項中60

(2)、方差分析表(2)、方差分析表61（3）對B因素進行比較多重比較（SSR法）（3）對B因素進行比較多重比較（SSR法）62

多重比較表（字母標記法）多重比較表（字母標記法）633.2系統(tǒng)分組資料的方差分析32兩因素方差分析課件64系統(tǒng)分組（hierarchicalclassification）設計，又稱為巢式設計、樹狀設計、多因子嵌套設計假設有A、B兩個因子，這兩個因子的搭配組成不再是上一節(jié)的交叉構成，而是B因子嵌套在A因子內(nèi)，即B因子為次級因子：A因子的某一個水平包含了B因子部分水平A因子的另一個水平包含了B因子的另一部分水平即：B因子的水平僅從屬于A因子的一個水平而A因子的水平并不包含B因子的所有水平系統(tǒng)分組（hierarchicalclassificati65如果有第三個因子C，則C因子嵌套在B因子內(nèi)如果有第四個因子D，則D因子嵌套在C因子內(nèi)以此類推其數(shù)據(jù)結構呈現(xiàn)樹狀結構如行政區(qū)劃，就是典型的系統(tǒng)結構：國家包含若干個省（A）、一個?。ˋ）包含若干個市（B）、一個市（B）包含若干個縣（C）、一個縣（C）包含若干個鎮(zhèn)（D）、一個鎮(zhèn)（D）包含若干個村（E）再如：植物生理學實驗中：不同植株（A）、同一植株不同枝條（B）、同一枝條不同部位（C）如果有第三個因子C，則C因子嵌套在B因子內(nèi)66在這種數(shù)據(jù)結構中，各因子的重要性是不完全相等的，下一級因子的重要性往往低于上一級因子

A1…Ai…AaB11B12…B1bBi1Bi2…Bib…Ba1Ba2…Bab

C111C112…C11c…Ca11Ca12…Ca1c

A因子稱為一級因子，B因子稱為二級因子，…因子之間是一種從屬關系，而非上一節(jié)A、B因子的交叉構成中所討論的那種平行關系

在這種數(shù)據(jù)結構中，各因子的重要性是不完全相等的，下一級因子67下面我們寫出兩因子系統(tǒng)分組資料的數(shù)據(jù)結構：A因子B因子觀測值B因子和A因子和T

A1B11x111x112…x11.B12x121x122…x12.…x1..A2B21x211x212…x21.B22x221x222…x22.……x2..AiBi1xi11xi12…xi1.

Bi2xi21xi22…xi2.……xi..ApBp1xp11xp12…xp1.

Bp2xp21xp22…xp2.…xp..x…下面我們寫出兩因子系統(tǒng)分組資料的數(shù)據(jù)結構：68根據(jù)這一數(shù)據(jù)結構我們可以寫出其數(shù)學模型：式中，μ為總體平均αi為A因子第i個水平的效應βij為A因子第i個水平下的B因子第j個水平的效應εijk為隨機誤差，且p為A因子的水平數(shù)；qi為第i個A因子水平下B因子的水平數(shù)；nij為第i個A水平中第j個B水平中的觀測值根據(jù)這一數(shù)據(jù)結構我們可以寫出其數(shù)學模型：69平方和及自由度的分解總離均差因素A離均差平方和因素B離均差平方和試驗誤差平方和分解上式中，右手第二項稱為A因子內(nèi)B因子水平間SS平方和及自由度的分解總離均差因素A離均差平方和因素B70自由度分解滿足不等式;自由度分解滿足不等式;71雙因素系統(tǒng)實驗方差分析程序■1.提出原假設和備擇假設■2.

計算統(tǒng)計量H01:H11:一級因素A無顯著差異一級因素A有顯著差異H02:H12:二級因素B無顯著差異二級因素B有顯著差異雙因素系統(tǒng)實驗方差分析程序■1.提出原假設和備擇假設■72首先:確定二級因素的顯著性對于給定的顯著水平a,查F分布分位數(shù)表,若判定二級因素影響顯著,否則判定其不顯著■3.構造統(tǒng)計量F,并進行F檢驗首先:確定二級因素的顯著性對于給定的顯著水平a,查F分布分位73其中:若B顯著若B不顯著對于給定的顯著水平a,查F分布分位數(shù)表,若或判定A顯著,否則不顯著其次:確定一級因素的顯著性其中:若B顯著若B不顯著對于給定的顯著水平a,查F分布分位數(shù)74■4.列方差分析表方差來源平方和S自由度均方MSF值Fa顯著性一級因素A二級因素B誤差eSSASSB(A)SSea-1ab-aAb(r-1)顯著總和SSTabr-1■4.列方差分析表方差來源平方和S自由度均方MS75■4.列方差分析表方差來源平方和S自由度均方MSF值Fa顯著性一級因素A二級因素B誤差eSSASSB(A)SSea-1ab-aAb(r-1)不顯著總和SSTabr-1■4.列方差分析表方差來源平方和S自由度均方MS76例1：隨機選取4株植物，在每一植株內(nèi)隨機選取兩片葉子，用取樣器從每一片葉子上選取同樣面積的三個樣品，稱取濕重xijk（g），得數(shù)據(jù)如下表（數(shù)據(jù)已經(jīng)過了簡化）SDxijkrbrxij.平均xi..平均112.22.32.036.52.1722.02.12.3366.42.1312.92.15231.61.51.734.81.6041.82.01.7365.51.8310.31.723

52.62.52.237.32.43

62.42.42.2367.02.3314.32.38471.81.51.735.01.6781.51.61.4364.51.509.51.58242447.047例1：隨機選取4株植物，在每一植株內(nèi)隨機選取兩片葉子，用取樣77上表中，a=4，b=2，r=3N=24校正值C=92.0417SST

=(2.22+2.32+….1.42)-C=95.02-C=2.9783SSS

=(12.92+…+9.52)/6-C=94.54-C=2.4983（一級樣本間）SSD(S)

=(6.52+…+4.52)/3-(12.92+…+9.52)/6=94.68-94.54=0.14（二級樣本間）SSe

=SST–SSS-SSD(S)=2.9783-2.4983-0.14=0.34上表中，a=4，b=2，r=3N=2478自由度：dfT

=4×2×3–1=23dfS

=4–1=3dfD(S)

=4×(2-1)=4dfe

=4×2×(3-1)=16將平方和及自由度填入方差分析表中，并計算各均方和F值：自由度：79方差分析表：變異來源

SSdfMSFF0.05F0.01植株間S2.498330.832823.79**6.5916.69葉片間D0.1440.0351.643.01誤差e0.34160.02125

T2.978323上述計算中，方差分析表：80即：兩個不同級別的F值均由下一級的MS作為比較標準，而不再是統(tǒng)一由誤差項均方作為比較標準而查Fα所用的自由度也應作相應的變動，即：FS的自由度分別為df1=3，df2=4FD的自由度分別為df1=4，df2=16由于不同植株間的濕重差異極顯著，而葉片間差異不顯著，因此，應對植株間（一級樣本）作多重比較：即：兩個不同級別的F值均由下一級的MS作為比較標準，81R234植株0.050.01q0.053.935.005.7632.38aAq0.016.518.129.1712.15aABLSR0.050.300.380.4421.72bBLSR0.010.500.620.7041.58bB如果葉片間差異亦顯著，由于不是我們研究的重點，故可不進行多重比比較。

R23823.3方差分析處理效應分類32兩因素方差分析課件83固定因子：如果一個因子的各個水平是我們有目的地挑選出來的，而我們的研究目的是要比較這些因子之間有無差異或估計這些水平的效應，則稱之為固定因子，該因子各個水平的效應稱為固定效應。隨機因子：如果一個因子的各個水平是從該因子的所有可能水平中隨機抽取的，我們的研究目的不僅僅是要比較這些水平之間有無差異，而是了解該因子不同水平的總體變異情況，即對該總體的方差進行檢驗或估計，則稱之為隨機因子，該因子各個水平的效應稱為隨機效應。固定因子：84若按處理效應的類別來劃分方差分析的模型，在單因素試驗中，有2種，即固定模型和隨機模型；在多因素試驗中，有3種，即固定模型、隨機模型和混合模型。就試驗資料的具體統(tǒng)計分析過程而言，這3種模型的差別并不大，但從解釋和理論基礎而言，它們之間是有很重要的區(qū)別的。不論設計試驗、解釋實驗結果，還是最后進行統(tǒng)計推斷，都必須了解這3種模型的意思和區(qū)別。若按處理效應的類別來劃分方差分析的模型，在單因素試驗中，有285方差分析的基本思想方差分析的實質(zhì)就是檢驗多個正態(tài)總體均值是否相等。數(shù)據(jù)波動由兩方面引起：因素水平的不同引起；偶然誤差引起方差分析的基本思想：試驗數(shù)據(jù)波動分解成兩部分，一部分反映由因素水平不同引起的波動，另一部分反映由試驗誤差引起的波動?？偲钇椒胶头纸鉃榉从潮厝恍缘母鱾€因素的偏差平方和與反映偶然性的誤差平方和，并計算它們的平均偏差平方和（方差）。將兩者進行比較，借助F檢驗法，檢驗假設H0：μ0＝μ1＝μ2＝…＝μ，從而確定因素對試驗結果的的影響是否顯著。方差分析的基本思想方差分析的實質(zhì)就是檢驗多個正態(tài)總體均值是否86SPSS例題：兩因素無重復觀測值為了考察pH值和硫酸酮溶液濃度對化驗血清中的白蛋白與球蛋白的影響,對pH值取4個水平(A),對硫酸酮溶液濃度取3個水平(B),在不同組合下測定白蛋白與球蛋白之比,具體見下表.試檢驗兩個因素對化驗結果有無顯著影響?B1B2B3A13.52.32.0A22.62.01.9A32.01.51.2A41.40.80.3SPSS例題：兩因素無重復觀測值為了考察pH值和硫酸酮溶液濃8732兩因素方差分析課件88溫度（A）pH值（B）B1B2B3A1876875866A2978997866A378107796893種溫度對3種pH值對酶活性的影響【SPSS例題：兩因素有重復觀測值】現(xiàn)有3種溫度3種pH值對酶活性的影響試驗結果，試作方差分析溫度（A）pH值（B）B1B2B3A1876875866A28932兩因素方差分析課件90【SPSS例題：兩因素系統(tǒng)分組方差分析】

：對5個雜交水稻品種的干物質(zhì)累計過程進行系統(tǒng)測定，每次測定隨機取2個樣點，每個樣點取5株。測定結果如下，試作方差分析。品種A樣點B干物質(zhì)重量xijlA117.88.99.211.410.5212.110.68.79.910.1A237.48.88.97.89.846.26.65.37.58.1A3512.610.211.411.812.1615.215.112.312.512.9A475.84.76.67.47.986.46.88.17.27.9A5913.815.113.412.616.61011.717.215.615.115.8【SPSS例題：兩因素系統(tǒng)分組方差分析】：對5個雜交水稻品9132兩因素方差分析課件92第三節(jié)兩因素試驗的

方差分析考查兩個因素對試驗指標的影響情況第三節(jié)兩因素試驗的

方差分析考查兩個因素對試驗指標的影響933.1交叉分組資料（cross－overclassification）的方差分析

設試驗考察A、B兩個因素，A因素分a個水平，B因素分b個水平。所謂交叉分組是指A因素每個水平與B因素的每個水平都要搭配，兩者交叉搭配形成ab個水平組合即處理，試驗因素A、B在試驗中處于平等地位

。如果將試驗單元分成ab個組，每組隨機接受一種處理，因而試驗數(shù)據(jù)也按兩因素兩方向分組，這種試驗數(shù)據(jù)資料稱為兩向分組資料，也叫交叉分組資料。分無重復觀測值和重復觀測值兩種類型。3.1交叉分組資料（cross－overclassif94對于A、B兩個試驗因素的全部ab個水平組合，每個水平組合只有一個觀測值（無重復），全試驗共有ab個觀測值，其數(shù)據(jù)模式如下表所示。3.1.1兩因素無重復試驗資料的方差分析對于A、B兩個試驗因素的全部ab個水平組合，每個水平組合只有95

表兩因素無重復觀測值的試驗數(shù)據(jù)模式注：A因素有a個水平，B因素有b個水平，共計有ab個水平組合，每一組合觀測一次，有ab個觀測值（表5），xij為A的第i水平與B的第j水平組合觀測值。表兩因素無重復觀測值的試驗數(shù)據(jù)模式注：A因素有a96A的第i水平b個觀測值之和A的第i水平b個觀測值的平均數(shù)B的第j水平a個觀測值之和B的第j水平a個觀測值的平均數(shù)ab個觀測值的總和ab個觀測值的總平均數(shù)A的第i水平b個觀測值之和A的第i水平b個觀測值的平均數(shù)B的97

兩因素無重復觀測值試驗資料的數(shù)學模型為：

式中，μ為總平均數(shù)；(5-26)αi，βj分別為Ai、Bj的效應；αi=μi-μ，βj=μj-μ，μi、μj分別為Ai、Bj觀測值總體平均數(shù)，且Σαi=0，Σβj=0；εij為隨機誤差，相互獨立，且服從N(0，σ2)兩因素無重復觀測值試驗資料的數(shù)學模型為：(5-26)98A因素的每個水平有b次重復，B因素的每個水平有a次重復，每個觀測值同時受到A、B兩因素及隨機誤差的作用。因此全部ab個觀測值的總變異可以分解為A因素水平間變異、B因素水平間變異及試驗誤差三部分；自由度也相應分解。離差平方和與自由度的分解如下：A因素的每個水平有b次重復，B因素的每個水平有a次重復，99矯正數(shù)總平方和A因素離差平方和B因素離差平方和各項離差平方和與自由度的計算公式為:誤差平方和SSe=SST-SSA-SSB總自由度dfT=ab-1A因素自由度dfA=a-1B因素自由度dfB=b-1誤差自由度dfe=dfT

-dfA–dfB

=(a-1)(b-1)矯正數(shù)各項離差平方和與自由度的計算公式為100相應均方為相應均方為101【例1】某廠現(xiàn)有化驗員3人，擔任該廠牛奶酸度（°T）的檢驗。每天從牛奶中抽樣一次進行檢驗，連續(xù)10天的檢驗分析結果見表6。試分析3名化驗員的化驗技術有無差異，以及每天的原料牛奶酸度有無差異（新鮮牛奶的酸度不超過20°T

）?；瀱TB1B2B3B4B5B6B7B8B9B10xi.xi.A111.7110.8112.3912.5610.6413.2613.3412.6711.2712.68121.3312.13A211.7810.712.512.3510.3212.9313.8112.4811.612.65121.1212.11A311.6110.7512.412.4110.7213.113.5812.8811.4612.94121.8512.19x.j35.1032.2637.2937.3231.6839.2940.7338.0334.3338.27364.3x.j11.7010.7512.4312.4410.5613.1013.5812.6811.4412.76表1牛奶酸度測定結果【例1】某廠現(xiàn)有化驗員3人，擔任該廠牛奶酸度（°T）的檢驗。102A因素（化驗員）有3個水平，即a=3；B因素（天數(shù)）有10個水平，即b=10，共有a×b=3×10=30個觀測值。1計算各項離差平方和與自由度A因素（化驗員）有3個水平，即a=3；B因素（天數(shù)）有1010332兩因素方差分析課件10432兩因素方差分析課件1052列出方差分析表，進行F檢驗

表2資料的方差分析表變異來源SSdfMSF值顯著性化驗員間0.028320.01420.550日期間26.759192.9732115.240**誤差0.4635180.0258合計27.250929

結果表明，3個化驗員的化驗技術沒有顯著差異，不同日期牛奶的酸度有極顯著差異。注：F0.01(9,18）=3.602列出方差分析表，進行F檢驗表2資料的方1063多重比較在兩因素無重復觀測值試驗中，A因素每一水平的重復數(shù)恰為B因素的水平數(shù)b，故A因素的標準誤為；同理，B因素的標準誤對例1分析，a=3，MSe=0.0258。故根據(jù)dfe=18，秩次距k=2，3，…，10，查臨界q值，計算最小顯著極差LSR，見表3。3多重比較對例1分析，a=3，MSe=0.0258。故根107

表3q值與LSR值dfe秩次距kq0.05q0.01LSR0.05LSR0.011822.974.070.280.3833.614.70.340.4444.005.090.370.4754.285.380.400.5064.495.60.420.5274.675.790.430.5484.825.940.450.5594.966.080.460.57105.076.20.470.58表3q值與LSR值dfe秩次距kq0.05q0.01108B因素各水平均值多重比較結果見表4測定日期x.jx.j-10.56x.j-10.7511.4411.7012.4312.4412.6812.7613.10B713.583.02**2.832.141.881.151.140.900.820.48B613.102.542.351.661.400.670.660.420.34B1012.762.202.011.321.060.330.320.08B812.682.121.931.240.980.250.24B412.441.881.691.000.740.01B312.431.871.680.990.73B111.701.140.950.26B911.440.880.69B210.750.19B510.56表4不同測定日牛奶酸度多重比較結果（q法）B因素各水平均值多重比較結果見表4測定日期x.jx.j-10109處理均值5%顯著水平1%極顯著水平B713.58a

AB613.10b

ABB1012.76bc

BCB812.68bc

BCB412.44c

CB312.43c

CB111.70d

DB911.44d

DB210.75e

EB510.56e

E附表：多重比較結果字母表示處理均值5%顯著水平1%極顯著水平B713.58110結果表明，除B2與B5，B1與B9，B4與B3，B8與B3、B4，B10與B3、B4、B8差異不顯著外，其余不同測定日間牛奶酸度均差異極顯著或顯著。酸度最高的是B7，最低的是B5和B2。從牛奶質(zhì)量要求看，連續(xù)10d的牛奶酸度均在鮮奶范圍內(nèi)。結果表明，除B2與B5，B1與B9，B4與B3，B111在進行兩個因素或多個因素的試驗時，除了要研究每一個因素對試驗指標的影響外，往往更希望知道因素之間的交互作用對試驗指標的影響情況。通過研究環(huán)境溫度、濕度、光照、氣體成分等環(huán)境條件對導致食品腐爛變質(zhì)的酶和微生物的活動的影響有無交互作用，對有效控制酶和微生物活動，保持食品質(zhì)量有著重要意義。在進行兩個因素或多個因素的試驗時，除了要研究每一112兩個因素無重復觀測值試驗只適用于兩個因素間無交互作用的情況；若兩因素間有交互作用，則每個水平組合中只設一個試驗單位(觀察單位)的試驗設計是不正確的或不完善的。這是因為：

(1)在這種情況下，SSe,dfe實際上是A、B兩因素交互作用平方和與自由度，所算得的MSe是交互作用均方，主要反映由交互作用引起的變異。(2)這時若仍按前述方法進行方差分析，由于誤差均方值大（包含交互作用在內(nèi)），有可能掩蓋試驗因素的顯著性，從而增大犯Ⅱ型錯誤的概率。(3)每個水平組合只有一個觀測值，無法估計真正的試驗誤差，因而不可能對因素的交互作用進行研究。兩個因素無重復觀測值試驗只適用于兩個因素間無交互113交互作用交互作用：在多因素試驗中一個因素對試驗結果的影響依賴于另一因素所取的水平時，稱兩因素有交互作用。在多因素對比試驗中，某些因素對指標的影響往往是互相制約、互相聯(lián)系的。即在試驗中不僅因素起作用，而且因素間有時聯(lián)合起來起作用，這種聯(lián)合作用并不等于各因素單獨作用所產(chǎn)生的影響之和，稱這種聯(lián)合作用為交互作用。例：某農(nóng)場對四塊大豆試驗田作施肥試驗。每塊田以不同的方式施以磷肥和氮肥，其產(chǎn)量如下：可以看出當施氮肥和不施氮肥時，施以4公斤磷肥后的增產(chǎn)數(shù)量是不同的當施磷肥和不施磷肥時，施以6公斤氮肥后的增產(chǎn)數(shù)量是不同的若N,P分別起作用時增產(chǎn)為50,30kg。但同時施時其效果并不是50+30=80kg，而是增產(chǎn)560-400=160kg，增加的80公斤則為交互作用的效果。P1=0P2=4P2-P1N1=040045050N1=6430560130N2-N130110交互作用可以看出P1=0P2=4P2-P1N1=040045114

對兩因素和多因素等重復試驗結果進行分析，可以研究因素的簡單效應、主效應和因素間的交互作用（互作效應）。3.1.2交叉分組兩因素等重復試驗的方差分析對兩因素和多因素等重復試驗結果進行分析，可以研115三種效應1．簡單效應（simpleeffect）是指在某一因素同一個水平上，比較另一因素不同水平對試驗指標的影響。三種效應1．簡單效應（simpleeffect）116三種效應2．主效應（maineffect）是指某一因素各水平間的平均差別。它與簡單效應的區(qū)別是，主效應指的是某一因素各水平間的平均差別是綜合了另一因素各水平與該因素每一水平所有組合的情況。三種效應2．主效應（maineffect）是指某一117三種效應3.互作效應（interactioneffect）如果某一因素的各簡單效應隨另一因素的水平變化而變化，而且變化的幅度超出隨機波動的程度，則稱兩個因素間存在互作效應。三種效應3.互作效應（interactioneff118設A、B兩因素，A因素有a個水平，B因素有b個水平，共有ab個水平組合，每個水平組合有n次重復試驗，則全試驗共有abn個觀測值。試驗結果的數(shù)據(jù)模式如表5所示。兩因素等重復試驗的方差分析設A、B兩因素，A因素有a個水平，B因素有b個水119表5兩因素等重復觀測值試驗數(shù)據(jù)模式

表5兩因素等重復觀測值試驗數(shù)據(jù)模式120A因素B因素Ai合計xi..B1B2…BbA1x1jlx111x121…x1b1x112x122…x1b2x1..x113x123…x1b3…………x11nx12n…x1bnx1j.x11.x12.x1b.x1j.x11.x12.x1b.A2………………………………兩因素等重復試驗數(shù)據(jù)模式（部分）A因素B因素Ai合計xi..B1B2…BbA1x1jlx11121表5中每個組合處理n次重復之和B因素第j水平an個數(shù)據(jù)之和abn個數(shù)據(jù)總和A因素第i水平bn個數(shù)據(jù)之和表5中每個組合處理n次重復之和B因素第j水平an個數(shù)據(jù)之122其中，為總平均數(shù)；αi為Ai的效應；βj為Bj的效應；(αβ)ij為Ai與Bj的互作效應。(5-32)兩因素等重復試驗資料的數(shù)學模型為:分別為Ai、Bj、AiBj觀測值總體平均數(shù)；且其中，為總平均數(shù)；(5-32)兩因素等重復試1233.1.2.1離差平方和與自由度分解其中，SSA×B，dfA×B為A因素與B因素交互作用平方和與自由度。

為隨機誤差，相互獨立，且服從N（0，σ2）。3.1.2.1離差平方和與自由度分解其中，SSA×B，d124若用SSAB，dfAB表示A、B水平組合間的平方和與自由度，即處理間平方和與自由度，則處理引起的變異可進一步剖分為A因素、B因素及A、B交互作用三部分，于是SSAB、dfAB可分解為：

若用SSAB，dfAB表示A、B水平組合間的平方125矯正數(shù)

總平方和與自由度因素水平組合平方和與自由度A因素平方和與自由度各項平方和、自由度及均方的計算公式如下：B因素平方和與自由度矯正數(shù)總平方和與自由度因素水平組合平方和與自由度A因素平方和126

交互作用平方和與自由度誤差平方和與自由度所以，相應均方為因素A的方差因素B的方差A、B互作的方差誤差方差交互作用平方和與自由度誤差平方和與自由度所以，相應1273.1.2.2列方差分析表，進行F檢驗3.1.2.2列方差分析表，進行F檢驗128FA顯著，應對A因素各水平的平均數(shù)作多重比較，其平均數(shù)標準誤為：FB顯著，應對B因素各水平的平均數(shù)作多重比較，其平均數(shù)標準誤為：FAB顯著，應對各組合的平均數(shù)作多重比較，其平均數(shù)標準誤為：

3.1.2.3多重比較FA顯著，應對A因素各水平的平均數(shù)作多重比較，其平均數(shù)標準誤129溫度（A）pH值（B）B1B2B3A1876875866A2978997866A37810779689表63種溫度對3種pH值對酶活性的影響【例2】現(xiàn)有3種溫度3種pH值對酶活性的影響試驗結果，試作方差分析溫度（A）pH值（B）B1B2B3A1876875866A2130A因素（溫度）有3個水平，即a=3；B因素（pH值）有3個水平，即b=3；共有ab=3×3=9個水平組合；每個水平組合重復數(shù)n=3；全試驗共有=3×3×3=27個觀測值。

（1）計算各項平方和與自由度

A因素（溫度）有3個水平，即a=3；B因素（pH值13132兩因素方差分析課件13232兩因素方差分析課件133變異來源平方和自由度均方F值顯著性A因素間6.2323.125.29*B因素間1.5620.781.32AxB22.2145.559.41**誤差10.67180.59總變異40.6726表7方差分析表（2）列出方差分析表，進行F檢驗查臨界F值：F0.05（2,18）=3.55，F(xiàn)0.01（2,18）=6.01；

F0.01（4,18）=4.58。因為，F(xiàn)A＞F0.05(2,18）；FB<F0.05(2,18）；FA×B＞F0.01（4,18），表明不同溫度、pH值與溫度之間的互作對酶活性有顯著或極顯著影響，而pH間的差異不顯著。因此，應進一步進行不同溫度處理均數(shù)間、各水平均數(shù)間的多重比較。變異來源平方和自由度均方F值顯著性A因素間134

①溫度因為A因素各水平的重復數(shù)為bn，故A因素各水平的標準誤為：對本例而言，（3）多重比較由dfe=18，秩次距k=2,3，從附表5中查出SSR0.05與SSR0.01的臨界值，計算LSR值，結果列于表8。①溫度（3）多重比較由dfe=18，秩次距k135

表8配方各水平均數(shù)比較SSR值與LSR值dfe秩次距SSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.011822.974.070.761.0433.124.270.801.09處理均值5%顯著水平1%極顯著水平A3

7.9a

AA2

7.7a

ABA1

6.8b

B表9配方間平均數(shù)多重比較結果（SSR法）因素A主效應分析，結果表明溫度A3與A1之間差異極顯著，A2與A1差異顯著，A2與A3差異不顯著。

表8配方各水平均數(shù)比較SSR值與LSR值dfe秩次距S136因B因素各水平的重復數(shù)為an，故B因素各水平的標準誤為：在本例，B因素的影響不顯著，不必進行多重比較。以上所進行的多重比較，實際上是A、B兩因素主效應的檢驗。若A、B因素交互作用不顯著，則可從主效應檢驗中分別選出A、B因素的最優(yōu)水平，得到最優(yōu)水平組合；若A、B因素交互作用顯著，則應進行水平組合平均數(shù)間的多重比較，以選出最優(yōu)水平組合，同時可進行簡單效應的檢驗。

因B因素各水平的重復數(shù)為an，故B因素各水平的標準誤為137

因為水平組合數(shù)通常較大(本例ab=3×3=9)，采用最小顯著極差法進行各水平組合平均數(shù)的比較，計算較麻煩。為了簡便起見，常采用LSD法。

138

因為水平組合的重復數(shù)為n，故水平組合的標準誤為：本例

②各水平組合平均數(shù)間的比較因為水平組合的重復數(shù)為n，故水平組合的標準誤為：139水平組合均值5%顯著水平1%極顯著水平A3B39.3aAA2B18.7abABA1B18.0abcABA3B27.7bcABCA2B27.3bcBCA2B37.0cdBCA1B26.7cdBCA3B16.7cdBCA1B35.7dC表15個水平組合平均數(shù)多重比較結果（SSR法）分析結果表明，A3B3，A2B1，A1B1為優(yōu)組合，按此組合選用溫度和pH值可望得到較好的酶活性。水平組合均值5%顯著水平1%極顯著水平A3B39.3140以上的比較結果可以看出，當A、B因素的交互作用顯著時，一般不必進行兩個因素主效應的顯著性檢驗（因為這時主效應的顯著性在實用意義上并不重要），而直接進行各水平組合平均數(shù)的多重比較，選出最優(yōu)水平組合。以上的比較結果可以看出，當A、B因素的交互作用顯141簡單效應的檢驗

簡單效應實際上是特定水平組合平均數(shù)間的差數(shù)。檢驗尺度仍為互作效應檢驗中的LSD簡單效應的檢驗

簡單效應實際上是特定水平組合平均數(shù)間的差數(shù)。142有人設計3個羅非魚品種A1、A2、A3和A4不同蛋白質(zhì)水平餌料B1、B2、B3，每個處理配置兩個魚池進行試驗。試驗期內(nèi)每池的產(chǎn)魚量（kg）如下表。試作方差分析。有人設計3個羅非魚品種A1、A2、A3和A4不同蛋白質(zhì)水平餌143試驗期內(nèi)的產(chǎn)魚量（kg）品種蛋白質(zhì)水平B1B2