2022-2023學(xué)年吉林省吉林市普通高中友好學(xué)校聯(lián)合體高一上數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．函數(shù)的部分圖象大致是（）A. B.C. D.2．在如圖的正方體中，M、N分別為棱BC和棱的中點(diǎn)，則異面直線AC和MN所成的角為（）A. B.C. D.3．若函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則的最小值為（）A. B.C. D.4．已知兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是（）A. B.C.8 D.35．公元263年左右，我國數(shù)學(xué)有劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí)，多邊形的面積可無限逼近圓的面積，并創(chuàng)立了割圓術(shù)，利用割圓術(shù)劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后面兩位的近似值3.14，這就是著名的“徽率”．某同學(xué)利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計(jì)了一個(gè)計(jì)算圓周率的近似值的程序框圖如圖，則輸出S的值為（參考數(shù)據(jù)：）A.2.598 B.3.106C.3.132 D.3.1426．為了保護(hù)水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對(duì)居民生活用水實(shí)行“階梯水價(jià)”，計(jì)費(fèi)方法如下表：每戶每月用水量水價(jià)不超過12m3的部分3元/m3超過12m3但不超過18m3的部分6元/m3超過18m3的部分9元/m3若某戶居民本月繳納的水費(fèi)為90元，則此戶居民本月的用水量為（）A.17 B.18C.19 D.207．在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾(L.E.J.Brouwer)，簡單的講就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在點(diǎn)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，下列為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的是（）A. B.C. D.8．若函數(shù)的圖象如圖所示，則下列函數(shù)與其圖象相符的是A. B.C. D.9．下列函數(shù)中，最小值是的是（）A. B.C. D.10．若，則下列不等式中，正確的是（）A. B.C. D.11．冪函數(shù)y＝xa，當(dāng)a取不同的正數(shù)時(shí)，在區(qū)間[0，1]上它們的圖象是一組美麗的曲線(如圖)，設(shè)點(diǎn)A(1，0)，B(0，1)，連接AB，線段AB恰好被其中的兩個(gè)冪函數(shù)y＝xa，y＝xb的圖象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么＝（）A.0 B.1C. D.212．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意的都有，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．已知是定義在上的奇函數(shù)，且為偶函數(shù)，對(duì)于函數(shù)有下列幾種描述：①是周期函數(shù)；②是它的一條對(duì)稱軸；③是它圖象的一個(gè)對(duì)稱中心；④當(dāng)時(shí)，它一定取最大值；其中描述正確的是__________14．已知，，試用a、b表示________.15．命題“，”的否定是______16．已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是________.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知函數(shù)且.（1）若，求的值；（2）若在上的最大值為，求的值.18．已知角的終邊在第二象限,且與單位圓交于點(diǎn)（1）求的值；（2）求的值.19．如圖所示，在中，已知，,.（1）求的模；（2）若，，求的值.20．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC21．已知函數(shù)，函數(shù)為R上的奇函數(shù)，且.（1）求的解析式：（2）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義給予證明：（3）若的定義域?yàn)闀r(shí)，求關(guān)于x的不等式的解集.22．已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且.（1）角的大小；（2）若點(diǎn)在邊上，且，，求的面積；（3）在（2）的條件下，若，試求的長.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、A【解析】分析函數(shù)的奇偶性及其在上的函數(shù)值符號(hào)，結(jié)合排除法可得出合適的選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，函?shù)為偶函數(shù)，排除BD選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，排除C選項(xiàng).故選：A.2、C【解析】根據(jù)異面直線所成角的定義，找到與直線平行并且和相交的直線，即可找到異面直線所成的角，解三角形可求得結(jié)果.【詳解】連接如下圖所示，分別是棱和棱的中點(diǎn)，，正方體中可知，是異面直線所成的角，為等邊三角形，.故選：C.【點(diǎn)睛】此題是個(gè)基礎(chǔ)題，考查異面直線所成的角，以及解決異面直線所成的角的方法（平移法）的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和數(shù)形結(jié)合的思想.3、C【解析】根據(jù)函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，由求出的表達(dá)式即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以，所以，解得，所以故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦函數(shù)的對(duì)稱性，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】根據(jù)題中條件，得到，展開后根據(jù)基本不等式，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.5、C【解析】閱讀流程圖可得，輸出值為：.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：識(shí)別、運(yùn)行程序框圖和完善程序框圖的思路(1)要明確程序框圖的順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)(2)要識(shí)別、運(yùn)行程序框圖，理解框圖所解決的實(shí)際問題(3)按照題目要求完成解答并驗(yàn)證6、D【解析】根據(jù)給定條件求出水費(fèi)與水價(jià)的函數(shù)關(guān)系，再由給定函數(shù)值計(jì)算作答.【詳解】依題意，設(shè)此戶居民月用水量為，月繳納的水費(fèi)為y元，則，整理得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，由得：，解得，所以此戶居民本月的用水量為.故選：D7、C【解析】根據(jù)已知定義，將問題轉(zhuǎn)化為方程有解，然后逐項(xiàng)進(jìn)行求解并判斷即可.【詳解】根據(jù)定義可知：若有不動(dòng)點(diǎn)，則有解.A．令，所以，此時(shí)無解，故不是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)；B．令，此時(shí)無解，，所以不是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)；C．當(dāng)時(shí)，令，所以或，所以“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)；D．令即，此時(shí)無解，所以不是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù).故選：C.8、B【解析】由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)，則下圖中對(duì)于選項(xiàng)A，是減函數(shù)，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B,的圖象是正確的；對(duì)C，是減函數(shù)，故C錯(cuò)；對(duì)D，函數(shù)是減函數(shù)，故D錯(cuò)誤。故選B9、B【解析】應(yīng)用特殊值及基本不等式依次判斷各選項(xiàng)的最小值是否為即可.【詳解】A：當(dāng)，則，，所以，故A不符合；B：由基本不等式得：(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))，符合；C：當(dāng)時(shí)，，不符合；D：當(dāng)取負(fù)數(shù)，，則，，所以，故D不符合；故選：B.10、C【解析】利用不等式的基本性質(zhì)判斷.【詳解】由，得，即，故A錯(cuò)誤；則，則，即，故B錯(cuò)誤；則，，所以，故C正確；則，所以，故D錯(cuò)誤；故選：C11、A【解析】由題意得，代入函數(shù)解析式，進(jìn)而利用指對(duì)互化即可得解.【詳解】BM＝MN＝NA，點(diǎn)A(1，0)，B(0，1)，所以，將兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y＝xa，y＝xb，得所以，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪函數(shù)的圖像及對(duì)數(shù)的運(yùn)算，涉及換底公式，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】由可推出，可得周期，再利用函數(shù)的周期性與奇偶性化簡，代入解析式計(jì)算.【詳解】因?yàn)?，所以，故周期為，又函?shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以故選：C.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、①③【解析】先對(duì)已知是定義在的奇函數(shù)，且為偶函數(shù)用定義轉(zhuǎn)化為恒等式，再由兩個(gè)恒等式進(jìn)行合理變形得出與四個(gè)命題有關(guān)的結(jié)論，通過推理證得①③正確.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即是它的一條對(duì)稱軸；又因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，即，則，，即是周期函數(shù)，即①正確；因?yàn)槭撬囊粭l對(duì)稱軸且，所以（）是它的對(duì)稱軸，即②錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)且是以為周期周期函數(shù)，所以，所以是它圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，即③正確；因?yàn)槭撬囊粭l對(duì)稱軸，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值或最小值，即④不正確.故答案為：①③.14、【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)式指數(shù)式互化公式，結(jié)合對(duì)數(shù)換底公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，因此有：，故答案為?5、.【解析】全稱命題的否定：將任意改為存在并否定原結(jié)論，即可知原命題的否定.【詳解】由全稱命題的否定為特稱命題，所以原命題的否定：.故答案為：.16、【解析】正四棱柱的高是4，體積是16，則底面邊長為2，底面正方形的對(duì)角線長度為，所以正四棱柱體對(duì)角線的長度為，四棱柱體對(duì)角線為外接球的直徑，所以球的半徑為，所以球的表面積為考點(diǎn)：正四棱柱外接球表面積三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）；（2）或.【解析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷是奇函數(shù)，再由即可求解；（2）討論和時(shí)，函數(shù)在上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求出最值列方程，解方程可得的值.【小問1詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以為奇函數(shù)，故.【小問2詳解】，若，則單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，可得為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，解得：，符合題意；若，則單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，可得為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，解得：，符合題意，綜上所述：的值為或.18、【解析】(1)先求出，再求出的值.(2)先利用誘導(dǎo)公式化簡，再把tan的值代入求解.【詳解】（1）由題得因?yàn)榻墙K邊在第二象限，所以所以.(2)=.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的坐標(biāo)定義，考查同角的商數(shù)關(guān)系和誘導(dǎo)公式，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.19、(1)(2)【解析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積定義可得，再根據(jù)向量加法幾何意義以及模性質(zhì)可得結(jié)果（2）先根據(jù)向量加減法則將化為，再根據(jù)向量數(shù)量積定義求值試題解析：（1）==；（2）因?yàn)椋?，所?20、（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）推導(dǎo)出AB∥A1B1，由此能證明AB∥平面A1B1C.（2）推導(dǎo)出BC⊥AB，BC⊥BB1，從而BC⊥平面ABB1A1，由此能證明平面ABB1A1⊥平面A1BC【詳解】證明：（1）在長方體ABCD-A1B1C1D1中，∵AB∥A1B1，且AB?平面A1B1C，A1B1?平面A1B1C，∴AB∥平面A1B1C（2）在長方體ABCD-A1B1C1D1中，∵BC⊥AB，BC⊥BB1，AB∩BB1=B，∴BC⊥平面ABB1A1，∵BC?平面A1BC，∴平面ABB1A1⊥平面A1BC【點(diǎn)睛】本題考查線面平行、面面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題21、（1）；（2）單調(diào)遞增.證明見解析；（3）【解析】（1）列方程組解得參數(shù)a、b，即可求得的解析式；（2）以函數(shù)單調(diào)性定義去證明即可；（3）依據(jù)奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，把不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式即可解決.【小問1詳解】由題意可知，即，解之得，則，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.【小問2詳解】在區(qū)間上單調(diào)