理論力學17課件

理論力學第三篇《動力學》第十一章質(zhì)點動力學的基本方程第十二章動量定理第十三章動量矩定理第十四章動能定理第十六章達朗伯原理第十七章虛位移原理★第十六章虛位移原理§17–1約束?虛位移?虛功§17–2虛位移原理第十七章虛位移原理5

動力學

一、約束

限制非自由質(zhì)點（或質(zhì)點系）運動的各種條件稱為約束。將約束的限制條件以數(shù)學方程來表示，則稱為約束方程。

例如：平面單擺曲柄連桿機構(gòu)§17-1約束?虛位移?虛功6動力學根據(jù)約束的形式和性質(zhì)，可將約束劃分為不同的類型，通常按如下分類：1、幾何約束和運動約束限制質(zhì)點或質(zhì)點系在空間幾何位置的條件稱為幾何約束。如前述的平面單擺和曲柄連桿機構(gòu)例子中的限制條件都是幾何約束。當約束對質(zhì)點或質(zhì)點系的運動情況進行限制時，這種約束條件稱為運動約束。例如：車輪沿直線軌道作純滾動時。約束的分類7動力學幾何約束：運動約束：約束條件不隨時間改變的約束為穩(wěn)定約束（定常約束）。當約束條件與時間有關(guān)，并隨時間變化時稱為非定常約束。前面的例子中約束條件皆不隨時間變化，它們都是定常約束。2、定常約束和非定常約束例如：重物M由一條穿過固定圓環(huán)的細繩系住。初始時擺長l0,勻速v拉動繩子。x2+y2=(l0-vt)2

約束方程中顯含時間t8在兩個相對的方向上同時對質(zhì)點或質(zhì)點系進行運動限制的約束稱為雙面約束。只能限制質(zhì)點或質(zhì)點系單一方向運動的約束稱為單面約束。動力學例如：車輪沿直線軌道作純滾動，是微分方程，但經(jīng)過積分可得到（常數(shù)），該約束仍為完整約束。

4、單面約束和雙面約束幾何約束必定是完整約束，但完整約束未必是幾何約束。非完整約束一定是運動約束，但運動約束未必是非完整約束。剛桿x2+y2=l2繩x2+y2l210動力學

虛位移與真正運動時發(fā)生的實位移不同。實位移是在一定的力作用下和給定的初條件下運動而實際發(fā)生的；虛位移是在約束容許的條件下可能發(fā)生的。實位移具有確定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；虛位移則是微小位移，視約束情況可能有幾種不同的方向。實位移是在一定的時間內(nèi)發(fā)生的；虛位移只是純幾何的概念，完全與時間無關(guān)。在定常約束下，微小的實位移必然是虛位移之一。而在非定常約束下，微小實位移不再是虛位移之一。12動力學

(二)解析法。質(zhì)點系中各質(zhì)點的坐標可表示為廣義坐標的函數(shù)（q1,q2,……,qk），廣義坐標分別有變分，各質(zhì)點的虛位移在直角坐標上的投影可以表示為14動力學分析圖示機構(gòu)在圖示位置時，點C、A與B的虛位移。(已知OC=BC=a，OA=l)解：此為一個自由度系統(tǒng)，取OA桿與x軸夾角為廣義坐標。1、幾何法[例1]15動力學將C、A、B點的坐標表示成廣義坐標的函數(shù)，得2、解析法對廣義坐標求變分，得各點虛位移在相應坐標軸上的投影：16動力學力在質(zhì)點發(fā)生的虛位移上所作的功稱為虛功，記為。三、虛功17動力學如果在質(zhì)點系的任何虛位移上，質(zhì)點系的所有約束反力的虛功之和等于零，則稱這種約束為理想約束。質(zhì)點系受有理想約束的條件：理想約束18動力學

一、虛位移原理具有定常、理想約束的質(zhì)點系，平衡的必要與充分條件是：作用于質(zhì)點系的所有主動力在任何虛位移上所作的虛功之和等于零。即解析式：§17-2虛位移原理20動力學證明：(1)必要性：即質(zhì)點系處于平衡時，必有∵質(zhì)點系處于平衡∴選取任一質(zhì)點Mi也平衡。對質(zhì)點Mi的任一虛位移，有由于是理想約束所以對整個質(zhì)點系：21動力學

二、虛位移原理的應用1、系統(tǒng)在給定位置平衡時，求主動力之間的關(guān)系；2、求系統(tǒng)在已知主動力作用下的平衡位置；3、求系統(tǒng)在已知主動力作用下平衡時的約束反力；4、求平衡構(gòu)架內(nèi)二力桿的內(nèi)力。23動力學圖示橢圓規(guī)機構(gòu)，連桿AB長l，桿重和滑道摩擦不計，鉸鏈為光滑的，求在圖示位置平衡時，主動力P和Q之間的關(guān)系。解：研究整個機構(gòu)。系統(tǒng)的所有約束都是理想約束。[例2]影片：170124動力學

2、解析法由于任意，故由于系統(tǒng)為單自由度,可取為廣義坐標。26[練習17-1]

（題2-14）ACDBF1F290°30°45°60°該機構(gòu)在圖示位置平衡，求F1和

F2的關(guān)系。δrAδrB解：建立F1和F2的虛功方程：[例17-4]

（P255）AC=CE=BC=CD=DG=GE=l，作用力F，求支座B的水平約束反力。解：解除B支座的水平約束，用支座反力FBx代之。x應用虛位移原理，(a)代入（a）得：運動學[練習17-2]橢圓規(guī)機構(gòu)，OD=AD=BD=l，在圖示位置平衡，求F和M的關(guān)系。vBA60°BDOMFδrBδφδrD解：建立F和M的虛功方程：動力學多跨靜定梁，求支座B處反力。解：將支座B除去，代入相應的約束反力。[例3]3132動力學滑套D套在光滑直桿AB上，并帶動桿CD在鉛直滑道上滑動。已知=0o時，彈簧等于原長，彈簧剛度系數(shù)為5(kN/m)，求在任意位置平衡時，加在AB桿上的力偶矩M？解：這是一個已知系統(tǒng)平衡，求作用于系統(tǒng)上主動力之間關(guān)系的問題。將彈簧力計入主動力，系統(tǒng)簡化為理想約束系統(tǒng)，故可以用虛位移原理求解。[題17-8]

（P273）33動力學選擇AB桿、CD桿和滑套D的系統(tǒng)為研究對象。由虛位移原理，得：l34動力學解：這是一個具有兩個自由度的系統(tǒng)，取角及為廣義坐標，現(xiàn)用兩種方法求解。均質(zhì)桿OA及AB在A點用鉸連接，并在O點用鉸支承，如圖所示。兩桿各長2a和2b，各重P1及P2，設在B點加水平力F以維持平衡，求兩桿與鉛直線所成的角及。y[例4]

35動力學應用虛位移原理，代入(a)式，得：解法一：解析法36動力學由于是彼此獨立的，所以：由此解得：37動力學而代入上式，得解法二：先使保持不變，而使獲得變分，得到系統(tǒng)的一組虛位移，如圖所示。38動力學再使保持不變，而使獲得變分，得到系統(tǒng)的另一組虛位移，如圖所示。而代入上式后，得：圖示中：39動力學以不解除約束的理想約束系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)至少有一個自由度。若系統(tǒng)存在非理想約束，如彈簧力、摩擦力等，可把它們計入主動力，則系統(tǒng)又是理想約束系統(tǒng)，可選為研究對象。若要求解約束反力，需解除相應的約束，代之以約束反力，并計入主動力。應逐步解除約束，每一次研究對象只解除一個約束，將一個約束反力計入主動力，增加一個自由度。1、正確