《物理電路章》課件

第六章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析6-1正弦量的基本概念6-2正弦量的相量表示6-3單一元件的電流電壓關系6-4相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路6-5相量圖法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路6-6正弦穩(wěn)態(tài)電路中的功率6-7正弦穩(wěn)態(tài)電路中的諧振第六章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析6-1正弦量的基本概6-1正弦量的基本概念所謂正弦交流電，一般指隨時間按正弦規(guī)律周期性變化的電壓、電流，并把它們統(tǒng)稱為正弦量。用小寫字母u、i表示。一、正弦量的三要素正弦量用三角函數表示：i=Imsin(ωt+φi)u=Umsin(ωt+φu)稱為幅值或最大值稱為角頻率稱為初相位或初相角角頻率、幅值和初相位描述正弦量變化的快慢、最大值及初始位置三個方面的特征，是確定正弦量的三要素。ImUmωωφiφu正弦量用波形圖表示6-1正弦量的基本概念所謂正弦交流電，一般指隨時間按正弦1．周期（頻率）與角頻率正弦量變化一次所需要的時間稱為周期T，單位為秒（s）。每秒時間內重復變化的次數，稱為頻率f,單位為赫茲（Hz），頻率為周期的倒數，即f=1/T。正弦量每秒時間內變化的弧度稱為角頻率ω，單位為弧度/秒（rad/s）。T、f和ω都能反映正弦量變化的快慢，三者的關系為

ω=2π/T=2πf三者之間只要知道其中一個，就可求出其它兩個。1．周期（頻率）與角頻率正弦量變化一次所需要的時間稱為周期T2．瞬時值與有效值正弦量在每一瞬間的數值稱為瞬時值，用u、i表示。最大的瞬時值稱為幅值或最大值，用Um、Im表示。瞬時值和最大值是指正弦量某一瞬間的數值，不能用來表示正弦量的大小。正弦量的大小工程上規(guī)定用有效值I表示,它是根據正弦電流和直流電流的熱效應相等來規(guī)定的。周期變化交流電有效值:正弦量的有效值

I==0.707Im

U==0.707Um=假定在相同時間T內2．瞬時值與有效值正弦量在每一瞬間的數值稱為瞬時值，用u、i3．相位與初相位正弦量隨時間變化的電角度(ωt+φ)稱為相位或相位角，代表了正弦交流電的變化進程。t=0時的相位稱為初相位或初相角，用φ表示。φ的大小和符號決定了正弦量計時起點和初始值。

φ=00＜φ＜(π+2nπ)-(π+2nπ)＜φ＜0初始值為零，稱參考正弦量。初始值為正初始值為負3．相位與初相位正弦量隨時間變化的電角度(ωt+φ)稱為相位二、正弦量的相位差任意兩個同頻率的正弦量在相位上的差值稱為相位差，用字母φ表示。例如，u=Umsin(ωt+φu)，i=Imsin(ωt+φi)，

φ=(ωt+φu)-(ωt+φi)=φu-φi。相位差等于兩個同頻率正弦量初相位之差，其物理意義在于表示兩個同頻率正弦量隨時間變化步調上的先后。φ=0φu-i>0或φi-u<0φ=180°φ=-90°同相超前或滯后反相正交二、正弦量的相位差任意兩個同頻率的正弦量在相位上的差值稱為相6-2正弦量的相量表示用三角函數式和波形圖表示正弦量來分析和計算正弦交流電路都很不方便。工程中常采用相量圖和相量式表示正弦量，這種表示方法稱為正弦量的相量表示法。一、相量圖法1.相量圖的畫法相量圖就是用一個有向線段來表示正弦量，如i

=Imsin(ωt+φ)，該有向線段稱為相量。i(t)t6-2正弦量的相量表示用三角函數式和波形圖表示正弦量來2.相量的加減運算例1：計算圖中相量I1+I2、I1+I2+I3和、I1-I2+I3。

解：方法一，平行四邊形法則;

方法二，多邊形法則。2.相量的加減運算例1：計算圖中相量I1+I2、I1+I二、相量式法用復數式表示相量(正弦量)的方法稱為正弦量相量式表示法，簡稱相量式法。⒈相量式的四種形式代數式三角式指數式極坐標式四種表示方法可以互換二、相量式法用復數式表示相量(正弦量)的方法稱為正2.90°旋轉因子(j)任意一個相量×j有任意一個相量÷j有j稱為90°旋轉因子注意：相量僅僅是用來表示正弦量的一種方法，兩者有一一對應關系，但正弦量不等于相量。用相量表示正弦量是一種數學變換，只適用于同頻率的正弦量。2.90°旋轉因子(j)任意一個相量×j有例2：指出下列各式的錯誤，寫出其正確的表達式。

⑴i=5sin(ωt-30°)=5e-j30°A

⑵U=100ej45°=1002sin(ωt+45°)V

⑶I=10∠30°A

⑷I=20e20°A解：⑴有錯,I=5e-j30°A

⑵有錯,

U=100ej45°

u=1002sin(ωt+45°)V⑶有錯,I=10∠30°A⑷有錯,I=20ej20°Am例2：指出下列各式的錯誤，寫出其正確的表達式。

⑴例3：已知I=2∠-60°A，試求3I、jI、I/j，并畫出相量圖。解：3I=3×2∠-60°=6∠-60°A

jI=1∠90°×2∠-60°=2∠30°A

I/j=(2∠-60°)/(1∠90°)=2∠-150°A例3：已知I=2∠-60°A，試求3I、jI、I/j，并畫例4：試寫出u1＝2202sin(314t-150°),u2＝-2202

sin(314t-30°)，的相量式。并計算u1+u2、u1×u2。解：例4：試寫出u1＝2202sin(314t-150°),6-3單一元件的電流電壓關系

在電路中只有R、L、C其中某一元件，則稱電路為單一元件的電路。一、電阻元件的電流電壓關系設i=Imsinωt(參考正弦量）瞬時值關系：相位關系：u與i同相位大小關系：相量關系：電流電壓同相，瞬時值、大小、相量均遵循歐姆定律6-3單一元件的電流電壓關系在電路中只有R、二、電感元件的電流電壓關系設i=Imsinωt(參考正弦量）瞬時值關系：u=ωLImcosωt=Umcosωt=Umsin(ωt+90°)相位關系：u超前i90度大小關系：相量關系：

XL=ωL=2πfL(感抗)電感在直流電路中f=0，XL=0，可視為短路。當把帶線圈的交流設備接入直流電路，會產生短路事故。二、電感元件的電流電壓關系設i=Imsinωt(參考正弦量三、電容元件的電流電壓關系設u=Umsinωt(參考正弦量）瞬時值關系：i=ωCUmcosωt=Imcosωt=Imsin(ωt+90°)相位關系：i超前u

90度大小關系：相量關系：電容在直流電路中f=0，XC=∞，可視為開路。三、電容元件的電流電壓關系設u=Umsinωt(參考正弦量例1：以下各式對電感電路是否成立？不能成立，請說明原因。解：⑴有錯,uL=L

⑵有錯,=XL

⑶有錯,I=⑷對(5)有錯,=ωLUIUI例1：以下各式對電感電路是否成立？不能成立，請說明原因。解：例2：以下各式對電容電路是否成立？不能成立，請說明原因。解：⑴有錯,U=IXC

⑵有錯,=-jXC

⑶有錯,I=UωC⑷有錯,I=jUωC(5)對UI例2：以下各式對電容電路是否成立？不能成立，請說明原因。解：6-4相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路由于電路的激勵是正弦量，其響應都是同頻率的正弦量可以用相量表示，而電感和電容可以用感抗和容抗表示，引入相量后，電路的基本定律可以用相量形式表示。對時域正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析可以轉換為對頻域相量模型的分析。時域正弦穩(wěn)態(tài)電路動態(tài)元件上電流電壓的微分（或積分）關系可以用相量表示成頻域的代數關系，使電路的分析更為方便，這種頻域下正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析方法就是所謂的相量法。6-4相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路由于電路的激勵是正弦量，其響一、電路基本定律和基本公式的相量形式阻抗與導納，歐姆定律的相量形式當電流電壓為關聯參考方向時，R、L、C三個元件電流電壓關系的相量形式為Z稱為元件的復阻抗(是復數)

，是正弦穩(wěn)態(tài)電路負載的總稱，Z的倒數稱為復導納Y,Z、Y分別定義為(單位：Ω)(單位：西門子S)歐姆定律的相量形式

一、電路基本定律和基本公式的相量形式阻抗與導納，歐姆定律的相2.基爾霍夫定律的相量形式

時域電路模型相量模型對時域電路模型，根據基爾霍夫電壓定律有u-uR-uL-uC=0則在對應的相量模型中應滿足U-UR-UL-UC=0同理基爾霍夫電流定律對電流相量也成立2.基爾霍夫定律的相量形式時域電3.相量模型的基本計算公式

對時域正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析轉換為對頻域相量模型的分析時，只需將直流電路中的U、I、R→、、Z，則直流電路的一般分析方法都可轉換為相量模型的分析方法。基本計算公式式中正、負號由參考方向決定。3.相量模型的基本計算公式對時域正弦穩(wěn)態(tài)電二、R、L、C串聯電路的分析1.電壓與電流關系Z==R+j(XL-XC)=R+jX=|Z|∠φ

X=XL-XC稱為電抗，表示電感和電容共同作用于電路的結果。當X>0，電路中電感的作用大于電容；當X<0，電容的作用大于電感，X可正，可負，XL、XC始終大于零。

當電路中RLC三元件同時存在時，其等效復阻抗Z的實部為電路的電阻R，虛部為電抗

X=(XL－XC）。

U

I二、R、L、C串聯電路的分析1.電壓與電流關系UI2.電壓三角形和阻抗三角形選電流為參考相量作出電路的相量圖電壓三角形三個邊關系為

U==I=I｜Z｜｜Z｜==φ角稱為阻抗角，又是u與i的相位差φ與電路中電壓和電流的大小無關，只與電路的參數R、L、C及電源的頻率有關。2.電壓三角形和阻抗三角形選電流為參考相量作出電路的相量圖φ3.電路的性質根據φ角的不同取值，可將電路劃分為三種性質。電感性電容性電阻性φ>0φ>0φ=0u超前iu滯后iui同相XL＞XC

XL＜XC

XL=XC

UL＞UC

UL＜UC

UL=UC3.電路的性質根據φ角的不同取值，可將電路劃分為三三、相量法應用舉例例1：已知US=40∠0°，求電路的I、IC、IL并確定電路性質。解：電路入端阻抗為：

Z1=1.5ΩZ2=j1ΩZ3=1-j2ΩZ=Z1+

Z2//

Z3

電路中電流：由計算結果可知:φ=36.9°>0,電路為感性，u超前i

。IL＞I，這在直流電路是不會發(fā)生的。

+12°D=+=-+=9.365.25.12j115.1jj°A-D=°D°D==··9.36169.365.2040SZUI°A-D=-=···3.553.25CLIII三、相量法應用舉例例1：已知US=40∠0°，求電路的I、I例2：已知RLC并聯電路中R=10,L=48mH,C=397μF。電

源U=120V,f=50Hz,求電流IR、IL、IC及i并畫相量圖，說明電路性質。解：設I=IR+IL+IC=12+j7=13.9∠30.3°Aφ=電路為容性-30.3°電流三角形(直角)例2：已知RLC并聯電路中R=10,L=48mH,C=397例3：在圖示的正弦穩(wěn)態(tài)電路中，已知US1=110V，US2=100V，二者同相，求支路電流I1、I2、I3。解：用節(jié)點法求解，設b為參考點

Z1=1+j4ΩZ2=2ΩZ3=6-j6Ω

例3：在圖示的正弦穩(wěn)態(tài)電路中，已知US1=110V，US26-5相量圖分析正弦穩(wěn)態(tài)電路用相量法分析電路的過程是利用相量，采用分析電路的基本方法，列出相量式求解相量的過程。適合于該方法的電路特點是已知激勵相量（或物理量的相量）和電路參數，求電路響應。當電路中各物理量的相位關系明確，用相量法分析電路比較方便。當電路中各物理量的相位關系不十分明確時，用相量法分析電路，過程比較復雜，而采用相量圖法分析電路，會使分析較為方便。所謂相量圖法是利用相量圖中各物理量的幾何關系分析電路的一種方法。6-5相量圖分析正弦穩(wěn)態(tài)電路用相量法分析電路的過程是利用一、常用的相量圖1.串聯電路電壓、阻抗三角形2.并聯電路電流、導納三角形一、常用的相量圖1.串聯電路電壓、阻抗三角形二、應用舉例例1：試求圖中A0和V0。解：利用相量三角形計算(a)A0=14.1A(b)V0=80V(c)A0=(5-3)=2A(d)V0=14.1V(e)I0=10AV0=141V+U2-.二、應用舉例例1：試求圖中A0和V0。+U2-.例2：電路如圖所示，已知電壓表測得的數據分別為U=36V,

UR1=20V,

U2=22.4V。且知R1=10Ω，f=50Hz。試求參數R和XL。

解：I=UR1/R1=2A設I=2∠0°A，畫相量圖根據余弦定理有

U2=UR12+U22-2UR1U2cos(180°-φ

)

φ=64°

U2=22.4∠64°=9.82+j20.2V

R=9.82/2=4.9Ω

XL=20.2/2=10Ω或R+XL=U2/I=4.9+j10Ω例2：電路如圖所示，已知電壓表測得的數據分別為U=36V,例3：電路如圖，已知I1=10A,I2=10√2A,U=200V。

R=5Ω，R2=XL,求電流I，容抗XC,感抗XL。解：設Uab=Uab∠0°V，畫相量圖由相量圖的幾何關系確定

I=I1=10A

Uac=IR=50VUab=U-Uac=200-50=150VXC=Uab/I1=15Ω

Uab/I2=2XL

R2=XL=7.5Ω10例3：電路如圖，已知I1=10A,I2=10√2A,U=206-6正弦穩(wěn)態(tài)電路中的功率正弦交流電路的負載是由電阻、電感和電容三元件組合起來的無源網絡。設網絡端電壓、電流、阻抗為

u=2Usin(ωt+φ)i=2IsinωtZ=R+j(XL-XC)一瞬時功率p=ui=UIcosφ-UIcos(2ωt+φ)1.電壓、電流和瞬時功率波形圖0≤t≤t1時間內，p＞0，

表明網絡從電源取用功率。t1＜t≤t2時間內，p＜0，

網絡中的儲能元件釋放功率，于是在電源和網絡之間就形成了能量的往返交換。

t1到t2的時間對應于u與i的相位差（φ

）。φ6-6正弦穩(wěn)態(tài)電路中的功率正弦交流電路的2.單一參數的瞬時功率（p=ui=UIcosφ-UIcos(2ωt+φ)）當φ=0，網絡等效為一個電阻R，pR=UI-UIcos2ωt；當φ=90°，網絡等效為一個電感L，pL=UIcos2ωt；當φ=-90°，網絡等效為一個電容C，pL=-UIcos2ωt；同一時刻L、C吸收功率和釋放功率的時間相反。2.單一參數的瞬時功率（p=ui=UIcosφ-UIcos一有功功率

在一周期內電路消耗的平均功率稱為有功功率，即稱為功率因素，φ稱為功率因素角。二無功功率衡量儲能元件能量轉換的能力用無功功率Q表示。當電感和電容同時存在時

Q=QL－QC=I2(XL－XC)

=UIsinφ

=UIcosφcosφ一有功功率

在一周期內電路消耗的平均功率稱為有功功三視在功率

視在功率用于衡量供電設備的供電能力，它等于電路電壓U與電流I的乘積，單位為伏安，用S表示。即S=UI

視在功率的物理意義：電源(或電路)向負載能夠輸出的最大功率Pmax=S。S、P、Q的關系：

P=UIcosφ=ScosφQ=UIsinφ=Ssinφ

S=P2+Q2=UI當電路入接多個不同cosφ的負載：

P=∑Pk（各負載有功功率之和）Q=∑QkL

-∑QkC

（各負載無功功率代數之和）S=P2+Q2≠∑Sk（始終滿足功率三角形）cosφ三視在功率

視在功率用于衡量供電設備的供電四復功率

用相量表示功率稱為復功率S，它等于電路電壓相量與電流相量共軛復數的乘積，即

S=U∠φu×I∠-φi=S∠φ

=P+jQ電路功率計算的3個方法：(1)已知電路電壓、電流大小和相位差

P=UIcosφ=ScosφQ=UIsinφ=Ssinφ

S=P2+Q2=UI（2）已知電路各負載功率

P=∑Pk

Q=∑QkL

-∑QkCS=P2+Q2（3）已知電路電壓相量與電流相量

S=U∠φu×I∠-φi=S∠φ

=P+jQcosφ四復功率

用相量表示功率稱為復功率S，它等例2：電路如圖，已知R1=R2=XL1=XL2=100Ω，兩并聯電路為容性，其UAB=100V、PAB=100W、cosφAB=。求(1)阻抗Z，(2)總電壓相量，(3）整個電路的cosφ、整個電路的P、Q和S。

解(1)設UAB=100∠0°VZ2=R2+j

XL2=100∠45°Ω

I2==1∠-45°AI1==1AcosφAB=±45°

I1=1∠45°AIZ=I1-I2=jA(2)U=I1(R1+XL1)+UAB=200∠45°V(3)cosφ=1

Q=0S=P=UI1=200VAZ=-j100Ω

例2：電路如圖，已知R1=R2=XL1=XL2=100Ω，兩例1：計算電路的功率P、Q和S。已知R1=R2=R3=10Ω，XL1=20Ω，XL2=XC3=10Ω，電壓U=220∠0°V，I1=7.78∠-45°A，I2=5.5∠-90°A，

I

3=5.5∠0°A。解：方法1，U=220V，I1=7.78A

，

φ

=0-（-45）=45°

S=UI=220×7.78=1712VAP=UI1cosφ=220×7.78×cos45°=1210WQ=UI1sinφ=220×7.78×sin45°=1210Var

方法2，P1=I12R1=605.3P2=I22R2=302.5P3=I32R3=302.5WQ1=I12XL1=1210.6Q2=I22XL2=302.5Q3=-I32XC3=-302.5VarP=P1+P2+P3=1201WQ=Q1+Q2+Q3=1210Var

S=P2+Q2=1712VA

方法3，S=220∠0°×7.78∠45°=1712∠45°=1201+j1201P=1201WQ=1201VarS=1712VA

例1：計算電路的功率P、Q和S。已知R1=R2=R3=10例3：電路如圖,已知I1=I2=I,f=50Hz,U=100V,電路的功率

P=866W。試求R、L、和C。解:設U=100∠0°V,作相量圖

根據相量圖幾何關系有

30°30°例3：電路如圖,已知I1=I2=I,f=50Hz,U=100例4：電路如圖,已知I3=20A,I2=30A,U1=1002V,U=220V,

電路的功率P=1000W。試求R、X1、X2

、X3的值。解:設U2=U2∠0°V,作相量圖

根據相量圖幾何關系有

R=P/I12=10Ω

U1

2=(I1X1)2+(I1R)2

X1=10Ω

[U2+(I1X1)]2+(I1R)

2=U2

U2=96V

例4：電路如圖,已知I3=20A,I2=30A,U1=100五功率因數的提高

一般的用電設備，如感應電動機、感應爐、目光燈等都屬于電感性負載，往往造成電路的功率因數較低。1.提高功率因數的意義對于容量一定的供電設備，負載的conφ大，出的P越大，設備得到充分利用；對輸電線路來說，當電壓U一定，輸送同一功率P=UIconφ時，conφ大，I小，則線路上電能損失和壓降就小。提高conφ的意義在于：提高發(fā)電、輸電和配電設備的利用率；減小輸電線路電能損失和壓降。五功率因數的提高

一般的用電設備，如2.提高功率因數的方法在感性負載兩端并上適當的電容，利用電容器的無功功率補償感性負載的無功功率，在不改變感性負載的前提下，提高線路的功率因數。設感性負載Z，已知cosφ、P、接入電壓為U，頻率為f的電路中。若將線路的cosφ增加至cosφ′應該并多大的電容？設電源電壓為U=U∠0°作相量圖當C↑→IC↑→I↓→cosφ′↑,當φ′=0,cosφ′=1,此后C↑→IC↑→I↑→cosφ′↓,最后出現cosφ′＞cosφ。2.提高功率因數的方法在感性負載兩端并上適當的電容，利用電例1：電路如圖,U=220V,f=50Hz,S斷開時cosφ=0.5,P=2kW,

S合上后,cosφ′=0.866(感性),求R、L、C。解：例1：電路如圖,U=220V,f=50Hz,S斷開時cosφ例2：電容器與電感線圈并聯電路如圖,已知R=131Ω,測得數據如下。試計算三種情況下的電路的有功功率和功率因數。

C(μF）f(Hz)U(V)I(mA)IL(mA)IC(mA)

未接200101515

1μF200104.81513.9

10μF2001011315128.2解：三種情況下電路的有功功率相同P=I2R=29.5mW未接電容器時:C=1μF時:C=10μF時:例2：電容器與電感線圈并聯電路如圖,已知R=131Ω,測6-7正弦穩(wěn)態(tài)電路中的諧振當電路φ=0時,U與I同相,電路發(fā)生串聯諧振。一串聯諧振諧振條件:

主要特征1.Z0=R(最小值）

U=UR

I0=U/R(最大值）2.P=UI0Q=0

3.XL=XC>>R∴UL=UC>>U(稱電壓諧振)4.品質因數Q6-7正弦穩(wěn)態(tài)電路中的諧振當電路φ=0時,U與4.品質因數Q①品質因數越高，UL=UC越大于外加電壓;②品質因數越高，選擇性能越好。I當ω=ω0,I0為諧振電流當ω偏離ω0后，

越大，I越小當不變，Q

越大，I越小,選擇性能越好。對應于I=0.707I0時的頻率稱為截止頻率，ωf=ω2-ω1稱為通頻帶。通頻帶越窄，選擇性越好。下限截止頻率上限截止頻率4.品質因數Q①品質因數越高，UL=UC越大于外加電壓;下限例1：電路如圖,u1=102sinωtV,R1=R2=50Ω,當LC對u1頻率產生諧振時,AB兩端的電壓UAB為多少？如果再串聯一個電壓源U2=10V,此時UAB為多少？解：XAB=0,AB兩點相當于短路,UAB=0V串聯U2后，由疊加原理可知：u1單獨作用時，UAB′=0VU2單獨作用時，UAB″=5VUAB=UAB′+UAB″=5V例1：電路如圖,u1=102sinωtV,R1=R2=例2：電路如圖,U=100V,I=1A,f=25Hz,P=100W,P1=50W,

Q1=50Var,求Z1、Z2、U1、U2和f0。解：設Z1=r1+jX1,Z2=r2+jX2

Q=UI=100W=P

電路發(fā)生串聯諧振

P2=P-P1=100-50=50W例2：電路如圖,U=100V,I=1A,f=25Hz,P=1例3：已知電阻器R=200Ω與電容器C=10μF及L=500mH的電感線圈串聯的實驗電路。在電源電壓U一定的條件下,調整其頻率f,使f=71Hz時，電流I最大。此時測出U=10V,I=30.2mA,UR=6.04V,UC=3.96V,UL=6.77V。試確定電感線圈上的電阻RL(電容器視為理想元件)及電路諧振頻率f0。解：電路發(fā)生串聯諧振

f0=71Hz=例3：已知電阻器R=200Ω與電容器C=10μF及L=500二

并聯諧振諧振條件(XL>>R):

主要特征1.Z0=≈(最大值）理想電感元件時，R=0，Z0=∞

I0=U/Z0(最小值）2.P=UI0Q=0

3.XL=XC>>R∴IL≈IC>>I(稱電流諧振)4.品質因數Q二并聯諧振例1：電路如圖所示,電源內阻和電感線圈的電阻均忽略不計。交流電源u的頻率為f,現調節(jié)L或C使之諧振于f,這時AB兩端電壓uAB等于多少？解：uAB=u例1：電路如圖所示,電源內阻和電感線圈的電阻均忽略不計。交流例2：電路如圖3.2.7(a)所示，已知，R1=R2=R3=10Ω，XL1=100Ω，XL2=200Ω，XC1=100Ω，XC2=200Ω，試求當開關S分別合至6V和10V電源時，XL1、XC1、及AB兩端的電壓。

解：當開關S合至6V電源時UAB==2V

UL1=0UC1=

2V當開關S合至10V電源時電路發(fā)生諧振

UAB=10VUL1=UC1=0V例2：電路如圖3.2.7(a)所示，已知，R1=R2=R3教學重點1.單一元件的電路計算55作業(yè)教學重點1.單一元件的電路計算55作業(yè)教學重點2.相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路56作業(yè)教學重點2.相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路56作業(yè)教學重點3.相量圖法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路

電壓、阻抗、功率三角形

電流、導納三角形57作業(yè)教學重點3.相量圖法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路57作業(yè)教學重點⒋串、并聯諧振58作業(yè)教學重點⒋串、并聯諧振58作業(yè)教學重點⒌電路性質的判斷59作業(yè)教學重點⒌電路性質的判斷59作業(yè)教學重點⒍功率因數的提高通過負載兩端并適當電容可以提高線路的功率因數。對線路線路而言，并電容前、后，P沒變，I、Q、cosφ改變。對負載而言，并電容前、后，P、IZ、QZ、cosφZ沒變。60作業(yè)教學重點⒍功率因數的提高60作業(yè)6.15，6.18，6.20，6.356.266.326.226.27第六章作業(yè)：616.15，6.18，6.20，6.35第六章作業(yè)：61第六章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析6-1正弦量的基本概念6-2正弦量的相量表示6-3單一元件的電流電壓關系6-4相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路6-5相量圖法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路6-6正弦穩(wěn)態(tài)電路中的功率6-7正弦穩(wěn)態(tài)電路中的諧振第六章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析6-1正弦量的基本概6-1正弦量的基本概念所謂正弦交流電，一般指隨時間按正弦規(guī)律周期性變化的電壓、電流，并把它們統(tǒng)稱為正弦量。用小寫字母u、i表示。一、正弦量的三要素正弦量用三角函數表示：i=Imsin(ωt+φi)u=Umsin(ωt+φu)稱為幅值或最大值稱為角頻率稱為初相位或初相角角頻率、幅值和初相位描述正弦量變化的快慢、最大值及初始位置三個方面的特征，是確定正弦量的三要素。ImUmωωφiφu正弦量用波形圖表示6-1正弦量的基本概念所謂正弦交流電，一般指隨時間按正弦1．周期（頻率）與角頻率正弦量變化一次所需要的時間稱為周期T，單位為秒（s）。每秒時間內重復變化的次數，稱為頻率f,單位為赫茲（Hz），頻率為周期的倒數，即f=1/T。正弦量每秒時間內變化的弧度稱為角頻率ω，單位為弧度/秒（rad/s）。T、f和ω都能反映正弦量變化的快慢，三者的關系為

ω=2π/T=2πf三者之間只要知道其中一個，就可求出其它兩個。1．周期（頻率）與角頻率正弦量變化一次所需要的時間稱為周期T2．瞬時值與有效值正弦量在每一瞬間的數值稱為瞬時值，用u、i表示。最大的瞬時值稱為幅值或最大值，用Um、Im表示。瞬時值和最大值是指正弦量某一瞬間的數值，不能用來表示正弦量的大小。正弦量的大小工程上規(guī)定用有效值I表示,它是根據正弦電流和直流電流的熱效應相等來規(guī)定的。周期變化交流電有效值:正弦量的有效值

I==0.707Im

U==0.707Um=假定在相同時間T內2．瞬時值與有效值正弦量在每一瞬間的數值稱為瞬時值，用u、i3．相位與初相位正弦量隨時間變化的電角度(ωt+φ)稱為相位或相位角，代表了正弦交流電的變化進程。t=0時的相位稱為初相位或初相角，用φ表示。φ的大小和符號決定了正弦量計時起點和初始值。

φ=00＜φ＜(π+2nπ)-(π+2nπ)＜φ＜0初始值為零，稱參考正弦量。初始值為正初始值為負3．相位與初相位正弦量隨時間變化的電角度(ωt+φ)稱為相位二、正弦量的相位差任意兩個同頻率的正弦量在相位上的差值稱為相位差，用字母φ表示。例如，u=Umsin(ωt+φu)，i=Imsin(ωt+φi)，

φ=(ωt+φu)-(ωt+φi)=φu-φi。相位差等于兩個同頻率正弦量初相位之差，其物理意義在于表示兩個同頻率正弦量隨時間變化步調上的先后。φ=0φu-i>0或φi-u<0φ=180°φ=-90°同相超前或滯后反相正交二、正弦量的相位差任意兩個同頻率的正弦量在相位上的差值稱為相6-2正弦量的相量表示用三角函數式和波形圖表示正弦量來分析和計算正弦交流電路都很不方便。工程中常采用相量圖和相量式表示正弦量，這種表示方法稱為正弦量的相量表示法。一、相量圖法1.相量圖的畫法相量圖就是用一個有向線段來表示正弦量，如i

=Imsin(ωt+φ)，該有向線段稱為相量。i(t)t6-2正弦量的相量表示用三角函數式和波形圖表示正弦量來2.相量的加減運算例1：計算圖中相量I1+I2、I1+I2+I3和、I1-I2+I3。

解：方法一，平行四邊形法則;

方法二，多邊形法則。2.相量的加減運算例1：計算圖中相量I1+I2、I1+I二、相量式法用復數式表示相量(正弦量)的方法稱為正弦量相量式表示法，簡稱相量式法。⒈相量式的四種形式代數式三角式指數式極坐標式四種表示方法可以互換二、相量式法用復數式表示相量(正弦量)的方法稱為正2.90°旋轉因子(j)任意一個相量×j有任意一個相量÷j有j稱為90°旋轉因子注意：相量僅僅是用來表示正弦量的一種方法，兩者有一一對應關系，但正弦量不等于相量。用相量表示正弦量是一種數學變換，只適用于同頻率的正弦量。2.90°旋轉因子(j)任意一個相量×j有例2：指出下列各式的錯誤，寫出其正確的表達式。

⑴i=5sin(ωt-30°)=5e-j30°A

⑵U=100ej45°=1002sin(ωt+45°)V

⑶I=10∠30°A

⑷I=20e20°A解：⑴有錯,I=5e-j30°A

⑵有錯,

U=100ej45°

u=1002sin(ωt+45°)V⑶有錯,I=10∠30°A⑷有錯,I=20ej20°Am例2：指出下列各式的錯誤，寫出其正確的表達式。

⑴例3：已知I=2∠-60°A，試求3I、jI、I/j，并畫出相量圖。解：3I=3×2∠-60°=6∠-60°A

jI=1∠90°×2∠-60°=2∠30°A

I/j=(2∠-60°)/(1∠90°)=2∠-150°A例3：已知I=2∠-60°A，試求3I、jI、I/j，并畫例4：試寫出u1＝2202sin(314t-150°),u2＝-2202

sin(314t-30°)，的相量式。并計算u1+u2、u1×u2。解：例4：試寫出u1＝2202sin(314t-150°),6-3單一元件的電流電壓關系

在電路中只有R、L、C其中某一元件，則稱電路為單一元件的電路。一、電阻元件的電流電壓關系設i=Imsinωt(參考正弦量）瞬時值關系：相位關系：u與i同相位大小關系：相量關系：電流電壓同相，瞬時值、大小、相量均遵循歐姆定律6-3單一元件的電流電壓關系在電路中只有R、二、電感元件的電流電壓關系設i=Imsinωt(參考正弦量）瞬時值關系：u=ωLImcosωt=Umcosωt=Umsin(ωt+90°)相位關系：u超前i90度大小關系：相量關系：

XL=ωL=2πfL(感抗)電感在直流電路中f=0，XL=0，可視為短路。當把帶線圈的交流設備接入直流電路，會產生短路事故。二、電感元件的電流電壓關系設i=Imsinωt(參考正弦量三、電容元件的電流電壓關系設u=Umsinωt(參考正弦量）瞬時值關系：i=ωCUmcosωt=Imcosωt=Imsin(ωt+90°)相位關系：i超前u

90度大小關系：相量關系：電容在直流電路中f=0，XC=∞，可視為開路。三、電容元件的電流電壓關系設u=Umsinωt(參考正弦量例1：以下各式對電感電路是否成立？不能成立，請說明原因。解：⑴有錯,uL=L

⑵有錯,=XL

⑶有錯,I=⑷對(5)有錯,=ωLUIUI例1：以下各式對電感電路是否成立？不能成立，請說明原因。解：例2：以下各式對電容電路是否成立？不能成立，請說明原因。解：⑴有錯,U=IXC

⑵有錯,=-jXC

⑶有錯,I=UωC⑷有錯,I=jUωC(5)對UI例2：以下各式對電容電路是否成立？不能成立，請說明原因。解：6-4相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路由于電路的激勵是正弦量，其響應都是同頻率的正弦量可以用相量表示，而電感和電容可以用感抗和容抗表示，引入相量后，電路的基本定律可以用相量形式表示。對時域正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析可以轉換為對頻域相量模型的分析。時域正弦穩(wěn)態(tài)電路動態(tài)元件上電流電壓的微分（或積分）關系可以用相量表示成頻域的代數關系，使電路的分析更為方便，這種頻域下正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析方法就是所謂的相量法。6-4相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路由于電路的激勵是正弦量，其響一、電路基本定律和基本公式的相量形式阻抗與導納，歐姆定律的相量形式當電流電壓為關聯參考方向時，R、L、C三個元件電流電壓關系的相量形式為Z稱為元件的復阻抗(是復數)

，是正弦穩(wěn)態(tài)電路負載的總稱，Z的倒數稱為復導納Y,Z、Y分別定義為(單位：Ω)(單位：西門子S)歐姆定律的相量形式

一、電路基本定律和基本公式的相量形式阻抗與導納，歐姆定律的相2.基爾霍夫定律的相量形式

時域電路模型相量模型對時域電路模型，根據基爾霍夫電壓定律有u-uR-uL-uC=0則在對應的相量模型中應滿足U-UR-UL-UC=0同理基爾霍夫電流定律對電流相量也成立2.基爾霍夫定律的相量形式時域電3.相量模型的基本計算公式

對時域正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析轉換為對頻域相量模型的分析時，只需將直流電路中的U、I、R→、、Z，則直流電路的一般分析方法都可轉換為相量模型的分析方法?；居嬎愎绞街姓⒇撎栍蓞⒖挤较驔Q定。3.相量模型的基本計算公式對時域正弦穩(wěn)態(tài)電二、R、L、C串聯電路的分析1.電壓與電流關系Z==R+j(XL-XC)=R+jX=|Z|∠φ

X=XL-XC稱為電抗，表示電感和電容共同作用于電路的結果。當X>0，電路中電感的作用大于電容；當X<0，電容的作用大于電感，X可正，可負，XL、XC始終大于零。

當電路中RLC三元件同時存在時，其等效復阻抗Z的實部為電路的電阻R，虛部為電抗

X=(XL－XC）。

U

I二、R、L、C串聯電路的分析1.電壓與電流關系UI2.電壓三角形和阻抗三角形選電流為參考相量作出電路的相量圖電壓三角形三個邊關系為

U==I=I｜Z｜｜Z｜==φ角稱為阻抗角，又是u與i的相位差φ與電路中電壓和電流的大小無關，只與電路的參數R、L、C及電源的頻率有關。2.電壓三角形和阻抗三角形選電流為參考相量作出電路的相量圖φ3.電路的性質根據φ角的不同取值，可將電路劃分為三種性質。電感性電容性電阻性φ>0φ>0φ=0u超前iu滯后iui同相XL＞XC

XL＜XC

XL=XC

UL＞UC

UL＜UC

UL=UC3.電路的性質根據φ角的不同取值，可將電路劃分為三三、相量法應用舉例例1：已知US=40∠0°，求電路的I、IC、IL并確定電路性質。解：電路入端阻抗為：

Z1=1.5ΩZ2=j1ΩZ3=1-j2ΩZ=Z1+

Z2//

Z3

電路中電流：由計算結果可知:φ=36.9°>0,電路為感性，u超前i

。IL＞I，這在直流電路是不會發(fā)生的。

+12°D=+=-+=9.365.25.12j115.1jj°A-D=°D°D==··9.36169.365.2040SZUI°A-D=-=···3.553.25CLIII三、相量法應用舉例例1：已知US=40∠0°，求電路的I、I例2：已知RLC并聯電路中R=10,L=48mH,C=397μF。電

源U=120V,f=50Hz,求電流IR、IL、IC及i并畫相量圖，說明電路性質。解：設I=IR+IL+IC=12+j7=13.9∠30.3°Aφ=電路為容性-30.3°電流三角形(直角)例2：已知RLC并聯電路中R=10,L=48mH,C=397例3：在圖示的正弦穩(wěn)態(tài)電路中，已知US1=110V，US2=100V，二者同相，求支路電流I1、I2、I3。解：用節(jié)點法求解，設b為參考點

Z1=1+j4ΩZ2=2ΩZ3=6-j6Ω

例3：在圖示的正弦穩(wěn)態(tài)電路中，已知US1=110V，US26-5相量圖分析正弦穩(wěn)態(tài)電路用相量法分析電路的過程是利用相量，采用分析電路的基本方法，列出相量式求解相量的過程。適合于該方法的電路特點是已知激勵相量（或物理量的相量）和電路參數，求電路響應。當電路中各物理量的相位關系明確，用相量法分析電路比較方便。當電路中各物理量的相位關系不十分明確時，用相量法分析電路，過程比較復雜，而采用相量圖法分析電路，會使分析較為方便。所謂相量圖法是利用相量圖中各物理量的幾何關系分析電路的一種方法。6-5相量圖分析正弦穩(wěn)態(tài)電路用相量法分析電路的過程是利用一、常用的相量圖1.串聯電路電壓、阻抗三角形2.并聯電路電流、導納三角形一、常用的相量圖1.串聯電路電壓、阻抗三角形二、應用舉例例1：試求圖中A0和V0。解：利用相量三角形計算(a)A0=14.1A(b)V0=80V(c)A0=(5-3)=2A(d)V0=14.1V(e)I0=10AV0=141V+U2-.二、應用舉例例1：試求圖中A0和V0。+U2-.例2：電路如圖所示，已知電壓表測得的數據分別為U=36V,

UR1=20V,

U2=22.4V。且知R1=10Ω，f=50Hz。試求參數R和XL。

解：I=UR1/R1=2A設I=2∠0°A，畫相量圖根據余弦定理有

U2=UR12+U22-2UR1U2cos(180°-φ

)

φ=64°

U2=22.4∠64°=9.82+j20.2V

R=9.82/2=4.9Ω

XL=20.2/2=10Ω或R+XL=U2/I=4.9+j10Ω例2：電路如圖所示，已知電壓表測得的數據分別為U=36V,例3：電路如圖，已知I1=10A,I2=10√2A,U=200V。

R=5Ω，R2=XL,求電流I，容抗XC,感抗XL。解：設Uab=Uab∠0°V，畫相量圖由相量圖的幾何關系確定

I=I1=10A

Uac=IR=50VUab=U-Uac=200-50=150VXC=Uab/I1=15Ω

Uab/I2=2XL

R2=XL=7.5Ω10例3：電路如圖，已知I1=10A,I2=10√2A,U=206-6正弦穩(wěn)態(tài)電路中的功率正弦交流電路的負載是由電阻、電感和電容三元件組合起來的無源網絡。設網絡端電壓、電流、阻抗為

u=2Usin(ωt+φ)i=2IsinωtZ=R+j(XL-XC)一瞬時功率p=ui=UIcosφ-UIcos(2ωt+φ)1.電壓、電流和瞬時功率波形圖0≤t≤t1時間內，p＞0，

表明網絡從電源取用功率。t1＜t≤t2時間內，p＜0，

網絡中的儲能元件釋放功率，于是在電源和網絡之間就形成了能量的往返交換。

t1到t2的時間對應于u與i的相位差（φ

）。φ6-6正弦穩(wěn)態(tài)電路中的功率正弦交流電路的2.單一參數的瞬時功率（p=ui=UIcosφ-UIcos(2ωt+φ)）當φ=0，網絡等效為一個電阻R，pR=UI-UIcos2ωt；當φ=90°，網絡等效為一個電感L，pL=UIcos2ωt；當φ=-90°，網絡等效為一個電容C，pL=-UIcos2ωt；同一時刻L、C吸收功率和釋放功率的時間相反。2.單一參數的瞬時功率（p=ui=UIcosφ-UIcos一有功功率

在一周期內電路消耗的平均功率稱為有功功率，即稱為功率因素，φ稱為功率因素角。二無功功率衡量儲能元件能量轉換的能力用無功功率Q表示。當電感和電容同時存在時

Q=QL－QC=I2(XL－XC)

=UIsinφ

=UIcosφcosφ一有功功率

在一周期內電路消耗的平均功率稱為有功功三視在功率

視在功率用于衡量供電設備的供電能力，它等于電路電壓U與電流I的乘積，單位為伏安，用S表示。即S=UI

視在功率的物理意義：電源(或電路)向負載能夠輸出的最大功率Pmax=S。S、P、Q的關系：

P=UIcosφ=ScosφQ=UIsinφ=Ssinφ

S=P2+Q2=UI當電路入接多個不同cosφ的負載：

P=∑Pk（各負載有功功率之和）Q=∑QkL

-∑QkC

（各負載無功功率代數之和）S=P2+Q2≠∑Sk（始終滿足功率三角形）cosφ三視在功率

視在功率用于衡量供電設備的供電四復功率

用相量表示功率稱為復功率S，它等于電路電壓相量與電流相量共軛復數的乘積，即

S=U∠φu×I∠-φi=S∠φ

=P+jQ電路功率計算的3個方法：(1)已知電路電壓、電流大小和相位差

P=UIcosφ=ScosφQ=UIsinφ=Ssinφ

S=P2+Q2=UI（2）已知電路各負載功率

P=∑Pk

Q=∑QkL

-∑QkCS=P2+Q2（3）已知電路電壓相量與電流相量

S=U∠φu×I∠-φi=S∠φ

=P+jQcosφ四復功率

用相量表示功率稱為復功率S，它等例2：電路如圖，已知R1=R2=XL1=XL2=100Ω，兩并聯電路為容性，其UAB=100V、PAB=100W、cosφAB=。求(1)阻抗Z，(2)總電壓相量，(3）整個電路的cosφ、整個電路的P、Q和S。

解(1)設UAB=100∠0°VZ2=R2+j

XL2=100∠45°Ω

I2==1∠-45°AI1==1AcosφAB=±45°

I1=1∠45°AIZ=I1-I2=jA(2)U=I1(R1+XL1)+UAB=200∠45°V(3)cosφ=1

Q=0S=P=UI1=200VAZ=-j100Ω

例2：電路如圖，已知R1=R2=XL1=XL2=100Ω，兩例1：計算電路的功率P、Q和S。已知R1=R2=R3=10Ω，XL1=20Ω，XL2=XC3=10Ω，電壓U=220∠0°V，I1=7.78∠-45°A，I2=5.5∠-90°A，

I

3=5.5∠0°A。解：方法1，U=220V，I1=7.78A

，

φ

=0-（-45）=45°

S=UI=220×7.78=1712VAP=UI1cosφ=220×7.78×cos45°=1210WQ=UI1sinφ=220×7.78×sin45°=1210Var

方法2，P1=I12R1=605.3P2=I22R2=302.5P3=I32R3=302.5WQ1=I12XL1=1210.6Q2=I22XL2=302.5Q3=-I32XC3=-302.5VarP=P1+P2+P3=1201WQ=Q1+Q2+Q3=1210Var

S=P2+Q2=1712VA

方法3，S=220∠0°×7.78∠45°=1712∠45°=1201+j1201P=1201WQ=1201VarS=1712VA

例1：計算電路的功率P、Q和S。已知R1=R2=R3=10例3：電路如圖,已知I1=I2=I,f=50Hz,U=100V,電路的功率

P=866W。試求R、L、和C。解:設U=100∠0°V,作相量圖

根據相量圖幾何關系有

30°30°例3：電路如圖,已知I1=I2=I,f=50Hz,U=100例4：電路如圖,已知I3=20A,I2=30A,U1=1002V,U=220V,

電路的功率P=1000W。試求R、X1、X2

、X3的值。解:設U2=U2∠0°V,作相量圖

根據相量圖幾何關系有

R=P/I12=10Ω

U1

2=(I1X1)2+(I1R)2

X1=10Ω

[U2+(I1X1)]2+(I1R)

2=U2

U2=96V

例4：電路如圖,已知I3=20A,I2=30A,U1=100五功率因數的提高

一般的用電設備，如感應電動機、感應爐、目光燈等都屬于電感性負載，往往造成電路的功率因數較低。1.提高功率因數的意義對于容量一定的供電設備，負載的conφ大，出的P越大，設備得到充分利用；對輸電線路來說，當電壓U一定，輸送同一功率P=UIconφ時，conφ大，I小，則線路上電能損失和壓降就小。提高conφ的意義在于：提高發(fā)電、輸電和配電設備的利用率；減小輸電線路電能損失和壓降。五功率因數的提高

一般的用電設備，如2.提高功率因數的方法在感性負載兩端并上適當的電容，利用電容器的無功功率補償感性負載的無功功率，在不改變感性負載的前提下，提高線路的功率因數。設感性負載Z，已知cosφ、P、接入電壓為U，頻率為f的電路中。若將線路的cosφ增加至cosφ′應該并多大的電容？設電源電壓為U=U∠0°作相量圖當C↑→IC↑→I↓→cosφ′↑,當φ′=0,cosφ′=1,此后C↑→IC↑→I↑→cosφ′↓,最后出現cosφ′＞cosφ。2.提高功率因數的方法在感性負載兩端