廣義積分?jǐn)可⑿缘呐袆e法

廣義積分?jǐn)可⑿缘呐袆e法

判定一個(gè)廣義積分的收斂性,是一個(gè)重要的問題.當(dāng)被積函數(shù)的原函數(shù)求不出來,或者求原函數(shù)的計(jì)算過于復(fù)雜時(shí),利用廣義積分的定義來判斷它的收斂性就不適用了.因此,我們需要其它方法來判斷廣義積分的收斂性.（一）。無窮限廣義積分的審斂法無窮限廣義積分的審斂法與正項(xiàng)無窮級(jí)數(shù)審斂法很類似，先復(fù)習(xí)一下正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法以便與無窮限廣義積分的審斂法作比較上連續(xù)，，

1）如果：且收斂，則收斂；2）如果：且，發(fā)散發(fā)散；則廣義積分比較審斂原理：設(shè)在區(qū)間1.正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較審斂原理(收斂，發(fā)散，值)注：1）.可將廣義積分比較原理與級(jí)數(shù)相應(yīng)比較法對(duì)比，其是類似的；2）.可通俗的說：大積分收斂，則小積分收斂；反之，小積分發(fā)散，則大積分發(fā)散。2.P級(jí)數(shù)（積分）及其斂散性：Cor1（選p級(jí)數(shù)作比較對(duì)象）設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，且如果存在常數(shù)M>0,及p>1,使得：則；Cor1.令收斂；

2）如果存在常數(shù)N>0,使得則發(fā)散；Cor2（與p級(jí)數(shù)比較的極限形式）Cor2（極限形式）設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，且則1）當(dāng)存在時(shí)收斂；2）當(dāng)存在或?yàn)闊o窮大時(shí)，發(fā)散；Def：絕對(duì)收斂：如果積分收斂，則稱積分定理：絕對(duì)收斂積分必收斂絕對(duì)收斂3.級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂及其性質(zhì)（二）。例題選講無窮限廣義積分的審斂法例1判別廣義積分的斂散性.解

因?yàn)檫@里故由推論1知，題設(shè)廣義積分收斂.例2判別廣義積分的斂散性.解

因?yàn)檫@里故由推論2知，題設(shè)廣義積分收斂.例3判別廣義積分的斂散性.解

因?yàn)?/p>

故根據(jù)推論2知，題設(shè)廣義積分發(fā)散.例4判別廣義積分的斂散性.解

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，

故由推論1知，題設(shè)廣義積分發(fā)散

.例5判別廣義積分解因?yàn)?/p>

故根據(jù)推論2知，題設(shè)廣義積分發(fā)散

.的斂散性.例6判別廣義積分的收斂性，其中都是常數(shù)，且解而收斂

.收斂，故題設(shè)廣義積分收斂

.例7判別廣義積分.解

由于而收斂，故收斂，即絕對(duì)收斂

.（三）無界函數(shù)的廣義積分審斂法定理：（比較原理）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，，

1）如果：且收斂，則收斂；當(dāng)x充分靠近點(diǎn)a時(shí)有2）如果：當(dāng)x充分靠近點(diǎn)a時(shí)有且發(fā)散則發(fā)散（即大的收斂則小的也收斂，反之小的發(fā)散則大的也發(fā)散）補(bǔ)充：無界函數(shù)廣義積分中p積分的收斂性與無窮限廣義積分情況正好相反取Cor3設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，且1）如果存在常數(shù)M>0,及,使得：則收斂；2）如果存在常數(shù)N>0,及q≥1,使得則發(fā)散Cor4.（極限形式）設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，且如果存在常數(shù)0<q<1，使得：存在，則廣義積分2）如果存在常數(shù)，使得：存在，則廣義積分發(fā)散收斂例8判別廣義積分的收斂性.是的瑕點(diǎn)，且所以，當(dāng)即時(shí)，題設(shè)廣義積分收斂

;當(dāng)即時(shí)，題設(shè)廣義積分發(fā)散

.（四）無界函數(shù)的廣義積分審斂法例題解由于例9判別廣義積分解被積函數(shù)在點(diǎn)的右鄰域內(nèi)無界.又由洛必達(dá)法則知故根據(jù)推論4知，題設(shè)廣義積分發(fā)散.的收斂性.例10判別廣義積分解因?yàn)槎鴱V義積分收斂，從而題設(shè)廣義積分也收斂.的收斂性.收斂，根據(jù)比較審斂原理知，例11.考研題（2010.1）設(shè)m，n均為正整數(shù)，，則反常積分的收斂性為（）（B）僅與n的值有關(guān)（A）僅與m的值有關(guān)（C）與m，n的值都有關(guān)（D）與m，n的值都無關(guān)解：瑕點(diǎn)：X=0與x=1分1）n>1,2）