2020屆高考數(shù)學(xué)(文)二輪總復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練：1.2.3數(shù)列的綜合應(yīng)用Word版含答案

1.2.3數(shù)列的綜合應(yīng)用1.已知數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，滿足O4a3O濟(jì)a2013OC其中A,B,C在一條直線上， O為直線AB外一點，記數(shù)列｛an｝的前n項和為S,則S2015的值為（ ）A.20152A.20152B.2015D.2013C.2D.2013解析：依題意有 a3+a2013=1,故S2015a3+a201322015=2015.故選A.答案：A故S2015a3+a201322015=2015.故選A.答案：A（2019?葫蘆島一模）數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，｛bn｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，公比 q>1,且a5=b5,則（ ）A.a?+a7>bd+b6 B.a3+a7>b4+b6C.a3+a7Vb4+b6D.a3+a7=b4+b6解析：數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，｛3｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，公比 q>1,由a3+a7=2a5=2b5,b4+b6"21b4b6=2b5,a3+a7wb4+b6,由于q>1可彳導(dǎo)a3+a7Vb4+b6,故選C.答案：C（2019春?龍鳳區(qū)校級月考）在等差數(shù)列｛an｝中，其前n項和是若4>0,Sio<0,則,SiS2 S9,一，在一，一，…，一中取大的是（ ）aa2 a9SiA.aS8B.一a8C「a5S9D「a9解析：依題意，數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，其前n項和是S,9a5>0,S9>0,Sio<0,所以a5+a5V0,所以a5>0,a6<0,所以公差d<0,一， ,S, ,S所以當(dāng)6<n<9時一<0,當(dāng)1wnw5時一>0.又因為當(dāng)1wnW5時，&單調(diào)遞增，an單調(diào)遞減,TOC\o"1-5"\h\zS S5所以當(dāng)1wnW5時，一單調(diào)遞增，所以—最大.故選C.an as答案：C(2019?師大附中月考)已知數(shù)列｛an｝,｛bn｝滿足ai=1,且an,an+i是方程x2—bx+2n=0的兩根，則bi。等于( )A.24 B.32C.48 D.64解析：由已知得anan+i=2n, an+ian+2=2n+1,則a]=2,所以數(shù)列｛an｝的奇數(shù)項與偶數(shù)項an都是公比為2的等比數(shù)列，可以求出az=2,所以數(shù)列｛an｝的項分別為：i,2,2,4,4,8,8,i6,i6,32,32 …，而bn=an+an+i,所以bio=aic+a11=32+32=64.故選D.答案：D5.已知數(shù)列｛an｝,｛bn｝滿足bn=an+an+i,則“數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列”是“數(shù)列｛bn｝為等差數(shù)列”的( )A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解析：若數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，設(shè)其公差為di,則bn+i—bn=(an+i+an+2)—(an+an+i)=a+2—an=2di.所以數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列；若數(shù)列｛bn｝為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d2.則bn+i—bn=(an+i+an+2)—(an+i)=an+2—an=d2,不能推出數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列,所以“數(shù)列｛a｝為等差數(shù)列”是“數(shù)列｛bn｝為等差數(shù)列”的充分不必要條件，故選A.答案：A.若等差數(shù)列｛an｝的前n項和S=n2,則2S：24的最小值為( )an+iB.8D.7A.B.8D.7C.62… ~,2S+24i2廠…，解析：由&=n,則an=S—S—i=2n—i,所以——-=n+—>4x/3.由均值不等式知當(dāng)n解析：由an+1 ni2不即n=2>/3i2不即n=2>/3時，取等號.又nCN*且3<2#<4,所以當(dāng)n=3或4時，式子2s+24an+i有最小值，最小值為3+i2-=7.故選D.3答案：D.(20i9?黑龍江大慶一中模擬)已知函數(shù)f(x)=x2+ax的圖象在點A(0,f(0))處的切線l

.... 1一、.一一. 與直線2x—y+2=0平行，若數(shù)列f-^的前n項和為S,則S20的值為（ ）325A.—19B.二20C.11919B.二20C.119256D.20102011解析：因為f(x)=x2+ax,所以f'(x)=2x+a.又函數(shù)f(x)=x2+ax的圖象在點A(0,f(0))處的切線l與直線2x—y+2=0平行，所以f'(0)=a=2,所以f(x)=x2+2x,所以J—=fn1 11 1n2+2n-2nn+2~, 1所以S20=~, 1所以S20=211—3112―43—5+…+325462.故選A.襄-工325462.故選A.2022 2 22122答案：A.設(shè)施，b>0,若也是3a與32b的等比中項,則a+b的最小值為（A.4 B.11C. D.84解析：???木是3a與32b的等比中項，...3ax32b=3a+2b=(小)2=3,?-a+2b=1.? +1=(a+2b)=4+4b+a>4+2\/4b-a=8,當(dāng)且僅當(dāng)生=號且a+2b=1,即aab'aabab ；ab ab

答案：D10.已知等差數(shù)列｛an｝中，a3=9,a5=17,記數(shù)列工的前n項和為Sn,若Sn+1—Snw；m(mCZ),an 10對任意的nCN*恒成立，則整數(shù)m的最小值是(B.4D.2A.5B.4D.2C.3解析：因為等差數(shù)列｛an｝中，a3=9a5=17)所以公差d=a5—a317—95—3L4.由an=a3+(n—3)d得,解析：因為等差數(shù)列｛an｝中，a3=9a5=17)所以公差d=a5—a317—95—3L4.由an=a3+(n—3)d得,an=4n—3,1_ 1an4n 3n+1&n+1-s=4n+1_3+4n+2-3+…+42n+1—3<4n+1<1m0,所以整數(shù)m的最小值為4.故選B.答案：B11.已知數(shù)列{an}滿足aa2a3…an=2n2(neN*),且對任意nCN*都有工+°+…+二vt,則實a1a2 an數(shù)t的取值范圍為(1A.-3+OOB.I+°°32C.3+OOD.2,+83解析:依題意得，當(dāng)n>2時,2an=- -=- ^=2n2—(n—1)2=22n1.又d=21=a1a2a3…an1 2n-12X1—1 2n—12 ,因此an=2an22nT,一1I1,、，. 1, ……數(shù)列｛一｝是以；;為首項，二為公比的等比數(shù)列.等比數(shù)列an 2 4的前n項和等于2y的前n項和等于2y11――41--1H<|,因此實數(shù)t的取值范圍是I，+8.故選D.4 3 3答案：D12.已知三個數(shù)a-1,a+1,a+5成等比數(shù)列，其倒數(shù)重新排列后為遞增的等比數(shù)列{a12.已知三個數(shù)a-1,a+1,a+5成等比數(shù)列，其倒數(shù)重新排列后為遞增的等比數(shù)列{an}的前三項，則能使不等式a+&+…+anW)+工+…+」成立的自然數(shù)n的最大值為a1 a2 chA.9B.8C.7D.5解析：因為a-1,a+1,a+5成等比數(shù)列，所以(a+1)2=(a—1)(a+5),?.a=3,倒數(shù)重新排列后恰好為遞增的等比數(shù)列｛an｝的前三項，為:，5公比為2,數(shù)列新排列后恰好為遞增的等比數(shù)列｛an｝的前三項，為:，5公比為2,數(shù)列8421- …,是以8為首an■ 1, ，…項，2為公比的等比數(shù)列.則不等式a1+a2+…+anW—+—+…+一等價于

al a2 ch-1-2n811—2181—2^< -,整理得2n<27, Knw7答案：C二、填空題代已知數(shù)列⑸是等差數(shù)列，且土一1,它的前n項和S有最小值，則S取到最小正數(shù)時的n=解析：由題意可知a7d>0,解析：由題意可知a7d>0,又一v—1,

a6所以a6<0,a7>0,26+既>0,從而Sii<0,S2>0,所以S取到最小正數(shù)時的n的值為12.答案：1214.（2019?呼倫貝爾一模14.（2019?呼倫貝爾一模）數(shù)列an=nn+1的前n項和為S,若S,Sn,S成等比數(shù)列（m>1）,則正整數(shù)n值為解析：an=nn+1—nn+1.n+1 n+1解得n=2mZZ2,2m+1-m令2m+1—n2>0,m>1,解得1Vitk1+42m=2,n=8.故答案為8.答案：8.（2019?武漢調(diào)研）設(shè)等差數(shù)列｛an｝滿足a3+a7=36,a4a6=275,且anan+1有最小值，則這個最小值為解析：設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,因為a3+a7=36,所以a4+a6=36,與a4a6=275聯(lián)立,a4=11, a4=25)解得 或a6=25 a6=11.a4=11, a1=—10,當(dāng) 時，可得 此時an=7n-17,a2=—3,as=4,易知當(dāng)n<2時,a6=25 d=7,an<0,當(dāng)n>3時，an>0,所以a2a3=—12為anan+1的最小值；a4=25, a=46,當(dāng) 時，可得 此時an=-7n+53,a7=4,a8=—3,易知當(dāng)n<7時,a6=11 d=—7,an>0,當(dāng)n>8時，an<0,所以a7a8=—12為anan+1的最小值.綜上，anan+1的最小值為一12.答案：—12.（2019?昆明調(diào)研）將數(shù)列｛an｝中的所有項按每一行比上一行多 1項的規(guī)則排成如下數(shù)陣：a1

a2,a3a4,a5,a6a7,a8,a9,a10記數(shù)陣中的第1列數(shù)a,a2,a4,…構(gòu)成的數(shù)列為｛bn｝,S為數(shù)列｛bn｝的前n項和.若$=2bn—1,則a56=.解析：當(dāng)n>2時，因為$=2bn—1,所以S,1=2bn1-1,所以bn=2bn-2bn1,所以bn=2bn1(n>2且nCN),因為b1=2b1-1,所以b1=1,所以數(shù)列｛bn｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，所以bn=2ni.設(shè)白，a2,a4,a7,a*,…的下標(biāo)1,2,4,7,11 ,…構(gòu)成數(shù)列｛cn｝,則C2—c=1,C3—c2=2,C4-C3=3,C5-C4=4,…，Cn—Cn1=n—1,累加得，Cn—C1=1+2+3+4+…+(,-1),所以Cn= 2 +1,由Cn= 2 +1=56,得n=11,所以a56=bn=210=1024.答案：1024三、解答題1.已知數(shù)列｛an｝滿足ai=3,an+i=2an—n+1,數(shù)列｛bn｝滿足bi=2,bn+i=bn+an—n,n€N.(1)證明：｛an—n｝為等比數(shù)列；…一—— an—n …、，一一1(2)數(shù)列J｛cn｝滿足cn=- ,求證數(shù)列｛cn｝的前n項和Tn<-.bn+1bn+1+1 3解析：(1)證明：因為an+1=2an-n+1,所以an+1—(n+1)=2(an—n).又a1=3,所以a1—1=2,所以數(shù)列｛an—n｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.(2)證明：由(1)知，an—n=2?2nT=2n.所以bn+1=bn+an—n=bn+2,即bn+1-bn=2n.比一b=21，b3-b2=22,b4-b3=23,bn—bn1=2 .累加求和得bn=2+2]~2—=2n(n>2).1—2當(dāng)n=1時，b1=2,滿足bn=2,所以bn=2n.an—n 2所以cn=bn+1bn+1+1=2n+12n+1+11 1=2n+1-2n+1+1.-J 1-,,2-J 1-,,22+1—23+1+…+1 12n+1-2n+1+11 1 13-2n+1+1<3.2.已知等差數(shù)列｛an｝的首項a1=1,公差d>0,且第2項、第5項、第14項分別是一個等比數(shù)列白勺第2項、第3項、第4項.⑴求數(shù)列｛an｝的通項公式；TOC\o"1-5"\h\z… 1 ^ t(2)設(shè)bn= 二T(nCN),Sn=b1+b2+…+bn,是否存在頭數(shù)t,使得對任息的n均有Sn>—nan3 36總成立？若存在，求出最大的整數(shù) t;若不存在，請說明理由.解析：(1)由題意得(d+d)(a-13d)=(a1+4d)2,整理得2a1d=d2.a1=1,d>0, d=2.

，an=2n—i(neN).1 1 11 1(2)-bn-nan+3―2nn+1-2n-n+1，，Sn=b1+b2+…+bn=11.n+1n+2 1 1 1 1 1n+1 n+2 +n+2 n+3 ++2n 2n+1+n+1n+2 1 1 1 1 1n+1 n+2 +n+2 n+3 ++2n 2n+1212十23 nn+1二1-=^^2n+1 2n+1-假設(shè)存在整數(shù)t滿足S>1總成立.36TOC\o"1-5"\h\zn+1n 1?Oi+1 Sn ~ ~~ ~ - ~ ~J2 n+2 2 n+1 2 n+2 n+1，數(shù)列｛&｝是遞增的.，S=I為Sn的最小值,t1故367即t<9-又t6Z,，適合條件的t的最大值為8.*3.已知數(shù)列｛an｝中，a=2,an-a11-2n=0(n>2,nCN).(1)寫出a2,a3的值(只寫出結(jié)果)，并求出數(shù)列｛an｝的通項公式；(2)設(shè)bn=3+3+3+…+；，若對任意的正整數(shù)n,不等式t2-2t+1>bn恒成立，求an+1an+2an+3 a2n 6實數(shù)t的取值范圍.解析：(1)a=6,a3=12.當(dāng)n>2時，an=a[+(a2—a1)+(a3—a2)+…+(an—an1)=2+2X2+2X3+…+2n=2(1+2+3+…+n)=n(n+1).因為當(dāng)n=1時，a1=2也滿足上式,所以an=n(n+1).— 111 1(2)bn=ar?+二十二+…+晟+…+12+…+12n2n1nH77-2n+1因為bn+1—bn= -—：—T~；：~~7n+22n+3