考點02 指對數(shù)函數(shù)及相關運算（解析版）

考點02指對數(shù)函數(shù)及相關運算一、單選題1．函數(shù)恒過定點（）A． B． C． D．【答案】D【分析】令指數(shù)為零，求出的值，并代入函數(shù)的解析式，即可得出定點的坐標.【詳解】令，得，，因此，定點的坐標為.故選：D.【點睛】本題考查指數(shù)型函數(shù)圖象過定點問題，一般利用指數(shù)為零可求得定點的坐標，考查運算求解能力，屬于基礎題.2．已知，由此可以推斷是（）位整數(shù).A． B． C． D．【答案】C【分析】令，兩邊取對數(shù)后求得，由此可得的整數(shù)位.【詳解】解：∵，令，∴，則，∴是位整數(shù).故選：C.3．圖中、、為三個冪函數(shù)在第一象限內的圖象，則解析式中指數(shù)的值依次可以是（）A．、3、 B．、3、 C．、、3 D．、、3【答案】D【詳解】由題意得，根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質可知，，所以解析式中指數(shù)的值依次可以是，故選：D．4．設，，，則a，b，c的大小關系為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)的性質有，由指數(shù)函數(shù)單調性有，即可知a，b，c的大小關系.【詳解】，，又，∴，故選：D5．已知則（）A．4 B． C．6 D．【答案】D【分析】利用分段函數(shù)解析式，結合對數(shù)運算，求得的值.【詳解】因為，所以，而，故，故．故選：D【點睛】本題考查分段函數(shù)求值，屬于基礎題.6．已知，且，則函數(shù)與的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】討論或，首先判斷的圖象，再判斷圖象即可得出結果.【詳解】若，函數(shù)的圖象下降，即為減函數(shù)，且過，的圖象下降，即為減函數(shù)，且以上圖象C符合；若，函數(shù)的圖象上升，即為增函數(shù)，且過，的圖象上升，即為增函數(shù)，以上圖象都不符合.故選：C7．設，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)已知求出，再求的值.【詳解】，，則.故選D【點睛】本題主要考查對數(shù)的運算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.8．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的取值范圍是（）A． B．， C．， D．【答案】C【分析】先確定，再轉化為在區(qū)間上為減函數(shù)，且，即可求得的取值范圍.【詳解】解：若，則在區(qū)間上為增函數(shù)，不可能，舍去；

若，則在區(qū)間上為減函數(shù)，且,

即的取值范圍是.

故選：C.【點睛】本題考查對數(shù)型復合函數(shù)的單調性，考查學生分析轉化問題的能力，屬于中檔題.二、多選題9．若函數(shù)是冪函數(shù)，則一定（）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．在上單調遞減 D．在上單調遞增【答案】BD【分析】根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)，由求得m，再逐項判斷.【詳解】因為函數(shù)是冪函數(shù)，所以，解得或，所以或，由冪函數(shù)性質知是奇函數(shù)且單調遞增，故選：BD.10．下列根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化正確的是（）A． B．C． D．【答案】CD【分析】由根式與分式指數(shù)冪互化的法則，逐項判斷即可得解.【詳解】對于選項A，因為，而，所以A錯誤；對于選項B，因為，所以B錯誤；對于選項C，因為成立，所以C正確；對于選項D，當時，，所以D正確.故選：CD.【點睛】本題考查了根式與分式指數(shù)冪的互化，考查了運算求解能力，注意底數(shù)的取值范圍是解題關鍵，屬于基礎題.11．對于函數(shù)的定義域中任意的，有如下結論:當時，上述結論正確的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由指數(shù)冪的運算性質判斷A，B，由指數(shù)函數(shù)的單調性判斷C，由指數(shù)冪和根式的互化結合基本不等式判斷D．【詳解】對于A，，，，正確；對于B，，，，錯誤；對于C，在定義域中單調遞增，，正確；對于D，，又，則，正確；故選：ACD【點睛】關鍵點點睛：本題考查命題的真假判斷，考查指數(shù)函數(shù)的性質，考查基本不等式的應用，解決本題的關鍵點是將指數(shù)冪形式化為根式，即，利用指數(shù)冪的運算結合基本不等式放縮得出答案，并驗證取等條件，考查了學生邏輯思維能力和計算能力，屬于中檔題．12．關于函數(shù)，下列說法正確的是（）A．定義域為 B．定義域為C．值域為 D．遞增區(qū)間為【答案】ACD【分析】令可得函數(shù)定義域，在定義域內求出的值域，可得函數(shù)的值域，根據(jù)復合函數(shù)的單調性可得函數(shù)單調性．【詳解】解：令，得，即函數(shù)的定義域為，A正確，B錯誤；，，C正確；令，則其在在上單調遞增，上單調遞減，又在上單調遞減，由復合函數(shù)的單調性得的遞增區(qū)間為，D正確；故選：ACD．三、填空題13．計算：________.【答案】【分析】利用對數(shù)和指數(shù)的運算性質可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】原式.故答案為：.14．函數(shù)的定義域為_______．【答案】【分析】將函數(shù)解析式變形為，即可求得原函數(shù)的定義域.【詳解】，所以，.因此，函數(shù)的定義域為.故答案為：.15．是偶函數(shù)，當時，，則不等式的解集為____________.【答案】【分析】根據(jù)條件可得出，當時，由得出，然后根據(jù)是偶函數(shù)即可得出不等式的解集．【詳解】解：當時，由，得，解得.因為為偶函數(shù)，所以的解集為.故答案為：16．已知函數(shù)，若在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)在上是增函數(shù)，分段函數(shù)在整個定義域內單調，則在每個函數(shù)內單調，注意銜接點的函數(shù)值.【詳解】解：因為函數(shù)在上是增函數(shù)，所以在區(qū)間上是增函數(shù)且在區(qū)間上也是增函數(shù)，對于函數(shù)在上是增函數(shù)，則；①對于函數(shù)，（1）當時，，外函數(shù)為定義域內的減函數(shù)，內函數(shù)在上是增函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)“同增異減”可得時函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，不符合題意，故舍去，（2）當時，外函數(shù)為定義域內的增函數(shù)，要使函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則內函數(shù)在上也是增函數(shù)，且對數(shù)函數(shù)真數(shù)大于0，即在上也要恒成立，所以，又，所以，②又在上是增函數(shù)則在銜接點處函數(shù)值應滿足：，化簡得，③由①②③得，，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點睛】方法點睛：利用單調性求參數(shù)方法如下：（1）依據(jù)函數(shù)的圖象或單調性定義，確定函數(shù)的單調區(qū)間，與已知單調區(qū)間比較；（2）需注意若函數(shù)在區(qū)間上是單調的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調的；（3）分段函數(shù)的單調性，除注意各段的單調性外，還要注意銜接點的取值．四、解答題17．（1）計算×+80.25×（2）已知＝3，求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）直接根據(jù)將根數(shù)轉化為冪運算可得解；（2）分別計算和代入可得解.【詳解】（1）×+80.25×（2）∵＝3，∴，故．18．求下列各式的值：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】利用對數(shù)與指數(shù)的運算法則及性質即可得到結果.【詳解】（1）原式；（2）方法一：原式；方法二：原式lg；（3）原式.【點睛】本題考查了指數(shù)與對數(shù)的運算法則，考查計算能力，屬于基礎題.19．已知幕函數(shù)在上是增函數(shù)（1）求的解析式（2）若，求的取值范圍【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由題意可得且即可求解；（2）由（1）知，所以為上的增函數(shù)，根據(jù)單調性和根式有意義即可求的范圍，進而可求的取值范圍【詳解】（1）因為是冪函數(shù)，所以，即解得：或，因為在上是增函數(shù)，所以，解得，所以，故（2）由（1）知，所以為上的增函數(shù)，所以，解得：，所以，即故的取值范圍是．【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點是熟悉冪函數(shù)的性質，冪函數(shù)形式為系數(shù)為，可得，當時在上是增函數(shù)，所以，可求出，，第二問利用單調性即可解不等式.20．已知函數(shù)（1）當為何值時，為奇函數(shù)；（2）求證：為上的增函數(shù).【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）利用奇函數(shù)的性質即可求出；（2）任取，計算化簡判斷正負，即可得出結論.【詳解】（1）函數(shù)定義域為R，若函數(shù)為奇函數(shù)，則，解得.當時，，，滿足，故當時，為奇函數(shù)；（2）證明：，定義域為R，設，，，，又，所以為上的增函數(shù).【點睛】思路點睛：利用定義判斷函數(shù)單調性的步驟：（1）在定義域內任?。唬?）計算并化簡整理；（3）判斷的正負；（4）得出結論，若，則單調遞增；若，則單調遞減.21．知函數(shù)（1）若函數(shù)的定義域為，求實數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)在上恒有意義，求的取值范圍；（3）是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且最大值為2？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由【答案】（1）；（2）；（3）存在，【分析】（1）將問題轉化為在上恒成立問題，利用二次函數(shù)的性質列不等式求解；（2）將問題轉化為在上恒成立問題，利用參變分離，轉化為最值問題求解；（3）利用復合函數(shù)單調性及最值列不等式求解．【詳解】解：（1）因為函數(shù)的定義域為，則在上恒成立，當時，，得，不合題意舍去；當時，，解得，綜合得；（2）函數(shù)在上恒有意義，即在上恒成立，恒成立，令，，則，當時，，；（3）當時，或，解得，當時，或，解得．故存在實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且最大值為2．【點睛】方法點睛：恒成立問題有兩種處理方式，一．直接轉化為最值問題，這種方式可能要分類討論；二．先參變分離，再轉化為最值問題，這種方式可避免分類討論．22．已知定義在上的函數(shù)滿足：①對任意的，都有；②當且僅當時，成立.（1）求；（2）設，若，試比較，的大小關系，并說明理由；（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）.【分析】（1）令，代入可得；（2）記，代入已知等式，由可得，從而有，得結論；（3）根據(jù)函數(shù)的性質，不等式變形為恒成立，然后設后轉化為一元二次不等式和一元不次不等式恒成立，再轉化為求函數(shù)的最值，可求得參數(shù)范圍．【詳解】（1）令，則，所以.（2），理由如下：