多臺(tái)設(shè)備同時(shí)故障的最優(yōu)維修次

參賽人參賽人1：參賽人2：參賽人3：蘭州交通大學(xué)2013年大學(xué)生數(shù)學(xué)建摸競(jìng)賽論文題目：多臺(tái)設(shè)備同時(shí)故障時(shí)的最優(yōu)維修次序參賽組號(hào):姓名學(xué)院班級(jí)姓名賈月娟學(xué)院班級(jí)姓名學(xué)院土木工程學(xué)院班級(jí)論文編號(hào):學(xué)校統(tǒng)一編號(hào)個(gè)人不得填寫(xiě)多臺(tái)設(shè)備同時(shí)故障的最優(yōu)維修次序一、摘要本文是關(guān)于降低企業(yè)生產(chǎn)中經(jīng)濟(jì)損失的設(shè)計(jì)問(wèn)題，即在生產(chǎn)中多臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)的維修次序的優(yōu)化，在同樣的維修條件下，將經(jīng)濟(jì)損失降到最低。本文是關(guān)于多臺(tái)設(shè)備同時(shí)故障的最優(yōu)維修次序的模型設(shè)計(jì)，通過(guò)建模及程序流程圖的分析，得到了以下的解答，為設(shè)備維修的最優(yōu)化設(shè)計(jì)提供參考：在只有一名維修工人的情況下，由于數(shù)據(jù)量不是很大，所以運(yùn)用窮舉法來(lái)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，并最終根據(jù)所給的數(shù)據(jù)測(cè)試，得到了最優(yōu)化的維修次序?yàn)椋旱?組，第5組，第1組，第6組，第3組，第4組，第7組。最優(yōu)化后的最小損失為162.5000萬(wàn)元。在有兩名維修工人的情況下，運(yùn)用窮舉法，最終得到最優(yōu)化的設(shè)計(jì)次序?yàn)椋旱?組，第2組，第6組，第3組，第4組，第1組，第7組。其中，與(1)不同的是，每個(gè)工人在做完自己的工作后，再接在另外一個(gè)工人后面的機(jī)器序號(hào)進(jìn)行維修。最優(yōu)化后的最小損失為：108.5000萬(wàn)元。模型推廣中，運(yùn)用已建立好的模型一，并給出相應(yīng)的程序流程圖，為企業(yè)在實(shí)際操作中提供參考。二、問(wèn)題的提出對(duì)生產(chǎn)企業(yè)而言，其生產(chǎn)設(shè)備都會(huì)在壽命期內(nèi)出現(xiàn)各種原因的故障，需要進(jìn)行維修后方能繼續(xù)進(jìn)行正常的生產(chǎn)。對(duì)設(shè)備進(jìn)行維修，不僅需要企業(yè)承擔(dān)一定數(shù)額的維修成本，更重要的原因是因設(shè)備故障耽擱的生產(chǎn)會(huì)給企業(yè)造成更大的經(jīng)濟(jì)損失，尤其是大型企業(yè)，后者對(duì)企業(yè)造成的經(jīng)濟(jì)損失是非常巨大的。因此為了使企業(yè)的經(jīng)濟(jì)損失降到最低，一旦出現(xiàn)設(shè)備故障，就要及時(shí)對(duì)設(shè)備進(jìn)行維修，使其盡快投入生產(chǎn)，但如果發(fā)生多臺(tái)設(shè)備同時(shí)出現(xiàn)故障，由于維修工人的數(shù)量有限，就只能按照一定的次序進(jìn)行維修，維修好的設(shè)備馬上投入生產(chǎn)，維修工人再接著維修其它其它受損的設(shè)備。在這種情景下，由于不同設(shè)備停工給企業(yè)造成的經(jīng)濟(jì)損失不同，維修所需要的時(shí)間也不同。因此，如果出現(xiàn)多臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障，維修工人的數(shù)量少于受損設(shè)備數(shù)量時(shí)，尋求一種最優(yōu)的維修次序，把企業(yè)的經(jīng)濟(jì)損失降低到最小是企業(yè)生產(chǎn)管理中的一項(xiàng)重要內(nèi)容?，F(xiàn)考慮一個(gè)具體的問(wèn)題：某一企業(yè)同時(shí)有7臺(tái)設(shè)備出現(xiàn)故障，每臺(tái)設(shè)備維修所需要的時(shí)間和停工給企業(yè)造成的經(jīng)濟(jì)損失如下表所列機(jī)器編號(hào)1234567維修所需要的時(shí)間(小時(shí))58784913停工所造成損失(萬(wàn)元/每小時(shí))0.61.81.20.80.81.71.0針對(duì)這一情況的設(shè)備維修問(wèn)題解決一下問(wèn)題:.如果維修工人只有一名，試建立數(shù)學(xué)模型求解使總損失達(dá)到最小的設(shè)備維修次序。.如果維修工人有兩名，每臺(tái)機(jī)器的維修只能由一人單獨(dú)完成，試重新回答問(wèn)題(1)。.對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行推廣，如果同時(shí)有n臺(tái)設(shè)備需要維修，而每臺(tái)設(shè)備的維修時(shí)間和停工造成的經(jīng)濟(jì)損失都是已知的，并且只有一名維修工人的情況下，建立是總損失達(dá)到最小的數(shù)學(xué)模型，并給出求解該問(wèn)題的算法。三、問(wèn)題的分析對(duì)于本類(lèi)問(wèn)題，可以看到這是一個(gè)最優(yōu)化的分析問(wèn)題。在這個(gè)問(wèn)題中，可以看到的是需要求解的三個(gè)問(wèn)題都是在人數(shù)少，而機(jī)器多的情況下，對(duì)故障進(jìn)行排查。題意要求的是選取可以選取損失最小的方案，對(duì)于題目要求的三個(gè)條件，可以使用最優(yōu)化模型來(lái)解決。.在維修工人只有一名的情況下，首先可以想到的是可以使用貪婪算法，即選取對(duì)損失造成最大的機(jī)器優(yōu)先處理，這樣可以使得企業(yè)的損失降低到最小。但是在運(yùn)用貪婪算法的時(shí)候，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)問(wèn)題，就是在貪婪算法中，只會(huì)先解決對(duì)損失造成最大的機(jī)器，而忘記考慮時(shí)間了。當(dāng)機(jī)器修好后，就可以正常投入使用，這樣它就產(chǎn)生了減少損失的隱現(xiàn)效應(yīng)。所以我們?cè)诳紤]此類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行線性最優(yōu)化，將工人維修的可能產(chǎn)生所有的情況進(jìn)行列列舉，即使用窮舉法，產(chǎn)生最小的損失。.在有兩名工人的情況下，也可以采用這種窮舉法，即在問(wèn)題(1)的基礎(chǔ)上，選取最小損失方案。在問(wèn)題(2)中，其實(shí)是將問(wèn)題(1)的一維線性組合變成了二維線性組合的問(wèn)題，求解思想和思路也是一樣的。.在一名維修工人的情況下，將問(wèn)題推廣，實(shí)際上是對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了一定的擴(kuò)充，這樣的更適用于實(shí)際問(wèn)題的求解中，所以對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題的求解，可以建立一個(gè)求解此類(lèi)問(wèn)題的方案，并最終獲得一個(gè)比較好的方案。四、模型假設(shè)與符號(hào)假設(shè)4.1模型的假設(shè)假設(shè)該工人在工作的過(guò)程中不會(huì)出現(xiàn)怠工的情況，并且工人在維修該機(jī)器時(shí)，是不會(huì)出現(xiàn)超時(shí)的現(xiàn)象。假設(shè)該工人能夠連續(xù)的完成任務(wù)，中間不會(huì)有休息的過(guò)程，這樣可以使得模型在最短的時(shí)間里解決問(wèn)題使得企業(yè)的損失最小。4.2符號(hào)假設(shè)i：機(jī)器編號(hào)；七：第i臺(tái)機(jī)器每小時(shí)造成的損失；p:維修第i臺(tái)機(jī)器產(chǎn)生的總損失；sum:所需的總費(fèi)用;t.:維修第i臺(tái)所需要的時(shí)間；min：最小損失；五、模型的建立與求解5.1模型一的建立在問(wèn)題一的分析中，我們已經(jīng)否認(rèn)了貪婪算法，而采用了窮舉法，在使用窮舉法的同時(shí)，使用MATLAB對(duì)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解，得到了很好的效果。因?yàn)閿?shù)據(jù)量比較的小，所以很容易實(shí)現(xiàn)。由排列組合可知，計(jì)算量一共為5040次，將這些排列數(shù)存入一個(gè)數(shù)組中，每次從這些數(shù)組中取出一個(gè)數(shù)，進(jìn)行計(jì)算。在模型一中，在維修一臺(tái)機(jī)器的同時(shí)，別的機(jī)器處于未維修的狀態(tài)，故會(huì)產(chǎn)生損失。設(shè)第一次維修的機(jī)器為第i臺(tái)機(jī)器，則它造成的損失為：p=t尸x(1)j=1當(dāng)?shù)诰S修另外一臺(tái)機(jī)器時(shí)，設(shè)此機(jī)器編號(hào)為k，則在維修第k臺(tái)機(jī)器造成的損失為：=tkWxj=1j圭I用同樣的方法，計(jì)算剩下的5臺(tái)機(jī)器，當(dāng)一臺(tái)機(jī)器維修完成后，即投入使用，此時(shí)在下一次時(shí)，就無(wú)須再計(jì)算一次損失了。即計(jì)算的公式為:TOC\o"1-5"\h\z計(jì)算第i臺(tái)機(jī)器維修時(shí)間內(nèi)造成的損失Pz.

s.t.已經(jīng)維修好的機(jī)器不計(jì)算在內(nèi)'故由上述(1)、(2)、(3)式可以得到了一個(gè)損失模型，其總損失為:\o"CurrentDocument"sum=歹p(4)i=1然后把第一組的結(jié)果存入min中記為最小損失：\o"CurrentDocument"min=sum(5)記下此時(shí)的最優(yōu)次序，然后再繼續(xù)求第二組。如果此時(shí)的sum的數(shù)值比min

小，則替換此時(shí)的最小值，并記下此時(shí)的最優(yōu)次序:(6)min=sums.t.sum>min(6)重復(fù)(1)到(6)的步驟，并得出一個(gè)最小的損失，此時(shí)記下的維修次序就是最優(yōu)化的維修次序。5.2模型一的求解對(duì)于模型一，可以由建立的模型畫(huà)出程序流程圖，即為：開(kāi)始是否min>sun是計(jì)算是否結(jié)束？結(jié)束，并輸出min，以及次序取第一組進(jìn)行計(jì)算，將結(jié)果存入min中取另外一組開(kāi)始是否min>sun是計(jì)算是否結(jié)束？結(jié)束，并輸出min，以及次序取第一組進(jìn)行計(jì)算，將結(jié)果存入min中取另外一組的元素計(jì)算其值sum否將7組元素進(jìn)行排列組合存入數(shù)組中min=sum記下此時(shí)的次序010002000300040000100020003000400050006000Min=162.5000萬(wàn)元）（7）此時(shí)的最優(yōu)化的次序?yàn)椋?516347即維修機(jī)器的順序?yàn)椋旱?組，第5組，第1組，第6組，第3組，第4組，第7組。此時(shí)，可以繪制出每一次的求解圖形，并最終驗(yàn)證了最優(yōu)化模型的正確性。如圖2所示，進(jìn)行5040次計(jì)算后，所顯示的圖形。280260240220200180160圖2窮舉法圖示5.3模型二的建立在模型二中，我們可以采用和模型一完全相同的方式來(lái)解決，只是此時(shí)的一維變量變成了二維變量。在此時(shí)會(huì)產(chǎn)生一個(gè)出現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題，即工人A在維修的時(shí)候，工人B已經(jīng)維修完成，而此時(shí)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)會(huì)出現(xiàn)不均勻分布的情況，而且此時(shí)每臺(tái)機(jī)器只能由一個(gè)人完成，在這種情況下計(jì)算就產(chǎn)生了連續(xù)性。在這種情況依然采用窮舉法，只不過(guò)此時(shí)維修的次數(shù)就變成了從開(kāi)始依次進(jìn)行維修，即在數(shù)組中從第一個(gè)數(shù)開(kāi)始，等到維修完成后，就開(kāi)始往下繼續(xù)維修，直到所有的維修完成。假設(shè)維修的次序?yàn)?、2、3、4、5、6、7,則工人先維修第一臺(tái)機(jī)器和第二臺(tái)機(jī)器，由于第一臺(tái)機(jī)器所維修的時(shí)間比第二臺(tái)少，所以當(dāng)工人維修完成第一臺(tái)機(jī)器后，就維修序號(hào)為3的機(jī)器，這樣依次類(lèi)推，直到所有的機(jī)器維修完成。在窮舉法中，計(jì)算出最小的損失費(fèi)用。設(shè)從第i臺(tái)和第j臺(tái)開(kāi)始維修，則在此階段中，會(huì)有時(shí)間上的差距。若：TOC\o"1-5"\h\zt>t(8)則使用tj的時(shí)間來(lái)計(jì)算此次損失費(fèi)用：\o"CurrentDocument"p=t￡x⑼k=1由于此時(shí)第i臺(tái)還未維修完，而工人A又轉(zhuǎn)到另外一臺(tái)機(jī)器上維修，所以在此時(shí)產(chǎn)生新的計(jì)算過(guò)程，即可以求出在匕-1^的這段過(guò)程中產(chǎn)生的費(fèi)用：\o"CurrentDocument"p=(t-1)^7x(10)k=1

k我接著在維修第三臺(tái)和第四臺(tái)機(jī)器時(shí)，按照同樣的方法來(lái)進(jìn)行求解，最終可以得到一個(gè)計(jì)算的控制條件：(11)J計(jì)算每一次產(chǎn)生的費(fèi)用p.(11)[st.選取時(shí)間小的作為當(dāng)時(shí)計(jì)算時(shí)間按照這種控制方式，最終可以求得最終的損失：(12)sum=￡pi

=1(12)然后把第一組的結(jié)果存入min中記為最小損失：(13)min=sum(13)記下此時(shí)的最優(yōu)次序，然后再繼續(xù)求第二組。如果此時(shí)的sum的數(shù)值比min小，則替換此時(shí)的最小值，并記下此時(shí)的最優(yōu)次序：fmin=sum\.(14)[s.t.sum>min重復(fù)(8)到(14)的步驟，并得出一個(gè)最小的損失，此時(shí)記下的維修次序就是最優(yōu)化的維修次序。5.4模型二的求解同樣的，我們采用MATLAB對(duì)程序進(jìn)行控制，可以求出一個(gè)最優(yōu)化的解。可由建立的模型繪制出程序流程圖，如下圖3所示。開(kāi)始t1>t2t=t2-t1min>summm=sum并記下此時(shí)的順序是結(jié)束，并輸出min,維修順序是/t=t1-t2否＜是否結(jié)束?取第一編號(hào)f和第二編號(hào)的機(jī)器進(jìn)行維修sum=￡pi否是將7組元素進(jìn)行排列組合存入數(shù)組中并使第一組為min費(fèi)用：p=txM圖3模型二的程序流程圖在附錄中可以看到原程序，并最終可以求出最小的損失為:(15)Min=108.5000(萬(wàn)元)(15)維修的次序?yàn)?5263417即維修機(jī)器序號(hào)為：第5組，第2組，第6組，第3組，第4組，第1組，第7組。此時(shí)，可以繪制出每一次的求解圖形,并最終驗(yàn)證了最優(yōu)化模型的正確性。此時(shí)，可以繪制出每一次的求解圖形,并最終驗(yàn)證了最優(yōu)化模型的正確性。如圖4所示，進(jìn)行5040次計(jì)算后，所顯示的圖形。圖4圖4模型二的所有圖像5.5模型三的建立對(duì)于模型三，實(shí)際上是對(duì)模型一的推廣和應(yīng)用，在建立模型三的時(shí)候，我們也可以考慮窮舉法。由于計(jì)算機(jī)的計(jì)算速度已經(jīng)達(dá)到了相當(dāng)快的速度，所以可以忽略對(duì)于計(jì)算量的追求，我們依然采用模型一的結(jié)構(gòu)與方法。由于此時(shí)的維修工人只有一個(gè)，故我們?cè)诮⒛Ｐ偷臅r(shí)候，可以采用的是維建模方式，這樣就不用考慮其它的因素。此時(shí)，維修的機(jī)器數(shù)變?yōu)閚臺(tái)。在維修一臺(tái)機(jī)器的同時(shí)，別的機(jī)器處于未維修的狀態(tài)，故會(huì)產(chǎn)生損失。設(shè)第一次維修的機(jī)器為第i臺(tái)機(jī)器，則它造成的損失為:當(dāng)?shù)诰S修另外一臺(tái)機(jī)器時(shí)，片xj為:當(dāng)?shù)诰S修另外一臺(tái)機(jī)器時(shí)，片xj=1設(shè)此機(jī)器編號(hào)為k，則在維修第k臺(tái)機(jī)器造成的(16)=t￡x=t￡xj=1

jn用同樣的方法，計(jì)算剩下的n-2臺(tái)機(jī)器，當(dāng)一臺(tái)機(jī)器維修完成后Pk(17)即投入使用，此時(shí)在下一次時(shí)，就無(wú)須再計(jì)算一次損失了。即計(jì)算的公式為:(18)(19)(20)計(jì)算第i臺(tái)機(jī)器維修時(shí)間內(nèi)造成的損失P.

s.t.已經(jīng)維修好的機(jī)器不計(jì)算在內(nèi)'(18)(19)(20)故由上述(16)、(17)、(18)式可以得到了一個(gè)損失模型，其總損失為:sum=￡pii=1然后把第一組的結(jié)果存入min中記為最小損失:min=sum記下此時(shí)的最優(yōu)次序，然后再繼續(xù)求第二組。如果此時(shí)的sum的數(shù)值比min小，則替換此時(shí)的最小值，并記下此時(shí)的最優(yōu)次序：[min=sum\.(21)[s.t.sum>min重復(fù)(16)到(21)的步驟，并得出一個(gè)最小的損失，此時(shí)記下的維修次序就是最優(yōu)化的維修次序。5.6模型三的程序流程圖在模型三的建立中，我們可以繪制出其程序流程圖，并求解出最優(yōu)化的損失，程序流程圖如圖5所示。在模型三中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這是和模型一類(lèi)似的一種算法。這樣可以說(shuō)模型一是模型三的一個(gè)特例，這樣做有一個(gè)明顯的好處就是模型在實(shí)際應(yīng)用中可以通用，而不是針對(duì)專(zhuān)門(mén)的函數(shù)進(jìn)行求解。

圖5模型三的程序流程圖六、模型的結(jié)果分析應(yīng)用該模型，需要大量的數(shù)據(jù)計(jì)算，這就需要計(jì)算機(jī)來(lái)完成。在模型二中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)有一些冗余量的產(chǎn)生，但這并不會(huì)影響最終的計(jì)算結(jié)果。而且計(jì)算機(jī)的性能和速度的提高，足以彌補(bǔ)這少量冗余的產(chǎn)生。在模型一和模型三中，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)工人，所以不會(huì)產(chǎn)生數(shù)據(jù)量的冗余，而且運(yùn)用窮舉法考慮了所有的情況，是一個(gè)比較好的模型。特別是模型三，在實(shí)際解決問(wèn)題中，是一個(gè)很好的模型。建模的同時(shí)，也給出了程序流程圖，這樣更適用于實(shí)際解決，也更方便人們利用計(jì)算機(jī)編程解決。七、模型的優(yōu)缺點(diǎn)模型中每一步推理都通過(guò)建模及程序流程圖的分析，因此計(jì)算結(jié)果也較符合實(shí)際問(wèn)題，在計(jì)算中運(yùn)用窮舉法來(lái)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，因此簡(jiǎn)化了計(jì)算證明的復(fù)雜程度；這樣做有一個(gè)明顯的好處就是模型在實(shí)際應(yīng)用中可以通用，而不是針對(duì)專(zhuān)門(mén)的函數(shù)進(jìn)行求解。但是我們會(huì)發(fā)現(xiàn)有一些冗余量的產(chǎn)生，這樣會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量過(guò)大,求解困難。［序號(hào)］作者1,作者2.書(shū)名.出版地：出版社.出版時(shí)間.八、參考文獻(xiàn)［1］焦永蘭.《運(yùn)籌學(xué)》.北京：中國(guó)鐵道出版社.2010.［2］姜啟源.《數(shù)學(xué)模型》（第2版）.北京：高等教育出版社.1993.［3］王沫然.《MATLAB5.X與科學(xué)計(jì)算》.北京：清華大學(xué)出版社.2000.［4］鄧建中，劉之行《計(jì)算方法》（第2版）.西安:西安交通大學(xué)出版社.2001.九、附錄模型一求解的MATLAB程序：m=perms（1