第三章游戲中數(shù)學(xué)與物理應(yīng)用第二節(jié)坐標(biāo)系三角函數(shù)

數(shù)學(xué)與游戲游戲中的坐標(biāo)系1坐標(biāo)系的分類及其應(yīng)用三角函數(shù)反三角函數(shù)掌握坐標(biāo)系的概念及其應(yīng)用掌握三角函數(shù)的在游戲開發(fā)中的用法掌握反三角函數(shù)在游戲開發(fā)中的用法1D的坐標(biāo)系：既數(shù)軸數(shù)軸的概念：人們習(xí)慣于應(yīng)用數(shù)學(xué)的知識把數(shù)排成一排。描述為：在一條直線上等間隔地標(biāo)記數(shù)字。理論上，數(shù)軸可以無限延長，后面用一個箭頭來表示數(shù)軸延長的方向。自然數(shù)數(shù)軸在某些情況下，需要將數(shù)軸向反方向延長，表示負(fù)值，便產(chǎn)生了整數(shù)，它是由自然數(shù)和自然數(shù)相反的數(shù)組成。整數(shù)數(shù)軸6.2坐標(biāo)系與三角函數(shù)6.2.11D的坐標(biāo)系2已知某個玩家開著卡丁車，他當(dāng)前速度為50米/秒，他的正前方1200米處有一個香蕉皮，玩家以固定的速度在遞增，當(dāng)?shù)竭_香蕉皮時的速度為233米/秒。當(dāng)他離香蕉皮還有10米時的速度為多少？6.2坐標(biāo)系與三角函數(shù)6.2.11D的坐標(biāo)系3有理數(shù)：包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)。無理數(shù)：一些數(shù)字不能使用有理數(shù)表示的，如“圓周率π”實數(shù)：包括有理數(shù)和無理數(shù)。虛數(shù)：平方是負(fù)數(shù)的數(shù)復(fù)數(shù)：包含實數(shù)和虛數(shù)，一般用來表示向量（有方向的量），實數(shù)是橫軸，虛數(shù)是縱軸C++為我們提供了多種數(shù)據(jù)類型描述虛擬世界。包括short、int、float和double。6.2坐標(biāo)系與三角函數(shù)6.2.11D的坐標(biāo)系42D笛卡爾坐標(biāo)系笛卡爾坐標(biāo)系：即矩陣坐標(biāo)系。舉例使用該坐標(biāo)系來描述一張平面地圖，如圖“某城市平面地圖。”圖中黑色圓圈可以表示該城市某一建筑的位置。某城市平面地圖6.2坐標(biāo)系與三角函數(shù)6.2.22D的坐標(biāo)系5游戲中的2D笛卡爾坐標(biāo)系：原點：坐標(biāo)軸的中心。軸：兩條通過原點的直線，稱為x軸、y軸。特點：2D笛卡爾坐標(biāo)系是無限延伸的，表現(xiàn)為x軸和y軸向正負(fù)兩個方向延伸。2D笛卡爾坐標(biāo)系中的任意直線是沒有寬度的。2D笛卡爾坐標(biāo)系6.2坐標(biāo)系與三角函數(shù)6.2.22D的坐標(biāo)系62D笛卡爾坐標(biāo)系中任意一點的表示在2D笛卡爾坐標(biāo)系中使用兩個數(shù)(x,y)表示一個定點，表明點與原點(0,0)之間的距離和方位。如圖，定點的x分量表示該點到y(tǒng)軸的有符號距離；同樣，y分量表示該點到x軸的有符號距離。有符號距離：在某方向上距離為正，而在相反的方向上為負(fù)。2D笛卡爾坐標(biāo)系中的定點表示6.2坐標(biāo)系與三角函數(shù)6.2.22D的坐標(biāo)系7如圖：描述任意一點在2D笛卡爾坐標(biāo)系的表示。注意y軸左邊的點的x坐標(biāo)值都是負(fù)值，右邊則是正值，x軸上面點的y坐標(biāo)值都是正值，下面則是負(fù)值。2D笛卡爾坐標(biāo)系中任意點的坐標(biāo)6.2坐標(biāo)系與三角函數(shù)6.2.22D的坐標(biāo)系8對于定義坐標(biāo)軸可能的8種情況，如右圖所示，得出結(jié)論：在2D坐標(biāo)系中，無論x、y軸的方向如何，都能通過旋轉(zhuǎn)使x軸的正方向為向右，y軸正方向為向上。

不同坐標(biāo)軸方向的表示2D坐標(biāo)系的其他形式：6.2坐標(biāo)系與三角函數(shù)6.2.22D的坐標(biāo)系Cocos2D-X引擎所使用的坐標(biāo)系9與2D空間的不同，除了能表示平面上的點以外，加入了一個深度的概念，使坐標(biāo)軸可以表示在三維空間中的任意一點。把這個坐標(biāo)軸稱為z軸，并和x軸、y軸相互垂直，也就形成了每個軸都垂直于另外兩個軸，如右圖所示：3D笛卡爾坐標(biāo)系3D笛卡爾坐標(biāo)系6.2坐標(biāo)系與三角函數(shù)6.2.33D的坐標(biāo)系10在3D坐標(biāo)系中，任意兩個坐標(biāo)軸所構(gòu)成的平面都垂直于第三個軸。x，y軸構(gòu)成xy平面，x，z軸構(gòu)成xz平面，y，z軸構(gòu)成yz平面在3D坐標(biāo)系中表示一個點：需要3個數(shù)：x，y和z分別表示到y(tǒng)z，xz和xy平面的有符號距離。3D笛卡爾坐標(biāo)系中定點的表示3D笛卡爾坐標(biāo)系中任意一點的表示6.2坐標(biāo)系與三角函數(shù)6.2.33D的坐標(biāo)系11左手坐標(biāo)系：伸出左手，讓拇指和食指成“L”形，大拇指向右，食指向上。其余的手指指向前方，就確定了一個左手坐標(biāo)系，而拇指、食指和其余手指分別表示x，y，z的正方向。左手坐標(biāo)系在DirectX中使用的是左手坐標(biāo)系右手坐標(biāo)系與左手坐標(biāo)系6.2坐標(biāo)系與三角函數(shù)6.2.33D的坐標(biāo)系12右手坐標(biāo)系與左手坐標(biāo)系右手坐標(biāo)系：伸出右手，使食指向上，其余三指向前，拇指這時指向左，這就是一個右手坐標(biāo)系，拇指、食指和其余手指分別表示x、y、z的正方向。右手坐標(biāo)系在OpenGL中使用的是右手坐標(biāo)系6.2坐標(biāo)系與三角函數(shù)6.2.33D的坐標(biāo)系13已知一個正方體，邊長為2，正方體的中心為原點。針對左手坐標(biāo)系下，前左上角、后右下角坐標(biāo)該如何定義。6.2坐標(biāo)系與三角函數(shù)6.2.33D的坐標(biāo)系14正方體沿著Y軸正方向移動2個單位，Z軸負(fù)方向移動1個單位，前左上角坐標(biāo)、后右下角坐標(biāo)該如何定義。6.2坐標(biāo)系與三角函數(shù)6.2.33D的坐標(biāo)系156.2坐標(biāo)系與三角函數(shù)6.2.4世界坐標(biāo)系16世界坐標(biāo)系是一個“固定坐標(biāo)系”，當(dāng)你選中一個原點，定義好x，y，z三個坐標(biāo)軸之后，該坐標(biāo)系就永遠固定下來不能改變，通過它世界位置中的任何一個地方都是可以定義的。世界坐標(biāo)系是我們游戲玩家最關(guān)心的，用的最多的坐標(biāo)系，通過世界坐標(biāo)系我們可以了解：每個物體的位置和方向。攝像機的位置和方向。世界的每一點的地形是什么。各物體從哪里來，到哪里去。世界坐標(biāo)系是描述其它坐標(biāo)系所需要的參考框架6.2坐標(biāo)系與三角函數(shù)6.2.4世界坐標(biāo)系17例如你在制作一個室內(nèi)場景時，你可能會描述我要把這個桌子放在墻角（2,3）米的地方。你能說我放在地球多少經(jīng)度多少緯度，多少分，多少秒的地方嗎？很顯然其他的坐標(biāo)系都有存在的價值，例如相對坐標(biāo)系這種坐標(biāo)系一般都存在父子關(guān)系，比如定義房屋的位置，我們使用世界坐標(biāo)系，但定義房屋里面的擺設(shè)的時候，我們使用相對坐標(biāo)系。但是最終在繪制的時候，依然使用唯一的世界坐標(biāo)系進行繪制。6.2坐標(biāo)系與三角函數(shù)6.2.5相對坐標(biāo)系18已知一個世界地圖，地圖的（3000,10,4000）位置有一個主角玩家，玩家手中拿了一把武器，相對玩家（20,50,10）的位置。問這把武器的坐標(biāo)是多少？如果玩家開始移動，走到（3500,15,4000）的位置。武器的坐標(biāo)是多少？如果玩家改變方向移動呢？6.2坐標(biāo)系與三角函數(shù)6.2.5相對坐標(biāo)系19物體坐標(biāo)系是將物體本身作為坐標(biāo)系描述的范圍。物體坐標(biāo)系也叫局部坐標(biāo)系3D模型一般以模型的底端中心位置作為坐標(biāo)系原點2D圖片中，物體坐標(biāo)以圖片的底端中心位置作為坐標(biāo)系原點。物體坐標(biāo)系所要關(guān)注的主要是相對物體本身的問題。6.2坐標(biāo)系與三角函數(shù)6.2.6物體坐標(biāo)系20攝像機坐標(biāo)系是針對3D空間的，和2D平面的屏幕坐標(biāo)系相似，與觀察者有密切的聯(lián)系。把攝像機坐標(biāo)系看作一個特殊的“相對”坐標(biāo)系，該物體定義坐標(biāo)系的地方就是攝像機定義可視區(qū)域的地方。攝像機坐標(biāo)系也叫觀察坐標(biāo)系6.2坐標(biāo)系與三角函數(shù)6.2.7攝像機坐標(biāo)系21也稱設(shè)備坐標(biāo)系它主要用于某一特殊的計算機圖形顯示設(shè)備(如光柵顯示器)的表面的點的定義。該坐標(biāo)系對應(yīng)我們的顯示器設(shè)備，以顯示器的左上角為原點。1)窗口坐標(biāo)系以窗口的左上角為原點。6.2坐標(biāo)系與三角函數(shù)6.2.8屏幕坐標(biāo)系22“角度”是用來度量平面中的旋轉(zhuǎn)。最重要的兩種角度單位是度或°和弧度或rad。度，比較容易理解，比如360°表示旋轉(zhuǎn)一周。弧度，是基于圓的一種單位，當(dāng)用弧度表示兩條射線的夾角時，

指定了單位圓上的一段圓弧，如單位圓的周長是2π。標(biāo)準(zhǔn)的C函數(shù)的參數(shù)都是弧度弧度6.2坐標(biāo)系與三角函數(shù)6.2.9三角函數(shù)23角所對的弧長是半徑的幾倍，那么角的大小就是幾弧度。角（弧度）＝弧長/半徑

圓的周長是半徑的2π倍，所以一個周角（360度）是2π弧度。

半圓的長度是半徑的π倍，所以一個平角（180度）是π弧度。180度＝π弧度1度＝π/180弧度(≈0.017453弧度)把度化成弧度的公式：

弧度＝度×π/180

90°＝90×π/180＝π/2弧度

60°＝60×π/180＝π/3弧度

45°＝45×π/180＝π/4弧度

30°＝30×π/180＝π/6弧度

120°＝120×π/180＝2π/3弧度6.2坐標(biāo)系與三角函數(shù)6.2.9三角函數(shù)24在2D空間中，讓單位射線指向+x，原點是射線的端點，接著以逆時針的方向畫一個角度為θ，就稱這個角度在標(biāo)準(zhǔn)位置。射線端點的x，y值，有著特殊的性質(zhì)，為它賦予兩個特殊的函數(shù)：

cos和sin。x=cosθy=sinθ角度θ的標(biāo)準(zhǔn)位置6.2坐標(biāo)系與三角函數(shù)6.2.9三角函數(shù)25還有另一些三角函數(shù)：tan，sec，csc和cot在直角三角形中表示三角函數(shù)6.2坐標(biāo)系與三角函數(shù)6.2.9三角函數(shù)26和差公式：6.2坐標(biāo)系與三角函數(shù)6.2.9三角函數(shù)27設(shè)一個三角形，a，b，c分別表示三角形三邊的長度，A，B，C分別表示三角形3個頂角。6.2坐標(biāo)系與三角函數(shù)6.2.9三角函數(shù)28正弦函數(shù)y=sinx在[-π/2，π/2]上的反函數(shù)，叫做反正弦函數(shù)。arcsinx表示一個正弦值為x的角，該角的范圍在[-π/2，π/2]區(qū)間內(nèi)?！緢D中紅線】余弦函數(shù)y=cosx在[0，π]上的反函數(shù)，叫做反余弦函數(shù)。arccosx表示一個余弦值為x的角，該角的范圍在[0,π]區(qū)間內(nèi)?！緢D中藍線】正切函數(shù)y=tanx在(-π/2，π/2)上的反函數(shù)，叫做反正切函數(shù)。arctanx表示一個正切值為x的角，該角的范圍在(-π/2，π/2)區(qū)間內(nèi)。【圖中綠線】6.2坐標(biāo)系與三角函數(shù)6.2.10反三角函數(shù)296.2坐標(biāo)系與三角函數(shù)6.2.11三角函數(shù)在游戲中的應(yīng)用對于一個正弦曲線而言：兩條紅色豎線之間的為當(dāng)前曲線的周期

兩條綠色橫線之間的為當(dāng)前曲線的振幅floatfValue=Sin(θ);對于以上這行代碼，fValue的值始終介于-1.0f到1.0f之間，想要改變振幅區(qū)間，只需要讓fValue再乘以你期望的值就好！而θ總是在不斷的沿著X軸增長，程序中可以用一個累加值替代306.2坐標(biāo)系與三角函數(shù)6.2.11三角函數(shù)在游戲中的應(yīng)用當(dāng)我們想實現(xiàn)一個物體B圍繞另一個物體A按照某個半徑旋轉(zhuǎn)的效果時，我們可以利用三角函數(shù)來計算物體B的坐標(biāo)值：B的坐標(biāo)=A的坐標(biāo)+(半徑*sin(θ)，半徑*cos(θ))；Θ為程序中的一個不斷累加的值（弧度）31今天我們學(xué)習(xí)了游戲中的2D和3D坐標(biāo)系，掌握各個坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸朝向。對游戲中的世界地圖有較深刻的認(rèn)識。每個游戲中的元素都有各自的坐標(biāo)。我們講解了游戲中其他比較重要的幾個坐標(biāo)系。比如：世界坐標(biāo)系、觀察坐標(biāo)系等等。有了這些坐標(biāo)系的定義可以讓我們在開發(fā)游戲時，減少了很多無謂的運算。另外我們還講解了三角函數(shù)的含義，并熟悉了這些函數(shù)的運算法則和幾何意義。判斷題1、2D笛卡爾坐標(biāo)系是無限延伸的，表現(xiàn)為x軸和y軸向正負(fù)兩個方向延伸，2D坐標(biāo)系中的任意直線是沒有寬度的。（）2、在2D坐標(biāo)系中，無論x、y軸的方向如何，都能通過旋轉(zhuǎn)使x軸的正方向為向右，y軸正方向為向上，在3D坐標(biāo)系中也可以通過旋轉(zhuǎn)保證Z軸方向朝里。（）小測試判斷題1、2D笛卡爾坐標(biāo)系是無限延伸