2022-2023學(xué)年上海市高二下期中考試數(shù)學(xué)模擬試卷附答案解析

2022-2023學(xué)年上海市高二下期中考試數(shù)學(xué)模擬試卷一.填空題（共11小題）（2021秋?和平區(qū)校級期末）已知拋物線f=4y上一點(diǎn)/（機(jī)，4）,則點(diǎn)4到拋物線焦點(diǎn)的距離為.已知zi，Z2GC.|zi+z2|=212'忻|=2,|z2|=2,則|zi-Z2|=.（2020秋?浦東新區(qū)校級期中）直線2x->2=0與4x+2y-3=0的夾角是.（2020?金鳳區(qū)校級模擬）已知圓柱的軸截面為正方形，且圓柱的體積為54n,則該圓柱的側(cè)面積為.2（2021秋?遼寧期末）若雙曲線二-一/=l（a>0；的右焦點(diǎn)與圓『+爐-4x=0的圓a'心重合，則a=.（2019?西湖區(qū)校級模擬）已知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為it,半徑為1的扇形，則這個(gè)圓錐的體積為.（2020秋?西湖區(qū)校級期中）已知三棱錐P-Z8C,以_L平面/5C,AC1BC,PA=2,AC=BC=1,則三棱錐尸-Z8C外接球的體積為.（2019?上海）某三位數(shù)密碼，每位數(shù)字可在0-9這10個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)，則該三位數(shù)密碼中，恰有兩位數(shù)字相同的概率是.（2017秋?涵江區(qū)校級期中）在正方體A8C。-小81clz）1中，E是小81的中點(diǎn)，則小8與所成角的余弦值為.nry（2021春?奉賢區(qū)校級期中）已知拋物線爐=2px（p>0）的焦點(diǎn)和橢圓 （>二=1的4 3右焦點(diǎn)重合，直線過拋物線的焦點(diǎn)廠與拋物線交于尸、0兩點(diǎn)和橢圓交于工、8兩點(diǎn)，M

7為拋物線準(zhǔn)線上一動點(diǎn)，滿足|叩+|姐=8,NMFP=——，△MF尸面積最大時(shí)，則直線3AB的方程為.（2021春?寶山區(qū)校級期中）高一新生小崔第一次進(jìn)入圖書館時(shí)看到了館內(nèi)樓梯（圖1）,她準(zhǔn)備每次走1級或2級樓梯去二樓，并在心中默默計(jì)算這樣走完25級樓梯大概有多少種不同的走法，可是當(dāng)她走上去后發(fā)現(xiàn)（圖2）原來在13級處有一寬度達(dá)1.5米的平臺,這樣原來的走樓梯方案需要調(diào)整，請問，對于剩下的15級（12+3）樓梯按分2段的走法與原來一次性走15級的走法相比較少了種.二.選擇題（共5小題）二.選擇題（共5小題）12.（2021秋?和平區(qū)校級月考）已知p：a>\,q：—<1,則p是g的（）條件A.充分不必要A.充分不必要C.既不充分也不必要B.必要不充分D.充分必要（2020秋?渝中區(qū)校級期中）已知點(diǎn)尸是雙曲線±一上=l（a>0,b>0比一動點(diǎn)，abTOC\o"1-5"\h\z48為圓l+y=￡的直徑，若最小值為￡，則雙曲線的離心率為（ ）\o"CurrentDocument"4 2A. B,y3 C.2 D.^2（2021春?梅州期末）已知a,B是兩個(gè)不同的平面，m,〃是兩條不同的直線，則下列結(jié)論正確的是（ ）A.若m//af〃〃,則a〃0 B.若a〃0,mua,則/%〃〃C.若 則〃〃a D.若w±a,〃_L0,則。_1015.（15.（2015秋?金山區(qū)校級期末）已知曲線C：￡LlL.2lL2lL=i（a>/,>o）,下列敘b2述中正確的是（A.垂直于A.垂直于x軸的直線與曲線C存在兩個(gè)交點(diǎn)B.C.曲線B.C.曲線C關(guān)于直線^=-x對稱直線歹=履+旭（k,weR）與曲線C最多有三個(gè)交點(diǎn)yx-yz

則有一iyx-yz

則有一i——-<oA. cm3B.866兀 cm31372k

c. cm32048kD- cm3若尸1（xi，川），Pi（X2,”）為曲線C上任意兩點(diǎn),Xl-X2（2013?新課標(biāo)1）如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm,將一個(gè)球放在容器口，再向容器注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測得水深為6cm,如不計(jì)容器的厚度，則球的體積為（三.解答題（共4小題）X2- =1交于不同的2（2021春?奉賢區(qū)校級期中）已知直線xX2- =1交于不同的2兩點(diǎn)4,B,且線段48的中點(diǎn)在/+爐=5上，求旭的值.（2019秋?鼓樓區(qū)期中）已知全集U=R,集合/={x|lWxV5},8={x|2<x<8},C={x\a<xWa+3}.（1）求/U8,（Cu/1）CB；（2）若“x￡C”為“xeT的充分不必要條件，求a的取值范圍.（2018秋?靖遠(yuǎn)縣期末）在△PC。中，ZPCD=—,A,B分別為PD,PC的中點(diǎn)，現(xiàn)2將△R/8沿折起，使△尸8c為正三角形，且CO=8C=4.(1)證明：平面尸8c(2)求直線。尸與平面R1C所成角的余弦值.(2021?未央?yún)^(qū)校級模擬)已知拋物線r：/=ox(a>0)的焦點(diǎn)為尸，若過點(diǎn)尸且傾斜%角為一的直線交拋物線「于M,N兩點(diǎn)，滿足|MN]=8.4(1)求拋物線「的方程；(2)過點(diǎn)。(加，0)且斜率為1的直線被拋物線「截得的弦為48,若點(diǎn)尸在以48為直徑的圓內(nèi)，求m的取值范圍.2022-2023學(xué)年上海市高二下期中考試數(shù)學(xué)模擬試卷參考答案與試題解析填空題(共11小題).(2021秋?和平區(qū)校級期末)已知拋物線上一點(diǎn)4(w,4),則點(diǎn)N到拋物線焦點(diǎn)的距離為5.【考點(diǎn)】拋物線的性質(zhì).【專題】計(jì)算題：轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程：數(shù)學(xué)運(yùn)算.【分析】先根據(jù)拋物線的方程求得準(zhǔn)線的方程，進(jìn)而利用點(diǎn)力的縱坐標(biāo)求得點(diǎn)4到準(zhǔn)線的距離，進(jìn)而根據(jù)拋物線的定義求得答案.【解答】解：依題意可知拋物線的準(zhǔn)線方程為y=-1,二點(diǎn)”到準(zhǔn)線的距離為4+1=5,根據(jù)拋物線的定義可知點(diǎn)/與拋物線焦點(diǎn)的距離就是點(diǎn)/與拋物線準(zhǔn)線的距離，.?.點(diǎn)4與拋物線焦點(diǎn)的距離為5,故答案為：5.【點(diǎn)評】本題主要考查了拋物線的定義的運(yùn)用.考查了學(xué)生對拋物線基礎(chǔ)知識的掌握.屬基礎(chǔ)題..已知zi，Z2&C,|zi+z2|=2/2，忻|=2,憶2尸2,貝”z「Z2|=_2 -【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模.【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.【分析】根據(jù)題意，設(shè)zi="+bi,Z2=c+di,(a、b、c、(/ER)則zi+z2=(a+c)+(.b+d)i,由向量模的計(jì)算公式可得ac+bd=0,又由zLZ2=(a-c)+(6-d)i,貝iJ|zi-Z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+b2+c2+d2-2(ac+bd),由此計(jì)算可得答案.【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)zi=a+bi,Z2=c+di,(a、b、c、d€R)則zi+z2=(a+c)+(.b+d)i,若|zi|=2,0|=2,則有『+52=4,c2+j2=4>又由|zi+z2|=2",貝Il|zi+z2/=(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2(.ac+bd)=8.則有ac+hd=0,z\-Z2=(a-c)+(b-d)it|zi-Z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+b2+c2+d2-2(ac+bd)=8,故|zi-Z2|=272,|故答案為：2/2.【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)模的計(jì)算，注意復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.4(2020秋?浦東新區(qū)校級期中)直線2x-v+2=0與4x+2v-3=0的夾角是arctan一一3【考點(diǎn)】兩直線的夾角與到角問題.【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓：數(shù)據(jù)分析.【分析】先求出直線的斜率，再利用兩條直線的夾角公式，反三角函數(shù)，求得結(jié)果.【解答】解：直線2x-_v+2=0的斜率為2,直線4x+2y-3=0的斜率為-2,_2_9 4 4設(shè)它們的夾角為0,則tan0=|——-~———1=—,故它們的夾角為arctan—,1+2XJ2) 3 34故答案為：arctan——.3【點(diǎn)評】本題主要考查直線的斜率，兩條直線的夾角公式的應(yīng)用，反三角函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.(2020?金鳳區(qū)校級模擬)已知圓柱的軸截面為正方形，且圓柱的體積為54tt,則該圓柱的側(cè)面積為36n.【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積；旋轉(zhuǎn)體(圓柱、圓錐、圓臺).【專題】計(jì)算題：數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想：分析法：空間位置關(guān)系與距離：直觀想象.【分析】通過圓柱的體積與求出圓柱的底面半徑，轉(zhuǎn)化求解圓柱的側(cè)面積即可.【解答】解：設(shè)圓柱的底面半徑為r.因?yàn)閳A柱的軸截面為正方形，所以該圓柱的高為2r.因?yàn)樵搱A柱的體積為54mTrr2A=2nr3=54n,解得r=3,所以，該圓柱的側(cè)面積為2irrX2r=36m故答案為：36n.【點(diǎn)評】本題考查幾何體的體積以及表面積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力.nr,（2021秋?遼寧期末）若雙曲線一---y-=l（a>o；的右焦點(diǎn)與圓/+/-4工=0的圓a'心重合，則a=_75—.【考點(diǎn)】雙曲線的性質(zhì).【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.【分析】求出圓的圓心，利用已知條件求解a即可.2【解答】解：圓/+/-4工=0的圓心（2,0）,雙曲線二--y?=l（a>o；的右焦點(diǎn)Q?Q0）>2雙曲線工--yZ=l（a>01的右焦點(diǎn)與圓4x=0的圓心重合，a-可得J『+1=2,解得故答案為：/j.【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)以及圓的性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.（2019?西湖區(qū)校級模擬）已知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為m半徑為1的扇形，則這個(gè)圓錐的體積為_3匚.24【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）：棱柱、棱錐、棱臺的體積.【專題】空間位置關(guān)系與距離.【分析】利用圓錐的側(cè)面展開圖中扇形的弧長等于圓錐底面的周長可得底面半徑，進(jìn)而求出圓錐的高，代入圓錐體積公式，可得答案.【解答】解：設(shè)此圓錐的底面半徑為/■,由題意，得2w=nX1,解得「=」_.2

1 %...圓錐的體積V=—F?h= 式，3 24故答案為：——24【點(diǎn)評】本題考查了圓錐的計(jì)算，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.本題就是把扇形的弧長等于圓錐底面周長作為相等關(guān)系，列方程求解.（2020秋?西湖區(qū)校級期中）已知三棱錐P-48C,平面/8C,AC1BC,PA=2,AC=BC=1,則三棱錐尸-48C外接球的體積為兀CC【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積.【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；空間位置關(guān)系與距離.【分析】取P8的中點(diǎn)O,推導(dǎo)出。為外接球的球心，從而得到外接球半徑汽=登2由此能求出結(jié)果.【解答】解：取尸8的中點(diǎn)。，平面力8C,：.PALAB,PAA.BC,XBCVAC,PC^AC=A,.?.BC，平面口C,：.BCLPC,：.OA=—PB<OC=—PB,2 2：.OA=OB=OC=OP,為外接球的球心，又PA=2,AC=BC=\,：.AB=：.AB=PB—...外接球半徑汽=遁,2故答案為：7g,【點(diǎn)評】本題考查三棱錐外接球的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng).（2019?上海）某三位數(shù)密碼，每位數(shù)字可在0-9這10個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)，則該三位數(shù)27密碼中，恰有兩位數(shù)字相同的概率是———100【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式.【專題】分析法；概率與統(tǒng)計(jì).【分析】分別運(yùn)用直接法和排除法，結(jié)合古典概率的公式，以及計(jì)數(shù)的基本原理：分類和分步，計(jì)算可得所求值.【解答】解：方法一、（直接法）某三位數(shù)密碼鎖，每位數(shù)字在0-9數(shù)字中選取，總的基本事件個(gè)數(shù)為1000,其中恰有兩位數(shù)字相同的個(gè)數(shù)為C：cC：C；=270，270 27則其中恰有兩位數(shù)字相同的概率是 =——；1000100方法二、（排除法）某三位數(shù)密碼鎖，每位數(shù)字在0-9數(shù)字中選取，總的基本事件個(gè)數(shù)為1000,其中三位數(shù)字均不同和全相同的個(gè)數(shù)為10X9X8+10=730,TOC\o"1-5"\h\z可得其中恰有兩位數(shù)字相同的概率是1 =^—.\o"CurrentDocument"1000 10027故答案為： .100【點(diǎn)評】本題考查古典型概率的求法，注意運(yùn)用直接法和排除法，考查排列組合數(shù)的求法，以及運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.(2017秋?涵江區(qū)校級期中)在正方體48CC-481cl中，E是加小的中點(diǎn)，則48與所成角的余弦值為_匹_.2【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角.【專題】數(shù)形結(jié)合；空間角；空間向量及應(yīng)用.【分析】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系.不妨取4B=2.利用cosVBA.,D.BA?D.E= :—— :即可得出.\ba1\-\d1e\【解答】解：如圖所示，不妨取45=2.B(0,0,0),A\(0,2,2),E(0,L2),D\(2,2,2),A\(0,1,1),BA：=(0,2,2),p.E=(0,-1,0)'——,——， 百-2V?TOC\o"1-5"\h\z.?.cosVBA1,D,E>= z; :=——— =-——?\BA.\-\D,E\ 272X1 2Ji：.AxB與DiE所成角的余弦值為工―2故答案為： .2【點(diǎn)評】本題考查了向量夾角公式、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、異面直線所成的角，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.（2021春?奉賢區(qū)校級期中）已知拋物線爐=20工（p>0）的焦點(diǎn)和橢圓 1 1的4 3右焦點(diǎn)重合，直線過拋物線的焦點(diǎn)尸與拋物線交于尸、0兩點(diǎn)和橢圓交于小B兩點(diǎn),M兀為拋物線準(zhǔn)線上一動點(diǎn)，滿足|尸網(wǎng)+|岫=8,NMFP=—, 面積最大時(shí)，則直線3Z8的方程為_^/?1一，々一?【考點(diǎn)】拋物線的性質(zhì).【專題】轉(zhuǎn)化思想：數(shù)形結(jié)合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.?！痉治觥坑梢阎蟮脪佄锞€方程，根據(jù)|尸網(wǎng)+|g=8,NMFP=—,由三角形面積公式3及基本不等式，可得尸尸面積最大時(shí)，△〃/乎為正三角形且邊長為4,進(jìn)一步求得直線的傾斜角，在求解方程即可.【解答】解：由橢圓上+2_=1，可得c=l,則上_=1，p=2,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"4 3 2得拋物線方程為"=4x.S?r—IPF||MF|?sin3~=—^-]pf\'\mf\,\o"CurrentDocument"MFPn1 1 1 1 3由8=|PF|+|A/f]>2^\PF\?|MF|<得S”pf=4|PF|?|MF|<^X16=473\o"CurrentDocument"4 4

當(dāng)且僅當(dāng)|叩=|姐=4時(shí)等號成立.V|A/F|=4,|FiF|=2,：.ZFMF\=—,/MFF=—.6 13.?.直線48的傾斜角為二,直線的斜率為，與，故答案為：夕=，@1一，々.3直線的斜率為，與，故答案為：夕=，@1一，々.【點(diǎn)評】本題考查橢圓與拋物線的幾何性質(zhì)，考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想及運(yùn)算求解能力，是中檔題.（2021春?寶山區(qū)校級期中）高一新生小崔第一次進(jìn)入圖書館時(shí)看到了館內(nèi)樓梯（圖1）,她準(zhǔn)備每次走1級或2級樓梯去二樓，并在心中默默計(jì)算這樣走完25級樓梯大概有多少種不同的走法，可是當(dāng)她走上去后發(fā)現(xiàn)（圖2）原來在13級處有一寬度達(dá)1.5米的平臺,這樣原來的走樓梯方案需要調(diào)整，請問，對于剩下的15級（12+3）樓梯按分2段的走法與原來一次性走15級的走法相比較少了288種.圖I 圖2【考點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型.【專題】整體思想；歸納法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯推理：數(shù)學(xué)運(yùn)算.【分析】由題意可知，登上樓梯的走法符合斐波那契數(shù)列的規(guī)律，分別列出走到15級臺階的走法，然后分兩段計(jì)算走法，作差即可得到答案.【解答】解：由題意可知，登上樓梯的走法符合斐波那契數(shù)列的規(guī)律，登上第一級臺階，有1種走法：登上第二級臺階，有2種走法；登上第三級臺階，有3種走法；登上第四級臺階，有5種走法；登上第五級臺階，有8種走法；登上第六級臺階，有13種走法；登上第七級臺階，有21種走法；登上第八級臺階，有34種走法；登上第九級臺階，有55種走法；登上第十級臺階，有89種走法；登上第十一級臺階，有144種走法；登上第十二級臺階，有233種走法；登上第十三級臺階，有377種走法；登上第十四級臺階，有610種走法；登上第十五級臺階，有987種走法.所以分兩段走，先走十二級臺階有233種走法，再走3級臺階有3種，這樣走完15級臺階共有233X3=699,比直接走完15級臺階987種走法，少了987-699=288種走法.故答案為：288.【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用問題，主要考查了斐波那契數(shù)列的規(guī)律的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是正確理解題意，考查了邏輯推理能力，屬于中檔題.二.選擇題（共5小題）（2021秋?和平區(qū)校級月考）已知p：a>\,q：——<1,則p是g的（ ）條件aA.充分不必要 B.必要不充分C.既不充分也不必要 D.充分必要【考點(diǎn)】充分條件、必要條件、充要條件.【專題】對應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；簡易邏輯；數(shù)學(xué)運(yùn)算.【分析】解不等式，結(jié)合集合的包含關(guān)系判斷即可.【解答】解：由」-VI,解得：a<0或。>1,a,故p是q的充分不必要條件，故選：A.【點(diǎn)評】本題考查了充分必要條件，考查不等式問題，是基礎(chǔ)題.(2020秋?渝中區(qū)校級期中)已知點(diǎn)P是雙曲線」l(a>0,b>0止一動點(diǎn),abTOC\o"1-5"\h\z為圓工十)=且的直徑，若示.豆顏小值為￡,則雙曲線的離心率為( )\o"CurrentDocument"4 2A. B,y3 C.2 D-y2【考點(diǎn)】雙曲線的性質(zhì).【專題】計(jì)算題：轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程;數(shù)學(xué)運(yùn)算.【分析】利用向量的數(shù)量積求解五mg最小值為￡，得到a,c的關(guān)系，然后求解離2心率.TOC\o"1-5"\h\z【解 答】 解：—? r> ) ) > > ,rf> > a3aPA-PB^(PO+OA)(PO+OB)=(PO-iOA)(PO-OA)=PO-OA>a——=—4 43a c c 3 3 Vb4 2 a 2 2 2故選：A.【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的及的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.(2021春?梅州期末)已知a,。是兩個(gè)不同的平面，m,”是兩條不同的直線，則下列結(jié)論正確的是( )A.若《1〃〃，m//a,〃〃B，則a〃BB.若?！ā?，mca,nep,則mi〃〃C.若miJ_〃，w±a.則〃〃a D.若m.La,?±p,則aJ_0【考點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；平面與平面之間的位置關(guān)系：平面與平面垂直.【專題】整體思想；分析法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；直觀想象.【分析】由直線與直線平行、直線與平面平行的位置關(guān)系判定出由平面與平面平行可得兩平面中直線的位置關(guān)系判定8；由直線與直線、直線與平面垂直的關(guān)系分析C；由直線與平面垂直的性質(zhì)及面面平行的判定判斷D.【解答】解：若m〃n,tn//a.,〃〃0,貝lja〃0或01與。相交，故/錯(cuò)誤；若a〃。，mua,”u0,則加〃〃或加與〃異面，故8錯(cuò)誤；若機(jī)_L〃，w_La,則"〃a或〃ua,故C錯(cuò)誤；若?i±a,則"〃a或〃ua,又〃_L。，則a_L0,故。正確.故選：D.【點(diǎn)評】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，考查空間想象能力與思維能力，是基礎(chǔ)題.x\x\yIyI（2015秋?金山區(qū)校級期末）已知曲線C：—1_!_=1（a>6>0）,下列敘2 ,2ab述中正確的是（ ）A.垂直于x軸的直線與曲線C存在兩個(gè)交點(diǎn)B.直線（k,meR）與曲線C最多有三個(gè)交點(diǎn)C.曲線C關(guān)于直線^=-x對稱yx-yzTOC\o"1-5"\h\zD.若Pi（xi，y\）?尸2（X2，yi>為曲線C上任意兩點(diǎn)，則有 <0【考點(diǎn)】曲線與方程.【專題】數(shù)形結(jié)合：數(shù)形結(jié)合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.【分析】對x,y的符號進(jìn)行討論，得出曲線的圖象，根據(jù)橢圓與雙曲線的性質(zhì)進(jìn)行判斷.\o"CurrentDocument"2 2 .\o"CurrentDocument"x V b【解答】解：當(dāng)x>0,y>0時(shí)，曲線。的方程為「——J=1，漸近線方程為y=—"\o"CurrentDocument"a2 b2 Q\o"CurrentDocument"2 2gr**y當(dāng)x〈0,y>0時(shí)，曲線C方程為- =1，方程無解.\o"CurrentDocument"2 2

?, ,yx-一，，b當(dāng)xVO,yVO時(shí)，曲線c方程為J -=1，漸近線方程為y=_gv2 2 —xv當(dāng)x>0,yVO時(shí)，曲線C方程為 =1.a~b~作出曲線c的圖象如圖所示：顯然y是關(guān)于x的函數(shù)，故4錯(cuò)誤.由圖象可知當(dāng)直線y=H+/n經(jīng)過點(diǎn)(a,0)且上時(shí)，直線與曲線C有三個(gè)交點(diǎn).?.ZWb,...曲線C不關(guān)于直線y=-x對稱，故C錯(cuò)誤.yx-yz由圖象可知y=/(x)為增函數(shù)，.?/ =———->0,故。錯(cuò)誤.?乙紀(jì)i一工，綜上，故選民【點(diǎn)評】本題考查了曲線的方程的含義，橢圓與雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題.(2013?新課標(biāo)I)如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm,將一個(gè)球放在容器口，再向容器注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測得水深為6cm,如不計(jì)容器的厚度，則球的體積為( )

1372x

C- cm32048x

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D. cm3A- cmB. cm\o"CurrentDocument"3 3【考點(diǎn)】球的體積和表面積.【專題】計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離.【分析】設(shè)正方體上底面所在平面截球得小圓可得圓心M為正方體上底面正方形的中心.設(shè)球的半徑為R,根據(jù)題意得球心到上底面的距離等于（R-2）cm,而圓M的半徑為4,由球的截面圓性質(zhì)建立關(guān)于H的方程并解出R=5,用球的體積公式即可算出該球的體積.【解答】解：設(shè)正方體上底面所在平面截球得小圓則圓心A/為正方體上底面正方形的中心.如圖.設(shè)球的半徑為貝，根據(jù)題意得球心到上底面的距離等于（R-2）cm,而圓M的半徑為4,由球的截面圓性質(zhì)，得/?2=（R-2）2+42,解出R=5,根據(jù)球的體積公式，該球的體積/=」二R3=±Lx53= -cm3-3 3 3故選：A.【點(diǎn)評】本題給出球與正方體相切的問題，求球的體積，著重考查了正方體的性質(zhì)、球的截面圓性質(zhì)和球的體積公式等知識，屬于中檔題.三.解答題（共4小題）（2021春?奉賢區(qū)校級期中）已知直線x-聲機(jī)=0與雙曲線C：%2-/—=1交于不同的2兩點(diǎn)4B,且線段的中點(diǎn)在/+爐=5上，求m的值.【考點(diǎn)】直線與雙曲線的綜合.【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.【分析】將直線方程代入雙曲線方程，利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得48中點(diǎn)“點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程，即可求得加的值.【解答】解：設(shè)力，8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（xi，y\）f（X2，/），線段的中點(diǎn)為M（xo>川），J22y~1由（2 ，得W-2mr-/_2=0,（判別式A>0）—y+m=OXl+X2=2〃7,xo=—(xi+x2)=m,yo=xo+/n=2m,2點(diǎn)A/（xo,yo）,在圓『+f=5上，則用2+（2m）2=5,故/w=±l,.'.m的值土1.【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.（2019秋?鼓樓區(qū)期中）已知全集U=R,集合2={x|l?5},5={x|2<x<8},C={x\a?a+3}.（1）求AUB,（Cu/1）CB；（2）若“xec”為“xer的充分不必要條件，求a的取值范圍.【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算：充分條件、必要條件、充要條件.【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；定義法；集合；簡易邏輯；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.【分析】（1）根據(jù)集合運(yùn)算定義進(jìn)行計(jì)算即可；（2）由“xec”為“xor的充分不必要條件，得集合CEA,求出。的取值范圍即可.【解答】解：（1）:集合4={x|l〈x<5},B={x|2<x<8}：.AUB={x|l^x<8},（CM={x|xVl或x》5},（Cw4）C8={x|5〈xV8}fa+3<5；“x6C”為“xE4”的充分不必要條件，C={x|aVxWa+3}；.C$A,：.} ,（a>1解得lWa<2,故a的取值范圍是［1,2）.【點(diǎn)評】本題考查了集合的運(yùn)算，集合與充分必要條件的轉(zhuǎn)化關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.兀（2018秋?靖遠(yuǎn)縣期末）在△PCZ）中，NPCD=—,A,8分別為P。，PC的中點(diǎn)，現(xiàn)2將△R/8沿折起，使△尸8c為正三角形，且CO=8C=4.(1)證明：平面尸8c(2)求直線。尸與平面R1C所成角的余弦值.【考點(diǎn)】直線與平面所成的角.【專題】證明題；數(shù)形結(jié)合；向量法；空間位置關(guān)系與距離：空間角.【分析】(1)推導(dǎo)出AB1BC,由此能證明平面尸8c.(2)以8為原點(diǎn)，84為x軸，8c為y軸，過8作平面488的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線OP與平面以C所成角的余弦值.【解答】證明：(1)?.,在△PC。中，NPCD=三,A,8分別為PO,PC的中點(diǎn)，2將△R/8沿48折起，使△尸8c為正三角形，且CO=8C=4.:?PA=\PD=CD二+PCAB=2,：.AB2+PB2^PA2,:.AB1.PB,\'AB±BC,PBCBC=B,平面PBC.(2)以8為原點(diǎn)，84為x軸，8c為y軸，過8作平面的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，D(4,4,0),P(0,2,2萬)，A(2,0,0),C(0,4,0),PD=(4,2，-2奔)，PA=(2,-2)-2^),~PC=(0,2,-26),設(shè)平面以C的法向量7=(X，V，z),

叫T叫T一 「V[n-PC=2y-2^/3z=0設(shè)直線OP與平面R1C所成角為。，e |PC-n| 厭則sin0=—.