2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)人教A版必修一單元卷第四章 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（通關(guān)解析版）

2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)人教A版2019必修一單元卷第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)一.指數(shù)與指數(shù)函數(shù)(-)指數(shù).根式的概念：負數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0,記作我=0。注意：(1)(標(biāo))"=4(2)當(dāng)n是奇數(shù)時，V7=a，當(dāng)n是偶數(shù)時，海 八.分數(shù)指數(shù)基正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)基的意義，規(guī)定：a”=V而(〃>0,6,〃￡N*,且〃>1)21正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)基的意義：a”=7(。>0,機,〃￡N*,且〃>1)an0的正分數(shù)指數(shù)基等于0,0的負分數(shù)指數(shù)幕沒有意義3.實數(shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)aras=ar+x(a>0,r,5g/?)(ar)s=(a>0,r,sgR)(ab)r=arbr(a>0,fr>0,rg7?)題型一：根式的化簡求值例1：下列運算中正確的是()A.{(2一兀)2=2-乃B.=4-aC.(小〃=~TD.["五)戊=f【答案】C【詳解】對于A,2-pv0,所以J(2『=萬一2,錯誤；對于B,因為一~->0?所以avO,則aj—■-=—(—?)-J——=—y/—a?錯誤；對于D,僅呷+°=產(chǎn)2=上，錯誤.故選：C.舉一反三I.式子后汨（m>0）的計算結(jié)果為（）A.1 B.用藥 C.fr^2 D.m【答案】D2?化簡Jl1+6五= -【答案】3+V2##V2+3【詳解】Jll+60=J（3+&『=3+JL故答案為:3+&.題型二：指數(shù)幕的運算例2：計算:-（彳），+（1.5尸=一.【答案】^-##0.5故答案為：y舉一反三1.（多選）下列化簡結(jié)果中正確的有（機、〃均為正數(shù)）（ ）（］Y*/、“ fa,〃為奇數(shù)【詳解】A.彥）=（?-"）=「，故正確；B.后心，〃為偶數(shù)，故錯誤,C.=^la^?故錯誤；D.(4一3.14)°=1,故正確.故選：AD2.計算：1n3-- .(1)(2-)2-(-9.6)°-(3-)3+(1.5)-2；4 8(2)Vm7-(^)°+025；x(-ZL)-(2)Vm7-(|)°+0.25=x=(2)Vm7-(|)°+0.25=x=-4-1+7025x(-72)4=-3題型三：分數(shù)指數(shù)幕與根式的互化例3：已知%b為正數(shù)，化簡孚,后=【答案】■【詳解】原式=是0=。軸.故答案為:嵩〉b-b'舉一反三1.2；=()A.1B.啦 C.\[5 D.>/5【答案】B【詳解】2-L:啦.故選：B.2.若10x=2,貝hod等于（）A.8B.—8 C.- D.—8 8【答案】C【詳解】?,-101fp3x ] 1 1『2,則1°=”廠2廣8?故選：C.題型四：指數(shù)黑的化簡、求值例4：化簡：2 +(X1)+(x2),并求當(dāng)X—G+1時的值.x"-3x4-2【詳解】由一X1 / [\_|/c、o 1 1 [l+x—2+x2-3x4-2r +(X-1)+(X-2)= + +1= 2-3x+2 (x-1)(x-2)x-\ (x-1)(x-2)%2—2x+1x-1(x-l)(x-2：)x—2X=\/5+1時,廬4V3+1-1G 3+G原雙=L =r- =J3+1-2V3-1 2舉一反三已知a+qT=3,則/+/= ?【答案】有【解析】【詳解】1 _2 1 」 ||e1J.a+a~'={a2+a2）2-2=3'（a2+a2）2=5'\-a^+a>0'"?：+a=-45-二指數(shù)函數(shù).指數(shù)函數(shù)定義：一般地，函數(shù)y=a*（。>0且。#1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，a叫底數(shù)，函數(shù)定義域是R..指數(shù)函數(shù)y=a*在底數(shù)a>l及0<a<l這兩種情況下的圖象和性質(zhì)：3.與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的定義域及值域問題（1）求由指數(shù)函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)的定義域時，可能涉及解指數(shù)不等式（即未知數(shù)在指數(shù)上的不等式），解指數(shù)不等式的基本方法是把不等式兩邊化為同底數(shù)累的形式，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將累的形式轉(zhuǎn)化為熟悉的不等式.（2）求由指數(shù)函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)的值域，一般用換元法即可，但應(yīng)注意中間變量的值域以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性。4.指數(shù)式的大小比較（1）比較同底不同指數(shù)幕的大小，利用函數(shù)單調(diào)性進行比較（2）比較不同底同指數(shù)'暴的大小，可利用兩個不同底指數(shù)函數(shù)圖象間的關(guān)系，結(jié)合單調(diào)性進行比較.（3）比較既不同底又不同指數(shù)塞的大小，可利用中間量結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進行比較.題型一：指數(shù)函數(shù)的概念例5：函數(shù)y=（a-2>，是指數(shù)函數(shù)，則（ ）A.a=l或a=3 B.a—\ C.a=3 D.a>0且awl【答案】C【詳解】由指數(shù)函數(shù)定義知（a-2）2=l,同時a>0,且所以解得a=3.故選：C【詳解】由題J-Z-NO,即即2-3221，8 8因為y=2'為單調(diào)遞增函數(shù)，所以—32x—l,即xW-2故答案為：(7,-2]舉一反三.已知函數(shù)/(x)=j2、-a的定義域為[2,內(nèi)),則“=.【答案】4【詳解】由題意可知，不等式2、-。20的解集為[2,+8),則2?-a=0,解得〃=4,當(dāng)。=4時，由2、-420,可得2*24=22，解得》22,合乎題意.故答案為：4..函數(shù)〃x)=2，+曲二匚的定義域為.【答案】卜2,0)5。,2],、 f4—x2>0解：要使/'(X)有意義，貝X：；解得—2Mx42,且XK0；?J(x)的定義域為[-2,0)5。，2].故答案為：[-2,0)5。，2]題型四：指數(shù)函數(shù)的值域例8：函數(shù)g(x)=2：(x>0)的值域為.【答案】(1,一)【詳解】當(dāng)x>0時，^>0,則g(x)=2：>20=l，故函數(shù)g(x)的值域為(1，e).故答案為：(1,+<?).舉一反三函數(shù)丫=，-2(。>0且〃*1,-14》41)的值域是-1,1,則實數(shù)。=—.【答案】3或g【詳解】當(dāng)。>1時，函數(shù)y=，-2(a>0且”#1,-14x41)是增函數(shù)，r \ [1_2=_5??值域是[白一'一2,a-2j,a3=0=3；a-2=l當(dāng)Ovavl時，函數(shù)y=優(yōu)一2(。>0且4H1，-1VxKl)是減函數(shù)，??值域是[a-2,a「2],/.?a5=>?=-.a—2=—

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綜上所述，可得實數(shù)a=3或;.故答案為：3或1題型五：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性例9：不等式3啟爾>32-恒成立，則。的取值范圍是.【答案】(-2,2)解：因為y=3*在R上遞增，所以不等式3內(nèi)">32i-2恒成立，BPx2+ar>2x+6/—2?恒成立，亦即x2+(a—2)x—a+2>0恒成立，則△=(〃—2y—4(—a+2)vO,解得-2<av2,故〃的取值范圍是(一2,2).故答案為：(一2,2)舉一反三.求函數(shù)y= +17的單調(diào)區(qū)間.【詳解】設(shè)>0,又y=r-8/+17=(r-4)2+l在(0,4]上單調(diào)遞減，在(4,+oo)上單調(diào)遞增.令(￡)<4,得.之一2,令得x<—2.而函數(shù)f=(；J在R上單調(diào)遞減，所以函數(shù)y=(；1-8(；J+17的增區(qū)間為[-2,+00),減區(qū)間為(，》,-2).故答案為：增區(qū)間為“2,+8),減區(qū)間為(-8,-2).已知函數(shù)/Xx)=x+工，g(x)=r+a,若-.1,3x2e[2,3],使得則實數(shù)a的取值X 一范圍是()A.；,+8) B. C.[-3,+oo) D.[1,+<?)【答案】A解：Vx,gpl,3x2g[2,3],使得f(w)4g?),等價于,訓(xùn)w[2,3],/(%)1nM4g(毛)，由對勾函數(shù)的單調(diào)性知/(x)=x+±在[1上單調(diào)遞減，所以八成xL2」 2又8。)=2*+4在[2,3]上單調(diào)遞增，所以g(x)a=2,+a=8+a,所以：48+a,解得所以實數(shù)a的取值范圍是；,+8).故選：A.題型六：指數(shù)函數(shù)過定點問題例10：函數(shù)y=a""+l,(a>0且4X1)的圖象必經(jīng)過一個定點，則這個定點的坐標(biāo)是( )A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

【答案】B解：令x-l=O,解得x=l,所以當(dāng)x=l時，y=^l+l=a0+l=2,所以函數(shù)丫=。1+1過定點（1,2）.故選：B舉一反三1 2函數(shù)丫=?！?+1圖象過定點A,點A在直線加+政=3（〃1>1,〃>0）上，則^~；+—最小值為 .m-\n9【答案】-##4.52【詳解】當(dāng)％=1時，y=a°+l=2,.?.y=〃i+l過定點A（l,2）,又點A在直線的+〃y=3匕:.m+2n=3,B|J（/w-l）+2n=2,?：m>\.n>0,...加一1>0,+沁土+淤-1）+2〃）毛（5+念2（m+沁土+淤-1）+2〃）毛（5+念--卜不5+2J-一L=>（當(dāng)且僅當(dāng)TOC\o"1-5"\h\zn2 V/?i—1 n27\/念=中，即嚕（〃號時取等號），1 2… 9」7+上的最小值為）m—\n 2q故答案為：-.題型七：指數(shù)函數(shù)中的參數(shù)問題例11：已知函數(shù)/（x）=S1+a為奇函數(shù)，則方程f（x）=；的解是x=.【答案】-1【詳解】因為函數(shù)f（x）=±+a為奇函數(shù)，故/（0）=±+。=0,解得〃=-3,故〃力=；即上-：=，故3（3，+1）=4,解得x=T3+124 ' '故答案為：-1舉一反三4'-2x+2+m^x<0已知/（x）=< | 的最小值為2,則m的取值范圍為 x+—,x>0.x【答案】［5,+8）【詳解】當(dāng)x>0時，X+—>2./X--=2,當(dāng)且僅當(dāng)*=,，即x=l時取"=",當(dāng)X40時，0<2x<l,4I-2x+2+m=（,2I-2）2+m-4,當(dāng)2"=1，即x=0時，4*-2川+機取最小值機-3,4v-2x+2+/n,x<0因/"）=< 1八 的最小值為2,于是得根一3N2,解得山25,x+—,x>0:X所以m的取值范圍為［5,+8）.故答案為：［5,+8）題型八：指數(shù)函數(shù)實際應(yīng)用例12：企業(yè)在生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢氣要經(jīng)過凈化處理后才可排放，某企業(yè)在凈化處理廢氣的過程中污染物含量P（單位：mg/L）與時間r（單位：h）間的關(guān)系為（其中尼，女是正的常數(shù)）.如果在前10h消除了20%的污染物，則20h后廢氣中污染物的含量是未處理前的（ ）A.40% B.50% C.64% D.81%【答案】C【詳解】當(dāng)f=0時，「=兄；當(dāng)t=10時，（1一20%）4=用『°",］ J_即「。*=0.8，得-*=0.8而，所以尸=?戶"=4k-*）'=0.8而4；20當(dāng)，=20時,p=0.8*?/>=0.64/?-故選：C舉一反三我國某科研機構(gòu)新研制了一種治療新冠肺炎的注射性新藥，并已進入二期臨床試驗階段.已知這種新藥在注射停止后的血藥含量c（t）（單位：mg/L）隨著時間r（單位：h）的變化用指數(shù)模型c（r）=c°e”描述，假定某藥物的消除速率常數(shù)k=0.1（單位：h1），剛注射這種新藥后的初始血藥含量c0=2000mg/L,且這種新藥在病人體內(nèi)的血藥含量不低于1000mg/L時才會對新冠肺炎起療效，現(xiàn)給某新冠病人注射了這種新藥，則該新藥對病人有療效的時長大約為（）（參考數(shù)據(jù)：In2x0.693,In3*1.099）A.5.32h B.6.23h C.6.93h D.7.52h【答案】C解：由題意得：c（t）=coe=2000e"'"設(shè)該要在機體內(nèi)的血藥濃度變?yōu)閘（）00mg/L需要的時間為乙c（/,）=2000e^1,1>1000>12故-O.ltN-In2,t< ?6.93故該新藥對病人有療效的時長大約為6.93〃故選：C

二.對數(shù)與對數(shù)函數(shù)對數(shù).對數(shù)的概念：一般地，如果優(yōu)=N，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作：x=log“N（a—底數(shù)，N—真數(shù)，log〃N一對數(shù)式）說明：1.注意底數(shù)的限制，a>0且#1；2.真數(shù)N>03.注意對數(shù)的書寫格式.2、兩個重要對數(shù)：（1）常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)，logmN記為IgN；（2）自然對數(shù)：以無理數(shù)e為底的對數(shù)的對數(shù)，log,N記為InN.3、對數(shù)式與指數(shù)式的互化x=lognN=■a*=N對數(shù)式指數(shù)式對數(shù)底數(shù)一a-基底數(shù)對數(shù)一X—指數(shù)真數(shù)-N一幕結(jié)論：（1）負數(shù)和零沒有對數(shù)2）logaa=1,logal=0特別地，lgl0=l,lg1=0,lne=1,In1=0（3）對數(shù)恒等式：i=n例1：1.已知（⑹”=8,則。噫3=（ ）A.6 B.-6 C.8 D.-8【答案】B【詳解】由（6/=8,得-圻嘎⑶所以a=-21og,8,所以alog,3=-21og38xlog,3=-2x-^—x-^—=-6ln3ln2故選：B2.設(shè)。=log34,貝lj32°=.【答案】16【詳解】由。=log34得邛=4J2"=16.故答案為：16舉一反三.十六、十七世紀(jì)之交，隨著天文、航海、工程、貿(mào)易及軍事的發(fā)展，改進數(shù)字計算方法成了當(dāng)務(wù)之急.蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾在研究天文學(xué)的過程中，為了簡化大數(shù)運算而發(fā)明了對數(shù)，后來瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，即a"=Nob=log“N（々>0且awl）,已知加=log63,6"=12,則加+〃=（ ）1【答案】B21【答案】B234【詳解】因為6"=12,所以〃=log612,乂因為機=log63,所以帆+〃=log612+log63=log636=2,故選：B..方程ln(log3X)=0的解是( )A.1 B.2【答案】DC.e D.3【詳解】ln(log3X)=0,log,x=e°=1,：.x=3.故選：D.對數(shù)的運算性質(zhì)如果a>0,a#1,M>0,N>0有：1、logf((M?N)=loguM+log?N兩個正數(shù)的積的對數(shù)等于這兩個正數(shù)的對數(shù)和2、log“9=l°g“MT°g“N兩個正數(shù)的商的對數(shù)等于這兩個正數(shù)的對數(shù)差3、logflMn=nlogttA/(neR)說明：一個正數(shù)的n次方的對數(shù)等于這個正數(shù)的對數(shù)n倍1）簡易語言表達:''積的對數(shù)=對數(shù)的和”……2）有時可逆向運用公式3）真數(shù)的取值必須是（0,+8）4）特別注意：log“MNHloguMlog?Nlog?（M土N）xlog,,M±logf,N例2：1.計算：21g6_lg4^=（ ）A.10 B.1【答案】BC.2 D.Ig5【詳解】21gV5-lg4-i=lg(x/5)2+lg>/4=lg5+lg2=lglO=l-故選：B.計算：1.1°+即2-0.5-2+至25+2恒2=( )A.0 B.1【答案】BC.2 D.3解：l.l°+e,n2-0.5-2+lg25+21g2=l+2-4+2Ig5+21g2=-l+21g(5x2)=-l+2=l故選：B.計算：21og93+log,15-log,5=.

1 15解：2log93+log,15—log35=2x—+log3—=14-1=2,故答案為：2..計算(l)log3x/27+lg25+lg4+7啕2+(-9.8)°所以：=log疝2,(=108.5,lg8lg8+?251ig>Aoigo.i-log23xlog,4.【解析】(l)log3歷+1g25+1g4+【解析】(l)log3歷+1g25+1g4+7,叫2+(-9.8)°3=log332+lg52+lg22+2+llg(8xl25)⑵原式="D-log,3x1^2^=-6-2=-8

"bg?3舉一反三1.計算：eln2+(log23).(log34)=.【答案】4【詳解】—(喝3>叱4)=2+腎,2+血4=2+2=4,故答案為：42.計算log327+1g25+1g4+log42=.【答案】—##5.5【詳解】log?27+1g25+1g4+log42=log333+lg(25x4)+^=3+2+^=y.故答案為：2.若lg5-lg3+lgm=l,則加=【詳解】Ig5-lg3+lg/n=lg—=lgl0,BP^=10,可得機=6故答案為：6.計算下列各題：.- 1 1(1)已知2"=5〃=可，求一+；?的值：

ab⑵求⑵Og&3+logg3)(log,2+log,2)的值.解：因為2"=5"=加，所以a=log2>/i5、b=log5Vi0.所以4+：=log而5+log而2=log而(5x2)=log而10=log,10=2log1010=2；ab 102⑵解：(21嗎3+1嗝3)(1幅2+1唱2)=(21og2,3+log2,3)(log32+log3?2)=(|噫3+glog?3jlog,2+glog,2)4 3=3log23-log32”g3lg2.lg2lg3換底公式log,,b= =用(a>0,aw1,c>0,cHl,b>0)log,。Iga利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論TOC\o"1-5"\h\z, . 1 幾①logab= ②log,*?log/,C^\ogtd=log”d③logbn=—log。blog/ "in例3：1.已知log23=〃，則下列能化簡為丁，的是（ ）1+2aA.log8：3 B.咻3C.log186D.log123【答案】B【詳解】對于A,loggbnlog?、3=；log23=；a,A錯誤；對于B,.ilog23log183=,°；c=log：3 _log23_a,B正確；log218log22+21og23l+21og23\+2a對于C,,jlog,6log,K6= =log22+log231+log23 1+4，C錯誤；logJ8log22+21og23l+21og23l+2a對于D,,二log23logp3=,"=log；3log23_aD錯誤.log,12210g22+log?32+log232+a故選：B.2.(log23-log83)(log,2+log92)=.(用數(shù)字作答)【答案】1【詳解】械23T°gg3)(log32+log92)=(1唱3-警!)(1嗎2+警!)log,8 log391 1 7 3=(log,3--log,3)(log,2+-log,2)=-log23x-log,2=1.故答案為：1舉一反三1.計算：2(log43+log83)(log32+log92)=5【答案】-##2.5【詳解】2(log43+logK3)(log,2+log,2)=2^-^-^+-^-^Jlog,2+=2[7F^5+;^r^5ilog32+llo8,2>l=2x^x'F_7xIx,og32=I；<21og32310g32八 2J6log,22 2故答案為：I".2.計算：eM2-log531og925等于.【答案】1【詳解】e'n2-log,31og925=2-"空=2-1=1.In521n3故答案為：1.對數(shù)函數(shù).對數(shù)函數(shù)的概念：一般地，形如曠=1/“*(。>0且4*1)的函數(shù)叫對數(shù)函數(shù)..對數(shù)函數(shù)曠=1。8“尤(。>0且。*1)的圖像和性質(zhì)。y=1咀xa>la<\圖像1°心。)—<O(16 性質(zhì)(1)定義域：(。,+8)(2)值域：R(3)圖像過定點：(1,0)(4)在(0,+8)上是增函數(shù)(1)定義域：(0,+8)(2)值域：R(3)圖像過定點：(1,0)(4)在(0,+8)上是減函數(shù)3.指對數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較圖象特征函數(shù)性質(zhì)共性向X軸正負方向無限延伸函數(shù)的定義域為R函數(shù)圖象都在X軸上方函數(shù)的值域為R+圖象關(guān)于原點和y軸不對稱非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都過定點(0,1)過定點(0,1)0<a<l自左向右看，圖象逐漸下降減函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1當(dāng)x>0時,0vyvl;在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1當(dāng)x<0吐圖象上升趨勢是越來越緩函數(shù)值開始減小極快，到了某一值后減小速度較慢：a>l自左向右看，圖象逐漸上升增函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1當(dāng)x>0時,y>l;在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1當(dāng)x<0時,0<y<l圖象上升趨勢是越來越陡函數(shù)值開始增長較慢，到了某一值后增長速度極快：.反函數(shù)：一般地，設(shè)A,B分別為函數(shù)y=/(%)的定義域和值域，如果由函數(shù)y=f(x)可解得唯一x=(p(y)也是一個函數(shù)(即對任意一個ywB,都有唯一的xeA與之對應(yīng)),那么就稱函數(shù)x=°(y)是函數(shù)y=/(x)的反函數(shù)，記作x=/一|(曠).在％=/T(y)中，y是自變量,x是y的函數(shù)，習(xí)慣上改寫成、=/T(x)(xe8,yeA)的形式.指數(shù)函數(shù)y=a*(a>0,且aWl)與對數(shù)函數(shù)y=log“x(a>0,且aH1)互為反函數(shù)，互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱。注意：指數(shù)增長模型：y=N(l+p)x 指數(shù)型函數(shù)：y=kax考點：(1)ab=N,當(dāng)b>0時，a,N在1的同側(cè)；當(dāng)b<0時，a,N在1的異側(cè)。(2)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性由底數(shù)決定的，底數(shù)不明確的時候要進行討論。掌握利用單調(diào)性比較幕的大小，同底找對應(yīng)的指數(shù)函數(shù)，底數(shù)不同指數(shù)也不同插進l(=a。)進行傳遞或者利用(1)的知識。(3)求指數(shù)型函數(shù)的定義域可將底數(shù)去掉只看指數(shù)的式子，值域求法用單調(diào)性。(4)分辨不同底的指數(shù)函數(shù)圖象利用a』a,用x=l去截圖象得到對應(yīng)的底數(shù)。.與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域(1)對數(shù)函數(shù)y=bg“x的定義域為(0,+8)。f(x)>0,(2)形如y=logg“)/(x)的函數(shù)，定義域由，g(x)>0,來確定。.g(x)+1(3)形如y=/(log,,x)的復(fù)合函數(shù)在求定義域時，必須保證每一部分都要有意義。.對數(shù)式的大小比較：(1)若底數(shù)為同一常數(shù),則可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進行比較.(2)若底數(shù)為同一字母，則根據(jù)底數(shù)對對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響,對底數(shù)進行分類討論(分0<a<l,a>l).(3)若底數(shù)不同、真數(shù)相同，則可以先用換底公式化為同底后，再進行比較，也可以畫出對數(shù)函數(shù)的圖象，再進行比較。(4)若底數(shù)與真數(shù)都不同，則常借助0,1等中間值進行比較。題型一：對數(shù)函數(shù)的概念例4：下列函數(shù)中，是對數(shù)函數(shù)的是（ ）A.y=logxa（x>0且；#1）B.y=log2X_1C.y=\gx2D.y=log5X【答案】D【詳解】A、B、C都不符合對數(shù)函數(shù)的定義，只有D滿足對數(shù)函數(shù)定義.故選：D.舉一反三若函數(shù)/（x）=a\a>0,aw1）的反函數(shù)的圖像經(jīng)過點（4,2）,則a=.【答案】2解：因為函數(shù)/（外=，3>0,。片1）的反函數(shù)為丁=108“1，所以log“4=2,即6=4,所以。=2或。=一2（舍去）；故答案為：2題型二：對數(shù)函數(shù)的定義域例5：函數(shù)/（x）=j2-x+lnx的定義域為（）A.（2,+oo） B.[0,2） C.（0,2] D.[0,2]【答案】CP2-y>ofx<2【詳解】要使函數(shù)解析式有意義，需滿足/'=>一二解得:xe（0,2].[x>0 [x>0, 」故選：c舉一反三.函數(shù)y=iog5*2-x-2）的定義域是.【答案】｛X|x>2或x<-l｝解:由V-x-2>0,解得x>2或x<-l,故答案是｛x|x>2或.已知函數(shù)y=lg（Jx2-x+l+or）的定義域是R,則實數(shù)a的取值范圍是一.【答案】（-爭解：?.?函數(shù)y=lg（Jf_工+]+辦）的定義域是R，???，入2_工+1+。%>（）對于任意實數(shù)X恒成立，即arAf/f-x+l對于任意實數(shù)x恒成立,當(dāng)x=0時，上式化為0>-1,此式對任意實數(shù)。都成立；當(dāng)心>0時，則,X VX2XVx>0, >0,則4+1=（，）2+T-T'xxxx2 44則-、U」+iwg可得心一立；\x2x2 2當(dāng)x<0時，則玄—x+l=/_*_1+1,—XVx~XVx<0,.-.-<0,則與-!+1=（'-1尸+3>1,x X-xx2 4則可得gl.V.v~x綜上可得，實數(shù)”的取值范圍是卜孝,1.故答案為：卜等」.題型三：對數(shù)函數(shù)的值域例6：已知函數(shù)，（x）=lg（x2+l）,x?—l,3],則〃x）的值域為（ ）A.[0,+巧 B.[0,1） C.[Ig2,l] D.[0,1]【答案】D【詳解】因為xw[-1,3],所以f+141,10],所以/（力=愴（/+1）目0』，故選：D舉一反三.函數(shù)丫=叫|'-6'+10）的值域是.2【答案】（,,0]【詳解】令，=W-6x+10，則y=bg/，因為f=W-6x+10=（x-3尸+121,2所以r=W-6x+10的值域為U,+8）,因為產(chǎn)唾『在U,+8）是減函數(shù)，2所以y=log『GogJ=0,所以k1唱,-6x+10）的值域為y,o],2 2 2故答案為：（7,0].若函數(shù)/（x）=l°g,（加+'+2）的最大值為0,則實數(shù)。的值為.2【答案】74a>0【詳解】因為/（X）的最大值為0,所以a（x）="+x+2應(yīng)有最小值1,因此應(yīng)有<8。-1t解得。=9.——=1, 4I4。故答案為：—.4題型四：對數(shù)函數(shù)的圖像例7：已知函數(shù)"x)=log“(x-。)(a>0且axl,a,b為常數(shù))的圖象如圖，則下列結(jié)論正確的是()C.0<a<l,Z?<—1 D.0<a<l,—1</?<0【答案】D【詳解】因為函數(shù)/(x)=log“(x-b)為減函數(shù)，所以0<“<1又因為函數(shù)圖象與x軸的交點在正半軸，所以x=l+6>0,即匕>-1又因為函數(shù)圖象與y軸有交點，所以6<0,所以-l<b<0,故選：D舉一反三函數(shù)與g(x)=-iog,x的大致圖像是( )【答案】A解：因為在定義域R上單調(diào)遞減,又g(x)=-log4x=lo&,x=log/，所以g(x)在定義域(o,y)上單調(diào)遞減，故符合條件的只有A：故選：A題型五：對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性例8：1.滿足函數(shù)/(x)=ln(,nr+3)在(-00,1］上單調(diào)遞減的一個充分不必要條件是()A.―4Vmv—2 B.-3v機v0 C?~4v/nv0 D.—3v，〃v—1【答案】D解：若/(x)=ln(〃a+3)在(yo,1］上單調(diào)遞減，則滿足6<0且機+3>0,即川<0且血>一3,則一3<0,即fM在（田』上單調(diào)遞減的一個充分不必要條件是-3<-1,故選：D.2.已知kg->1,則實數(shù)。的取值范圍為.【答案】康）.解：當(dāng)0<“<1時，由 可得logj>log“"，解得g<a<l：l_ ]_ / 1 …'與4>1時，108/>1，可得logj>log：，得“<§，不滿足4>1，故無解.綜上所述4的取值范圍為：（（I）.故答案為：（J1）.舉一反三.若/。）=[，一"）:""「是定義在R上的增函數(shù)，實數(shù)〃的取值范圍是（[logflx+3,x>lA.[1,5] B.■|,5）C.加 D.（1.5）【答案】B【詳解】因為小）=卜一"）’「x1是定義在r上的增函數(shù)，[logttx+3,x>l6-〃>1所以，a>l ,解得34a<5,2logdl+3>（6-a）-tz故選：B2.函數(shù)y=l°g|（3x-l）的單調(diào)遞減區(qū)間為2【答案】[*8）【詳解】函數(shù)y=i°g；（3x-i）的定義域為（；,+8）又yT°g1（3xT）是由y=l°g[“與"=3x-l復(fù)合而成，2 2因為外層函數(shù)y=1°gi"單調(diào)遞減，所以求函數(shù)丫=1°8|（3、-1）的單調(diào)遞減區(qū)間即是求內(nèi)層函數(shù)w=3x—1的2 2增區(qū)間，而內(nèi)層函數(shù)〃=3x—l在+8）上單調(diào)遞增，所以函數(shù)尸黑（31）的減區(qū)間為+8）故答案為：(；，+8)題型六：反函數(shù)例9：已知函數(shù)/(x)=l+log2X,它的反函數(shù)為y=fT(x),則/'(3)=.【答案】4【詳解】因為f(x)=l+log2X，所以令f(x)=l+log2X=3,解得x=4,根據(jù)互為反函數(shù)之間的關(guān)系，可得r'(3)=4.故答案為：4.舉一反三已知演，々分別是方程e*+x-2=0,lnx+x-2=0的根，則為+*2=( )A.1 B.2 C.72 D.V2+1【答案】B【詳解】由題意可得演是函數(shù)y=e，的圖象與宜線y=-x+2交點A的橫坐標(biāo)，巧是函數(shù)y=lnx圖象與直線丫=-工+2交點8的橫坐標(biāo)，因為y=e、的圖象與y=Inx圖象關(guān)于直線y=x對稱，而直線y=-x+2也關(guān)于直線y=x對稱，所以線段AB的中點就是直線y=-x+2與y=x的交點，由卜'，得I二，即線段AB的中點為(U),所以±中=1,得%+%=2,[y=-x+2 [y=l 2故選：B題型七：對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用例10：人們常用里氏震級表示地震的強度，入表示地震釋放出的能量，其關(guān)系式可以簡單地表示為2 -A/f=-lgE,-4.8,2021年1月4日四川省樂山市犍為縣發(fā)生里氏4.2級地震，2021年9月16日四川省瀘州市瀘縣發(fā)生里氏6。級地震，則后者釋放的能量大約為前者的()倍.(參考數(shù)據(jù)：1003~2.00,10°7=5.01)A.180 B.270 C.500 D.720【答案】C【詳解】設(shè)前者、后者的里氏震級分別為用:、前者、后者釋放出的能量分別為E、E",則其滿足關(guān)系%'=；lg-4.8和M；=|IgE：-4.8,兩式作差可以得到-M；=-lgE；--lgEt,,F“ 尸”即—=1027,所以t=1()27=103+10°3=500,故選：C.E, E,舉一反三(多選)某學(xué)校為了加強學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，鍛煉學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)的能力，讓學(xué)生以函數(shù)”力=電熱為基本素材，研究該函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，取得部分研究成果如下，其中研究成果正確的是()A.函數(shù)/(力的定義域為(T1),且f(x)是偶函數(shù)B.對于任意的xe(Tl),都有含)=2〃x)C.對于任意的a,都有/(。)+/伍)=/(霖)D.對于函數(shù)/(x)定義域內(nèi)的任意兩個不同的實數(shù)々，々，總滿足坐彳回＞。【答案】BC【詳解】A：由產(chǎn)＞0,解得xw(-lj),故f(x)的定義域為(-。).又〃-x)=lgg=-lg8=-/(x),.?.〃x)=lgF為奇函數(shù),故錯誤.1+XI2x, /. -(lx\.V2+1.X2-lx+1.(X—1) 1—XccI\J,&B：由/-^―=lg—七＞=lgkw--=lg； 77=21g--=2/(x),故止確.(X+U]I2xx-+2x+\ (X+1) 1+Xx2+lr(xx,I—a 1—b (l-0)(l-0)c：/(a)+/(/?)=ig-—+ig—=ig)-~,, 1+47 1+b (l+a)(l+b)a+bf(=ig-■=1+而-(a+b)=(j)(1叫,+ah)]?a+＞ l+"+(〃+b) (l+a)(l+/?)+ab.?./(a)+/S)=/(需)故正確.i-lD：取A=:，9=0,則f(0)=lgW=0,/(']=lgT=lg：＜。，1+0 \^J ?A32A— ＜0,故錯誤.故選：BC.--02題型八：對數(shù)函數(shù)的過定點例11：(2022?上海市實驗學(xué)校模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(外=1+1。8“。-1)(4＞0且。*1)的圖像恒過定點戶，又點戶的坐標(biāo)滿足方程加r+〃y=l,則機”的最大值為.【答案】1##0.1258

【解析】【詳解】f(x)=l+bg”(x-l)(a>0且過定點(2,1),所以尸(2,1),所以2機+〃=1故2m+ =>mn<-,當(dāng)且僅當(dāng)/?=!，〃=:時等號成立.\2) 8 4 2故答案為：!8