初中幾何添加輔助線秘籍

初中數(shù)學輔助線的添加秘籍初中數(shù)學輔助線的添加秘籍/59BB特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答.（一）、倍長中線（線段）造全等1:（“希望杯”試題）已知，如圖△ABC中，AB=5,AC=3則中線AD的取值范圍是2:如圖，/XABC^,E、F分別在ARAC上,E+C*EF的大小.3:如圖，△ABCt,BD=DC=ACE是DC的中點，求證：AD平分/BAE.中考應(yīng)用（09崇文二模）以MBC的兩邊ABAC為腰分別向外作等腰RtAABD和等腰RtMCE,/BAD=/CAE=90◎連接DE,MN分別是BCDE的中點.探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.（1）如圖①當.ABC為直角三角形時，AM與DE的位置關(guān)系是 ,線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是

(2)將圖①中的等腰Rt&(2)將圖①中的等腰Rt&ABD繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)屋(0<10<90)后,如圖②所示，(1)問中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由.(二)、截長補短1.如圖，&ABC中，AB=2ACA葉分NBAC，且AD=BD求證：CD1AC2:如圖,AC//BD,EA,EB分別平分/CAB,/DBACD過點E,求證;2:如圖,BD03:如圖，已知在LABC內(nèi)，/BAC=60,/C=40BC,CA上，并且AP,BQ分別是NBAC,/ABC的角平分CC求證：BQ+AQ=AB+BP

CC4:如圖，在四邊形ABCD中，BC>BA,AD=CDBD平分/ABC,求證:AC=18005:如圖在△ABC中，AB>AC,/1=/2,P為AD上任意一點，求證；AB-AC>PB-PC中考應(yīng)用（08海淀一模）如圖，在四辿般ABCD中.4。/瓦，點E是熊上一個動點，若乙"=60" 二8C,且乙皿篦二60”,判斷力口IE均BC的關(guān)系并證明你的結(jié)論.解;

（三）、平移變換.AD為△ABC的角平分線，直線MNLAD于A.E為MNk一點，△ABC周長記為PA,AEBC周長記為BC周長記為PB.求證PB>B.2:如圖，在△ABC的邊上取兩點DE,且BD=CE求證：AB+AC>AD+AE.=ODDF,AC于=ODDF,AC于F.(1)說明BE=CF（四）、借助角平分線造全等1:如圖，已知在△ABC中，/B=60°,△ABC的角平分線AD,CE相交于點O,求證：OE:（06鄭州市中考題）如圖，△D平分/BACDGLBC且平分BC,DELAB于E,的長.D的理由；（2）如果AB=a,AC=b,求AE、BE

的長.D中考應(yīng)用（06北京中考）如圖①，OP是/MON勺平分線，請你利用該圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下歹I」問題：(1)如圖②，在△AB%,/AC呢直角,BB=60o,ADCE分別是/BAC/BCA勺平分線，ADCEffi交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系;（2）如圖③，在△ABCt,如果/ACBP是直角，而（1）中的其它條件不變,（五）、旋轉(zhuǎn)1:正方形ABCD^,E為BC上的一點，F(xiàn)為CD上的一點，BE+DF=EF求/EAF的度數(shù).2:D為等腰RtMBC斜邊AB的中點，DMLDN,DM,DNB【J交BC,CA于點E,F當,MDN繞點D當,MDN繞點D轉(zhuǎn)動時，求證若AB=Z求四邊形DECF勺面積3.如圖，&ABC是邊長為3的等邊三角形，ABDC是等腰三角形，且/BDC=1200,以D為頂點做一個600角，使其兩邊分別交AB于點M交AC于點N,點N,連接MN則AAMN的周長為中考應(yīng)用（07佳木斯）已知四邊形ABCD中，ABIAD,BC,CD,AB=BC,/ABC=120",/MBN=60，/MBN繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD,DC（或它們的延長線）于E,F.當/MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE=CF時（如圖1）,易證AE+CF=EF當/MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE#CF時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AE，CF,EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明.BCFDC（西城F）64一模）已知：PA二=4,以AB為一地作（圖2）EMEMB兩點落在直線BCFDC（西城F）64一模）已知：PA二=4,以AB為一地作（圖2）EMEMB兩點落在直線AB的兩側(cè).（圖1）B；F"CDP、D（圖3）（1）如圖，當/APB=45時，求AB及PD的長;（2）當/AP皎化，且其它條件不變時，求PD的最大值,及相應(yīng)/APB的大小.(09崇文一模)在等邊AABC的兩邊ARAC所在直線上分別有兩點MN,D為LABC外一點，且/MDN=60：/BDC=120：bd=dc.探究：當MN分別在直線ABAC上移動時，BMNCMN^間的數(shù)量關(guān)系及MMN的周長Q與等邊△ABC的周長L的關(guān)系.△ABC的周長L的關(guān)系.(I)如圖1,當點MN邊ABAC上，且DM=DNf,BMNCMN^間的數(shù)量關(guān)系是 ；此時Q= ;L(II)如圖2,點MN邊ABAC上，且當DMDN時，猜想(I)問的兩個結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明;(III)如圖3,當MN分別在邊ARCA的延長線上時,若AN=x,則Q=(用x、L表示).

六梯形的輔助線口訣:梯形問題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)椤骱涂凇Ｆ揭蒲?，移對角，兩腰延長作出高。如果出現(xiàn)腰中點，細心連上中位線。上述方法不奏效，過腰中點全等造。通常情況下，通過做輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，是解梯形問題的基本思路。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。常見的幾種輔助線的作法如下：作法平移腰，轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形。平移對角線。圖形B延長兩腰，轉(zhuǎn)化為三角形。作高，轉(zhuǎn)化為直角三角形和矩形。轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形。

圖形B延長兩腰，轉(zhuǎn)化為三角形。作高，轉(zhuǎn)化為直角三角形和矩形。（一）、平移1、平移一腰:例1.如圖所示，在直角梯形ABCtDK/A=90°,AB//DGAD=15,AB=（一）、平移1、平移一腰:例1.如圖所示，在直角梯形ABCtDK/A=90°,AB//DGAD=15,AB=16,BO17.求CD的長.解：過點D作DE//BC交AB于點E.又AB//CD所以四邊形BCDEI平行四邊形.所以DE=BO17,C5BE.在Rt^DAE中，由勾股定理，得aU=dE-aD,即At=172-152=64.所以A已8.所以B已AB-A已16-8=8.即C58.例2如圖，梯形ABCD勺上底AB=3下底CD=8月要AD=4求另一腰BC的取值范圍解：過點B作BM//AD交CD于點M在/XBCW,BM=AD=4CM=CDDM=CDAB=8-3=5,所以BC的取值范圍是：5-4<BC<5^4,即1<BC<92、平移兩腰：例3如圖，在梯形ABCD中,AD//BC,/B+/C=90°,AD=1BC=3E、F分別是ADBC的中點，連接EF,求EF的長。

AEDAED解：過點E分別作ABCD的平行線，交BC于點GH,可得/EGHk/EHG=B+/C=90°則AEGH^直角三角形因為E、F分別是ADBC的中點，容易證得F是GH的中點…、， 1一1,一一一、TOC\o"1-5"\h\z所以EF=—GH=—(BC—BG-CH)2 21(BC-AE-DE)[BC-(AEDE)]2- 1(BC-AD)(3-1)=123、平移對角線：例4、已知：梯形ABCm，AD//BC,AD=1,BC=4BD=3AC=4求梯形ABCD的面積.解：如圖，作DE//AG交BC的延長線于:AD//BC「.四邊形ACE北平行四邊形BE=BC+CE=BC+AD=4+,1=DE=AC=4?.在△DBEt,BD=3,DE=4BE=5丁./BDE=90.作DHLBC于H,貝UDH=BD*ED=12BE5_ __ — 5—. (AD+BC)黑DH55-S梯形ABCD一 ~ —一"一—62 2例5如圖，在等腰梯形ABCLfr,AD//BC,AD=3BC=7；BD=5<2,求證：AC±BQ解：過點C作BD的平行線交AD的延長線于點E,易得四邊形BCE北平行四邊形，貝UDE=BCCE=BD=<2,所以AE=AD-DE=AD-BC=*7=10。在等腰梯形ABCDfr,AC=BD=w'5,所以在△ACE^,AC2+CE2=（5板）2+（5&）2=100=AE2,從而ACLCE,于是ACLBD例6如圖，在梯形ABCDt,AD//BC,AC=15cmBD=20cm高DH=12cm求梯形ABCD勺面積。解：過點D作DE//AC,交BC的延長線于點E,則四邊形ACE北平行四邊形，即SAbd=S&cd=S*ceo所以S梯形ABCD=S.DBE由勾股定理得EH=?.DE2-DH2=.AC2-DH2=、；152-122=9（⑺BH=U,BD2-DH2=M202-122=16（cm）-1-1 2Sdbe=1BEDH=1（916）12=150（cm2）所以2 2 ,即梯形ABCD勺面積是2150cm。

（二）、延長即延長兩腰相交于一點，可使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例7如圖，在梯形ABCLfr,AD//BC,/B=50°,/C=8（J,AD=2BC=5求CD的長。解：延長BACD交于點E。在△BCE^,/B=50°,/C=80°。所以/E=50°,從而BC=EC=5同理可得AD=ED=2所以CD=EGED=5-2=3BGAOBD,AD=BC.判斷例8.如圖所示，四邊形ABCLfr,AD不平行于BGAOBD,AD=BC.判