初中幾何添加輔助線(xiàn)秘籍

初中數(shù)學(xué)輔助線(xiàn)的添加秘籍初中數(shù)學(xué)輔助線(xiàn)的添加秘籍/59BB特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類(lèi)的問(wèn)題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線(xiàn)段連接起來(lái)，利用三角形面積的知識(shí)解答.（一）、倍長(zhǎng)中線(xiàn)（線(xiàn)段）造全等1:（“希望杯”試題）已知，如圖△ABC中，AB=5,AC=3則中線(xiàn)AD的取值范圍是2:如圖，/XABC^,E、F分別在A(yíng)RAC上,E+C*EF的大小.3:如圖，△ABCt,BD=DC=ACE是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分/BAE.中考應(yīng)用（09崇文二模）以MBC的兩邊ABAC為腰分別向外作等腰RtAABD和等腰RtMCE,/BAD=/CAE=90◎連接DE,MN分別是BCDE的中點(diǎn).探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.（1）如圖①當(dāng).ABC為直角三角形時(shí)，AM與DE的位置關(guān)系是 ,線(xiàn)段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是

(2)將圖①中的等腰Rt&(2)將圖①中的等腰Rt&ABD繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)屋(0<10<90)后,如圖②所示，(1)問(wèn)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說(shuō)明理由.(二)、截長(zhǎng)補(bǔ)短1.如圖，&ABC中，AB=2ACA葉分NBAC，且AD=BD求證：CD1AC2:如圖,AC//BD,EA,EB分別平分/CAB,/DBACD過(guò)點(diǎn)E,求證;2:如圖,BD03:如圖，已知在LABC內(nèi)，/BAC=60,/C=40BC,CA上，并且AP,BQ分別是NBAC,/ABC的角平分CC求證：BQ+AQ=AB+BP

CC4:如圖，在四邊形ABCD中，BC>BA,AD=CDBD平分/ABC,求證:AC=18005:如圖在△ABC中，AB>AC,/1=/2,P為AD上任意一點(diǎn)，求證；AB-AC>PB-PC中考應(yīng)用（08海淀一模）如圖，在四辿般ABCD中.4。/瓦，點(diǎn)E是熊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若乙"=60" 二8C,且乙皿篦二60”,判斷力口IE均BC的關(guān)系并證明你的結(jié)論.解;

（三）、平移變換.AD為△ABC的角平分線(xiàn)，直線(xiàn)MNLAD于A(yíng).E為MNk一點(diǎn)，△ABC周長(zhǎng)記為PA,AEBC周長(zhǎng)記為BC周長(zhǎng)記為PB.求證PB>B.2:如圖，在△ABC的邊上取兩點(diǎn)DE,且BD=CE求證：AB+AC>AD+AE.=ODDF,AC于=ODDF,AC于F.(1)說(shuō)明BE=CF（四）、借助角平分線(xiàn)造全等1:如圖，已知在△ABC中，/B=60°,△ABC的角平分線(xiàn)AD,CE相交于點(diǎn)O,求證：OE:（06鄭州市中考題）如圖，△D平分/BACDGLBC且平分BC,DELAB于E,的長(zhǎng).D的理由；（2）如果AB=a,AC=b,求AE、BE

的長(zhǎng).D中考應(yīng)用（06北京中考）如圖①，OP是/MON勺平分線(xiàn)，請(qǐng)你利用該圖形畫(huà)一對(duì)以O(shè)P所在直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下歹I」問(wèn)題：(1)如圖②，在△AB%,/AC呢直角,BB=60o,ADCE分別是/BAC/BCA勺平分線(xiàn)，ADCEffi交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫(xiě)出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系;（2）如圖③，在△ABCt,如果/ACBP是直角，而（1）中的其它條件不變,（五）、旋轉(zhuǎn)1:正方形ABCD^,E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF求/EAF的度數(shù).2:D為等腰RtMBC斜邊AB的中點(diǎn)，DMLDN,DM,DNB【J交BC,CA于點(diǎn)E,F當(dāng),MDN繞點(diǎn)D當(dāng),MDN繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證若AB=Z求四邊形DECF勺面積3.如圖，&ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，ABDC是等腰三角形，且/BDC=1200,以D為頂點(diǎn)做一個(gè)600角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M交AC于點(diǎn)N,點(diǎn)N,連接MN則AAMN的周長(zhǎng)為中考應(yīng)用（07佳木斯）已知四邊形ABCD中，ABIAD,BC,CD,AB=BC,/ABC=120",/MBN=60，/MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD,DC（或它們的延長(zhǎng)線(xiàn)）于E,F.當(dāng)/MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE=CF時(shí)（如圖1）,易證AE+CF=EF當(dāng)/MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE#CF時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線(xiàn)段AE，CF,EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明.BCFDC（西城F）64一模）已知：PA二=4,以AB為一地作（圖2）EMEMB兩點(diǎn)落在直線(xiàn)BCFDC（西城F）64一模）已知：PA二=4,以AB為一地作（圖2）EMEMB兩點(diǎn)落在直線(xiàn)AB的兩側(cè).（圖1）B；F"CDP、D（圖3）（1）如圖，當(dāng)/APB=45時(shí)，求AB及PD的長(zhǎng);（2）當(dāng)/AP皎化，且其它條件不變時(shí)，求PD的最大值,及相應(yīng)/APB的大小.(09崇文一模)在等邊AABC的兩邊ARAC所在直線(xiàn)上分別有兩點(diǎn)MN,D為L(zhǎng)ABC外一點(diǎn)，且/MDN=60：/BDC=120：bd=dc.探究：當(dāng)MN分別在直線(xiàn)ABAC上移動(dòng)時(shí)，BMNCMN^間的數(shù)量關(guān)系及MMN的周長(zhǎng)Q與等邊△ABC的周長(zhǎng)L的關(guān)系.△ABC的周長(zhǎng)L的關(guān)系.(I)如圖1,當(dāng)點(diǎn)MN邊ABAC上，且DM=DNf,BMNCMN^間的數(shù)量關(guān)系是 ；此時(shí)Q= ;L(II)如圖2,點(diǎn)MN邊ABAC上，且當(dāng)DMDN時(shí)，猜想(I)問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫(xiě)出你的猜想并加以證明;(III)如圖3,當(dāng)MN分別在邊ARCA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),若AN=x,則Q=(用x、L表示).

六梯形的輔助線(xiàn)口訣:梯形問(wèn)題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)椤骱涂?。平移腰，移?duì)角，兩腰延長(zhǎng)作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線(xiàn)。上述方法不奏效，過(guò)腰中點(diǎn)全等造。通常情況下，通過(guò)做輔助線(xiàn)，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，是解梯形問(wèn)題的基本思路。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。常見(jiàn)的幾種輔助線(xiàn)的作法如下：作法平移腰，轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形。平移對(duì)角線(xiàn)。圖形B延長(zhǎng)兩腰，轉(zhuǎn)化為三角形。作高，轉(zhuǎn)化為直角三角形和矩形。轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形。

圖形B延長(zhǎng)兩腰，轉(zhuǎn)化為三角形。作高，轉(zhuǎn)化為直角三角形和矩形。（一）、平移1、平移一腰:例1.如圖所示，在直角梯形ABCtDK/A=90°,AB//DGAD=15,AB=（一）、平移1、平移一腰:例1.如圖所示，在直角梯形ABCtDK/A=90°,AB//DGAD=15,AB=16,BO17.求CD的長(zhǎng).解：過(guò)點(diǎn)D作DE//BC交AB于點(diǎn)E.又AB//CD所以四邊形BCDEI平行四邊形.所以DE=BO17,C5BE.在Rt^DAE中，由勾股定理，得aU=dE-aD,即At=172-152=64.所以A已8.所以B已AB-A已16-8=8.即C58.例2如圖，梯形ABCD勺上底AB=3下底CD=8月要AD=4求另一腰BC的取值范圍解：過(guò)點(diǎn)B作BM//AD交CD于點(diǎn)M在/XBCW,BM=AD=4CM=CDDM=CDAB=8-3=5,所以BC的取值范圍是：5-4<BC<5^4,即1<BC<92、平移兩腰：例3如圖，在梯形ABCD中,AD//BC,/B+/C=90°,AD=1BC=3E、F分別是ADBC的中點(diǎn)，連接EF,求EF的長(zhǎng)。

AEDAED解：過(guò)點(diǎn)E分別作ABCD的平行線(xiàn)，交BC于點(diǎn)GH,可得/EGHk/EHG=B+/C=90°則AEGH^直角三角形因?yàn)镋、F分別是ADBC的中點(diǎn)，容易證得F是GH的中點(diǎn)…、， 1一1,一一一、TOC\o"1-5"\h\z所以EF=—GH=—(BC—BG-CH)2 21(BC-AE-DE)[BC-(AEDE)]2- 1(BC-AD)(3-1)=123、平移對(duì)角線(xiàn)：例4、已知：梯形ABCm，AD//BC,AD=1,BC=4BD=3AC=4求梯形ABCD的面積.解：如圖，作DE//AG交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于:AD//BC「.四邊形ACE北平行四邊形BE=BC+CE=BC+AD=4+,1=DE=AC=4?.在△DBEt,BD=3,DE=4BE=5丁./BDE=90.作DHLBC于H,貝UDH=BD*ED=12BE5_ __ — 5—. (AD+BC)黑DH55-S梯形ABCD一 ~ —一"一—62 2例5如圖，在等腰梯形ABCLfr,AD//BC,AD=3BC=7；BD=5<2,求證：AC±BQ解：過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線(xiàn)交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,易得四邊形BCE北平行四邊形，貝UDE=BCCE=BD=<2,所以AE=AD-DE=AD-BC=*7=10。在等腰梯形ABCDfr,AC=BD=w'5,所以在△ACE^,AC2+CE2=（5板）2+（5&）2=100=AE2,從而ACLCE,于是ACLBD例6如圖，在梯形ABCDt,AD//BC,AC=15cmBD=20cm高DH=12cm求梯形ABCD勺面積。解：過(guò)點(diǎn)D作DE//AC,交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,則四邊形ACE北平行四邊形，即SAbd=S&cd=S*ceo所以S梯形ABCD=S.DBE由勾股定理得EH=?.DE2-DH2=.AC2-DH2=、；152-122=9（⑺BH=U,BD2-DH2=M202-122=16（cm）-1-1 2Sdbe=1BEDH=1（916）12=150（cm2）所以2 2 ,即梯形ABCD勺面積是2150cm。

（二）、延長(zhǎng)即延長(zhǎng)兩腰相交于一點(diǎn)，可使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例7如圖，在梯形ABCLfr,AD//BC,/B=50°,/C=8（J,AD=2BC=5求CD的長(zhǎng)。解：延長(zhǎng)BACD交于點(diǎn)E。在△BCE^,/B=50°,/C=80°。所以/E=50°,從而B(niǎo)C=EC=5同理可得AD=ED=2所以CD=EGED=5-2=3BGAOBD,AD=BC.判斷例8.如圖所示，四邊形ABCLfr,AD不平行于BGAOBD,AD=BC.判