高數(shù)下G10-3三重積分課件

第三節(jié)一、三重積分的概念

二、三重積分的計(jì)算三重積分的概念和計(jì)算方法第十章1第三節(jié)一、三重積分的概念二、三重積分的計(jì)算三重積分的概念一、三重積分的概念

類似二重積分解決問題的思想,采用引例:設(shè)在空間有限閉區(qū)域內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì),求分布在內(nèi)的物質(zhì)的可得“大化小,常代變,近似和,求極限”解決方法:質(zhì)量

M.密度函數(shù)為2一、三重積分的概念類似二重積分解決問題的思想,采用引例定義.

設(shè)存在,稱為體積元素,

若對作任意分割:任意取點(diǎn)則稱此極限為函數(shù)在上的三重積分.在直角坐標(biāo)系下常寫作下列“乘積和式”極限記作由定義可知,引例中物體的質(zhì)量為:特別若在那么三重積分在數(shù)值上就等于區(qū)域的體積即:3定義.設(shè)存在,稱為體積元素,若對作任意分割:任性質(zhì):三重積分的性質(zhì)與二重積分相似.例如中值定理.在有界閉域上連續(xù),則存在使得V為的體積,

三重積分存在定理:當(dāng)函數(shù)在區(qū)域上的三重積分必定存在,此時(shí)稱函數(shù)4性質(zhì):三重積分的性質(zhì)與二重積分相似.例如中值定理.在有界二、三重積分的計(jì)算1）利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分方法2.投影法(“先一后二”)方法3.截面法(“先二后一”)方法1.三次積分法先假設(shè)連續(xù)函數(shù)并將它看作某物體通過計(jì)算該物體的質(zhì)量引出下列各計(jì)算最后,推廣到一般可積函數(shù)的積分計(jì)算.的密度函數(shù),方法:5二、三重積分的計(jì)算1）利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分方法2.投影法方法1.三次積分法設(shè)區(qū)域利用投影法結(jié)果,把二重積分化成二次積分即得:6投影法方法1.三次積分法設(shè)區(qū)域利用投影法結(jié)果,把二重積其中為三個(gè)坐標(biāo)例1.

計(jì)算三重積分所圍成的閉區(qū)域.解:面及平面7其中為三個(gè)坐標(biāo)例1.計(jì)算三重積分所圍成的閉區(qū)域.解方法2.投影法(“先一后二”)該物體的質(zhì)量為細(xì)長柱體微元的質(zhì)量為微元線密度≈記作8方法2.投影法(“先一后二”)該物體的質(zhì)量為細(xì)長柱例2:

計(jì)算及拋物面所圍成的區(qū)域.解法一:采用先對積分,將9例2:計(jì)算及拋物面所圍成的區(qū)域.解法一:采用先對積分,將解法二;采用先對積分,將例2:

計(jì)算及拋物面所圍成的區(qū)域.10解法二;采用先對積分,將例2:計(jì)算及拋物面所圍成的區(qū)域.積分,將解法三;采用先對例2:

計(jì)算及拋物面所圍成的區(qū)域.11積分,將解法三;采用先對例2:計(jì)算及拋物面所圍成的區(qū)域.一般在解題時(shí),首先應(yīng)該根據(jù)區(qū)域的具體情況,考慮它對那個(gè)坐標(biāo)面投影比較方便,從而決定采用先對那個(gè)變量積分的積分的次序.此題用解法三麻煩.12一般在解題時(shí),首先應(yīng)該根據(jù)區(qū)域的具體情況,考慮它對那個(gè)坐標(biāo)面方法3.截面法(“先二后一”)為底,dz為高的柱形薄片質(zhì)量為該物體的質(zhì)量為面密度≈記作13方法3.截面法(“先二后一”)為底,dz為高的柱例3.

計(jì)算三重積分解:

用“先二后一”14例3.計(jì)算三重積分解:用“先二后一”14解法四:若注意到變量的取值介于兩個(gè)常數(shù)之間,且在處用平行于坐標(biāo)面的平面去截先二后一例2:

計(jì)算及拋物面所圍成的區(qū)域.15解法四:若注意到變量的取值介于兩個(gè)常數(shù)之間,且在處用平行小結(jié):三重積分的計(jì)算方法方法2.“先一后二”方法3.“先二后一”方法1.“三次積分”具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)三種方法(包含12種形式)各有特點(diǎn),被積函數(shù)及積分域的特點(diǎn)靈活選擇.16小結(jié):三重積分的計(jì)算方法方法2.“先一后二”方法3.2.利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分

就稱為點(diǎn)M的柱坐標(biāo).直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:坐標(biāo)面分別為圓柱面半平面平面172.利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分就稱為點(diǎn)M的柱坐標(biāo).直角坐如圖所示,在柱面坐標(biāo)系中體積元素為因此其中適用范圍:1)積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡單;2)被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離.積分域由拋物面、圓柱面、球面所圍成。被積函數(shù)表達(dá)式中含有等因子。18如圖所示,在柱面坐標(biāo)系中體積元素為因此其中適用范圍:1)其中為由例1.計(jì)算三重積分所圍解:在柱面坐標(biāo)系下及平面柱面成半圓柱體.19其中為由例1.計(jì)算三重積分所圍解:在柱面坐標(biāo)系下及平例2:

求由圓柱面所圍成的物體的質(zhì)量.物體的密度為解:20例2:求由圓柱面所圍成的物體的質(zhì)量.物體的密度為解:2例3.

計(jì)算三重積分解:在柱面坐標(biāo)系下所圍成.與平面其中由拋物面原式=21例3.計(jì)算三重積分解:在柱面坐標(biāo)系下所圍成.與平面其中例3.

計(jì)算三重積分解:用先二后一所圍成.與平面其中由拋物面22例3.計(jì)算三重積分解:用先二后一所圍成.與平面其中由例4.計(jì)算其中解:利用對稱性23例4.計(jì)算其中解:利用對稱性233.利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分

就稱為點(diǎn)M的球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系坐標(biāo)面分別為球面半平面錐面243.利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分就稱為點(diǎn)M的球坐標(biāo).直角坐如圖所示,在球面坐標(biāo)系中體積元素為因此有其中適用范圍:1)積分域表面用球面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡單;2)被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離.積分域是由球面、錐面所圍成。被積函數(shù)中含有的因子。25如圖所示,在球面坐標(biāo)系中體積元素為因此有其中適用范圍:1)例1.求曲面所圍立體體積.解:由曲面方程可知,立體位于xoy面上部,利用對稱性,所求立體體積為yoz面對稱,并與xoy面相切,故在球坐標(biāo)系下所圍立體為且關(guān)于xoz

26例1.求曲面所圍立體體積.解:由曲面方程可知,立體位于x例2.計(jì)算三重積分解:在球面坐標(biāo)系下所圍立體.其中與球面27例2.計(jì)算三重積分解:在球面坐標(biāo)系下所圍立體.其中與主講教師:王升瑞高等數(shù)學(xué)第十七講28主講教師:高等數(shù)學(xué)第十七講28例3：計(jì)算解法一：采用球坐標(biāo)計(jì)算29例3：計(jì)算解法一：采用球坐標(biāo)計(jì)算29例3：計(jì)算解法二：采用三次定積分計(jì)算30例3：計(jì)算解法二：采用三次定積分計(jì)算30解法三：采用先一后二計(jì)算例3：計(jì)算31解法三：采用先一后二計(jì)算例3：計(jì)算31解法四：采用先二后一在處用垂直于軸的平面去截例3：計(jì)算32解法四：采用先二后一在處用垂直于軸的平面去截例3：計(jì)算32例4.

設(shè)由錐面和球面所圍成,計(jì)算提示:利用對稱性用球坐標(biāo)33例4.設(shè)由錐面和球面所圍成,計(jì)算提示:利用對稱性用例5.

計(jì)算所圍成.其中由分析：若用“先二后一”,則有計(jì)算較繁!采用“三次積分”較好.34例5.計(jì)算所圍成.其中由分析：若用“先二后一”,解:例5.

計(jì)算所圍成.其中由35解:例5.計(jì)算所圍成.其中由35思考:若被積函數(shù)為f(y)時(shí),如何計(jì)算簡便?解法二:例5.

計(jì)算所圍成.其中由36思考:若被積函數(shù)為f(y)時(shí),如何計(jì)算簡便?例6.

計(jì)算解:積分域?yàn)槠矫?/p>

x+y+z=1與三個(gè)坐標(biāo)面所圍四交換積分順序，得練習(xí)計(jì)算（P368題6）面體,37例6.計(jì)算解:積分域?yàn)槠矫鎥+y+z=1與例6.

按的先后順序更換下列積分次序:解:若積分域圖形難畫時(shí),可逐次固定一個(gè)積分變量,變換另兩個(gè)變量的積分次序.(1)原式=38例6.按的先后順序更換下列積分次序:解:若積分3939內(nèi)容小結(jié)積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡潔,或坐標(biāo)系體積元素適用情況直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系*說明:三重積分也有類似二重積分的換元積分公式:對應(yīng)雅可比行列式為變量可分離.圍成;40內(nèi)容小結(jié)積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡潔,或坐標(biāo)系1.

將用三次積分表示,其中由所提示:思考與練習(xí)六個(gè)平面圍成,411.將用三次積分表示,其中由所提示:思考與練習(xí)六個(gè)平面2.設(shè)計(jì)算提示:利用對稱性原式=奇函數(shù)422.設(shè)計(jì)算提示:利用對稱性原式=奇函數(shù)42作業(yè)P1641,(3),(4);4;6;7;8;9

(1);

10

(2);11(1),(3);

1343作業(yè)P1641,(3),(4);4;6;當(dāng)被積函數(shù)在積分域上變號時(shí),因?yàn)榫鶠榉秦?fù)函數(shù)根據(jù)重積分性質(zhì)仍可用前面介紹的方法計(jì)算.44當(dāng)被積函數(shù)在積分域上變號時(shí),因?yàn)榫鶠榉秦?fù)函數(shù)根據(jù)重積分性質(zhì)第三節(jié)一、三重積分的概念

二、三重積分的計(jì)算三重積分的概念和計(jì)算方法第十章45第三節(jié)一、三重積分的概念二、三重積分的計(jì)算三重積分的概念一、三重積分的概念

類似二重積分解決問題的思想,采用引例:設(shè)在空間有限閉區(qū)域內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì),求分布在內(nèi)的物質(zhì)的可得“大化小,常代變,近似和,求極限”解決方法:質(zhì)量

M.密度函數(shù)為46一、三重積分的概念類似二重積分解決問題的思想,采用引例定義.

設(shè)存在,稱為體積元素,

若對作任意分割:任意取點(diǎn)則稱此極限為函數(shù)在上的三重積分.在直角坐標(biāo)系下常寫作下列“乘積和式”極限記作由定義可知,引例中物體的質(zhì)量為:特別若在那么三重積分在數(shù)值上就等于區(qū)域的體積即:47定義.設(shè)存在,稱為體積元素,若對作任意分割:任性質(zhì):三重積分的性質(zhì)與二重積分相似.例如中值定理.在有界閉域上連續(xù),則存在使得V為的體積,

三重積分存在定理:當(dāng)函數(shù)在區(qū)域上的三重積分必定存在,此時(shí)稱函數(shù)48性質(zhì):三重積分的性質(zhì)與二重積分相似.例如中值定理.在有界二、三重積分的計(jì)算1）利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分方法2.投影法(“先一后二”)方法3.截面法(“先二后一”)方法1.三次積分法先假設(shè)連續(xù)函數(shù)并將它看作某物體通過計(jì)算該物體的質(zhì)量引出下列各計(jì)算最后,推廣到一般可積函數(shù)的積分計(jì)算.的密度函數(shù),方法:49二、三重積分的計(jì)算1）利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分方法2.投影法方法1.三次積分法設(shè)區(qū)域利用投影法結(jié)果,把二重積分化成二次積分即得:50投影法方法1.三次積分法設(shè)區(qū)域利用投影法結(jié)果,把二重積其中為三個(gè)坐標(biāo)例1.

計(jì)算三重積分所圍成的閉區(qū)域.解:面及平面51其中為三個(gè)坐標(biāo)例1.計(jì)算三重積分所圍成的閉區(qū)域.解方法2.投影法(“先一后二”)該物體的質(zhì)量為細(xì)長柱體微元的質(zhì)量為微元線密度≈記作52方法2.投影法(“先一后二”)該物體的質(zhì)量為細(xì)長柱例2:

計(jì)算及拋物面所圍成的區(qū)域.解法一:采用先對積分,將53例2:計(jì)算及拋物面所圍成的區(qū)域.解法一:采用先對積分,將解法二;采用先對積分,將例2:

計(jì)算及拋物面所圍成的區(qū)域.54解法二;采用先對積分,將例2:計(jì)算及拋物面所圍成的區(qū)域.積分,將解法三;采用先對例2:

計(jì)算及拋物面所圍成的區(qū)域.55積分,將解法三;采用先對例2:計(jì)算及拋物面所圍成的區(qū)域.一般在解題時(shí),首先應(yīng)該根據(jù)區(qū)域的具體情況,考慮它對那個(gè)坐標(biāo)面投影比較方便,從而決定采用先對那個(gè)變量積分的積分的次序.此題用解法三麻煩.56一般在解題時(shí),首先應(yīng)該根據(jù)區(qū)域的具體情況,考慮它對那個(gè)坐標(biāo)面方法3.截面法(“先二后一”)為底,dz為高的柱形薄片質(zhì)量為該物體的質(zhì)量為面密度≈記作57方法3.截面法(“先二后一”)為底,dz為高的柱例3.

計(jì)算三重積分解:

用“先二后一”58例3.計(jì)算三重積分解:用“先二后一”14解法四:若注意到變量的取值介于兩個(gè)常數(shù)之間,且在處用平行于坐標(biāo)面的平面去截先二后一例2:

計(jì)算及拋物面所圍成的區(qū)域.59解法四:若注意到變量的取值介于兩個(gè)常數(shù)之間,且在處用平行小結(jié):三重積分的計(jì)算方法方法2.“先一后二”方法3.“先二后一”方法1.“三次積分”具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)三種方法(包含12種形式)各有特點(diǎn),被積函數(shù)及積分域的特點(diǎn)靈活選擇.60小結(jié):三重積分的計(jì)算方法方法2.“先一后二”方法3.2.利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分

就稱為點(diǎn)M的柱坐標(biāo).直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:坐標(biāo)面分別為圓柱面半平面平面612.利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分就稱為點(diǎn)M的柱坐標(biāo).直角坐如圖所示,在柱面坐標(biāo)系中體積元素為因此其中適用范圍:1)積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡單;2)被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離.積分域由拋物面、圓柱面、球面所圍成。被積函數(shù)表達(dá)式中含有等因子。62如圖所示,在柱面坐標(biāo)系中體積元素為因此其中適用范圍:1)其中為由例1.計(jì)算三重積分所圍解:在柱面坐標(biāo)系下及平面柱面成半圓柱體.63其中為由例1.計(jì)算三重積分所圍解:在柱面坐標(biāo)系下及平例2:

求由圓柱面所圍成的物體的質(zhì)量.物體的密度為解:64例2:求由圓柱面所圍成的物體的質(zhì)量.物體的密度為解:2例3.

計(jì)算三重積分解:在柱面坐標(biāo)系下所圍成.與平面其中由拋物面原式=65例3.計(jì)算三重積分解:在柱面坐標(biāo)系下所圍成.與平面其中例3.

計(jì)算三重積分解:用先二后一所圍成.與平面其中由拋物面66例3.計(jì)算三重積分解:用先二后一所圍成.與平面其中由例4.計(jì)算其中解:利用對稱性67例4.計(jì)算其中解:利用對稱性233.利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分

就稱為點(diǎn)M的球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系坐標(biāo)面分別為球面半平面錐面683.利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分就稱為點(diǎn)M的球坐標(biāo).直角坐如圖所示,在球面坐標(biāo)系中體積元素為因此有其中適用范圍:1)積分域表面用球面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡單;2)被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離.積分域是由球面、錐面所圍成。被積函數(shù)中含有的因子。69如圖所示,在球面坐標(biāo)系中體積元素為因此有其中適用范圍:1)例1.求曲面所圍立體體積.解:由曲面方程可知,立體位于xoy面上部,利用對稱性,所求立體體積為yoz面對稱,并與xoy面相切,故在球坐標(biāo)系下所圍立體為且關(guān)于xoz

70例1.求曲面所圍立體體積.解:由曲面方程可知,立體位于x例2.計(jì)算三重積分解:在球面坐標(biāo)系下所圍立體.其中與球面71例2.計(jì)算三重積分解:在球面坐標(biāo)系下所圍立體.其中與主講教師:王升瑞高等數(shù)學(xué)第十七講72主講教師:高等數(shù)學(xué)第十七講28例3：計(jì)算解法一：采用球坐標(biāo)計(jì)算73例3：計(jì)算解法一：采用球坐標(biāo)計(jì)算29例3：計(jì)算解法二：采用三次定積分計(jì)算74例3：計(jì)算解法二：采用三次定積分計(jì)算30解法三：采用先一后二計(jì)算例3：計(jì)算75解法三：采用先一后二計(jì)算例3：計(jì)算31解法四：采用先二后一在處用垂直于軸的平面去截例3：計(jì)算76解法四：采用先二后一在處用垂直于軸的平面去截例3：計(jì)算32例4.

設(shè)由錐面和球面所圍成,計(jì)算提示:利用對稱性用球坐標(biāo)77例4.設(shè)由錐面和球面所圍成,計(jì)算提示:利用對稱性用例5.

計(jì)算所圍成.其中由分析：若用“先二后一”,則有計(jì)算較繁!采用“三次積分”較好.78例5.計(jì)算所圍成.其中由分析：若用“先二后一”,解:例5.

計(jì)算所圍成.其中由79解:例5.計(jì)算所圍成.其中由35思考:若被積函數(shù)為f(y)時(shí),如何計(jì)算簡便?