現(xiàn)代控制理論第四章

第四章穩(wěn)定性與夫方§4－1夫關(guān)于穩(wěn)定性的定。與外界擾動(dòng)的大小有關(guān)夫第二法是一種普遍適用于。設(shè)所研究系統(tǒng) 狀態(tài)方程為

f(x,t)

XnfX同維的狀態(tài)矢Xx1x2,xn和時(shí)間t時(shí)變的非線性函數(shù)，如果不顯含t，則為定常的非線性函數(shù)。在給定初始條件下，(tx0t0X(t;x0,t0

X0(t0x0,t0t0t是從t0若系統(tǒng)式（4－1）Xe，對(duì)所有tf(Xe,t)

Xe

f(x,t)

AAX

0X

0A為奇異矩陣時(shí)，系統(tǒng)將有無(wú)窮多個(gè)平衡狀態(tài)。由式（4－3）x1xxx

X

0

有三個(gè)平衡狀態(tài)：

0，e 1， 若用||

X

||表示狀態(tài)矢量X與平衡狀態(tài)XeS(Xe為半徑的XS()e||||

XeX

||

|X

||[(x

)2(x

)2

((xn

1)2

當(dāng)S(Xe

S()，則意味著

x0

||若式（4－1）||(t;x0,t0)

||，tt0

0則式（4－8）表明方程式（4－1）由初態(tài)x或短暫擾0對(duì)式（4－1）描述的系統(tǒng)對(duì)于任意選定的實(shí)數(shù)0卻對(duì)應(yīng)存在另一實(shí)數(shù)(t00,使得當(dāng)x0

x0

||(,t0||(t;x0,t0)Xe

||

，

t

Xe為李氏意義下的穩(wěn)定，其中實(shí)數(shù)與有關(guān)，一般也與t0有關(guān)，如果與t0無(wú)關(guān)，稱(chēng)這種平衡為一致SSt如果平衡狀態(tài)Xe是穩(wěn)定的而且當(dāng)t無(wú)限增長(zhǎng)時(shí)軌線不僅不超出S()，而且最終收斂于Xe，則稱(chēng)這種平衡狀態(tài)漸近SSxtXe大范圍漸近穩(wěn)定。它的必要條對(duì)于某個(gè)實(shí)數(shù)0和任意實(shí)數(shù)0，不管S(S(，則稱(chēng)這Xe不穩(wěn)定。0S(xS(0X(t)(tx0t0X(tXetX(tt

X

0X

XeSx0tXAXC，

(4-的平衡狀態(tài)Xe漸近穩(wěn)定的充要條件是陣A所有特征值均如果系統(tǒng)對(duì)于有界輸入uy系統(tǒng)輸出穩(wěn)定。線性定常系統(tǒng)＝（AB輸出穩(wěn)定的充要s的左半平面。例：W(s)C(sIA)1bX 0

y 0①①

A]

s

(s1)(s1)0 s0特征值1=-1

1W(s)C(sIs1

1

(s 0

s

(s1)(s1)s1

出特性中沒(méi)有被表現(xiàn)出來(lái)。這說(shuō)明當(dāng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)W(s)不W(s的極點(diǎn)相同，系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性才與其輸出穩(wěn)定性相一

f(X,t)

(4-XefXtXXXefXtXe

X

(X

Xe)R(X

(4-x

f1 X

f2

n 2xn

(4-f

n

nxn令

X

Xe，取式（4－12）

A

XXX

(4-①如果方程式（4－15）A的所有特征值都具穩(wěn)定的，而且系統(tǒng)的穩(wěn)定性與RX)無(wú)關(guān)②如果A的特征值至少有一個(gè)實(shí)部為零系統(tǒng)處于臨界情況。系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)R(X)，而不能由矩陣A的特征值符號(hào)來(lái)確定。③如果A的特征值至少有一個(gè)正實(shí)部則原非線性系統(tǒng)的Xe是不穩(wěn)定的。x1x1x1

x

1Xe1

，X

A 0

Xe1

x

x1

A 在Xe2處線性化：x

j101Xe11

1

x2

，

0f2

x2

，

1x1x

0A A1 1 平衡點(diǎn)： 1Xe21

1

x2

，

f2

1 A

x2

，

1x1

0 11

e 夫定義一個(gè)正定的標(biāo)量函數(shù)V(X)，作為虛構(gòu)

dV(X VXX是負(fù)定的，則這個(gè)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，VX設(shè)VX為由nXX，在X0處，恒有VX)0。在XVX)0，稱(chēng)VXx例VXx

2x221VX)0，稱(chēng)VX為半正定的（或非負(fù)定21例：VX

)2VX)0，稱(chēng)VX例：VX)

(x

2x212VX)0，稱(chēng)VX為半負(fù)定的（或非正定12例：VX)

)2V(X)0或V(X)0，則稱(chēng)VX例：V(X)

x1x2①設(shè)

xT32標(biāo)量函數(shù)為：V(X)(x1x2 x32323因?yàn)橛蠽X)0Xx21也使VX)0x21

②X

xT，標(biāo)量函數(shù)為：VX)

x23因?yàn)橛蠽X)03VX)0

aT時(shí)，也V(X)

XT

P

xx x

2n2

(4-P

x n nnnpijpjiP1V(X)10x24x11 111 2x11對(duì)于二次型函數(shù)VX)

XT

P必定存在正定矩陣TXTX~~~AATI~~~TXTX，XT TTV(X)

XT

XXT

X

00

(4-P是nn實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，VX)

XT

PT必須為正交矩陣，才有TTT1①若VXPP②若VXPP③若VX（非負(fù)定PP④若VXPP0。P的符號(hào)性質(zhì)與由其決定的二次型函數(shù)V(X)

XT

的符號(hào)性質(zhì)完全一致，因此要判別VXP

P P21 22

2n

pji，1

p11P 2

p21

np22

，

nn

(4-P（或VX）①

0P（或VX）②若i

P（或VX）0,＝，，n

i0,i0i為偶數(shù)

P（或VX）④若i

，則P（或VX）⑤VX恒等于零，運(yùn)動(dòng)軌跡落在特定的曲面上VXC，例：閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為1X，xx，x1x 1e2 0uuy(s)1Cx選VX)x21.21

2x

0則VX2x1x12x2

x1x20

x2，

x1VX可保持為某一常數(shù)CC以原點(diǎn)為圓心 為半徑的圓（極限環(huán)或臨界穩(wěn)定C⑥V(X)不恒為零，這個(gè)運(yùn)動(dòng)軌跡只在某個(gè)時(shí)刻與某個(gè)

V(X

C

1x1

例

，

xx 2 x選VX)

2x

021V(X)2xx2xx2xx2x(xx)2x2211 1 x10x20，VX

0

x10，x20，VX

0時(shí)，是狀態(tài)軌跡與Vxx0x1x2x1x1

x X

1

X1

1X1 注

2

1X，2X1，2

X1X2，

X1X2xx12選V(X) 20xx12V(X)2x1x12x22x1(x1x2)2x2(x1x22x22xx2x22x 1 1

(4-2(x2x2)X

0

X

0（XA為nnA是系數(shù)矩陣取李氏函數(shù)為VX)

XT

P為nnVXV(X)

XT

XT

(AX)T

XTXTAT

XT

欲使系統(tǒng)在原點(diǎn)漸近穩(wěn)定，則要求X(X)XT

，式中

ATPPA①如果X)XT么Q

②如果取一個(gè)正定矩陣（或者X零，可取任意一個(gè)半正定矩陣Q）ATPPAQ，按照希爾維斯特判據(jù)判定P的正定性進(jìn)而作出系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的③為方便計(jì)算，取QIPAA（通過(guò)變換，若取VX

X

XTXQ(

2A

2A全為負(fù)值時(shí)，Q

1x1

例

，

x 2 V(X)

XT

，ATP

，Q11 1T11

P P

1 0

12

1212

P22

p12

p21

0P

22

22 ①

1；②P11P12

112 2P

解方程組得：

22 1

1，

；

1， 1

P 11

3 2 3212123212121,；PV(X)x

1 x

123

1

1x

2x213x2xxxx2x2 1 1 VX)

XT

1

2x

2x2 01(X)為負(fù)定的，Q 01

V(X)XT

1 0x1 1x 2－x xx1＝(x2x2

x 2V(X)1(3x22xx2x22 1 2取

(X)(x2x2 X(k1)GX(k)G為nnXe0對(duì)于任意給定的正定實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣QP。假設(shè)一個(gè)可能的李氏函數(shù)為：VX(k)]

XT(k)PX(k)我們采用VX

1與VX(k之差來(lái)代替XV[X(k)]V[X(k1)]V[X(kXT[(k1)]PX[(k1)]XT(k)PX(k[GX(k)]TP[GX(k)]XT(k)PX(kXT(k)GTPGX(k)XT(k)PX(kXT(k)[GTPGP]X(k

(4-由于VX(kVX(k)]因此Q[GTPGP

XT(k)QX(k)如果VX(k)]XT(k)QX(k)零，那么Q亦可取半正定的P、Q矩陣滿(mǎn)足上述條件與矩陣G的特征值的絕1QQ

，然后驗(yàn)算由GTPG

I所確定的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣P例：系統(tǒng)離散狀態(tài)方程為：X

0X(k 2GTPG

I，

0

I I

0

20

0

P

P

2

22

2

22 1

0

0

22

2

22 2

P

0

12

12212221221222

2

2

P(

1) 12P12P12

1)2

1，

(

1)

P 1 1

P P22

12 1 2P|1|1和|

|1一、雅可比(Jaccobi（（Krasovski）

f(X式中 為n維向量。假

f(0)0

f(x)xi

1,2,3,nFXxf

f1xn J(X)

2

2X

xn

f n n n

xnPQ(X)[JT(X)PPJ(X

V(X)

fT(X)Pf(X

如果||

||，VXX

0證明：選取二次型函數(shù)VX)

fT(X)Pf(XP為正定實(shí)對(duì)稱(chēng)函數(shù)，VXf(xx的顯函數(shù)，不是時(shí)間tdf(x)

f(x)

f(X)x

J(x)f(x) X X將VX沿狀態(tài)軌跡對(duì)tVV(X)fT(X)Pf(X)fT(X)Pf(XfT(X)PJ(X)f(X)[J(X)f(X)]TPf(XfT(X)PJ(X)f(X)fT(X)JT(X)Pf(XfT(X)[PJ(X)JT(X)P]f(XfT(X)[JT(X)PPJ(X)]f(X

(X)

T(X)Q(X)f(XQ(X)[JT(X)P

要使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，VX必須是負(fù)定的，而QX必須當(dāng)||

||時(shí)，尚有VX)圍漸近穩(wěn)定的。顯然，要使QXJXf

fiXxiJX主對(duì)角線上相應(yīng)的元素

必須恒為零，則QXXP

0Q(X)[JT(X)

J(X

V(X)(X)

fT(X)f(XfT(X)[JT(X)

J(X)]f(XV(X)fT(X)Qf(XQ[JTXJX

0，要求QX推論：對(duì)于線性定常系統(tǒng)

矩陣AT

X

0Xex3x3

x1

x2 f(X)

解 x x3 2J(X)

f(X

21P21

X

13x2Q(X)[JT(X)J(X

13x2 13x2 26x2 2

2 2312x22120，2

26x2

0QX當(dāng)||X||V(X)

fT(X)f(X

Xe

作業(yè)：4-1，4-2，4-3（1，4-6，4-8，4-9，4-二、變量梯度法（Shultz-的，那么李氏函數(shù)VX)的梯度必定存在且唯一。Vx

V11V 11V

V2

x2

Vx

Vn n設(shè)VXXVXXT的變化率就是VXT

VX

x3的溫度，則V

中溫度LHdLL——表示積分路H沿給定曲起點(diǎn)與終點(diǎn)的位置，積分與路徑無(wú)關(guān)。如從原點(diǎn)X＝0出發(fā)，X，其積分結(jié)果都相同。L在三中，設(shè)矢量H用三個(gè)分量表示為HHxiHyjHz則矢量的旋度也是具有三個(gè)分量的矢量，定義是：kkHzrotH Hx

Hyi

j

k

k

jHy(

Hy)i(

Hz)j(Hy

Hx

若旋度為零，即rotH0H

H

，

H

，

HH

fXX

0假設(shè)VXXV(X)

dx2V

x1

V(X)VVxxn2(V)Txn確定X與

舒茨和基布遜提出：先假定V定系數(shù)的n維矢量。

a11

a12

a1nxnVaa

21

a22an2

a2nann

xnxn

X

為負(fù)定（）的要求確定系數(shù)aij

j1,2,3,n，再由這個(gè)

通過(guò)下列線積分來(lái)導(dǎo)出VX即 V(X) X(V)即 0

它是對(duì)整個(gè)狀態(tài)空間

x

中任意點(diǎn)的線積33V(X)

xn0)Vdx xn0)Vdx

,xn1xn1)V

e2,

en

,式（4－30）中的積分路徑是從坐標(biāo)原點(diǎn)開(kāi)始，沿著e1到達(dá)x1，再由這沿著e2到達(dá)x2，……，最后沿著en到達(dá)xn。為了使式（4－29）的線積分與積分路徑無(wú)關(guān)，必須保證V的梯度為零。要求滿(mǎn)足,

V

,

由x

V1 J(X)

VX

V2

V

n

n n(n

必須是對(duì)稱(chēng)的。對(duì)n維系統(tǒng)應(yīng)該 n3

，

由式（4－30）求得的VX如果當(dāng)||

||時(shí)，有VX)按式（4－28）設(shè)定V，式中的待定系數(shù)aij數(shù)或者時(shí)間t的函數(shù)，或者狀態(tài)變量的函數(shù)。顯然不同的系數(shù)選擇法可能求出不同的VX。常把a(bǔ)nn選成常數(shù)或時(shí)間taijX由V

n(n根據(jù)V(X)是負(fù)定或至少是半負(fù)定并滿(mǎn)

個(gè)旋度方程的條件，確定

中余下的未知系數(shù)，由此得出的X)可能會(huì)改變第二步算的X，因此要重新校核X)的定號(hào)由式（4－30）確定VX校核是否滿(mǎn)足當(dāng)||

||時(shí)，有VX如果用上述方法求出不合適的VX，那也不意味著平衡

x2

x2 x2的夫函數(shù)，并分析平衡狀態(tài)X解：設(shè)VX

0Va11x1