高中數(shù)學(xué)：圓錐曲線專題-橢圓中的兩大張角

圓錐曲線專題----橢圓中的兩大張角【突破滿分?jǐn)?shù)學(xué)之秒殺技巧與答題模板】：中心直張角模型定理1：直線交于P、Q兩點，O為橢圓中心，設(shè)O到PQ的距離為d，則，。定理2：直線交于P、Q兩點，O為橢圓中心，設(shè)O到PQ的距離為d，則，。定理3：直線交于P、Q兩點，O為橢圓中心，，則。非中心直張角模型定理1：直線交于A,B兩點，為橢圓上不同于A，B兩點的一個定點，則。定理2：直線交于A,B兩點，為雙曲線上不同于A,B兩點的一個定點，則的充要條件是直線過定點。定理3：直線交于A，B兩點，為拋物線上不同于A,B兩點的一個定點，則的充要條件是直線過定點。

【考點精選例題精析】：例1．（2021·山東山東·高二階段練習(xí)）已知直線經(jīng)過橢圓的左頂點A和上頂點D，橢圓的右頂點為，點是橢圓上位于軸上方的動點，直線與直線分別交于兩點．(1)求橢圓的方程；(2)求線段MN的長度的最小值；(3)當(dāng)線段MN的長度最小時，在橢圓上是否存在這樣的點，使得的面積為，若存在，確定點的個數(shù)，若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在；點的個數(shù)為2【解析】【分析】（1）根據(jù)直線方程，求出橢圓方程的上頂點和左頂點坐標(biāo)，進(jìn)而求出橢圓方程；（2）設(shè)出直線AS的方程，表達(dá)出點M，N的坐標(biāo)，利用基本不等式求出線段MN的長度的最小值；（3）先求出的長度，得到到直線的距離等于，利用點到直線距離得到T所在的直線方程，結(jié)合根的判別式得到點的個數(shù).(1)，令得：，令得：，所以橢圓C的左頂點為，上頂點為，所以，故橢圓方程為.(2)直線的斜率k顯然存在，且k>0，故可設(shè)直線AS的方程為，從而，由，聯(lián)立得：，設(shè)，則，解得：，從而，即，又，由，解得：，所以，故，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，故線段MN的長度的最小值為.(3)由第二問得：，此時，故，要使橢圓上存在點，使得的面積等于，只須到直線的距離等于．其中直線SB：，即，設(shè)平行于AB的直線為，則由解得：或，當(dāng)時，，聯(lián)立橢圓方程得：，由得：與橢圓方程有兩個交點；當(dāng)時，，聯(lián)立橢圓方程得：，由，此時直線與橢圓方程無交點，綜上：點的個數(shù)為2．例2．（2021·重慶一中高三階段練習(xí)）已知橢圓：.(1)若直線與橢圓相交于，兩點，且線段的中點為，求直線的斜率；(2)如圖，已知橢圓：與橢圓有相同的離心率，過橢圓上的任意一動點作橢圓的兩條不與坐標(biāo)軸垂直的切線，，且，的斜率，的積恒為定值，試求橢圓的方程及的的值.【答案】(1)(2)，【解析】【分析】（1）設(shè)，，利用點差法計算即可得出結(jié)果；（2）由題意設(shè)橢圓：，設(shè)橢圓過點的切線方程為：，聯(lián)立，由，化簡整理得，則，而，化簡可得,要使之恒為定值，只需，計算可得結(jié)果.(1)設(shè)，，則，兩式相減并整理得：；(2)由題得橢圓的離心率，故，因此橢圓：，設(shè)橢圓過點的切線方程為：，其中，即，且，即聯(lián)立：，因為與橢圓相切，所以整理得，視為的一元二次方程，則其兩根即為，由韋達(dá)定理，得，而，故上式要恒為定值，即與無關(guān)，則，得，此時，綜上，橢圓：，.【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.例3．（2022·浙江紹興·高二期末）已知橢圓的離心率，過橢圓C的焦點且垂直于x軸的直線截橢圓所得到的線段的長度為1．(1)求橢圓C的方程；(2)直線交橢圓C于A、B兩點，若y軸上存在點P，使得是以AB為斜邊的等腰直角三角形，求的面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由條件可得，解出即可；（2）設(shè)，，取AB的中點，聯(lián)立直線與橢圓的方程消元，算出，，然后可算出，然后由可得，然后表示出的面積可得答案.(1)令，得，所以，解得，，所以橢圓C的方程：．(2)設(shè)，，取AB的中點，因為為以AB為斜邊的等腰直角三角形，所以且，聯(lián)立得，則．∴．又∵，∴，且，，∴，由得，∴．∴．例4．（2022·上海市七寶中學(xué)附屬鑫都實驗中學(xué)高二期末）設(shè)點是拋物線上異于原點O的一點，過點P作斜率為、的兩條直線分別交于、兩點（P、A、B三點互不相同）．(1)已知點，求的最小值；(2)若，直線AB的斜率是，求的值；(3)若，當(dāng)時，B點的縱坐標(biāo)的取值范圍．【答案】(1)；(2)3；(3)；【解析】【分析】（1）根據(jù)兩點之間的距離公式，結(jié)合點坐標(biāo)滿足拋物線，構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，求其最值即可；（2）根據(jù)題意，求得點的坐標(biāo)，設(shè)出的直線方程，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理求得點坐標(biāo)，同理求得點坐標(biāo)，再利用斜率計算公式求得即可；（3）根據(jù)題意，求得點的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)化，求得關(guān)于的一元二次方程，利用其有兩個不相等的實數(shù)根，即可求得的取值范圍.(1)因為點在拋物線上，故可得，又，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值.故的最小值為.(2)當(dāng)時，故可得，即點的坐標(biāo)為；則的直線方程為：，聯(lián)立拋物線方程：，可得：，故可得，解得：，又故可得同理可得：，又的斜率，即.故為定值.(3)當(dāng)時，可得，此時，因為兩點在拋物線上，故可得，，因為，故可得，整理得：，，因為三點不同，故可得，則，即，，此方程可以理解為關(guān)于的一元二次方程，因為，故該方程有兩個不相等的實數(shù)根，，即，故，則，解得或.故點縱坐標(biāo)的取值范圍為.【點睛】本題考察直線與拋物線相交時的范圍問題，定值問題，解決問題的關(guān)鍵是合理且充分的利用韋達(dá)定理，本題計算量較大，屬綜合困難題.例5．（2022·四川達(dá)州·高二期末（文））如圖，已知橢圓的焦點是圓與x軸的交點，橢圓C的長半軸長等于圓O的直徑．(1)求橢圓C的方程；(2)F為橢圓C的右焦點，A為橢圓C的右頂點，點B在線段FA上，直線BD，BE與橢圓C的一個交點分別是D，E，直線BD與直線BE的傾斜角互補(bǔ)，直線BD與圓O相切，設(shè)直線BD的斜率為．當(dāng)時，求k．【答案】(1)；(2)-1.【解析】【分析】（1）由題設(shè)可得，求出參數(shù)b，即可寫出橢圓C的方程；（2）延長線段DB交橢圓C于點，根據(jù)對稱性設(shè)B，為，，聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理并結(jié)合已知條件可得，直線與圓相切可得，進(jìn)而求參數(shù)t，即可求直線BD的斜率.(1)因為圓與x軸的交點分別為，，所以橢圓C的焦點分別為，，∴，根據(jù)條件得，∴，故橢圓C的方程為．(2)延長線段DB交橢圓C于點，因直線BD與直線BE的傾斜角互補(bǔ)，根據(jù)對稱性得．由條件可設(shè)B的坐標(biāo)為，設(shè)D，的縱坐標(biāo)分別為，，直線的方程為，．由于，即，所以．由得：．∴，．∴①，②，由①得：，代入②得，∴．∵直線與圓相切，∴，即．∴，解得，又，∴，故，即直線BD的斜率．【點睛】關(guān)鍵點點睛：將已知線段的長度關(guān)系轉(zhuǎn)化為D，的縱坐標(biāo)的數(shù)量關(guān)系，設(shè)直線的含參方程，聯(lián)立橢圓方程及其與圓的相切求參數(shù)關(guān)系，進(jìn)而求參數(shù)即可.

【達(dá)標(biāo)檢測】：1．（2021·河北·二模）已知圓x2+y2=17與拋物線C:y2=2px(p>0)在x軸下方的交點為A，與拋物線C的準(zhǔn)線在x軸上方的交點為B，且點A，B關(guān)于直線y=x對稱.(1)求拋物線C的方程；(2)若點M，N是拋物線C上與點A不重合的兩個動點，且AM⊥AN，求點A到直線MN的距離最大時，直線MN的方程.【答案】(1)y2=16x(2)2x+y-38=0【解析】【分析】（1）通過所給的作圖分析，尤其是關(guān)于y=x對稱點的條件，可以求出拋物線方程；（2）聯(lián)立直線與拋物線方程，利用向量表達(dá)垂直的方法，可以得出結(jié)論.(1)依題意，作圖如下：由于點B在準(zhǔn)線上，設(shè)，由于關(guān)于y=x對稱，所以，由，以及解得p=8，m=1，所以拋物線的方程為：，；(2)設(shè)M(，y1)，N(，y2)，直線MN的方程為x=my+n，將直線MN的方程代入y2=16x得y2-16my-16n=0，所以y1+y2=16m，y1y2=-16n.因為AM⊥AN，所以·=(-1，y1+4)·(-1，y2+4)=+(y1+4)(y2+4)=0，由題意可知y1≠-4，y2≠-4，所以(y1+4)(y2+4)≠0.所以+1=0，即y1y2-4(y1+y2)+272=0，所以-16n-64m+272=0，即n=-4m+17，所以直線MN的方程為x=m(y-4)+17，所以直線MN過定點P(17，4)，當(dāng)MN⊥AP時，點A到直線MN的距離最大，此時直線MN的方程為2x+y-38=0.故答案為：，2x+y-38=0.2．（2021·河南·中牟縣第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知圓與拋物線：在軸下方的交點為，與拋物線的準(zhǔn)線在軸上方的交點為，且，兩點關(guān)于直線對稱．（1）求拋物線的方程；（2）若點，是拋物線上與點不重合的兩個動點，且，求點到直線的距離最大時，直線的方程．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）先求點根據(jù)對稱性得點，再將點代入拋物線方程即可求得值；（2）設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程，得，，結(jié)合即可得，所以直線過定點，當(dāng)時，點到直線的距離最大，則方程可解．【詳解】解：（1）將代入，得，所以，由點，關(guān)于直線對稱，可得，將的坐標(biāo)代入拋物線的方程得，得，所以拋物線的方程為．（2）由（1）得，設(shè)，，直線的方程為，將直線的方程代入，得，，所以，．因為，所以．由題意可知，，所以，所以，即，所以，即，滿足，所以直線的方程為，所以直線過定點，當(dāng)時，點到直線的距離最大當(dāng)時，點到直線的距離最大，此時直線的方程為．【點睛】解決直線與圓錐曲線的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、曲線的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．3（2021·北京八中高二期末）已知拋物線，焦點到準(zhǔn)線的距離為2，直線過x軸正半軸上定點且交拋線C于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點．(1)求拋物線方程；(2)若，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由焦點到準(zhǔn)線的距離為焦參數(shù)可得拋物線方程；（2）設(shè)直線方程為，，直線方程代入拋物線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得，代入可得范圍．(1)焦點到準(zhǔn)線的距離為2，則，拋物線方程為；(2)直線斜率不為0，設(shè)直線方程為，，由，得，所以，，，因為，所以，又，解得．4．（2022·江西·臨川一中高二期末（理））已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率，且過點．(1)求橢圓C的方程；(2)已知過的直線l交橢圓C于A、B兩點，試探究在平面內(nèi)是否存在定點Q，使得是一個確定的常數(shù)？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在，定點【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓的方程.（2）對直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合是常數(shù)列方程，從而求得定點的坐標(biāo).(1)，，由題可得：.(2)當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為，設(shè)，，聯(lián)立方程組，整理得，可得，所以則恒成立，則，解得，，，此時，即存在定點滿足條件當(dāng)直線AB的斜率不存在時，直線AB的方程為x＝－2，可得，，設(shè)要使得是一個常數(shù)，即，顯然，也使得成立；綜上所述：存在定點滿足條件.5．（2022·廣東珠?！じ呷谀┮阎獧E圓的長軸長為4，左頂點A到上頂點B的距離為，F(xiàn)為右焦點．(1)求橢圓C的方程和離心率；(2)設(shè)直線l與橢圓C交于不同的兩點M，N（不同于A，B兩點），且直線時，求F在l上的射影H的軌跡方程．【答案】(1)，離心率為(2)【解析】【分析】（1）由題意可得，，可求出，再由可求得，從而可求出橢圓C的方程和離心率；（2）設(shè)，，當(dāng)直線斜率存在時，可設(shè)代入橢圓方程消去，整理后利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合，可求出的值，從而可得直線l經(jīng)過定點，當(dāng)直線斜率不存在時，可設(shè)，求出的坐標(biāo)，結(jié)合可求出的值，得F在l上的射影H的軌跡為以為直徑的圓，從而可求出射影H的軌跡方程(1)由題意可得：，，，可得，，，所以橢圓C的方程為，離心率為．(2)當(dāng)直線斜率存在時，可設(shè)代入橢圓方程，得：．設(shè)，，則．因為直線，垂直，斜率之積為，所以，所以．將代入，整理化簡得：，所以或．由直線，當(dāng)時，直線l經(jīng)過，與B點重合，舍去，當(dāng)時，直線l經(jīng)過定點，當(dāng)直線斜率不存在時，可設(shè)，則，，因為，所以，解得，舍去．綜上所述，直線l經(jīng)過定點，而F在l上的射影H的軌跡為以為直徑的圓，其，，所以圓心，半徑，所以圓的方程為，即為點H的軌跡方程．6．（2022·山西運城·高三階段練習(xí)（理））已知橢圓的離心率為，左，右焦點分別為為坐標(biāo)原點，點Q在橢圓C上，且滿足.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)P為橢圓C的右頂點，設(shè)直線與橢圓C交于異于點P的兩點，且，求的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)根據(jù)題意求出a、b、c即可；(2)根據(jù)題意設(shè)l：(t≠2)，聯(lián)立l與橢圓C的方程，由求出t為定值，再求出弦長MN，求出點P到直線l的距離d，即可求出，根據(jù)m的范圍求出的最大值，又根據(jù)即可求出的最大值.(1)；(2)，設(shè)，，則，∵PM⊥PN，∴，且.由題可知直線l斜率不為0，設(shè)l方程為(t≠2)，，(*)，則，，則，，，∴，即或t＝2(舍).時，l過定點(，0)，則(*)恒成立.P(2，0)到直線l：x－my－t＝0的距離，令，則，則，則，∵在s≥8時單調(diào)遞增，∴當(dāng)s＝8時，取最大值，∴，∴.即的最大值是.【點睛】本題關(guān)鍵是利用△PMN的面積的最大值來求的最大值，將問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的橢圓內(nèi)部三角形面積的問題.7．（2022·福建漳州·二模）已知橢圓的長軸長為，且過點(1)求的方程：(2)設(shè)直線交軸于點，交C于不同兩點，，點與關(guān)于原點對稱，，為垂足.問：是否存在定點，使得為定值？【答案】(1)(2)存在【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求方程；（2）聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理可得直線恒過定點，進(jìn)而求解.(1)依題意知，即所以的方程可化為，將點代入得，解得，所以橢圓方程為；(2)設(shè)點，，聯(lián)立得，，，解得，，，注意到，，三點共線，，又當(dāng)，解得，因為，所以，此時，滿足，故存在定點，使得等于定值.【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．8．（2021·全國·高三階段練習(xí)（文））已知橢圓的焦距為，且經(jīng)過點．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l與曲線C交于A，B兩點，且，則直線l是否過定點？若過定點，求出定點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由．【答案】(1)(2)直線l過定點【解析】【分析】(1)由題意列出相應(yīng)的方程組,解得答案;（2）考慮直線斜率是否存在的情況，然后斜率存在時，設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，結(jié)合，化簡整理,從而可得直線過定點，直線斜率不存在時同理可求直線過該定點，由此可得答案.(1)由題意得

解得．

所以橢圓C的方程是．(2)設(shè)，由可知，A,B異于點P,若直線l的斜率